第七章 稳恒磁场
一、毕奥—萨伐尔定律
1、如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为
I ，它们在O 点的磁感应强度各为多少？
7-1 图
解 （a ）
R
I
B 800μ=
方向垂直纸面向外
（b ）
R
I R
I
B πμμ22000-
=
方向垂直纸面向里
（c ）
R
I
R I B 42000μπμ+=
方向垂直纸面向外
7-2 如图7-2，一根无限长直导线，通有电流I ，中部一段弯成圆弧形。求图中P 点磁感应强度的大小。
7-2图
解 如图，直线AB 中电流在P 点产生的磁感应强度
()0112cos cos 4πI
B d
m q q =
- 式中12,0,302
a
d
q q =
==
)2
3
1(2)30cos 0(cos 200001-=
-=πμπ
μa I a I
B
方向垂直纸面向内。
同理，直线DE 中电流在P 点产生的磁感应强度
)2
3
1(202-=
πμa I B
方向与1B 方向相同。
圆弧BCD 中电流在P 点产生的磁感应强度
a
I
a
I
B 6360361202003μμ=?
=
方向与1B 方向相同。
P 点总的磁感应强度
123B B B B =++
=
a
I
a
I a I a I 00
0021
.06)231(2)231(2μμπμπμ=+-+-
方向垂直纸面向内。
7-3、如右图所示，两根导线沿半径方向引到铁环上的A 、B 两点。并在很远处与电源相连。秋环中心的磁感应强度。
解：环中心O 位于直线电流的延长线上，电流的直线部分在该点不产生磁场。 设铁环的优弧长l 1,其中电流强度I 1，劣弧长l 2，电流 7-3图
强度为I 2.因为优弧与劣弧连端的电压相等，可得I 1R 1 = I 2R 2 铁环的截面积和电阻率是一定的，因此电阻与长度成正比，
于是有 I 1l 1 = I 2l 2 （1） 优弧上任一电流元在O 点产生磁感应强度
01
12
d d 4I B l R
μπ=
方向垂直纸面向外。优弧在O 点产生的磁感应强度
1
0011
1122
B d 44l I I l B d l R R μμππ===??
方向垂直于纸面向内。
O 点总的磁感应强度
0110220
121122222
()444I l I l B B B I l I l R R R μμμπππ=-=
-=-
将式（1）代入得 B = 0
7-4、如图所示，一宽为b 的薄金属板，其电流为I
。试求在薄板的平面上距板的一
边为r 的点P 的磁感应强度。
解：
x
dI dB πμ20=
r
b
r b I dx bx I dB B r
b r
+===?
?+ln 2200πμπμ
7-4图 二、高斯定理、安培环路定理
7-5、如图所示，矩形线圈与无限长直导线在同一平面内，无限长直导线中通有电流为I
求：通过矩形线圈的磁通量。
解：
r
I B πμ20=
Bhdr dS B d =?=Φ
a
b
r Ih dr r Ih b a
ln 2200πμπμ==Φ?
7-5图
7-6、如图所示，一边长为
15.0=l m 的立方体如图放置，有一均匀磁场k j i B 5.136++=T 通过立方体所在区
域，计算：（1）通过立方体上阴影面的磁通量；（2）通过立方体六个面的总磁通量。 解：
（1）通过如图所示的立方体上阴影面积的磁通量为
Wb 135.0)15.0()5.136(2=?++=?=Φi k j i S B
（2）立方体的六个面构成闭合曲面，通过立方体的总磁通量必为零，即
0d =?=Φ??s
s B 7-6图
7-7 设图7-7中两导线中的电流1I 、2I 均为8A ，对图示的三条闭合曲线a 、b 、c
，分别写出安培环路定律等式右边电流的代数
和。并讨论：
7-7图
（1）在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B 的量值是否相等？ （2）在闭合曲线c 上各点的B 是否为零？为什么？ 解 对闭合曲线a ，
A I I
i i
82==∑
对闭合曲线A I I
b i
i
8,1==∑
对闭合曲线088,
121=-=-=∑A A I I I
c i
i
（1）在闭合曲线a 、b 、上任一点的磁感应强度B 都是电流1I 在该点产生的磁场度B 1和2I 在该点产生的磁感应强度B 2的矢量和：
12B B B =+
（1）
因此曲线上各点的磁感应强度的量值一般是不相等的。
（2）在闭合曲线c 上，各点的磁感应强度B 也是由式（1）计算的，磁感应强度B 不会为零。
7-8、如图，一同轴电缆内芯半径1R ，外部圆筒结构内半径2R 、外半径3R ，内芯和外筒中的电流均为I
，但电流流向相反，
导体的磁性可不考虑，求以下各处磁感强度（1）1R r
< （2）21R r R << （3）3R r >
解：（1）1R r
< 221
12r R I
r B ππμπ=?
2
1
012R Ir
B πμ=
（2）21R r R << I
r B 022μπ=?
r
I B πμ202=
7-8图
（3）3R r
> 0)(203=-=?I I r B μπ
03=B
7-9、如图所示的空心柱形导体半径分别为1R 和2R ，导体内载有电流为I ，设电流I 均匀分布在导体的截面上，求导体内部
（21R r R <<）各点的磁感应强度。
解：∑?'=?I d 0μl B ,)()
(2122212R R R r I I --=',
r R r R R I
B 2
12212
20)
(2-?-=πμ
-- 图7-9 三、载流导线和带电粒子在磁场中受力 7-10 一电子在T B
4107-?=的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径 3.0r cm =。已知B 垂直于纸面向外，某时刻电子
在A 点，速度V 向上，如图7-10。
7-10图
（1） 试画出这电子运动的轨道； （2） 求这电子速度v 的大小； （3）
求这电子的动能k E 。
解 （1）这电子的运动轨道如图所示。
（2）电子运动的轨道半径
mv
r eB
=
131
2419.10
1.9100.31070106.1-----??????==s m m eBr v
（3）电子的动能
1627312102.6)107.3(101.92
1
21--?=????==
J
mv E k
7-11 一电子在T B
4102-?=的磁场中沿半径为 2.0R cm =的螺旋线运动，螺距为 5.0h cm =，如图7-11所示。
（1）求这电子的速度； （2）磁场B 的方向如何？
7-11图
解 （1）电子的螺旋运动可分解为速率为||v 的沿轴线的匀速直线运动和速率为⊥v v ^
的在垂直于轴线的平面上的匀速圆周运
动。
圆周运动轨道半径eB
m
v R ⊥=
所以m eBR
v =
⊥
圆周运动周期2m
T eB p =
螺距eB m v T v h 22||
||π
==
所以π
m heB
v v 2||||=
电子速度的大小
1
61222
2
231
41922
22
2||.1057.7.)100.2(14
.34)105(101.9102106.14-------⊥
?=?+??????=
+=+=s m s m R h m eB v v v π v 的方向与轴线的夹角j 满足
5.210
0.510214.322
2
||=???===--⊥h R v v tg π?'17680=?
（2）根据电子绕轴线旋转的方向，可判断磁场方向沿轴线，且与v 的方向相反。
7-12、一无限长直导线，通有电流I 1=10mA ，矩形线圈中通有电流I 2=10mA ，如图放置，若d=2㎝，b=8㎝，?=10㎝，求矩
形线圈所受的合力。 (
0μ=4710-?πT.m..A 1-)
左： F= BI 2
=0
μd
I π21 I 2
=11010-?N
右： F=
)
(21
0b d I +πμ I 2
=21110-?N
合力 F= 0.8
1010-?N 7-12图
7-13、通电直导线旁放一通电导体，两者相互垂直（如图所示）。求此导体棒所受安培力的大小和方向。
====?Idl l I F BIdl dF l I B b
a
πμπμ2,,20000a b I I ln 200πμ，
方向向下。 7-13图
7-14 一铁制的螺绕环，其平均周长30cm ，截面积为2
1cm ，在环上均匀绕以300匝导线，当绕组内的电流为0.032A 时，环内磁通量为Wb 6
10
2-?。试计算
（！）环内的磁感应强度； （2）磁场强度；
（3）磁化面电流（即面束缚电流）密度； （4）环内材料的磁导率和相对磁导率； （5）磁芯内的磁化强度。 解：已知Wb A I N cm S cm l
62102,032.0,300,1,30-?=====φ
（1）设环内各点磁感应强度大小相等，则
T T S B 2
4
610210
1102---?=??==φ
（2）磁场强度
11.32.30
.0032.0300--=?==
m A m A l NI H （3）磁化面电流密度
1417
2
0.1059.1.)3210
6.12102(----?=-??=-==m A m A H B
J i s μ
（4）环内材料的磁导率
1412
.1025.6.32
102----?=?==m H m H H B μ
相对磁导率
49610
6.121025.37
4
0=??==--μμμ
（5）磁芯内的磁化强度
14.1059.1-?==m A i J s