20.3 菱形的判定A卷
一、选择题
1．下列四边形中不一定为菱形的是（）
A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC；
⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm
二、填空题
4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，?添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）
图1 图2
5．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）
6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD： ∠ABC= 1：?2，?则BD=?_____，?菱形的面积是______．
7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．
三、解答题
8．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？?说明理由．
四、思考题
9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．
参考答案
一、1．A 点拨：本题用排除法作答．
2．D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．
3．C 点拨：如图所示，若∠ABC=60°，则△ABC 为等边三角形，? 所以AC=AB=
14×32=8（cm ），AO=12
AC=4cm ． 因为AC⊥BD，
在Rt△AOB 中，由勾股定理，得OB=222284AB OA -=-=43（cm ）
，? 所以BD=2OB=83cm ．
二、4．AB=BC 点拨：还可添加AC⊥BD 或∠ABD=∠CBD 等． 5．点D 在∠BAC 的平分线上（或AE=AF ）
6．12cm ；723cm 2
点拨：如图所示，过D 作DE⊥AB 于E ， 因为AD∥BC，?所以∠BAD+∠ABC=180°． 又因为∠BAD：∠ABC=1：2，所以∠BAD=60°，
因为AB=AD ，所以△ABD 是等边三角形，所以BD=AD=12cm ．所以AE=6cm ． 在Rt△AED 中，由勾股定理，得AE 2
+ED 2
=AD 2
，62
+ED 2
=122
，所以ED 2
=108，
所以3，所以S 菱形ABCD 33（cm 2
）．
7．4；43点拨：如图所示，因为DE垂直平分AB，
又因为DA=AB，所以DA=DB=4．所以△ABD是等边三角形，所以∠BAD=60°，由已知可得AE=2．在Rt△AED 中，?AE2+DE2=AD2，即22+DE2=42，所以DE2=12，
所以DE=23，因为1
2
AC·BD=AB·DE，即
1
2
AC·4=4×23，所以AC=43．
三、8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，
所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．
点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．
四、9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下：
因为PD∥OC，PC∥OD，?所以四边形PCOD是平行四边形．
又因为四边形ABCD是矩形，所以OC=OD，
所以平行四边形PCOD是菱形．
D A
C
F
H
E
B
K
D A
C
F H
G E B
A
C
F
H G
E
B
20.3 菱形的判B 卷 一、七彩题
1．（一题多解题）如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC 的平分线BD?交AC 于点D ，CH⊥AB 于H ，且交BD 于点F ，DE⊥AB 于E ，四边形CDEF 是菱形吗？请说明理由．
二、知识交叉题
2．（科内交叉题）如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，过点D?作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E ，F ，再过E ，F 作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G ，H ，且EG ，?FH
相交于点K ，试说明EF 和DK 之间的关系．
三、实际应用题
3．菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用．如图所示是一块长30cm ，宽20cm 的长方形的瓷砖，E ，F ，G ，H 分别是边BC ，CD ，DA ，?AB 的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色．现有一面长4.2m ，宽2.8m?的墙壁准备贴这种瓷砖，试问：
（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？
（2）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少 个面积相等的菱形？?其中有花纹的菱形有多少个？
四、经典中考题
4．（宜宾）已知：如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．（1）试说明：AE=AF；
（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，试说明：△AEF为等边三角形．
五、探究学习篇
1．（结论开放题）如图所示，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且CE=CF．请你仔细观察图，除了菱形自身已经具备的性质和题目中的条件外，请你选取一个角度提出一个问题，并加以说明．
2．阅读下列材料，完成后面的问题：如图，在ABCD中，∠BAD的平分线AE与BC相交于点E，∠ABC的平分线BF与AD相交于点F，AE?与BF?相交于点O，?求证：?四边形ABEF是菱形．
证明：①因为四边形ABCD是平行四边形；②所以AD∥BC；③所以∠ABE+∠BAF= 180°；
④因为AE，BF分别平分∠BA F，∠ABE；⑤所以∠1=∠2=1
2
∠BAF，∠3=∠4=
1
2
∠ABE； ⑥
所以∠1+∠3=1
2
（∠ABE+∠BAF）=90°；⑦所以∠AOB=90°；⑧所以AE⊥BF； ⑨所以四
边形ABEF是菱形，问：
（1）上述证明是否正确？
答：___________；
（2）如有错误，在第______步推理错误，应在第_____步后添加如下证明过程：
参考答案
一、1．解法一：四边形CDEF是菱形．
理由：如图所示，因为∠1=∠2，∠ACB=90°，DE⊥AB，
又BD=?BD，?所以△CBD≌△EBD，所以CD=DE，
因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，?
所以∠3=∠4．所以CF=CD．所以CF=DE．
因为CH⊥AB，DE⊥AB，所以CH∥DE．所以CF//DE．?
所以四边形CDEF是平行四边形．
又因为CF=CD，所以□CDEF是菱形．
解法二：四边形CDEF是菱形．理由：如答图20-3-4所示，连结CE交DF于点O．因为∠1=∠2，∠BCD=∠BED=90°，BD=BD，所以△BCD≌△BED．所以BC=BE．
又因为∠1=∠2，所以BD⊥CE，且OC=OE．
因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，
所以∠3= ∠4．所以CF=CD．
又因为CE⊥DF，所以OF=OD．所以四边形CDEF是平行四边形，?
又因为DF⊥CE，所以CDEF是菱形．
点拨：解法一利用了菱形的定义，?解法二利用了“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的方法，本题除以上两种解法外，还可利用“四条边都相等的四边形是菱形”的方法解决，请同学们再进行探讨．
二、2．解：EF与DK互相垂直平分．理由：因为DE⊥A B，FH⊥AB，所以DE∥FH．?
因为DF⊥AC，EG⊥AC，所以DF∥EG．所以四边形DEKF是平行四边形．
因为AB=AC，所以∠B=∠C．又因为BD=CD，∠BED=∠CFD=90°，
所以△BDE≌△CDF，所以DE=DF．所以DEKF是菱形，?
所以EF与DK互相垂直平分．
点拨：要说明EF与DK互相垂直平分，只要说明四边形DEKF是菱形，?要说明四边形DEKF是菱形，可先说明四边形DEKF是平行四边形，再说明一组邻边相等即可．
三、3．解：（1）因为墙壁的总面积为 4.2×2.8=11.76（m2），每块瓷砖的面积为
0.3×0.2=0.06（m2），所以最少需要贴这种瓷砖11.76÷0.06=196（块）．
（2）因为每相邻4块瓷砖构成一个有花纹的菱形（如图），
在长4.2m，宽2.8m的墙壁上贴长30cm，宽20cm的长方形瓷砖，
可贴4.2÷0.3=14（列），2.8÷0.2=14（?行）．
因此构成的有花纹的菱形共13列13行，所以有花纹的菱形共13×13=169（个）．同时，白色菱形的个数与瓷砖的块数相同，故有白色菱形196个．
从而面积相等的菱形最多有169+196=365（个）．
四、4．解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD，∠B=∠D，
又因为BE=DF，?所以△ABE≌△ADF，所以AE=AF．（2）连结AC．
因为AB=BC，∠B=60°，所以△ABC 是等边三角形，因为E是BC的中点，
所以AE⊥BC，所以∠BAE=90°-60°=30°，
同理∠DAF=30°．因为∠BAD=180°-∠B=120°，
所以∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60°．又因为AE=AF，?
所以△AEF是等边三角形．