x 高中大学数学微分与积分公式（全集） （高中大学数学） 二 _ 、 重要公式（1） sin x lim 1 1 (2) lim 1 x 匸 e (3) lim : a(a o) 1 x 0 x x 0 n (4) lim n n 1 (5) limarctan x — (6) lim arc tan x — n x 2 x 2 (7) limarccot x x 0 (8) lim arccot x x (9) lim e x 0 x (10) lim e x x (11) lim x x 1 x 0 三、 下列常用等价无穷小关系 (x 0) 四、 导数的四则运算法则 五、 基本导数公式 ⑴c 0 ⑵x ⑷ cosx sinx （5） tan x (7) secx secx tan x ⑻ cscx cscx cotx 1 x (3) sin x cosx 2 sec x ⑹ cot x 2 csc x ⑼e x ⑽ a x a x lna 1 (11) In x n n 1 j a o x a 1x a n i m - m 1 b o x b ^x 1 b m a 。 b o （系数不为0的情况） lim x 0 n m
1 1 (12) loga x (13) arcsinx (14) arccosx xln a 1 (15) arcta nx 2 1 x arccot x (17) 1 (18) 1 2 「 x 六、高阶导数的运算法则 (1) u x V x (2) cu cu n (3) u ax b ax (4) k c n u (k) 七、基本初等函数的 n 阶导数公式 (1) (2) ax e ax e x n ln a sin ax n . a sin ax cos ax n a cos ax ax b n i n a n! n 1 ax b In ax n ax b 八、 微分公式与微分运算法则 x 1dx (3) d sin x cosxdx cosx sin xdx ⑸ d tanx sec xdx (6) d cot x csc 2 xdx
函数的微分和逆矩阵求法 数学102班：张学亮 指导教师：连铁艳 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021） 一、1.一元函数的高阶微分 定义 1 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ?， 且0()o x x U x +?∈时，相应地函数有增量 00()()y f x x f x ?=+?-， 如果其增量可表示为 ()y A x o x ?=?-?， 其中A 不依赖于x ?，则称函数()y f x =在点0x 处一阶可微，并称A x ?为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分，记作dy ，即 0|x x dy A x ==?。 可证 A=0'()f x 即 00|'()x x dy f x dx ==。 定义 2 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ?，且0()o x x U x +?∈时，相应地函数有增量 00()()y f x x f x ?=+?- 如果其增量可表示为 () 2 ()2! B y A x x o x ?=?+ ?-?， 其中A ，B 不依赖于x ?，则称函数()y f x =在点0x 处二阶可微，并称A x ?，2 ()B x ?为函数 ()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分，记作2 ,dy d y ，即 0|x x dy A x ==?，0 22 |()x x d y B x ==?。 可证 00'(),''()A f x B f x == 即 00|'()x x dy f x dx ==，()2 2 0''d y f x dx =。 根据以上形式，我们可以借助第五章的泰勒公式来定义函数的更高阶的微分 定义 3 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ?，且0()o x x U x +?∈时，相应地函数有增量 00()()y f x x f x ?=+?- 如果其增量可表示为 () () ()2 212! ! n n n A A y A x x x o x n ?=?+ ?++ ?-? ，
基本公式 导数公式微分公式 积分公式 反三角函数公式 导数公式微分公式 积分公式
基本三角函数公式 导数公式微分公式 积分公式 其他积分公式 C a x x a x x C a x a x a x dx x a + ± + = ± + + - = - ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln d arctan 2 2 () C x x e x x e C x x e x x e C a x x a x x x a x x x x x + + = + - = + ± + + ± = ± ? ? ? ) cos (sin 2 1 d cos cos sin 2 1 d sin ln 2 d2 2 2 2 2 2
青岛市高三统一质量检测 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. i 是虚数单位，复数 i i +12的实部为 A ．2 B ．2- C ．1 D ．1- 2. 设全集R U =，集合{} 2|lg(1)M x y x ==-，{}|02N x x =<<，则()U N M = A ．{}|21x x -≤< B ．{}|01x x <≤ C ．{}|11x x -≤≤ D ．{}|1x x < 3. 下列函数中周期为π且为偶函数的是 A ．)22sin(π - =x y B. )2 2cos(π-=x y C. )2sin(π+=x y D ．)2cos(π +=x y 4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3a a a ==,则9S = A ．90 B ．54 C ．54- D ．72- 5. 已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若l m ⊥,l n ⊥,且,m n α?,则l α⊥ B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα// C ．若n m m ⊥⊥,α，则α//n D ．若α⊥n n m ,//，则α⊥m 6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是 A ．16π B ．14π C ．12π D ．8π 7. 已知抛物线x y 42 =的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物 线上一点，且在第一象限，l PA ⊥，垂足为A ，4PF =，则直线AF 的倾斜角等于 正视图 俯视图 左视图
(1)dx dx =nx n -1 ，n ∈N 。 (2)d x dx n x n N n n =∈-11 1,。 (3)dc dx =0，其中c 为常数。(4)(sin x )/=cos x (5)(cos x )/=-sin x 另一种表示：① (x n )/=nx n -1 ② /)(n x =1n 1 1-x ③ (c )/=0 证明： (2)设a 为f (x )=n x 定义域中的任意点， 则f /(a )=a x →lim f (x )-f (a ) x -a =a x →lim a x a x n n --=a x →lim ] )(....)())[((121---++?+--n n n n n n n n n n n a a x x a x a x =1) (1-n n a n =1n (n a -1)=1n (1 1-a ) (4)设a 为任意实数，f (x )=sin x f (x )-f (a )x -a = sin x -sin a x -a = a x a x a x -+-2cos 2sin 2 计算f /(a )= a x →lim f (x )-f (a )x -a =a x →lim ( a x a x a x -+-2cos 2sin 2)=cos a 。 (1)(3)(5)自证 (1)f (x )与g (x )为可微分的函数。?f (x )+g (x )为可微分的函数。 且d dx (f (x )+g (x ))= d dx (f (x ))+ d dx (g (x ))成立。 另一种表示：(f (x )+g (x ))/=f /(x )+g /(x ) 证明：令h (x )=f (x )+g (x )，设a 为h (x )定义域中的任一点 h /(a )=a x →lim h (x )-h (a )x -a =a x →lim a x a g a f x g x f ---+) ()()()( =a x →lim (f (x )-f (a )x -a + g (x )-g (a )x -a )=a x →lim (f (x )-f (a )x -a )+a x →lim (g (x )-g (a )x -a ) =f /(a )+g /(a ) 例：求=+)(35x x dx d ？ 推论：dx d (f 1(x )+f 2(x )+...+f n (x )) = dx x df dx x df dx x df n )() ()(21+???++
一：利用分块矩阵求矩阵（三个公式） 公式1： ??? ????? ?=???? ? ???? ?---1 1 11 1s s A A A A 公式 2：?? ??? ?-=?? ????-----1221 11211221 111 2221 11 00A A A A A A A A 或?? ? ???-=?? ? ?? ?-----1 22 1 22121111111 221211 0A A A A A A A A 2 ,1=i n A i ii 阶可逆矩阵， 为 公式 3：?? ????=??????---00001 1 1 A B B A （为可逆矩阵 B A ,） 下面给出公式2的推导过程：设??? ???=?? ????-22211211 1 2221 11 0X X X X A A A 由?? ????=?????????????E E X X X X A A A 0 002221 1211 2221 11 得?? ??? ??=+=+==E X A X A X A X A X A E X A 22 2212 21212211 211211111100 解之得???????=-===----122 22 1 11211 222112 1 11110 A X X A A X X A X
^-^ 习题 1：1 ,11 21000 0520021-?? ??? ???????---=A A 求 习题 2：1 ,20 1200 3 1204312-?? ??? ???? ???=A A 求 答案：习题1： ??????? ?????????-=-313 100323100001200251 A 习题2： ????????? ?????????? ?--- - -- =-210 0412******* 210165854121 1 A 二：利用定义求矩阵 例1：设n 阶方阵A 满足022 =--E A A ，求证A 可逆并求1 -A 证明：由022 =--E A A ，得：E E A A 2)(=- 即E E A A =-?2 ，从而A 可逆且2 1 E A A -= - 例2：设B A ,为同阵且满足AB B A = +，证明E A -可逆并求其逆，
矩阵微分运算 矩阵的微分运算 1 纯量对向量求导 T 1()(,,)n f f x x x x == T 1d (,,)d n f f f x x x ??=??（列向量） 2 纯量对矩阵求导 ()()d ()d i j n m n m ij f f X X x f f X x ??==?=? 3 向量对向量求导 T T 11()(,,)(,,)m n g g x g g g x x x === d ()d i m n j g g x x ??=? 4 复合函数求导 T T T 11()(),(,,),(,,),:n m f u x Ru x x x x u u u R m m ===? T T T d d [][]d d u Ru u R R u x x =+ T T T T 111()(),(,,),(,,),(, ,),:n m p f u x Rv x x x x u u u v v v R m p ====? T T T T d d d [][]d d d u Rv v u R u Rv x x x =+ T T 11(),(),(,,),(,,)n m f f y y y x x x x y y y ==== T d d d []d d d f y f x x Cy = 易知： （1）T T d d d d x x I x x == （2）d d Ax A x = （3）T d ,:d c x c c x =列向量 （4）T T d ()d x Ax A A x x =+ （5）T d 2d x x x x = 5 矩阵的迹的求导 设,,X A B 是适当维阵（不一定是方阵），但有关的乘积是方阵。
常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
矩 阵 微 分 法 在现代控制理论中，经常会遇到矩阵的微分（导数），如对表达式 d d A B 来说，由于A 和B 都可能是数量、向量或矩阵，可代表九种不同的导数。除数量函数对数量变量的导数外，还剩下八种。下面分别介绍八种导数的定义和运算公式。 一、 相对于数量变量的微分（自变量是数量变量，如时间t ） 定义1 对于n 维向量函数 []12()()()......()T n t a t a t a t = a 定义它对t 的导数为 12()() ()()T n d a t d a t d a t d t dt dt dt dt ?????? a ……… （1－1） 定义2 对于n × m 维矩阵函数 1112112()()()()()()()()n i j nm n n nn a t a t a t t a t a t a t a t ?? ????= =?????? ?? A 定义它对t 的导数为 1111212()()()()()()()()T n i j n m n n n n da t da t da t dt dt dt da t d t dt dt da t da t da t dt dt dt ?? ??? ??? =?????????? ??? ? A ………（1－2） 我们不难看出，上述两个定义是一致的。当矩阵A (t) 退化为向量a (t)时，定义2就变为定义1。再退一步讲，当向量a (t) 退化为数量函数a (t)时，定义1就变为一般的导数定义。这说明这样定义是合理的，是统一的。 根据上述的两个定义，我们还可以推出下列的运算公式 {}()() ()()d d t d t t t dt dt dt ±= ±A B A B ………（1－3） {}()() ()()()()d d t d t t t t t dt dt dt ?= ?+?A A A λλλ ………（1－4） (t )λ——为变量t 的数量函数
§7矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用 1.矩阵函数的性质： 设n n C B A ?∈. 1． A e Ae e dt d At At At ?== proof : 由 ()∑∑ ?==∞ =m m m m At A t m At m e !1! 1 对任何t 收敛。因而可以逐项求导。 ()∑∞=--=∴01!11m m m At A t m e dt d ()()???? ??-?=∑∞=-11!11m m At m A ()??? ? ???=∑k At k A !1At e A ?= ()()()A e A At m A A t m At m m m m m ?=???? ? ??-=?-=∑∑∞ =∞=---0111 1!11!11 可见，A 与At e 使可以交换的，由此可得到如下n 个性质 2．设BA AB =，则 ①．At At Be B e =? ②．B A A B B A e e e e e +=?=? ③．()()A A A A A A B A B A B A B A B A B A B A cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=-=?+=+-=+= proof ：①，由m m BA B A BA AB =?= 而∑∑∞ =∞==?? ? ??=00!1!1m m m m m m At B A t m B t A m B e ()∑∑∞ =∞ =?==00!1!1m m m m m At m B BA t m At e B ?= ②令()Bt At B A e e e t C --+??=)( 由于 ()0=t C dt d )(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =-?===000)0()1()( 当1=t 时，E e e e B A B A =??--+ …………………. （@）
逆矩阵的解法和常微分方程
凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。
如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。
定义（定积分） 设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。 上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定： （1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ； （2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。 可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。 定理1（可积的必要条件） 如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。 定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。 引理（微分中值定理） 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。 证明：
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) x x e e =')( (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? （反函数） 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数 )(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1 = （复合函数） 设 )(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数dx du du dy dx dy ? =或)()(x u f y ?'?'='。
【大小】【打印】【关闭】启航考研数学系列精讲之二 一元函数积分的计算（一） 一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分． 对于不定积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种基本积分方法。这是因为任何积分过程最终都要化为基本积分公式中已有的形式，否则就需要再进一步简化，而两种基本的积分方法，变量替换法(换元积分法)与分部积分法是简化积分的主要方法。除此之外，一些特殊的积分方法，如：有理函数积分法、三角函数有理式的积分法、某些简单无理式的积分法等，则是在特定情况下的特殊方法。 由于不定积分的计算是最基本的，它渗透于一切积分之中，所以这里将不单独予以讲述，而是将其融合于定积分的计算之中。为了帮助读者查找，在分类讲述例题之前将列出基本积分公式。 借助于牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式，定积分可化为被积函数的任一原函数在积分上限与下限两点函数值的差。这样，只要能求出原函数就解决了定积分的计算问题，而求原函数则是不定积分所解决的问题。然而，定积分的计算过程并不是分为求原函数与求原函数在上、下限函数值的差两个步骤，而是把两者结合起来。这样，如同不定积分一样，定积分也有两个基本方法，那就是变量替换法与分部积分法。 牛顿—莱布尼兹公式的基础是关于变限积分求导数的定理，同时在如何求极限的部分也涉及到，这里就不再重复了。 一、定积分的变量替换法 定理设f(x)在区间[a,b]上连续，代换x＝Ф(t)满足条件：
(1)Ф’(t)在[α,β]上连续； (2)Ф(α)=a,Ф(β)=b，并且当α≤t≤β时，a≤Ф(t)≤b， 则（1） 注 (1)在定理的叙述中，，，定义于区间[α,β]，说明呈上升趋势．实际上，呈下降趋势也是一样的，亦即定理中的区间[α,β]，刖改为[β,α]。 (2)在定积分作变量替换时，一定要同时更换积分限，而且积分限的更换可以采用表格形式表示。 (3)不定积分的变量替换有第一与第二换元法之分。相应于第二换元积分法就是公式(1)中左端的x换成右端的t；相应于第一换元积分法(凑微分法)就是把右端的t换成左端的x。 几种常用的凑微分形式： （1） （2） （3） （4） （5）
第九讲 矩阵微分方程 一、矩阵的微分和积分 1. 矩阵导数定义：若矩阵ij m n A(t)(a (t))?=的每一个元素a (t)ij 是变量t 的可 微函数，则称A(t)可微，其导数定义为 ij m n da dA A (t)()dt dt ?'== 由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。 2. 矩阵导数性质：若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则 （1）d dA dB [A(t)B(t)]dt dt dt ±=± （2） d dA dB [A(t)B(t)]B A dt dt dt =+ （3）d da dA [a(t)A(t)]A a dt dt dt =+ （4） () ()()()tA tA tA d d e Ae e A cos tA A sin tA dt dt ===- ()()()d sin tA A cos tA dt = (A 与t 无关) 此处仅对tA tA tA d (e )Ae e A dt ==加以证明 证明： tA 2233223d d 111 (e )(1tA t A t A )A tA t A dt dt 2!3!2! =++++=+++ 22 tA 1A(1tA t A )Ae 2! =++ +=
又22 tA 1(1tA t A )A e A 2! =++ += 3. 矩阵积分定义：若矩阵A(t)(a (t))m n ij =?的每个元素ij a (t)都是区间 01[t ,t ]上的可积函数，则称A(t)在区间01[t ,t ]上可积，并定义A(t)在01[t ,t ] 上的积分为 1 100ij t t A(t)dt a (t)dt t t m n ?? =?? ???? 4. 矩阵积分性质 （1）1 1 1 000 t t t t t t [A(t)B(t)]dt A(t)dt B(t)dt ±=±??? （2）1 1110000t t t t t t t t [A(t)B]dt A(t)dt B,[AB(t)]dt A B(t)dt ???? == ? ? ? ????? ???? （3）t b a a d A(t )dt A(t),A (t)dt A(b)A(a)dt '''==-?? 二、 一阶线性齐次常系数常微分方程组 设有一阶线性齐次常系数常微分方程组 1 1111221n n 22112222n n n n11n22nn n dx a x (t)a x (t)a x (t)dt dx a x (t)a x (t)a x (t)dt dx a x (t)a x (t)a x (t) dt ?=+++???=+++? ??? ?=+++?? 式中t 是自变量，i i x x (t)=是t 的一元函数(i 1,2,,n),= ij a (i,j 1,2,,n)= 是常系数。 令
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为， 故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解： (为任意常数) 例4 求不定积分. 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解： （为任意常数） 例5 求不定积分. 分析：基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式： 解：
高等数学微分和积分数学公式（集锦） （精心总结） 一、001011 01lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞ ?=??+++?=??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0 sin lim 1x x x →= （2）()1 lim 1x x x e →+= （3 ）lim )1n a o →∞ >= （4 ）lim 1n →∞ = （5）lim arctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x +→= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x t a n x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()u v u v u v '''=+ 2 u u v u v v v '''-?? = ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x '= ⑿() 1log ln x a x a ' = ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '=-
摘要 在常微分方程中，介绍了解常系数线性微分方程组的消元法，它是解常系数线性微分方程组的最初等的方法，适用于知函数较少的小型微分方程组。对于未知函数较多时，用消元法则会非常不便，为此应寻求更为有效的方法。在掌握线性代数的知识后，用矩阵法解常系数线性齐次微分方程组较为方便。 关键词：基解矩阵特征方程特征值特征向量
Abstract In the ordinary differential equation, introduced that understood often the coefficient linear simultaneous differential equation's elimination, it is the solution often the coefficient linear simultaneous differential equation's most primary method, is suitable in knows the function few small simultaneous differential equation. Are many when regarding the unknown function, will be inconvenient with the elimination, for this reason should seek a more effective method. After grasping the linear algebra the knowledge, the coefficient linearity homogeneous simultaneous differential equation is often more convenient with the matrix technique solution. Keywords: basic solution of matrix characteristic equation eigenvalue Characteristic vector
微积分公式 D x sin x=cos x cos x = -sin x tan x = sec 2 x cot x = -csc 2 x sec x = sec x tan x csc x = -csc x cot x ? sin x dx = -cos x + C ? cos x dx = sin x + C ? tan x dx = ln |sec x | + C ? cot x dx = ln |sin x | + C ? sec x dx = ln |sec x + tan x | + C ? csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = π - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = π - cot -1 x sec -1(-x) = π - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x D x sin -1 (a x )=221a x - cos -1 (a x )=221a x -- tan -1 (a x )=22a a x + cot -1 (a x )=22 a a x -+ sec -1 (a x )= 2 2 a x x a - csc -1 ( a x )=2 2 a x x a -- ? sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C ? cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C ? tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C ? cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C ? sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C ? csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+C sinh -1 (a x )= ln (x+22x a +) x ∈R cosh -1 (a x )=ln (x+22a x -) x ≧1 tanh -1 (a x )=a 21ln (x a x a -+) |x| <1 coth -1 (a x )=a 21ln (a x a x -+) |x| >1 sech -1 (a x )=ln(x 1-+2 2 1x x -)0≦x ≦1 csch -1 (a x )=ln(x 1+2 2 1x x +) |x| >0 D x sinh x = cosh x cosh x = sinh x tanh x = sech 2 x coth x = -csch 2 x sech x = -sech x tanh x csch x = -csch x coth x ? sinh x dx = cosh x + C ? cosh x dx = sinh x + C ? tanh x dx = ln | cosh x |+ C ? coth x dx = ln | sinh x | + C ? sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C ? csch x dx = 2 ln |x x e e 211---+| + C d uv = u d v + v d u ? d uv = uv = ? u d v + ? v d u →? u d v = uv - ? v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ
1.常用等价无穷小 当时 2.常用极限 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 若Xn（n=1,2…）收敛,则算数平均值的序列也收敛，且 30. 若序列Xn(n=1,2…)收敛，且Xn>0,则
31. 若Xn>0(n=1,2…)且存在，则 32. 若整序变量,并且——至少是从某一项开始——在n增大时Yn亦增大，Yn+1>Yn，则 3.常用公式及不等式 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 伯努利不等式 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 组合数公式 排列数公式 19. 20. 21. 4.常用符号 1.记号n!!表示自然数的连乘积，这些自然数不超过n，并且每两个数之间差 2. 例：
5.微分学基本公式 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 6.不定积分表 1. 2. 3. 4. . 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16 17. 18. 19. 20. 21. 22.
22. 7.三角学公式 1.基本关系 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 2.两角和与差的三角函数公式 1. 2. 3. 4. 3.倍角公式 1. 2. 3. 4. 5. 6. 4.半角公式 1. 2. 3. 4. 5.和差化积公式 1. 2. 3. 4. 5.