椭圆方程及性质的应用
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2013·重庆高二检测)已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )
A.1
B.1或2
C.2
D.0
2.若AB为过椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1的中心的弦,F1为椭圆的左焦点,则△F1AB面积的最大值为( )
A.6
B.12
C.24
D.36
3.椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1上的点到直线x+2y-错误!未找到引用源。=0的最大距离为( )
A.3
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.2错误!未找到引用源。
4.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点,MN的中点为P,若k OP=错误!未找到引用源。(O为原点),则错误!未找到引用源。等于( )
A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.-错误!未找到引用源。
D.-错误!未找到引用源。
5.(2013·南昌高二检测)已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013·绵阳高二检测)短轴长为错误!未找到引用源。,离心率e=错误!未找到引用源。的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为.
7.(2013·宜春高二检测)椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的离心率为错误!未找到引用源。,若直线y=kx与其一个交点的横坐标为b,则k的值为.
8.过椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1内的一点P(2,-1)的弦AB,满足错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。),则这条弦所在的直线方程是.
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.(2013·合肥高二检测)已知椭圆C的焦点F1(-2错误!未找到引用源。,0)和F2(2错误!未找到引用源。,0),长轴长为6,设直线l交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点坐标是P(-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。),求直线l 的方程.
10.(2013·安阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(-错误!未找到引用源。,0),F2(错误!未找到引用源。,0),离心率e=错误!未找到引用源。.
(1)求此椭圆的方程.
(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.
11.(能力挑战题)已知大西北某荒漠上A,B两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km.
(1)试求四边形另两个顶点C,D的轨迹方程.
(2)农艺园的最大面积能达到多少?
(3)该荒漠上有一条直线型小溪l刚好通过点A,且l与AB成30°角,现要对整条小溪进行加固改造,但考虑到今后农艺园的小溪要重新设计改造,因此,对小溪可能被农艺园围进的部分暂不加固,则暂不加固的部分有多长?
答案解析
1.【解析】选C.∵直线过定点(3,-1)且错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。<1,
∴点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.
2.【解析】选B.c2=25-16=9,∴|OF1|=c=
3.
∵AB过原点(0,0).
∴当AB与短轴重合时,△F1AB的面积最大,其值为错误!未找到引用源。×2b×3=4×3=12.
3.【解题指南】可设出与直线平行的直线方程,利用直线与椭圆相切确定切点,两平行线间的距离即为最大或最小值.
【解析】选C.由错误!未找到引用源。得2x2+2mx+m2-16=0.
当直线与椭圆相切时,Δ=0即4m2-4×2(m2-16)=0,解得m=±4错误!未找到引用源。.当m=4错误!未找到引用源。时,切点到直线x+2y-错误!未找到引用源。=0的距离最大,其值为d=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
4.【解题指南】利用设而不求的思想,用m,n表示出中点P的坐标,再建立方程求解.
【解析】选A.设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0).
由错误!未找到引用源。得(m+n)x2-2nx+n-1=0.
∴x0=错误!未找到引用源。,从而y0=1-x0=1-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
∴k OP=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
【变式备选】过点M(-1,错误!未找到引用源。)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A,B 两点,设线段AB中点为M,设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OM的斜率为k2,则k1k2的值为( )
A.2
B.-2
C.错误!未找到引用源。
D.-错误!未找到引用源。
【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2).
则错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。=2 ①
错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。=2 ②
②-①,得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0,即错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,
∴k1=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。=1,而k2=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,
故k1·k2=-错误!未找到引用源。.
5.【解题指南】采用数形结合,建立a,b,c的齐次式.
【解析】选A.如图,设另一焦点为F 1,由条件可知,
切点T为PF的中点,且OT⊥PF,
∴OT=b,∴|PF1|=2b.
∴|PF|=2a-2b.
又∵∠F1PF=90°,
∴(2b)2+(2a-2b)2=(2c)2,整理得e=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
6.【解析】由题意知错误!未找到引用源。解得a=错误!未找到引用源。,
△ABF2的周长为4a=4×错误!未找到引用源。=6.
答案:6
7.【解题指南】根据条件可知,点(b,kb)在椭圆上,结合离心率解出斜率k.
【解析】由条件知,(b,kb)在椭圆上,即错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1.
∴k2=1-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=e2=错误!未找到引用源。,∴k=±错误!未找到引用源。.
答案:±错误!未找到引用源。
8.【解析】由于直线AB过点P,又错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。),
∴点P为弦AB的中点.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=-2.
∴错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0,
∴错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=0,
即k=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
∴弦AB所在的直线方程为y+1=错误!未找到引用源。(x-2),即5x-3y-13=0.
答案:5x-3y-13=0
9.【解题指南】先求出椭圆的标准方程,再用“平方差法”求直线斜率,进而求
出直线方程.
【解析】由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=2错误!未找到引用源。,a=3,从而b=1,
所以其标准方程是错误!未找到引用源。+y2=1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为P(-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。),则错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
又∵A,B在椭圆上,∴错误!未找到引用源。
两式相减得错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+9(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)=0,
即(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴-错误!未找到引用源。(x1-x2)+9×错误!未找到引用源。(y1-y2)=0,
∴错误!未找到引用源。=1.
所以k=1,所以直线l的方程为y=x+1.
10.【解析】(1)设椭圆方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0),
则c=错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,∴a=2,b2=a2-c2=1.
∴所求椭圆方程为错误!未找到引用源。+y2=1.
(2)由错误!未找到引用源。消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,
则Δ=64m2-80(m2-1)>0得m2<5, (*)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=-错误!未找到引用源。,x1x2=错误!未找到引用源。,
y1-y2=x1-x2,
|PQ|=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。=2.
解得m2=错误!未找到引用源。,满足(*),∴m=±错误!未找到引用源。.
11.【解析】以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.则A(-1,0),B(1,0).
(1)由题意可知,C,D两点在以A,B为焦点的一个椭圆上.
∵平行四边形的周长为8,∴2a=4,
而2c=2,∴b2=a2-c2=3.
故所求椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(y≠0),即为C,D两点的轨迹方程.
(2)易知:当C,D为椭圆的短轴端点时,农艺园的面积最大,其值为2错误!未找到引用源。km2.
(3)求l:y=错误!未找到引用源。(x+1)被椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1截得的线段长.设线段端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
由错误!未找到引用源。
整理得13x2+8x-32=0,由根与系数的关系,得x1+x2=-错误!未找到引用源。,x1·x2=-错误!未找到引用源。,
∴弦长为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,
∴暂不加固的部分为错误!未找到引用源。km.
【拓展提升】解答与椭圆有关的实际问题的方法技巧
解答实际应用问题时,关键是先将实际问题转化为数学模型(称为建模),然后用相关的数学知识和方法解答该数学问题,从而得到实际问题的答案.
对于与椭圆有关的实际问题,解答时要注意事物的实际含义与椭圆的几何性质的转化,同时注意充分利用椭圆方程对变量进行讨论,来解决实际问题.
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椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质 1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． (2)第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e (0
一、椭圆第一个定义的应用 1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F1、F2，和一个定长2a。若动点P到两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F1F2|<2a.则动点轨迹是椭圆。两个定点F1、F2称为椭圆的焦点。 由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。 1.2 应用举例 例1.已知点 1(3,0) F-,2(3,0) F,有 126 PF PF +=,则P点的轨迹是 . 例2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P的 焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切. 解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。我们若抓住PF2为一个圆直径，PF1为另一个圆半径的2倍，用公式，很容易得出正确解答。
例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点， 求的面积.24 解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用 解决 例4.P 是椭圆2 2 145 20 x y + =上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点, 若 则12PF PF -的值为( ) A. D. 3 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程. 练:一动圆与圆⊙o 1：x 2+y 2+6x+5=0外切,同时与⊙o 2 ： x 2+y 2_ 6x _ 91=0 内切， 求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课 班级姓名自我学习评价 :优良还需努力 【学习目标】1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题； 2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法。 【学习重点】灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。 【学习过程】 一、学习准备（知识准备） 请独立完成下列填空： 1．椭圆的第一定义为：；其中的两点为椭圆的 ；常数等于椭圆的； 2．椭圆第二定义：若平面内的动点M（x，y）到定点F（c，0）的距离和它到定直线 的距离的比是常数，则点M 的轨迹为；定直线叫做，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有条. 常数，（）是的离心率。e1时，椭圆趋于；e0时，椭圆趋向于。 3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。设为椭圆上任意一点，对于标准方程 的焦半径；；对于标准方程的焦半径； .
椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！ ●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。 1、椭圆的准线方程是（）A.； B.； C.； D. 2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则短轴长为（）A B C. D. 3 设点P为椭圆上一点，P到左准线的距离为10，则P到右准线的距离为（） A . 6 ； B .8 ； C.10 ； D.15 4 已知点A（2，y）是椭圆上的点，F是其右焦点，则∣AF∣=； 5．椭圆与椭圆〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你 能否快速求出与椭圆有相同的离心率且经过点（，）的椭圆的方程？其方程为 你是用什么方法求解的？。 二、典型例析 【探究一】利用椭圆第二定义解题
椭圆的标准方程与性质 教学目标： １了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分 考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数： 有以下３种情况 (１）若a＞c,则集合P为椭圆； (2）若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 标准方程x2 ａ2 +＼ｆ（y２,ｂ2）＝1 （a>ｂ>0) ＼f(y2，a2）＋错误!=1 (a>ｂ>０) 图形 性质范围 －a≤x≤a -b≤y≤b -b≤ｘ≤b -a≤ｙ≤a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点 顶点 A1(-a,0),A２(a,０） Ｂ1(０,-b）,B2(0,b) A１(0，－a),A２(0，a) B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b 焦距｜F１Ｆ２|=2c 离心率ｅ=错误!∈(０，1） ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结 类型一椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆? B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根 据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的 练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C： 22 22 1 x y a b +=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C 上的一点,且 错误! 1⊥2 PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_． 【解析】由题意的面积∴故答案为: 【答案】３ 练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6?B.5 Ｃ．4 D．3 高二数学公开课教案：椭圆性质的运用 曾木顺 三维目标 1、知识与能力 (1)通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径． 2、过程与方法 理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的简单几何性质解决实际问题； 3、情感、态度与价值观目标 通过知识的运用及问题的解决，培养学生学习数学的兴趣。 4.教学重、难点： （1）教学重点：椭圆的方程及其几何性质的运用 （2）教学难点：灵活运用椭圆的几何性质 5.本节所用的数学思想方法：数形结合的思想方法，化归思想方法。 教学过程：（一）复习引入：椭圆的简单几何性质如下 标准方程 )0(122 22>>=+b a b y a x )0(12 2 22>>=+b a b x a y 图形 范围 -a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b -b ≤x ≤b, -a ≤y ≤a 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 顶点坐标 （±a ,0）(0,±b ) (±b ,0),(0,±a ) （二）进行新课 例1：已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为 2 3 ，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB 的距离为5 5 6。 （1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知点E （3，0），设点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，求?的取值范围。 【分析】本题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及计算能力。 解：(1)由离心率2 3 == a c e ，得 2 1 12=-=e a b ∴ b a 2= ① ∵原点O 到直线AB 的距离为 556∴55 622=+b a a b ② ， 将①代入②，得92 =b ，∴362 =a 则椭圆C 的标准方程为 19 362 2=+y x （2）∵ EQ EP ⊥ ∴ 0=? ∴ 2 )(=-?=? 设),(y x P ，则193622=+y x ，即4 922 x y -= ∴6)4(4 3 4996)3(222 2 2 2 +-=- ++-=+-==?x x x x y x EP QP EP ∵ 66≤≤-x ， ∴ 816)4(4 3 62≤+-≤ x 椭圆方程的一个性质和应用 于志洪金建荣 学习椭圆方程时，大家会发现这样一类椭圆，它们有一个共同特征，即离心率相同。 F 面将共离心率的椭圆方程的一个性质及其应用介绍给同学们，供大家学习时参考。 -.性质 X 2 和椭圆— a 2 y 2 1(a b b 2 0) 有相同离心率的椭 圆方程都具有 2 X -2 a （0）的特征。 2 X -2 a 程。 2 y 产 b 2 . 2 X a 2 .a y 2 2 1和椭圆 b 2 \ a 2 b 2 a. y 2 2 1和椭圆 b 2 X 2 设椭圆 1的离心率分别为e 和e'，则 a 2 b 2 a e' .a 2 b 2 e'，故椭圆 0）有相同的离心 率。 也就是说，和椭圆飞 a b 0）有相同的离心率的椭圆方程都具有 0）的特 征。 应用 X 2 2 y 2 1有相同离心率，且与直线 3X 例.求和椭圆 4 （2003年全国重点名校高考模拟题） 2、7y 16 0相切的椭圆方 解法1 :由以上性质，可设所求椭圆方程为 2小 16 0相切，故由方程组x 2 4y 2 得16y 2 16-. 7y 64 9 0。其判别式 2 2 4，故所求椭圆方程为 X y 1 16 4 3x 迂 4 ，3X 16、、7)2 y 2 ( 2, 7y 16 4 16 解法2 :设所求椭圆方程为 X 2 4y 2 0）。因其与直线 0联立消去X ，整理 （64 9 ）0，解得 因它与直线 3X 27y 16 0相切，则设切点为（ 27 4 X 1, 表示为同一直线，所以 X 1 4y 1 X 1 y 1），故切线方程为 3 4 y 1 X 1X 4y 』 4 。两直线 ￥。将 X 1和y 1同时代入椭圆方 程，得（？ ）2 4（乂 4 8 2 故所求椭圆方程为 — 16 )2 化简整理得 0，解得 4或 0 （舍去）。 2 y_ 4 X 2 2 a 2 ?. ， bi 。设切点为 (2 cos 解法3 :设所求椭圆方程为 2 即— 4 r~ . 、sin 则 a 2 4 ， b 2 ， ），则椭圆的切线方程为 课题：§2.1.1椭圆的定义及其标准方程 鹿城中学田光海 一、教案背景： 1.面向对象：高中二年级学生 2.学科：数学 3.课时：2课时 4.教学内容：高中新课程标准教科书《数学》北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程§2.1.1椭圆及其标准方程 二. 教材分析 本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 1. 教法分析 结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件,精心构建学生自主探究的教学平台,启发引导学生观察,想象,思考,实践,从而发现规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识,体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。 2. 学法分析 从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。 从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述? 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。 3.教学目标 知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。 过程与方法：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。 情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。 椭圆方程及性质的应用 教学目标 1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点) 2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点) 3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点) 教材整理1 点与椭圆的位置关系 设点P(x0，y0)，椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0). (1)点P在椭圆上?x20 a2＋ y20 b2＝1；(2)点P在椭圆内? x20 a2＋ y20 b2＜1； (3)点P在椭圆外?x20 a2＋ y20 b2＞1. 课堂练习 已知点(2,3)在椭圆x2 m2＋ y2 n2＝1上，则下列说法正确的是________ ①点(－2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上 ③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】④ 教材整理2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系及判定 直线y＝kx＋m与椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)联立 ?? ? ?? y＝kx＋m， x2 a2＋ y2 b2＝1， 消去y得一个 一元二次方程. 2.弦长公式 设直线y ＝kx ＋b 与椭圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2·|y 1－y 2|. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (2,1)在椭圆x 24＋y 2 9＝1的内部.( ) (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2 ＋y 2 2＝1相交.( ) (4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 例题分析 (1)若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 4＝1的交点个数为( ) A.2个 B.至多一个 C.1个 D.0个 (2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？ 【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则d ＝ 4m 2 ＋n 2 ＞2， ∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直 线与椭圆有2个交点. 【答案】 A (2)将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2. 学习资料[文档副标题] [日期] 世纪金榜 [公司地址] 椭圆方程及性质的应用 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2013·重庆高二检测)已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为( ) A.1 B.1或2 C.2 D.0 2.若AB为过椭圆+=1的中心的弦,F1为椭圆的左焦点,则△F1AB面积的最大值为( ) A.6 B.12 C.24 D.36 3.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离为( ) A.3 B. C. D.2 4.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点,MN的中点为P,若k OP=(O为原点),则等于( ) A. B. C.- D.- 5.(2013·南昌高二检测)已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·绵阳高二检测)短轴长为,离心率e=的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为. 7.(2013·宜春高二检测)椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,若直线y=kx与其一 个交点的横坐标为b,则k的值为. 8.过椭圆+=1内的一点P(2,-1)的弦AB,满足=(+),则这条弦所在的直线方程是. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.(2013·合肥高二检测)已知椭圆C的焦点F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长为6,设直线l交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点坐标是P(-,),求直线l的方程. 10.(2013·安阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=. (1)求此椭圆的方程. (2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值. 11.(能力挑战题)已知大西北某荒漠上A,B两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km. (1)试求四边形另两个顶点C,D的轨迹方程. (2)农艺园的最大面积能达到多少? (3)该荒漠上有一条直线型小溪l刚好通过点A,且l与AB成30°角,现要对整条小溪进行加固改造,但考虑到今后农艺园的小溪要重新设计改造,因此,对小溪可能被农艺园围进的部分暂不加固,则暂不加固的部分有多长? 《椭圆及其标准方程》（第一课时）教学设计 一、教学内容分析 教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1.《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例。椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。一方面，它是对前面所学的运用“代数方法研究几何问题”的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；另一方面，教科书以椭圆作为学习圆锥曲线的开始和重点，并依此来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法。因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。 椭圆是通过描述椭圆形成过程进行定义的，作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方 程建立的基石，这是本节课的一个教学重点；而坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，并通过探究得到椭圆的标准方程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。 学生对“曲线与方程”的内在联系仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识，并未真正有所感受。通过本节学习，学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础。 根据以上分析，确定本课时的教学难点和教学重点分别是： 教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，体会坐标法的应用。 教学难点：椭圆概念的深入理解及选择不同的坐标系推导椭圆的标准方程。 二、学生学情分析 在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识。因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。而本节课要求学生通过自己动手亲自作出椭圆并且还要 椭圆的几何性质和在物理学中的应用 1 几何性质 为了思路清晰简明，我们采用罗列命题的方式叙述椭圆的几何性质，但这又不是简单的罗列，各命题间是有紧密地联系的。 定义1：椭圆是到两个定点（焦点）的距离和等于定长（2a ）的点的轨迹。 命题1：椭圆外一点到椭圆两焦点的距离和大于椭圆上一点到两焦点的距离和。 【证明】：如图1所示，M 是椭圆外任一点，1MF 和2MF 分别是该点到两焦点1F 和2F 的距离。由于M 在椭圆之外，所以我们总能够在椭圆上找到一点N ，使此点在21F MF ?内。所以总有a NF NF MF MF 22121=+>+。 下面我们证明命题1中用到的关于三角形的一个命题。 命题2：三角形内一点到两个顶点的距离和小于第三个顶点到这两个顶点的距离和。 【证明】：如图，M 是ABC ?中任一点，我们要证明的是CB CA BM AM +<+。 延长AM 与BC 交于D 点。 在ADC ?中，由于两边之和大于第三边，有MD AM CD CA +>+； 在BDM ?中，由于两边之和大于第三边，有MB MD DB >+。 上面两式相加有CB CA BM AM +<+，命题得证。 命题3：椭圆内一点到两焦点的距离和小于椭圆上一点到两焦点的距离和。 图3 图1 A B C M D 图2 【证明】：如图3所示，我们总能够在椭圆上找一点N ，使M 位于21F NF ?内。由命题2可知命题正确。 我们可以说，椭圆的外部是这样的点的集合，它到椭圆的两个焦点的距离之和大于2a ；椭圆的内部是这样的点的集合，它到椭圆的两个核糖点的距离之和小于2a ；椭圆上的点到两个焦点的距离之和恰为2a 。 定义2：与椭圆只有一个公共点的直线称为椭圆的切线。 命题4：椭圆的切线不可能通过椭圆内的任何一点。 【证明】：假设切线可过椭圆内一点，则必与椭圆交于两点，这与该线为椭圆的切线相矛盾。 命题5：构成椭圆的切线的点的集合中，切点是到两个焦点的距离和最小的点。 【证明】：切点在圆上，因此到两焦点距离和为2a ，切线上其它点都在椭圆外，因此到两焦点的距离和大于2a ，命题得证。 命题6：直线与直线上到两定点的距离和最小的点跟该两点的连线成等角。 【证明】：如图4所示，设PQ 是任一直线，1F 和2F 是任意的两个点（在直线的同一侧）。我们总可以在直线上找一点M ，使此点到两点1F 和2F 的距离的和最小。方法如下 如图3所示，做1F 关于PQ 的对称点3F ，连结32F F 与PQ 交于M 点，则M 点为所求点。原因是简单的，如图5所示，任意在PQ 上取另一点1M ，则此点到两定点1F 、2F 的距离和大于M 到这两定点的距离和。由对称可知，角1PMF =角3PMF ，而角3PMF 与角2 QMF 互为对顶角。所以角1PMF =角2QMF ，命题得证。 命题7：椭圆的切线跟切点和焦点的两条连线成等角。 【证明】：因为切点是切线上所有点到两点的距离之和最小的点，由命题6知切线跟切点和焦点的两条连线成等角。 命题8：切线的垂线平分两焦点与切点连线所成的角。 【证明】：如图6所示，1F 与2F 是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，PQ 是过M 点的切线，MN 是的21MF F ∠的平分线。则有，PQ MN ⊥。 F 1 F 2 P 图4 F 1 F 2 P 图5 F 椭圆的定义及其标准方程 教学课题椭圆及其标准方程 所属学科数学课时安排1课时年级高二 所选教材 《普通高中课程标准实验教科书数学》人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著选修2-1第二章第二节《椭圆及其标准方程》 教学目标 1.知识与技能 理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义及其标准方程，能够准确的推导出椭圆的标准方程。 2.过程与方法 通过椭圆标准方程的推导，能运用坐标法解决简单的几何问题；通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想。 3.情感态度和价值观 感受数学在其他领域的广泛运用，培养对数学的热爱。 教学重难点 重点：椭圆的定义，椭圆的标准方程的推导。 难点：对椭圆定义的理解，椭圆标准方程的推导。 学情分析 本节课是圆锥曲线的第一课时。它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。 从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。 从学生现有的学习能力看，通过一年多的实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述？如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察、辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。 因此，本节课关注的重点：知识上是椭圆的定义和标准方程；从学生的情感态度上，关注学生的全方位参与，特别是思维起点和思维发展点。 教学方法 探究式教学法，通过教师引导学生自主探究、合作学习完成本节课的学习，是学生在获得知识的同时能够掌握学习方法，提高自主学习能力。 教学过程 1.联系实际、引入课题 火腿是受到大家广泛喜爱的一种食品，在食用时我们有时我们会把它切成片吃，那么不知道大家有没有发现切火腿也是一门学问，我们都知道火腿具有轴对称性，当我们垂直于火腿的轴线切下去时，截面曲线为圆；倾斜一定角度之后，截面曲线就变成了另外的一种曲线，这是一种我们没有研究过的曲线，现在我们把火腿近似的看成一个圆柱，用截面去截圆锥，所得到的截面曲线就是我们切火腿时形成的截面曲线——椭圆，今天我们就来学习椭圆及其标准方程。 （说明：从生活实际出发，引发对于椭圆的思考，培养学生从生活中发现数学问题的能力，同时激发学生的学习激情。） 2.回顾复习，温故知新 在之前的学习中我们已经认识了圆，研究了圆的定义、标准方程、和其他几何性质。那么请大家回忆圆的定义是什么？其标准方程是什么？求曲线方程的方法步骤是什么？（请同学复述圆的定义、其标准方程、曲线方程的推导方法，如果学生复述有困难，需教师引导学生进行回顾） 圆的定义：平面内到定点的距离等于常数r（r>0）的点的轨迹叫做圆。 圆的标准方程：（x-a）2+(y-b)2=r2，圆心O（a，b），半径r。 圆的标准方程的推导过程：（建设限代化） （1）建系设点， 课题：12.4椭圆的基本性质（二课时） 教学目标： 1、掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质. 2、能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形． 3、学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等. 4、在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 教学重点：椭圆的几何性质及初步运用 教学难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题 教学过程： 一．课前准备： 1、 知识回忆 （1） 椭圆和圆的概念 （2） 椭圆的标准方程 2、课前练习 1) 圆的定义： 到一定点的距离等于______的图形的轨迹。 椭圆的定义： _______________________________的图形的轨迹。 2) 椭圆的标准方程： 1。焦点在x 轴上____________（ ） 2。焦点在y 轴上____________（ ） 若125 162 2=+y x ，则椭圆的长轴长________短半轴长__________，焦点为____________，顶点坐标为__________，焦距为______________ 二．教学过程设计 一、引入课题 “曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论. 二、讲授新课 （一） 对称性 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？ x -代x 后方程不变，说明椭圆关于y 轴对称； y -代y 后方程不变，说明椭圆曲线关于x 轴对称； x -、y -代x ，y 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称； 问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？ 以把x 换成－x 为例，如图在曲线的方程中，把x 换 椭圆的简单几何性质 1．若焦点在x轴上的椭圆x2 2＋ y2 m＝1的离心率为 1 2，则m等于() A.3 B.3 2C. 8 3D. 2 3 2．若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)，F2(3,0)，则其离心率e是() A.3 4B. 2 3C. 1 2D. 1 4 3．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是() A.2m－1 m－1 B. －2－m m C.2m m D．－ 21－m m－1 4．椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个正方形，则此椭圆的离心率为() A.1 2B. 2 2 C. 3 2D. 3 3 5．(2009·江西高考)过椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于 点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为() A. 2 2B. 3 3 C.1 2D. 1 3 6．若AB为过椭圆x2 25＋ y2 16＝1中心的线段，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的 最大值为() A．6 B．12 C．24 D．48 1 7．椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2的两段，则椭圆的离心率是________． 8．过椭圆x2 5＋ y2 4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积为________． 9．若椭圆x2 k＋2＋ y2 4＝1的离心率e＝ 1 3，则k的值等于________． 10．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)； (2)椭圆过点(3,0)，离心率e＝ 6 3. 11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m， (1)当直线和椭圆有公共点，求实数m的取值范围． (2)求被椭圆截得的最长线段所在的直线方程． 2 【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： 标准方程 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2 离心率 ①(01)c e e a = << ，②21()b e a =-③2 22b a c -= （离心率越大，椭圆越扁） 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2. 2. 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三)焦点三角形的面积公式：122tan 2 PF F S b θ ?=如图： ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点， 12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ?=。 (四)通径 ：如图：通径长 2 2b MN a = ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22=+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程 组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0?>b a 相交于两点 11(,)A x y 、22(,)B x y ， 把AB 所在直线方程y=kx+b ，代入椭圆方程122 22=+b y a x 整理得：Ax 2+Bx+C=0。 ●弦长公式： ① 212212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1（含M N F x y 椭圆方程及性质的应用 （45分钟100分）一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2013·重庆高二检测)已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:x2 25+y2 36 =1,则直线l与椭圆 C的公共点的个数为( ) A.1 B.1或2 C.2 D.0 2.若AB为过椭圆x2 25+y2 16 =1的中心的弦,F1为椭圆的左焦点,则△F1AB面积的最大 值为( ) A.6 B.12 C.24 D.36 3.椭圆x2 16+y2 4 =1上的点到直线x+2y-√2=0的最大距离为( ) A.3 B.√11 C.√10 D.2√2 4.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点,MN的中点为P,若k OP=√2 2 (O为原点),则m等于( ) A.√2 2B.√2 C.-√2 2 D.-√2 5.(2013·南昌高二检测)已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为( ) A.√5 3B.2 3 C.√2 2 D.5 9 - 1 - 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·绵阳高二检测)短轴长为√5,离心率e=2 3 的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为. 7.(2013·宜春高二检测)椭圆x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为√2 2 ,若直线y=kx与其一 个交点的横坐标为b,则k的值为. 8.过椭圆x2 6+y2 5 =1内的一点P(2,-1)的弦AB,满足OP→=1 2 (OA→+OB→),则这条弦所在 的直线方程是. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.(2013·合肥高二检测)已知椭圆C的焦点F1(-2√2,0)和F2(2√2,0),长轴长为6, 设直线l交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点坐标是P(-9 10,1 10 ),求直线l的方 程. 10.(2013·安阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(-√3,0),F2(√3,0),离心率e=√3. (1)求此椭圆的方程. (2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值. 11.(能力挑战题)已知大西北某荒漠上A,B两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km. - 1 - 1． 知识与技能目标： 掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导． 2． 过程与方法目标： 通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力． 3． 情感态度与价值观目标： 通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神． 【要点梳理】 要点一：椭圆的定义 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的集合叫椭圆．这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 要点诠释： （1）1F 、2F 是椭圆上不同的两个顶点； （2）若P 是椭圆上任意一点，则12PF PF +=常数； （3）当 常数12F F > 时，轨迹为椭圆； 当 常数=12F F ，则轨迹为线段12F F ； 当 常数12F F <，则轨迹不存在． 要点二：椭圆的标准方程 1． 椭圆的标准方程 学生/课程 年级 高一年级 学科 授课教师 江老师 日期 8.25 时段 核心内容 椭圆及其标准方程（第14讲） 要点诠释： 1． 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2． 在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222c a b =-； 3． 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -； 4． 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2． 标准方程的推导： 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程． 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简． 以焦点在x 轴上的方程22 221x y a b +=(0)a b >>为例． (1)建系 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两个定点1F ，2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)． 当焦点在x 轴上时， 22 221x y a b +=(0)a b >>，其中222c a b =-； 当焦点在y 轴上时，22 221y x a b +=(0)a b >>，其中222c a b =-． 椭圆性质总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 椭 圆 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ， 212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1 >e 为双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -=（一个 ?Rt ） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总 在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程 ：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 ? ??==θθ sin cos b y a x )(为参数θ 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性 质：椭圆性质的运用(公开课)
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