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绝密★启用前
江苏省盐城市2019年中考试卷
数 学
（满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，
恰有一项是符合题目要求的）
1.如图，数轴上点A 表示的数是
（ ）
A .1-
B .0
C .1
D .2 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A
B
C
D
3.
x 的取值范围是
（ ）
A .2x ≥
B .2x -≥
C .2x ＞
D .2x -＞
4.如图，点D 、E 分别是ABC △边BA 、BC 的中点，3AC =，则DE 的长为（ ）
A .2
B .43
C .3
D .3
2
（第4题）
（第5题）
5.如图是由6个小正方体搭成的物体，该所示物体的主视图是
（ ）
A
B
C
D
6.下列运算正确的是
（ ）
A .5
2
10
a a a ?= B .3
2
a a a ÷= C .222a a a +=
D .()3
25a a =
7.正在建设中的北京大兴国际机场规划建设面积约1 400 000平方米的航站楼，
数据1 400 000用科学记数法应表示为 （ ）
A .80.1410?
B .71.410?
C .61.410?
D .51410?
8.关于x 的一元二次方程220x kx +-=（k 为实数）根的情况是
（ ）
A .有两个不相等的实数根
B .有两个相等的实数根
C .没有实数根
D .不能确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9.如图，直线a b ∥，150∠=?，那么2∠= .
（第9题）
（第11题）
10.分解因式：21x -= .
11.如图，转盘中6个扇形的面积都相等.任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率为 .
12.甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是20.14s ，乙的方差是20.06s ，这5次短跑训练成绩较稳定的是 .（填“甲”或“乙”） 13.设1x 、2x 是方程2320x x -+=的两个根，则1212x x x x +-=g . 14.如图，点A 、B 、C 、D 、E 在O e 上，且?AB 为50?，则E C ∠+∠= .
（第14题）
（第15题）
（第16题）
15.如图，在ABC △
中，BC =45C ∠=?
，
AB ，则AC 的长为 . 16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数21y x =-的图象分别交x 、y 轴于点A 、B 将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45?，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是
.
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------答--------------------
题--------------------
无--------------------效---
-------------
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三、解答题（本大题共有11小题，共102分，解答时应写出文字说明、推理过程或演算
步骤）
17.（本题满分6分）计算：0
1|2|sin 364tan 452?
?-+?--+? ??
?.
18.（本题满分6分）解不等式组：12123.2x x x +??
?+??
＞，≥
19.（本题满分8分）如图，一次函数1y x =+的图象交y 轴于点A ，与反比例函数
()0k
y x x
=
＞的图象交于点()2B m ，
. （1）求反比例函数的表达式； （2）求AOB △的面积.
20.（本题满分8分）在一个不透明的布袋中，有2个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同.
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 .
（2）搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的球中任意摸出1个球.求两次都摸到红球的概率.（用树状图或表格列出所有等可能出现的结果）
21.（本题满分8分）如图，AD 是ABC △的角平分线. （1）作线段AD 的垂直平分线EF ，分别交AB 、AC 于点E 、F ；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接DE 、DF ，四边形AEDF 是 形.（直接写出答案）
22.（本题满分10分）体育器材室有A 、B 两种型号的实心球，1只A 型球与1只B 型球的质量共7千克，3只A 型球与1只B 型球的质量共13千克. （1）每只A 型球、B 型球的质量分别是多少千克？
（2）现有A 型球、B 型球的质量共17千克，则A 型球、B 型球各有多少只？
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23.（本题满分10分）某公司共有400名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析.
组别
销售数量（件）
频数 频率 A 2040x ≤＜ 3 0.06 B
4060x ≤＜ 7 0.14 C 6080x ≤＜ 13 a
D 80100x ≤＜ m
0.46 E
100120x ≤＜
4
0.08 合计
b
1
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）频数分布表中，a = 、b = ； （2）补全频数分布直方图；
（3）如果该季度销量不低于80件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度
被评为“优秀员工”的人数.
24.（本题满分10分）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=?，CD 是斜边AB 上的中线，以CD 为直径的O e 分别交AC 、BC 于点M 、N ，过点N 作NE AB ⊥，垂足为E .
（1）若O e 的半径为5
2
，6AC =，求BN 的长；
（2）求证：NE 与O e 相切.
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效---
-------------
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25.（本题满分10分）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作： （Ⅰ）将矩形纸片沿DF 折叠，使点A 落在CD 边上点E 处，如图②；
（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C 再次折叠，使得点B 落在边CD 上点B '处，如
图③，两次折痕交于点O ；
（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB 、OE 、OC 、FD ，如图④.
图①
图②
图③
图④
【探究】
（1）证明：OBC OED △≌△；
（2）若8AB =，设BC 为x ，2OB 为y ，求y 关于x 的关系式.
26.（本题满分12分）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如： 第一次：
第二次：
（1）完成上表；
（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.（均价=总金额÷总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为m 千克的菜，乙每次买金额为n 元的菜，两次的单价分别是a 元/千克、b 元/千克，用含有m 、n 、a 、b 的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价x 甲、x 乙，比较x 甲、x 乙的大小，并说明理由.
【知识迁移】某船在相距为s 的甲、乙两码头间往返航行一次.在没有水流时，船的速度为v ，所需时间为1t ；如果水流速度为p 时（p v ＜），船顺水航行速度为（v p +），
逆水航行速度为（v p -），所需时间为2t .请借鉴上面的研究经验，比较1t 、
2t 的大小，并说明理由.
27.（本题分14分）如图所示，二次函数()2
12y k x =-+的图象与一次函数
2y kx k =-+的图象交于
A
、
B
两点，点
B 在点A 的右侧，直线AB 分别与x 、y 轴
交于C 、D 两点，其中0k ＜. （1）求A 、B 两点的横坐标；
（2）若OAB △是以OA 为腰的等腰三角形，求k 的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x 轴交于点E ，是否存在实数k ，使得
2ODC BEC ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.
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内蒙古巴彦淖尔2019年中考试卷
数学答案解析
一、选择题 1.【答案】D
【解析】解：原式336=+=.故选：D . 【考点】绝对值的概念.
2.【答案】C 【解析】解：32a Q -＜＜-,12b ＜＜,∴答案A 错误；0a b Q ＜＜,且||||a b ＞,0a b ∴+＜,
a b ∴＜-,∴答案B 错误；a b ∴-＞,故选项C 正确,选项D 错误.故选：C .
【考点】二次根式有意义的条件.
3.【答案】B 【解析】解：Q 这组数据的众数4,4x ∴=,将数据从小到大排列为：
2,3,4,4,5,6,7,9则中位数为：4.5.故选：B . 【考点】整式的运算法则.
4.【答案】B
【解析】解：由三视图可知圆柱的底面直径为4,高为6,∴底面半径为2,
22V π26π24πr h ∴==?=g ,故选：B .
【考点】几何体的展开图. 5.【答案】D
【解析】解：根据题意得,20
1x x -≠+???
≥0,解得,1x ≥-,且2x ≠.故选：D .
【考点】众数与中位数.
6.
【答案】B
【解析】解：A 、立方根等于它本身的数一定是1±和0,故错误；B 、顺次连接菱形四边
中点得到的四边形是矩形,故正确；C 、在函数(0)y kx b k =
+≠中,
当0k ＞时,y 的值随着x 值的增大而增大,故错误；D 、在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,那么它们所对的弧长一定相等,故错误.故选：B .
【考点】相似三角形.
7.【答案】C
【解析】解：由作法得AG 平分BAC ∠,∴G 点到AC 的距离等于BG 的长,即G 点到
AC 的距离为1,所以ACG △的面积14122
=??=.故选：C .
【考点】梯形的性质，矩形的性质，含30?角的直角三角形的性质，勾股定理，二次函
数的运用.
8.【答案】D
【解析】解：连接CD ,Q BC 是半圆的直径,CD AB ∴⊥,Q 在Rt ABC △C 中,
90ACB ∠=?,AC BC ==,∴ACB △是等腰直角三角形,CD BD ∴=,∴阴影
部分的面积11
222
=
??=,故选：D .
【考点】三角形的外接圆与外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质. 9.【答案】B
【解析】解：若21
4
x kx ++
是完全平方式,则1k =±,所以①错误；若()2,6A ,(0,4)B ,()1,P m 三点在同一直线上,而直线
AB 的解析式为4y x =+,则1x =时,5m =,所
以②正确；等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,所以③错误；一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形是六边形,所以④正确.故选：
B . 【考点】绝对值的概念.
10.【答案】A
【解析】解：当4a =时,8b ＜,Q a 、b 是关于x 的一元二次方程21220x x m ++=-的两
根,412b ∴+=,8b ∴=不符合；当4b =时,8a ＜,Q a 、b 是关于x 的一元二次方程21220x x m ++=-的两根,412a ∴+=,8a ∴=不符合；
当a b =时,Q a 、b 是关于x
的一元二次方程21220x x m ++=-的两根,1222a b ∴==,6a b ∴==,
236m ∴+=,34m ∴=；故选：A .
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【考点】绝对值的概念.
11.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形,90B D BAD ∴∠=∠=∠=?,
1AB BC CD AD ====,在Rt ABE △和Rt ADF
△中,AE AF
AB AD ==???
,
Rt Rt ()
ABE ADF HL ∴△≌△,
BAE DAF ∴∠=∠,
60EAF ∠=?
Q ,
30BAE DAF ∴∠+∠=?,15DAF ∴∠=?,在AD 上取一点G ,使15GFA DAF ∠=∠=?,如图所示：AG FG ∴=,30DGF ∠=?,
11
22
DF FG AG ∴=
=
,DG ,设DF x =,
则DG =,2AG FG x ==,AG DG AD +=Q
,
21x ∴=,解得
：
2x =
,2DF ∴=
,
121(CF CD DF ∴=-=-=；故选：C .
【考点】绝对值的概念.
12.【答案】A
【解析】解：连接AC ,则四边形ABOC 是矩形,90A ABO ∴∠=∠=?, 又MN MC ⊥Q ,
90CMN ∴∠=?, AMC MNB ∴∠=∠,
AMC NBM ∴△∽△, AC AM
MB BN ∴
=
,设BN y =,AM x =.则3MB x =-,2ON y =-,23x x y ∴=-,即：21322
y x x =-+
∴当332
1222()2
b x a =-
=-=?-时,213339()22228y =-?+?=最大,
Q 直线y kx b =+与y 轴交于()0,N b 当BN 最大,此时ON 最小,点()0,N b 越往上,b
的值最大,97288ON OB BN ∴=-=-
=,此时,8
(0,)7
N - b 的最大值为7
8
-.
故选：A .
【考点】绝对值的概念. 二、填空题
13.【答案】139.010?
【解析】解：90万亿用科学记数法表示成：139.010?,故答案为：139.010?. 【考点】科学记数法的表示. 14.【答案】2k ≤- 【解析】解：29611x x x k +-+-??
?＞①＞②
由①得1x ＞-； 由②得1x k +＞.
Q 不等式组2961
1x x x k +-+-
?
??＞＞的解集为1x ＞-,
11k ∴+-≤,
解得2k ≤-. 故答案为2k ≤-. 【考点】不等式解集.
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乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数；根据方差可知
,甲班成绩的波动性比乙班小.故①②③正确,
故答案为：①②③. 【考点】平均数，中位数，方差的定义.
17.【答案】1
【解析】解：由旋转的性质可知：AE AC =
,70CAE ∠=?,55ACE AEC ∴∠=∠
=?,又
AED ACB ∠=∠Q ,55CAB ∠=?,25ABC ∠=?,100ACB AED ∴∠=∠=?,1005545DEC ∴∠=??=?-,tan tan451DEC ∴∠=?=,故答案为：1
Q AC 与O e 相切于点C ,
AC OC ∴⊥, 90CAB ∠=?Q , AC AB ∴⊥,
OC AB ∴∥, ABC CBD ∴∠=∠, OB OC =Q , OCB CBO ∴∠=∠, ABC CBO ∴∠=∠,
Q BD 是O e 的直径,
90BCD CAB ∴∠=?=∠,
ABC CBD ∴△∽△,
∴
AB BC
BC BD
=
, 24624BC AB BD ∴=?=?=, BC
∴
==
故答案为：
由折叠得：1OA AC ==,2OB BC ==, 易证,ACD BCE △∽△,1
2
CD AC BE BC ∴
==, 设CD m =,则2BE m =,2CE m =-,21AD m =- 在Rt ACD △中,由勾股定理得：222AD CD AC =+, 即：2222(1)1m m +-=,解得：14
5
m =
,20m =(舍去)； 45CD ∴=
,85
BE OA ==, 8()54,5C -∴代入k y x =得,43252855
k ?=-=-,
故答案为：32
25
-
.
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【考点】相似三角形的应用. 20.【答案】①②④
【解析】解：①90ABC ∠=?Q ,D 为斜边AC 的中点, AD BD CD ∴==,
AF CF =Q , BF CF ∴=, DE BC ∴⊥, BE CE ∴=, BE BD ⊥Q ,
2
2
2
BD BE DE ∴+=,
222CE AD DE ∴+=,
故①正确；
②4AB =Q ,
3BC =,
5AC ∴==,
5
2
BD AD CD ∴===,
A BDE ∠=∠Q ,90ABC DBE ∠=∠=?,
ABC DBE ∴△∽△,
AB BC
DB BE
∴
=
, 即
4352
BE =. 15
8
BE ∴=,
AD BD =Q , A ABD ∴∠=∠,
A BDE ∠=∠Q ,BDC A ABD ∠=∠+∠,
A CDE ∴∠=∠, DE A
B ∴∥,
DE BC ∴⊥,
BD CD =Q ,
∴DE 垂直平分BC ,
BE CE ∴=,
158
CE ∴=
, 故②正确；
③90ABC DBE ∠=∠=?Q ,
ABD CBE ∴∠=∠,
25548
BD AB ==Q , 但随着F 点运动,BE 的长度会改变,而3BC =, ∴
3BE 或3
BE
不一定等于58,
∴ABD △和CBE △不一定相似,
故③错误；
④30A ∠=?Q ,3BC =,
30A ABD CBE ∴∠=∠=∠=?,26AC BC ==,
1
32
BD AC ∴=
=, 3BC =Q ,90BCE ∠
=?,
cos30BC
BE ∴
=
=?
,
DE ∴故④正确； 故答案为：①②④.
三、解答题
21.【答案】解：(1)18
45016250
?
=(人), 答：该校九年级有450名学生,估计体育测试成绩为25分的学生人数为162人；
(2)
画树状图如图所示：
共有12个等可能的结果,甲和乙恰好分在同一组的结果有2个,
等可能的结果,甲和乙恰好分在同一组的结果有2个,由概率公式即可得出结果.
【考点】树状图法求概率.
22.【答案】解：在Rt ABD
△中
90
BAD
∠=?
Q,30
ABD
∠=?,AD=,
tan
AD
ABD
AB
∴∠=,
=,
3
AB
∴=,
AD BC
Q∥,
180
BAD ABC
∴∠+∠=?,
90
ABC
∴∠=?,
在Rt ABC
△中,3
AB BC
==
Q,
AC
∴=
AD BC
Q∥,
ADE CBE
∴△∽△,
DE AD
BE CB
∴=,
DE
BE
∴=,
设DE=,则3
BE x
=,
3)
BD DE BE x
∴=+=,
DE
BD
∴=,
Q在Rt ABC
△中,30
ABD
∠=?,
2
BD AD
∴==
DE
∴=,
3
DE
∴=-
33
BE
∴==.
根据题意得,
150014000
(1)
103
x x
+=
-
g,
解得：20
x=,
经检验：20
x=是分式方程的根,
15002010
()150
∴÷-=(元),
答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆,淡季每辆货车的日租金150元；
(2)设每辆货车的日租金上涨a元时,该出租公司的日租金总收入为W元,
根据题意得,
1
150120
3
[()]()
20
a
W a
=+?+?-,
22
11
104000100
()4500
2020
W a a a
∴=-++=--+,
1
20
-
Q＜,
∴当100
a=时,W有最大值,
数学试卷第17页(共26页)数学试卷第18页(共26页)
数学试卷 第19页(共26页) 数学试卷 第20页(共26页)
答：每辆货车的日租金上涨100元时,该出租公司的日租金总收入最高. 【解析】(1)根据题意可以列出方程,进而求得结论；(2)根据题意可以求得总收入和上涨
价格之间的函数解析式,然后化为顶点式即可解答本题.
【考点】一元一次方程的应用.
24.【答案】解：(1)连接OA 、OC ,过O 作OH AC ⊥于点H ,如图1,
120ABC ∠=?Q ,
18060AMC ABC ∴∠=?-∠=?, 2120AOC AMC ∴∠=∠=?,
1
602
AOH AOC ∴∠=∠=?
,
1
2
AH AC ==Q
2sin 60AH
OA ∴=
=?
,
故O e 的半径为2.
(2)证明：在BM 上截取BE BC =,连接CE ,如图2,
60MBC ∠=?Q ,BE BC =,
∴EBC △是等边三角形,
CE CB BE ∴==,60BCE ∠=?,
60BCD DCE ∴∠+∠=?,
60ECM ACM ∠+∠=?Q , 60ECM DCE ∴∠+∠=?, ECM BCD ∴∠=∠,
120ABC ∠=?Q ,BM 平分ABC ∠,
60ABM CBM ∴∠=∠=?,
60CAM CBM ∴∠=∠=?,60ACM ABM ∠=∠=?,
ACM ∴△是等边三角形,
AC CM ∴=,
ACB MCE ∴△≌△,
AB ME ∴=,
ME EB BM +=Q ,
AB BC BM ∴+=.
【解析】(1)连接OA 、OC ,过O 作OH AC ⊥于点H ,由圆内接四边形的性质求得
AMC ∠,再求得AOC ∠,最后解直角三角形得OA 便可；
(2)在BM 上截取BE BC =,连接CE ,证明BC BE =,再证明ACB MCE △≌△,得AB ME =,进而得结论. 【考点】圆内接四边形的性质，全等三角形.
25.【答案】(1)证明：过点M 作MF AB ⊥于F ,作MG BC ⊥于G ,如图①所示：
90AFM MFB BGM NGM ∴∠=∠=∠=∠=?,
Q 四边形ABCD 是正方形,
90ABC DAB ∴∠=∠=?,AD AB =,45ABD DBC ∠=∠=?, MF AB ⊥Q ,MG BC ⊥,
MF MG ∴=, 90ABC ∠=?Q ,
∴四边形FBGM 是正方形,
90FMG ∴∠=?,
90FMN NMG ∴∠+∠=?, MN AM ⊥Q ,
90AMF FMN ∴∠+∠=?
,
数学试卷 第21页(共26页) 数学试卷 第22页(共26页)
AMF NMG ∴∠=∠,
在AMF △和NMG △中,AFM NGM MF MG
AMF NMG ∠=∠??
=??∠=∠?
, ()AMF NMG ASA ∴△≌△,
MA MN ∴=；
(2)解：在Rt AMN △中,由(1)知：MA MN =,
45MAN ∴∠=?, 45DBC ∠=?Q , MAN DBC ∴∠=∠,
Rt Rt AMN BCD ∴△∽△,
2
()AMN BCD AN D
S S B ∴
=△△, 在Rt ABD △中,6AB AD ==
,
BD ∴=, 13
18AMN BCD S S =Q
△△
, 21318
=,
解得：AN =∴在Rt ABN △中
,4BN =
=,
Q 在Rt AMN △中,MA MN =,O 是AN 的中点
,
1
2
OM OA ON AN ∴====OM AN ⊥,
90AOP ∴∠=?,
AOP ABN ∴∠=∠, PAO NAB ∠=∠Q ,
PAO NAB ∴△∽△,
OP OA
BN AB
∴
=
,
即：46OP =,
解得：OP =
PM OM OP ∴=+=； (3)解：过点A 作AF BD ⊥于F ,如图③所示：
90AFM ∴∠=?, 90FAM AMF ∴∠+∠=?, MN AM ⊥Q , 90AMN ∴∠=?,
90AMF HMN ∴∠+∠=?, FAM HMN ∴∠=∠, NH BD ⊥Q ,
90AFM MHN ∴∠=∠=?,
在AFM △和MHN △中,FAM HMN AFM MHN AM MN ∠=∠??
∠=∠??=?
,
()AFM MHN AAS ∴△≌△,
AF MH ∴=,
在等腰直角ABD △中,AF BD ⊥Q
,
11
22
AF BD ∴=
=?
MH ∴=
AM =Q
MN ∴=
数学试卷 第23页(共26页) 数学试卷 第24页(共26页)
在Rt MNH △中
,HN ==
11
322
HMN
S MH HN ∴==?=g △, ∴HMN △的面积为3.
【解析】(1)过过点M 作MF AB ⊥于F ,作MG BC ⊥于G ,由正方形的性质得出
45ABD DBC ∠=∠=?,由角平分线的性质得出MF MG =,证得四边形FBGM 是正
方形,得出90FMG ∠=?,证出AMF NMG ∠=∠,证明AMF NMG △≌△,即可得出结论；(2)证明Rt Rt AMN BCD △∽△,得出
2
()AMN BCD AN S D
S B =△△,
求出AN =由勾股定理得
出4BN =,由直角三角形的性质得
出
12OM OA ON AN ====OM AN ⊥,证明PAO NBA △∽△,得出OP OA
BN AB =
,求
出OP =
,即可得出结果；(3)过点A 作AF BD ⊥于F ,证明AFM MHN △≌△得出AF MH =,求
出11
22AF BD ==?,得
出
MH =
MN =
由勾股定理得出HN ==由三角形面积
公式即可得出结果.
【考点】正方形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理.
26.【答案】解：(1)将点(1,0)A -,(3,0)B 代入22y ax bx =++, 可得23a =-
,43
b =, 224
233
y x x ∴=-++；
∴对称轴1x ＝；
(2)如图1：过点D 作DG y ⊥轴于G ,作DH x ⊥轴于H ,
设点()1,D y ,
(0,2)C Q ,()3,0B ,
∴在Rt CGD △中,2222)21(CD CG GD y =+=-+, ∴在Rt BHD △中,22224BD BH HD y =+=+,
在BCD △中,DCB CBD ∠=∠Q ,
CD BD ∴=,
22CD BD ∴=, 22()214y y ∴-+=+,
1
4
y ∴=
, 1
(1,)4
D ∴；
(3)如图2：过点E 作EQ y ⊥轴于点Q ,过点F 作直线FR y ⊥轴于R ,过点E 作
FP FR ⊥于P ,
90EQR QRP RPE ∴∠=∠=∠=?,
∴四边形QRPE 是矩形,
CEF CRF EFP QRPE S S S S =--Q △△△矩形,
(,)E x y Q ,()0,2C ,()1,1F ,
111
222
CEF S EQ QR EQ QC CR RF FP EP ∴=-?--g g g g △
,
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()()111
12111122(2)()CEF S x y x y x y ∴=----??---△,
224
233
y x x =-++Q ,
217
36
CEF S x x ∴=-+△,
∴当74x =
时,面积有最大值是4948
, 此时755
(,)424
E ；
(4)存在点M 使得以B ,C ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形, 设()1,N n ,,()M x y ,
①四边形CMNB 是平行四边形时,
1322
x
+=
, 2x ∴=-,
10
2,3
()M ∴--
； ②四边形CMNB 是平行四边形时,
3122
x
+=
, 2x ∴=,
)2(2,M ∴；
③四边形CMNB 是平行四边形时,
1322
x
+=, 4x ∴=,
10
4,)3
(M ∴-
； 综上所述：()2,2M 或()104,3M -
或10
2,()3
M --； 【解析】(1)将点(1,0)A -,(3,0)B 代入2
2y ax bx =++即可；(2)过点D 作DG y ⊥轴于
G ,作DH x ⊥轴于H ,设点
()
1,D y ,在Rt CGD △中,
2222)21(CD CG GD y =+=-+,在Rt BHD △中,22224BD BH HD y =+=+,可以
证明CD BD =,即可求y 的值；(3)过过点E 作EQ y ⊥轴于点Q ,过点F 作直线
FR y ⊥轴于R ,过点E 作FP FR ⊥于P ,证明四边形QRPE 是矩形,根据CEF CRF EFP QRPE S S S S =--△△△矩形代入边即可；(4)根据平行四边形对边平行且相等