一、等差数列选择题
1．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且
713n n S n T n -=，则5
5
a b =（ ） A ．
34
15
B ．
2310
C ．
317
D ．
62
27
2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-
B ．8
C ．12
D ．14
3．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤
B ．6斤
C ．9斤
D ．12斤
4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足
122527
n n
a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）
A ．6-
B ．2-
C ．1-
D ．0
5．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4
D ．-4
6．设数列{}n a 的前n 项和2
1n S n =+. 则8a 的值为（ ）．
A ．65
B ．16
C ．15
D ．14
7．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231
n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）
A ．
13
15
B ．
2335
C ．
1117 D ．
49
8．已知数列{}n a 的前n 项和2
21n S n n =+-，则13525a a a a +++
+=（ ）
A ．350
B ．351
C ．674
D ．675
9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161
B ．155
C ．141
D ．139
10．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4S
B ．5S
C ． 6S
D ． 7S
11．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．24
B ．39
C ．104
D ．52
12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121
B ．161
C ．141
D ．151
13．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列
{}n a ，已知11a =，2
2a
=，且满足()211+-=+-n
n n a a （n *∈N ），则该医院30天入
院治疗流感的共有（ ）人
A ．225
B ．255
C ．365
D ．465
14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103
B ．107
C ．109
D ．105
15．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25
B ．11
C ．10
D ．9
16．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）
A ．7
B ．9
C ．21
D ．42
17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（ ） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S > D ．70S <，且80S <
18．若数列{}n a 满足121
()2
n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020
D ．2021
19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51
B ．57
C ．54
D ．72
20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921
a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21
B ．20
C ．19
D ．19或20
二、多选题
21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组
成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =
B ．733S =
C ．135********a a a a a +++???+=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a ++??????+=22．题目文件丢失！
23．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <
B ．10a <
C ．当5n =时n S 最小
D ．0n S >时n 的最小值为8
24．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）
A ．若100S =，则50a >，60a <；
B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；
C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；
D ．若89S S <，则78S S <.
25．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >
D ．数列
{}n
a 也是等差数列
26．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =
C ．135********a a a a a +++
+= D ．222
2123202020202021a a a a a a ++++=
27．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-
B ．310n
a n
C ．2
28n S n n =- D ．2
4n S n n =-
28．数列{}n a 满足11,121
n
n n a a a a +=
=+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ??
????
是等差数列
B ．数列1n a ??????
的前n 项和2
n S n =
C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-
D ．数列{}n a 为递减数列
29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22
B ．d =－2
C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值
D ．当S n >0时，n 的最大值为21
30．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <
D ．613S S =
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一、等差数列选择题 1．D 【分析】
利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】
由713n n S n T n
-=， ()()1955199195519992791622923927
2
a a a a a a S
b b b b b b T ++?-======++?. 故选：D 2．D 【分析】
利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】
147446=32a a a a a ++=∴=，则()
177477142
a a S a +=
== 故选：D 3．C 【分析】
根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】
由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，
根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==?=， 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】
本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 4．A 【分析】 转化条件为
122527
n n a a
n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.
【详解】 因为122527
n n a a n n +-=--，所以122527n n
a a n n +-
=--， 又
1127a =--，所以数列27n a n ??
??-??是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以
()1212327
n
a n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得
3722
n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()
()()3123min
13316p q S S a a S S =-=+=?-+--?=-.
故选：A. 【点睛】
解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 5．A 【详解】 由()()184588848162
2
2
a a a a S +?+??====.故选A.
6．C 【分析】
利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】
由2
1n S n =+得，12a =，()2
111n S n -=-+，
所以()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-，
所以2,121,2
n n a n n =?=?-≥?，故828115a =?-=.
故选：C. 【点睛】
本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 7．C 【分析】
利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】
2121S T ＝12112121()21()22
a a
b b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝211
3111??+＝1117.
故选C 8．A 【分析】
先利用公式11,1
,2
n n n S n a S S n -=?=?-≥?求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出
13525a a a a +++
+的值.
【详解】
当1n =时，2
1112112a S ==+?-=；
当2n ≥时，()
()()2
2
121121121n n n a S S n n n n n -??=-=+---+--=+??
.
12a =不适合上式，
2,121,2n n a n n =?∴=?+≥?
.
因此，()()
3251352512127512235022
a a a a a a ?+?+++++=+=+=；
故选：A. 【点睛】
易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?，但需要验证
1a 是否满足()2n a n ≥.
9．B 【分析】
画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】
所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去
前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：
由图可得：3612107y x y -=??-=? ，解得155
48x y =??=?
.
故选：B. 10．B 【分析】
根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值.
【详解】
依题意55647560
0000
a a a a a a a d >?>??
?
?+=+
，所以015n a n >?≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 11．D 【分析】
根据等差数列的性质计算求解． 【详解】
由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=?+?=+==，
74a =，∴11313713()
13134522
a a S a +=
==?=． 故选：D ． 12．B 【分析】
由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】
因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即
127a =
所以231223161S a == 故选：B 13．B 【分析】
直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和
解：当n 为奇数时，2n n a a +=， 当n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以13291a a a ==???==，
2430,,,a a a ???是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以30132924301514
()()1515222552
S a a a a a a ?=++???++++???+=+?+?=， 故选：B 14．B 【分析】
根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】
根据题意可知正整数能被21整除余2，
21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=?=.
故选：B. 15．D 【分析】
利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，
故选：D ． 16．C 【分析】
利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则()
1212121632
a a S +=
=， 所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =， 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a +++
+=++++++
111111111122277321a a a a a =+++==?=，
故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，
()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a +++
+=++++++=即可求解.
【分析】
根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】
依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +?=
>
()()1881884
02
a a S a a +?=
=+<
故选：A . 18．B 【分析】
根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121
()2n n a a n N *++=
∈，则11()2
n n a a n N *+=+∈， 即11
2
n n a a +-=
， 所以数列{}n a 是以1为首项，
1
2
为公差的等差数列， 所以()()11111122
n n a a n d n +=+-=+-?=， 所以2021a =20211
10112
+=. 故选：B 19．B 【分析】
根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】
317102a a a += 1039a ∴=，即103a =
()11910
19191921935722
a a a S +?∴=
==?= 故选：B 20．B 【分析】 由题得出1392
a d =-
，则2202n d
S n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.
设等差数列{}n a 的公差为d ， 由
111019
21
a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392
a d =-
，10a <，0d ∴>，
()211+
2022
n n n d
S na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.
故选：B. 【点睛】
方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列
()2111+
222n n n d d S na d n a n -?
?==+- ??
?是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.
二、多选题
21．ABCD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】
对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；
对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++???+=.故1352019a a a a +++???+是斐波那契数列中的第2020项.
对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2
121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-
2222123201920192020a a a a a a +++??????+=，故D 正确；
故选：ABCD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.
23．BD 【分析】
由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】
由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；
753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；
()()()22
171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -??
--??=+=-+==--?? ???????
，
当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.
n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.
故选：BD. 24．ABD 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】
对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()
02
a a S +=
=，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，
所以561112894()0a a a a a a ++???++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +?=
==>，116891616()16()
022
a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为1158
15815()15215022
a a a S a +?=
==>，则80a >， 116891616()16()022
a a a a S ++=
==，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；
对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】
解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 25．AB 【分析】
根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】
依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，
1149249,2
a d a d =-=-
. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，149
2
a d =-
，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ?
?=+-=-
+-=- ??
?，令0n a ≥得5151
0,22n n -
≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列
{}n
a 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.
故选：AB 【点睛】
等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解. 26．BCD 【分析】
根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】
对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；
对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得
135********a a a a a +++???+=，故C 正确；
对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2
121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222
123202*********a a a a a a +++???+=，故D 正确．
故选：BCD 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 27．AD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得11
45
460a d a d +=??
+=?，进而得13,2a d =-=，故
25n a n =-，24n S n n =-.
【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==
所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：11
45
460a d a d +=??+=?，
解方程组得：13,2a d =-=，
所以()31225n a n n =-+-?=-，2
4n S n n =-.
故选：AD. 28．ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +=
=+得到
1112n n a a +-=，从而得到1n a ??
????
是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A ，因为121
n
n n a a a +=
+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n n
a a +-= 所以1n a ??
????
是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.
对选项B ，由A 知：
1121
21n
n n a
数列1n a ???
?
??
的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为
1
21n n a =-，所以121
n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为1
21
n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题. 29．BC 【分析】
分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【详解】
由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①
由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2
739a a a =，即()()()2
111628a d a d a d +=++，化简得
110a d =-，②
由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；
由()()2
2121441201221224n S n n n n n n ??=+-?-=-=--+ ??? *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；
由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错； 故选：BC 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 30．AD 【分析】
由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 【详解】
解：1385a a S +=，111110875108,90,02
d
a a d a a d a ?++=+
+==，故正确A.
由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.
9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.
61656+
5415392
d
S a d d d ?==-+=-， 131131213+
11778392
d
S a d d d ?==-+=-，故D 正确. 故选：AD 【点睛】
考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.