万有引力复习专题
知识网络：
主要内容：
一、万有引力定律
1、定律内容：
任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
2、表达式：
,其中G=×10-11N·m2/kg2
3、几点理解和注意
(1) 万有引力定律适用于一切物体，而公式在中学阶段只能直接用于定律适用于可视为质点的两个物体间的相互引力的计算，r指两个质点间的距离。
若两物体是质量均匀分布的球体，r就是两个球心间的距离。
(2)天体的质量是巨大的，所以天体之间的万有引力很大，因而万有引力定律是研究天体运动的基本定律，一般物体质量较小，尤其微观粒子其质量更小，因而一般情况下万有引力都是忽略不计。
4、万有引力常数的测定
在牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国的卡文迪许巧妙地利用扭秤装置，第一次在实验室里比较准确地测出了万有引力常数的数值。
5、万有引力与重力：
万有引力可以分为两个分力：重力和跟随地球自转所需的向心力。重力的方向在赤道和两极处指向地心，在其它方向并不指向地心。
6、地球上物体重力变化的原因
（1）自转的影响
当物体位于纬度Φ处时，万有引力为F=G，向心力为F n=mω2RcosΦ，则重力：mg=。
当物体位于赤道时，Φ=0°，mg=F－F n=G－mω2R；
当物体位于两极时，Φ=90°，mg=F=G。
可见，物体的重力产生于地球对物体的引力，但在一般情况下，重力不等于万有引力，方向不指向地心，由于地球自转的影响，从赤道到两极，物体的重力随纬度的增大而增大。
（2）地面到地心的距离R和地球密度ρ的影响
由于地球是椭球体，质量分布也不均匀，根据F=G=πGRmρ可知，随着
R和ρ的变化，重力也会发生变化。物体的重力从地面到高空随高度的增大而逐渐减小。
说明：
由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力变化为千分之五；地面到地心的距离R每增加一千米，重力减少不到万分之三。所以，在近似计算中，mg≈F。
7、万有引力定律的应用
（1）计算地面上空h处的重力加速度
（2）计算中心天体的质量M和密度ρ
由，可得：
当r=R，即近地卫星绕中心天体运行时，。
二、人造卫星、宇宙航行
1、人造地球卫星的有关规律
人造地球卫星和星体作环绕运动（视为圆周运动）时，万有引力提供向心力，即：
。
2、人造地球卫星的机械能
由可得：卫星的动能
卫星的机械能E=E K+E p，其中E p为引力势能。
由上面公式可知卫星离地面越高，其速率越小，周期越大，角速度越小，动能越小，势能越大。
3、宇宙速度
第一宇宙速度——环绕速度s。
由。
这个速度是人造地球卫星发射的最小速度，也是人造地球卫星环绕地球运转的最大速度。
第二宇宙速度——脱离速度 km/s。
第三宇宙速度——逃逸速度 km/s。
4、人造地球卫星中的超重和失重
在卫星发射升空的加速运动过程中（背离地球加速）或返回地面的减速运动过程中（面向地球减速），人造卫星以及其中的人和物体都处于超重状态。人造卫星以及其中的人和物体在太空中做圆周运动时处于失重状态。
5、同步地球卫星的特点
同步地球卫星的主要特征是与地面相对静止，卫星这个特征就决定了：
所有同步卫星必须在赤道上空，其轨道平面必然和赤道平面重合；
所有同步卫星运转周期与地球自转周期相同；
所有同步卫星高度必为定值（大约×107米）；
所有同步卫星以相同的速率绕地球运行，即v一定。
解题指导：
有关万有引力的题目，通常有两个思路：
（1）地球表面处物体的重力与万有引力近似相等
由上式推出是常用的一个结论
（2）天体运动的向心力由万有引力提供，即：
典型例题：
例1、假如一个作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作圆周运动，则：（）
A、根据公式，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍。
B、根据公式，可知卫星所需的向心力将减小到原来的。
C、根据公式，可知地球提供的向心力将减小到原来的。
D、根据上述(B)和(C)中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的
。
解析：
设人造地球卫星原来的圆周运动半径为r1，所受到的地球引力为F1；当人造地球卫星的轨道半径增为r2=2r1时所受到的地球引力为F2，则：
由此可知：选项(C)是正确的。“卫星所需的向心力”与“地球提供的向心力”应当是一致的。既然(C)是正确的，那么与其结果不同的(B) 显然是不正确的。
又人造地球卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则：
将r2=2r1代入可得：
由此可知：选项(D)是正确的。既然(D)是正确的，那么其结果不同的(A)显然是不正确的。
说明：
解答这个问题不应靠想象和猜测，而应通过踏实地推导才能正确地选出答案。在解答过程时需要认真思考的是各公式使用的条件:在使用分析问题时，不能只看到r与v的关系，还需考虑因r的变化而引起的万有引力F的变化。在使用
分析问题时，不能只看到r与向心力的关系，还需考虑万有引力是否变化线速度是否变化在推导的顺序上，可选择变量较少且不易出差错的选项入手,由于公
式中，G、M、m都是不变的量，因此推导F和r的关系不易出错。
例2、可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道：（）
A、与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆
B、与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C、与赤道表面的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D、与赤道表面的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
解析：
只有参与地球自转的物体的运行轨道才可能与某一纬度线(非赤道)是共面同心圆，而人造地球卫星的圆轨道必须以地心为圆心，所以选项A错误。
若发射一颗极地卫星，其圆轨道必永远与赤道平面垂直，而某一经度线所决定的圆是随地球自转而转动的，所以选项B错误。
不论发射的是否为同步卫星，只要其圆轨道与赤道表面的赤道线是共面同心圆，其圆心都为地心，都是可以实现的。这其中只有同步卫星(距地表高度为36000km)是相对地球表面静止的，其它高度上的卫星相对地球表面是运动的。所以选项C、D 正确。
说明：
本题是一道关于卫星轨道的问题，在这个问题上容易造成概念模糊。卫星的轨道不论是同步轨道、极地轨道还是任意轨道，其圆心必为地心，只有这样万有引力作为向心力才能时刻指向圆心。
例3、人造卫星绕地球做匀速圆周运动，若轨道距地面的高度等于地球半径倍，
地球半径为R0=×106m，地面附近的重力加速度，求这颗人造地球卫星的周期是多少？
解析：
人造卫星绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，是由地球对卫星的万有引力提供的，则：
∴
在地面附近，物体所受重力近似等于万有引力
例4、宇航员站在一行星表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到行星表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度
增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面内，该行星的半径为R，万有引力常数为G，求该行星的质量。
解析：
设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有：
x2+h2=L2 ①
根据平抛运动规律，当初速度增大到2倍，某水平射程也增大到2x，可得：(2x)2+h2=(L)2 ②
由①、②解得
设该行星上的重力加速度为g，由平抛运动规律，得：
③
由万有引力定律与牛顿第二定律，得：
④
联立以上各式解得：
说明：
本题是平抛运动的变形题，只是把物体由地球移到了星球上，关键在于平抛运动的两个分运动特点要掌握，并要注意到两分运动位移关系，再注意到星球附近物体所受重力可近似为星球对物体的万有引力，该题即可求解。
巩固练习：
1、一名宇航员来到某星上，此星的密度为地球的一半，半径也为地球的一半，则他受到的“重力”为在地球上所受重力的：（）
A、1/4
B、1/2
C、2倍
D、4倍
2、地球绕太阳公转的周期跟月球绕地球公转的周期之比是p，地球绕太阳公转的轨道半径跟月球绕地球公转轨道半径之比是q，则太阳跟地球的质量之比M日:M地为：（）
A、q3/p2
B、p2q3
C、p3/q2
D、无法确定
3、某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测量卫星的轨道半径为r1，
后来变为r2，r2＜r1。以E K1、E K2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、T2表示卫星在这两上轨道上绕地运动的周期，则：（）
A、E K2＜E K1，T2＜T1
B、E K2＜E K1，T2＞T1
C、E K2＞E K1，T2＜T1
D、E K2＞E K1，T2＞T1
4、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点(如图)，则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的：（）
A、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度
D、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度
5、一个球形天体的自转周期为T(s)，在它两极处用弹簧秤称得某物体的重力为G(N)，在赤道处称得该物体的重力为(N)。则该天体的平均密度为__________。
6、在一个半径为R的星球表面，以速度v竖直向上抛出一个小球，经过时间t 小球落回星球表面。若在这个星球表面发射一个绕它做圆周运动的人造卫星，人造卫星的最小周期是_________。
7、2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内。若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R、地球自转周期T、地面表面重力加速度g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。
参考答案：
1、A
2、A
3、C
4、BD
5、
6、
7、
解析：
设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有
①
式中G为万有引力恒量.
因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，
故有②因
得 GM=gR2 ③设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图所示，
由余弦定理得④
所求时间为⑤由式①～⑤得
⑥