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带Peano型余项的Taylor公式及其应用技巧定稿

本科生毕业论文（设计）系（院）数学与信息科学学院专业数学与应用数学

论文题目带Peano型余项的Taylor公式

及其应用技巧

学生姓名周玲娅

指导教师罗世尧（副教授）

（姓名及职称）

班级2009级本科1班

学号1129S001

完成日期：2013 年4 月

带Peano 型余项的Taylor 公式及其应用技巧

周玲娅

数信学院数学与应用数学 1129S001

【摘要】带Peano 型余项的Taylor 公式，是Taylor 公式各种形式中所需要的条件较少，同时形式比较简单的一种类型。尽管该种类型的余项只是给出了定性描述，不能进行定量的计算，但它在处理某些定性问题时极为简便。因此，本文将对于数学分析教材当中的相关内容加以整理，介绍带Peano 型余项的泰勒公式及其证明，并举例说明其在求极限、估计无穷小（大）量的阶、判定敛散性、求高阶导数在某些点的数值、判断函数的极值和拐点方面的应用。【关键词】 Peano 型余项 Taylor 定理证明应用技巧

0 引言

Taylor 公式是高等数学中一个非常重要的内容，它能够将一些复杂函数近似地

表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的重要工具。

我们常见的Taylor 公式有两种形式的余项：带Lagrange 型余项和带Peano 型余项。在我们的教材中一般都会着重讲解带Lagrange 型余项的Taylor 公式，而对带Peano 型余项的Taylor 公式的介绍只是一带而过，导致不少初学者认为其作用根本不大，因此对其不以为然。实际上，虽然带Peano 型的余项只给出了定性描述，没有给出定量计算，但其所要求的条件非常宽松，形式也十分简单，并且其在求极限、估计无穷小（大）量的阶、判定敛散性、求高阶导数在某些点的数值、判断函数的极值和拐点方面起着重要作用。所以，本文的目的就是希望通过一些范例来归纳Taylor 公式在解题中的应用，以便更好地运用带Peano 型余项的Taylor 公式解题。

1介绍带Peano 型余项的Taylor 公式及其证明

定理[] 3 1 设函数)(x f 在点0x 处具有n 阶导数，则有

+++

+=...)-(!

()-)(()()(200''00'

0x x x f x x x f x f x f

[]n

n n x x o x x n x f )-()-(!

)

(000)(+ （1）

证明记 =)(x P n n x x n x f x x x f x x x f x f )-(!

)()-(!2)()-)(()(00)(2

00''00'

0++++

)(-)()(x P x f x R =

由于)(x f 与) (x P 在点0x 处都n 阶可导，从而得出) (x R 在点0x 处n 阶可导，

进而在0x 的邻域内1-n 阶可导，并且还有

0)()()(R )(0)(0''0'0=====x R x R x x R n 因为)() 1 - (x R n 在点0x 处连续，所以 1

-,,1,00

)(lim )(0

n k x R k x x ==→

为了证得（1）式，只需证0)-()

(lim 0

0=→n

x x x x x R

根据以上分析，可知该极限是

的未定式，我们可以连续运用1-n 次洛必达，得 )-( ! )

(lim

)-( )(lim )-()(lim 0) 1 - ( 1 -n 0'n 0000x x n x R x x n x R x x x R n x x x x x x →→→=== 注意到： 0)(0) 1 - (=x R n ，根据导数定义可得

0)(-)(-)(lim -)

(lim 0) (0

0) 1 - () 1 - (0) 1 - (00===→→x R x x x R x R x x x R n n n x x n x x

因此 0)-()

(lim

00=→n x x x x x R ，定理得证。

注 1 该定理说明当0x x →用Taylor 多项式)(x P 来近似替代)(x f 时，其误差 )(x R 是比n 0)-(x x 高阶的无穷小。其中的[]n x x o x R )-()(0= 叫作peano 型余项。 2 相较于带Lagrange 型余项的Taylor 公式，该定理对)(x f 的要求比较少：只需要点0x 处n 阶可导，不需1+n 阶导数存在，也不要求在0x 的邻域内存在n 阶的连续导数，由此我们可以看出，带Peano 型余项的Taylor 公式的应用范围比较广。

2 带Peano 型余项的Taylor 公式的应用

2.1 带Peano 型余项的Taylor 公式在求极限方面的应用例1 求x

x x x 2

--11lim 0

++→

解：首先将分子中的的x +1和x -1分别按照带Peano 余项型的Taylor 公式展开： )( 8

-211122x o x x x ++

)( 8

-21-

1-122x o x x x += 原式2

222

202-)( 81-21-1)( 81-211lim x x o x x x o x x x ++++=→

))

( 41(-lim 220x

x o x +=→ 4

注在看到这道题时，大部分同学可能会忽视用该种方法，反而会发现可以将题目中的分子拆分成) 1--1() 1-1(x x ++，进而再分别用等价无穷小将其替换： x x 21~

1-1+ ，x x 2

1-~1--1 这样就把分子消掉，得出错误答案0

因为在这要特别注意一点，关于等价替换的条件应该在乘与除这两种运算法则中进行，而不能在加与减中进行。然而我们应用带Peano 型余项的Taylor 公式可以将分子的两项都展开至二阶，得到含有2x 的项，从而求出答案，大大的简化了解题过程。

例2 求极限x

e x x x x x 222

tan )-(cos 1-121lim 2

++→ 解：)(! 2)

1-21(21211)1(14422

x o x x x x +++=+=+

)(2

1 )(!

2-1cos 22

2x o x e x o x

x x ++=+=，

又当0→x 时，22~tan x x ，因而

原极限?

????+??????+++=→)(2-1-21-1)(81-211-121lim 222244220x o x x x x o x x x x 8

1 -)(-)

(81lim 4444

0=++=→x o x x o x x

注大部分同学在看到这道题时，会发现它是

型（当0→x 时），第一反应就是使用L ，Hospital 法则，但是在化简的过程中，我们会发现越化越繁，所以同学们应适当的考虑用带Peano 型余项的Taylor 公式进行求极限。

例 3 求极限30)

(1 -sin lim x

x x x e x x +→ 解：由于 )( ! 212

2x o x x e x

+=，)( !

3-sin 33x o x x x += 从而 )( 3

sin 33

x o x x x x e x

+++=，所以 3233

030--)( 3lim )1( -sin lim x

x x x o x x x x x x x e x x

x +++=+→→ 3

)( 31lim 330=??????+=→x x o x 例 4 求极限)cot -1

(1lim 0x x

x x → 解：x

x x

x x x x x x sin cos -sin lim )cot -1(1lim 20x 0→→= []

)( )( !21-1-)( !31-lim 222330x o x x x o x x x o x x x +??????+?????

?+=→ )

()()!31-!21(

lim 3333

0x o x x o x x ++=→

31)( 1)( 31lim 3

3330=+

+=→x x o x x o x 例 5 设0>h ，函数f 在) ; (h a U 内具有2+n 阶连续导数，且f a f n ,0)()2(≠+在

) ; (h a U 内的泰勒公式为

10 !

)1()(! )( )()()(1

)1()('

<<++++++=+++θθ，n n n n h n h a f h n a f h a f a f h a f

证明：2

lim 0

→n h θ 证明由于函数f 在) ; (h a U 内具有2+n 阶连续导数，故)(x f 在) ; (h a U 内存在

2+n 阶的带Peano 型余项的Taylor 公式为：

)(!

)2()(! )1()(! )( )()()(22

)2(1)1()('

+++++++++++++=+n n n n n n n h o h n a f h n a f h n a f h a f a f h a f

将此式与题中的泰勒公式两边分别相减，可得：

，

)(! )2()(! )1()(-)(22

)2(1)1()1(++++++++=++n n n n n n h o h n a f h n a f h a f θ 两边同除以2+n h ，得：

2)2()1()1(

)(! )2()( ! )1()(-)(+++++++=++n n n n n h h o n a f h n a f h a f θ，进而得出： )

(! )2()()(-)(! )1(22)2()1()1(+++++++=+?+n n n n n h

h o n a f h a f h a f n θθθ

，

令0→h ，两边同时取极限，得：

，

)2()

()(!

)1(lim )2()

2(0

+=+++→n a f a f

n n n h θ

所以有2

lim 0

+=→n h θ 综上，我们可以总结出用带Peano 型余项的Taylor 公式求极限的大概步骤：（1）检验所给的函数表达式当中的各个函数是否满足Taylor 公式所要求的条件；（2）用带Peano 型余项的Taylor 公式在估计分母无穷小（大）量的阶；

（3）接着将分子中各函数写成带Peano 型余项的Taylor 公式（注意：展开的阶数依分母的阶数为准）；

（4）最后，将展开式代入原式，求取极限。

2.2 带Peano 型余项的Taylor 公式在估计无穷小（大）量的阶方面的应用

怎样去估计无穷小（大）量的阶？我们可以用估猜法来估计出简单函数的阶数，但是对于复杂函数就不知该如何入手了，若用带Peano 型余项的Taylor 公式就能迎刃而解了。

例6 问当0→x 时，2

cos ln 2x x +是x 的几阶无穷小？

解：首先将x cos ln 在0=x 点的附近展开至四阶，即4x 项

??????????????+++=??????++=)(! 4! 2-1ln )(! 4! 2-1ln cos ln 442442x o x x x o x x x ?

??? ????????++??????+??????++=)(!

2- )(! 2-21-)(! 4! 2-222

442x o x o x o x x o x x )(12

-2-44

2x o x x += 由题意，我们可得：

)(12-2)(12-2-2cos ln 4424

422x o x x x o x x x x +=++=+

故当0→x 时，2

cos ln 2

x x +是4阶无穷小量。

例7 当0→x 时，函数) 1-cos -2 () sin 1 ( ln 32x x y α++=是多少阶无穷小，其中α是参数。

解： ))sin (()sin (2

-sin )sin 1(ln 222222x o x x x +=+

)()!

3-(21-)!3-(44

323x o x x x x +=

[]

)

()!

4-! 2(91-)! 4-! 2(311)cos -1(1cos -242

42423

x o x x x x x x ++=+=

)(24

1-611442x o x x ++

) 1-cos -2 () sin 1 ( ln 32x x y α++=∴ )( )24

65(- )61(44

2x o x x +++

=αα 故当-6≠α ，y 是2阶无穷小量；当6=α时，y 是4阶无穷小量。 2.3 带Peano 型余项的Taylor 公式在判定级数敛散性方面的应用定理[]

2 两正项级数 1

∑∞=n n u 与∑∞

n n v ，若

l v u n

n n =∞→lim （通常我们会取)01

>=p n v p n （）则

⑴ 当+∞<

∑∞=n n u 与∑∞

n n v 同时收敛或同时发散；

⑵ 当0=l 且级数∑∞=1

n n v 收敛时，级数 1

∑∞

=n n u 也收敛；

⑶ 当+∞=l 且级数∑∞=1

n n v 发散时，级数 1

∑∞

=n n u 也发散。

从我们平时做该类型的题目的经验，可以发现如果盲目去寻找，是很难找到恰当的∑∞

=1n n v 或∑

∞

=>1

)0(1

n p p n 满足以上条件，所以现在所要面临的问题就是如何寻找∑∞

n n

或者∑

∞

=>1)0(1

n p

p n

？因而，如何寻找到恰当的p 值使得+∞<

我们通过研究级数通项的无穷小（大）量的阶，面对这种类型的问题就可以迎刃而解了。

例8 判断级数∑∞

=1n n u 的收敛性，其中1-1

- 21

2ln

n n n u n += 解当∞→n 时，我们可以看到 1-) 1

-22

1 ( ln 1-1 - 212ln

n n n n n u n +=+=

1-)1()1-22(31)1

-22(21-1-22

332??????++=n o n n n n

()1-2(3322

o n n ++=

故： 12

()1-2(332lim 1lim 2

32=++=∞→∞→n n o n n n u n n n

例9 讨论级数 )1--1-2(1

n n n n u n n p n +=∑∑∞=∞

=的收敛性。

解由题意，得：

-1-n 11-2 ( 1--1-2n n n n n +

???

?????+?+?+?+?+=)]1(1! 2)1-21(21121-1 [-)]1(1! 2)1-21(211211[-22222n o n n n o n n n

)(41)1(14123

-2

323n o n n

o n +=+?=

由此，可得

41)

(41lim lim 2

3 - 23

- p 2

- 23 - =+=∞→∞→p p n p n n n n o n n u ，故该级数的通项是23-p 阶无穷小量，结合-p 级数的收敛性，得：当1-23>p 时，即2

-23≤p 时，即2

≥p ，级数发散。

例10 讨论?+∞

++1

)2-1-1(dx x x x 的收敛性。

解：???

?++=++2-1-1112-1-1x x x x x x

将x 11+

与x

-1进行Taylor 公式的展开

)1(1! 2)

1-21(212111122x

o x x x +?++=+

)1(1! 2)

1-21(2121-11-122x o x x x +?+=

则：

x x x 2-1-1++

????

??????+?+++?++=2-)1

(1! 2)1-21(2121-1)1(1! 2)1-21(212112222x o x x x o x x x

)1(41-2323x o x += 综上可得：

141

-2-1-1lim

3=+++∞

→x x

x x x ，由?+∞12

341dx x 收敛，通过比较判别法可知该广义积分收敛。

2.4 带Peano 型余项的Taylor 公式在求高阶导数在某些点的数值方面的应用

若所给的)(x f 的Taylor 公式已知，其通项中的项n x x )-(0的系数是)(!

(x f n n ，

我们就可以反过来求出高阶导数的数值，没有必要再去依此求导。例11 求函数x e x x f 3)(=在2=x 处的高阶导数)2(99f 解：设2+=u x ，那么：

23232)(2)()()(e e u e u u g x f u u ?+=+==+ )0()2() () (n n g f =

u e 在0=u 处的Taylor 公式为：

)( !

99! 9819999

98u o u u u e u

+++

++= 进而：

))( !

99! 981)(8126()(9999

982

u o u u u u u u e u g ++++++++=

在)(u g 的Taylor 展开式中含有99u 的项为992)!

998! 9812! 976! 961(u e +++，所以

998! 9812! 976! 961(! 99)0(2)99(+++=e g ，1000502

)0(2)99(?=e g 2(99))99(1000502(0)g )2(e f ==

例12 若函数)(x f 在)0(U 内二阶可导，且

10)(1lim e x x f x x

x =?????

?++→ 求)0(f ，)0('f ，以及)0(' 'f 。解：由题意，可得：

x x f x x x f x x x x

x x e

e x x

f x e ?????

+??

????++→→→==??????

++=)(1ln lim )(1ln 101

020lim )(1lim

所以

)(1ln lim 0=??????

+→x

x x f x x

由此可得：0)(1ln lim 0=??????

++→x x f x x 即：0))

((lim 0

=+→x

x f x x 所以

x x f x x x x f x x x )(lim )(1ln lim

200+=??????++=→→ 从而

α+=+

x x f x )0( 0→→x α ) ( )(2222x o x x x x f +=+=α

而)(x f 的Taylor 展开式为： ) ( )0(2

1)0()0()(22'

''x o x f x f f x f +++= 由展开式的唯一性，可知：

0)0()0('==f f ，2)0(' '=f

2.5 带Peano 型余项的Taylor 公式在判断函数的极值方面的应用

定理[] 1 3 设) (b a x ，

∈，若函数)(x f 在点0x 及邻域)(0x U 内具有n 阶连续导数，且

0)( 0)()()(0) (0) 1 - (0''0'≠====x f x f x f x f n n ， ① 由带Peano 型余项的Taylor 展开式得： []

)-(x )-(x !

)

()()(0010)(0，n k n

k k x o x k x f x f x f ++=∑

=其中0x x → 从而由①，可得：

[]

n n n x x o x x n x f x f x f )-( )-( !

)

()()(000) (0++

= 变形，得：

)1( ! )

()-()(-)(0) (00，o n x f x x x f x f n n

+=其中0x x → ② 从 ② 式，我们可以看出：

（1）若n 为奇数，在点0x 的某一邻域)(0x U 内，当 0x x > 时，0)-( 0>n x x ，当 0x x < 时，0)-( 0

（2）若n 为偶数且0)(0) (>x f n 时，有 0)(-)(0>x f x f ，即对一切)(0x U x ∈有)()(0x f x f >，故)(0x f 为极小值；同理可证，0)(0) (

比如说：)(x f 在点0x 处的0)()()()()(0(5)0(4)0(3)0' '0'=====x f x f x f x f x f ，

根据)(x f 的Taylor 展开式))-( ( )-(6!

)

()()(60600)6(0x x o x x x f x f x f ++

可知：

当0)(0)6(>x f 时，)(x f 在0x 处取得极小值；当0)(0)6(

例13 求x e e x f x x cos 422)(-++=的极值点。

解：；）（， 00 sin 4-2-2(x)'

-'==f x e e f x x ；）（，‘ 00 os 4-22(x)' '-' '=+=f x c e e f x x ；

）（，）（‘ 00 in 42-2(x)(3)-3=+=f x s e e f x x 80 os 422(x)(4)-4=++=）（，）

（‘f x c e e f x x

综上所述，当4=n 时，08)0()4(>=f ，可见0=x 就是)(x f 的极小值点。例14 已知函数)(x f 在a x =的邻域内二阶可导，0)(' '≠x f 且当a x =时取得极小值0)(=a f ，则1)()-( 2-)(2+=x f a x x g 能否在a x =处取得极值？若能取得，那么极值是多少？

解：我们首先将)(x f 在a x =处进行Taylor 公式的展开：

[]

22' ''

)-( )-(!

()-)(()()(a x o a x a f a x a f a f x f ++

+= 由题意，知

)(x f 在a x =时，)(x f 取得极小值且0)(=a f ，则可推出：0)('

=a f ‘，

0)(' '>a f 因此：

[]

22' ')-( )-(!

()(a x o a x a f x f +=