第四节 基本不等式
[备考方向要明了]
．
[归纳·知识整合]
1．基本不等式ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a ＝b 时，a ＋b
2
≥ab 取等号，即a ＝b ?
a ＋b
2
＝ab
②仅当a ＝b 时，
a ＋b
2
≥ab 取等号，即
a ＋b
2
＝ab ?a ＝b .
2．几个重要的不等式
a 2＋
b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋a
b
≥2(a ，b 同号)．
ab ≤? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )；? ??
??a ＋b 22≤a 2＋b 2
2(a ，b ∈R ) 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为
a ＋b
2
，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：
两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2P (简记：积定和最小)．
(2)如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是P 42
(简记：和定积最大)．
[探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？
提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，y ＝x ＋1
x
在x ≥2
时的最小值，利用单调性，易知x ＝2时y min ＝5
2
.
[自测·牛刀小试]
1．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81
D ．243
解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 2．若函数f (x )＝x ＋1
x －2
(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3
D ．4
解析：选C f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2
＋2， ∵x >2 ∴x －2>0 ∴f (x )≥2
x －2·
1
x －2
＋2＝4 当且仅当x －2＝1
x －2
，即x ＝3时，“＝”成立，又f (x )在x ＝a 处取最小值，所以a ＝3.
3．已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0则xz y
2的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为1
8
D ．最大值为1
8
解析：选D
xz y 2＝
xz x ＋2z 2＝
xz
x 2＋4xz ＋4z 2
＝
1x z ＋4z x
＋4
≤18.当且仅x z ＝4z
x ，即x ＝2z 时取等号．
4．函数y ＝x ＋1
x
的值域为________．
解析：当x >0时，x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2； 当x <0时，－x >0， －x ＋1
－x
≥2
－x ·1－x ＝2，所以x ＋1
x
≤－2.
综上，所求函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)
5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2
x
的图象交于P ，Q
两点，则线段PQ 长的最小值是________．
解析：由题意知：P ，Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为第一象限中的点，则
m >0，n >0，n ＝2
m ，所以|PQ |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4?
?
???
m 2
＋4m 2≥16(当且仅当m 2＝4
m 2，即m ＝2
时，取等号)．故线段PQ 长的最小值为4.
答案：4
[例1] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，
求证：?
????1＋1a ?
??
??1＋1b ≥9.
[自主解答] 法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋a
b
.
∴? ????1＋1a ? ????1＋1b ＝? ????2＋b a ? ????2＋a b ＝5＋2? ??
??b a ＋a b ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝a b
，即a ＝b 时取
“＝”．
∴? ????1＋1a ? ??
??1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．
法二：? ????1＋1a ? ??
??1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab
＝1＋
a ＋
b ab ＋1ab ＝1＋2
ab
， ∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤?
????a ＋b 22＝14
，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．
于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝1
2
时取“＝”．
∴?
????1＋1a ?
??
??1＋1b ≥1＋8＝9， 当且仅当a ＝b ＝1
2
时等号成立．
保持例题条件不变，证明：
a ＋12
＋
b ＋12
≤2.
证明：∵a >0，b >0，且a ＋b ＝1， ∴
a ＋12
＋
b ＋12
＝
? ????a ＋12×1＋? ??
??b ＋12×1
≤
a ＋12＋12
＋
b ＋12＋1
2
＝
a ＋
b ＋32
＝4
2
＝2.
当且仅当a ＋12＝1，b ＋12＝1，即a ＝b ＝1
2时“＝”成立．
—————
—————————————— 利用基本不等式证明不等式的方法技巧
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
1．已知a >0，b >0，c >0，求证：bc a ＋ca b ＋ab
c
≥a ＋b ＋c .
证明：∵a >0，b >0，c >0， ∴bc a ＋ca b ≥2
bc a ·ca
b
＝2c ，
bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab
c ＝2b ， ca b ＋ab c
≥2 ca b ·ab
c
＝2a . 以上三式相加得：
2? ??
??bc a
＋ca b
＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋ab
c
≥a ＋b ＋c .
[例2] (1)(2012·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )
A.
24
5
B.285
C ．5
D ．6
(2)已知a >0，b >0，a 2
＋b 2
2＝1，则a 1＋b 2
的最大值为________．
[自主解答] (1)由x ＋3y ＝5xy ，得3x ＋1
y
＝5(x >0，y >0)，
则3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )? ????3x ＋1y ＝15?
?
???13＋12y x ＋3x y ≥15? ??
??13＋2
12y x
·3x y
＝1
5
(13＋12)＝5. 当且仅当12y x ＝3x
y
，即x ＝2y 时，
“＝”成立，此时由?
??
??
x ＝2y ，
x ＋3y ＝5xy ，解得????
?
x ＝1，y ＝1
2
.
(2)∵a >0， ∴a 1＋b 2
＝a 2
1＋b 2
＝ 2
a 2
? ??
??12＋b 2
2 ≤2·a 2＋12＋
b 2
22＝32
4
，
当且仅当????? a 2
＝12＋b 2
2
，
a 2
＋b
2
2＝1，
即???
??
a ＝3
2，b ＝22
时取等号．
∴a 1＋b 2
的最大值为324.
[答案] (1)C (2)32
4
—————
—————————————— 应用基本不等式求最值的条件
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
2．(1)函数y ＝a
1－x
(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(m ，n >0)
上，求1m ＋1
n
的最小值；
(2)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围． 解：(1)∵y ＝a
1－x
(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，
∴A (1,1)．又点A 在直线mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)上，∴m ＋n ＝1(m >0，n >0)．∴1m ＋
1
n
＝(m ＋n )·? ??
??1m ＋1n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，等号成立，∴1m ＋1n 的最小值为4.
(2)∵ab ＝a ＋b ＋3，又a ，b ∈(0，＋∞)， ∴ab ≥2ab ＋3.设ab ＝t >0，
∴t 2
－2t －3≥0.∴t ≥3或t ≤－1(舍去)． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．
[例3] 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－
k
2t ＋1
(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ [自主解答] (1)由题意有1＝4－k
1，
得k ＝3，故x ＝4－3
2t ＋1
.
故y ＝1.5×6＋12x
x
×x －(6＋12x )－t
＝3＋6x －t ＝3＋6? ????4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)． (2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1
－t
＝27.5－?????
???
9t ＋12＋? ???
?t ＋12.
基本不等式
9t ＋12
＋? ????t ＋12≥2
9
t ＋12
·?
????t ＋12＝6，
当且仅当
9
t ＋12
＝t ＋1
2，即t ＝2.5时等号成立． 故y ＝27－182t ＋1
－t ＝27.5－?????
???9t ＋12＋? ????t ＋12 ≤27.5－6＝21.5. 当且仅当
9
t ＋12＝t ＋1
2时，等号成立，即t ＝2.5时，y 有最大值21.5. 所以2014年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元． —————
—————————————— 解实际应用题时应注意的问题
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值； 3在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求.
4有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值.
3．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2
－600)万元作为技改费用，投入50
万元作为固定宣传费用，投入1
5x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a
至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
解：(1)设每件定价为x 元，依题意，有?
??
??8－x －25
1
×0.2x ≥25×8，整理得x 2－65x ＋1
000≤0，解得25≤x ≤40.
∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最高为40元． (2)依题意，x >25时，
不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋1
5x 有解，
等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋1
5有解，
∵
150x ＋1
6
x ≥2 150x ·1
6
x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
1个技巧——公式的逆用
运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2
＋b 2
≥2ab 逆用就是ab ≤
a 2＋
b 22
；
a ＋b
2
≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤?
??
??a ＋b 22(a ，b >0)等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．
2个变形——基本不等式的变形 (1)
a 2＋
b 22
≥?
??
??a ＋b 22
≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2)
a 2＋
b 22
≥
a ＋b
2
≥ab ≥
2
1a ＋1b
(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 3个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题
(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.
创新交汇——基本不等式在其他数学知识中的应用
1．考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题．
2．解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件．
[典例] (2012·湖南高考)已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝
8
2m ＋1
(m ＞0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，
D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，b
a
的最小值为( )
A ．16 2
B ．8 2
C ．83
4
D ．434
[解析] 数形结合可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝
x B －x D
x C －x A
，
根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以
x A ＝2－m
.同理可得x C ＝2
821
m -
+，x B ＝2m
，x D ＝2
821
m +，所以b a
＝821
8
212222m m m
m +-+--＝
821
821
2211
2
2m
m m m ++--＝
821821
8
21
22222
m
m m
m m m +++--＝2
8
21m
m +＋，由于
82m ＋1＋m ＝82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当8
2m ＋1
＝2m ＋12，即2m ＋1＝4，即m ＝32时等号成立，故b
a
的最小值为27
2＝8 2. [答案] B [名师点评]
1．本题具有以下创新点
(1)本题是对数函数的图象问题，通过分析、转化为基本不等式求最值问题． (2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，考查了考生分析问题、解决问题的能力．
2．解决本题的关键有以下几点 (1)正确求出A 、B 、C 、D 四点的坐标；
(2)正确理解a ，b 的几何意义，并能正确用A 、C 、B 、D 的坐标表示； (3)能用拼凑法将m ＋82m ＋1(m >0)化成利用基本不等式求最值的形式．
[变式训练]
1．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列x ，c ，d ，y 成等比数列，则
a ＋
b 2
cd
的最
小值是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
解析：选D 由题知a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，x >0，y >0，则
a ＋
b 2
cd
＝
x ＋y 2
xy
≥
2xy 2
xy
＝4，当且仅当x ＝y 时取等号．
2．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2
＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a
＋
1
b
的最小值为( ) A.14
B. 2
C.3
2＋ 2 D.3
2
＋2 2 解析：选C 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝? ????12a ＋b ? ????1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a
2b
，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号． 3．若x >0，y >0，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是________． 解析：由x ＋y ≤a x ＋y ，得a ≥
x ＋y
x ＋y
， 令f (x ，y )＝
x ＋y
x ＋y
， 则f (x ，y )＝x ＋y
x ＋y
＝
x ＋y 2
x ＋y
＝
1＋2xy x ＋y
≤
1＋2xy 2xy
＝2，当且仅当x ＝y 时等号成立．故a ≥ 2.
答案： 2
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2
＋14)＞lg x (x ＞0)
B ．sin x ＋
1
sin x
≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2
＋1≥2|x |(x ∈R ) D.
1
x 2
＋1
＞1(x ∈R ) 解析：选C 取x ＝12，则lg ? ????x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故
排除B ；取x ＝0，则
1
x ＋1
＝1，故排除D. 2．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a
A ．a B ．v ＝ab C.ab a ＋b 2 D ．v ＝ a ＋b 2 解析：选A 设甲、乙两地的距离为S ，则从甲地到乙地所需时间为S a ，从乙地到甲地所需时间为S b ，又因为a 2S S a ＋ S b ＝ 2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ， 2ab a ＋b >2ab 2b ＝a ，即a b 的最小值是( ) A.1 4 B ．1 C ．4 D ．8 解析：选C 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得???? ? a ＋ b ＝1，a >0， b >0. 故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1 ab ≥ 1? ????a ＋b 22＝1 ? ?? ??122＝4. 当且仅当a ＝b ＝1 2 时上式取“＝”． 4．(2013·淮北模拟)函数y ＝x 2＋2 x －1 (x >1)的最小值是( ) A ．23＋2 B ．23－2 C ．2 3 D ．2 解析：选A ∵x >1，∴x －1>0， ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1 ＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1 ＝x －12 ＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3 x －1 ＋2 ≥2· x －1·3 x －1 ＋2＝23＋2， 当且仅当x －1＝ 3 x －1 ，即x ＝1＋3时，取等号． 5．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋ b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4 C ．－4 D ．－2 解析：选C 由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－ a ＋ b 2 ab ，而 a ＋ b 2 ab ＝b a ＋a b ＋2≥4(a ＝b 时 取等号)，所以－ a ＋ b 2 ab ≤－4，因此要使k ≥－ a ＋ b 2 ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数 k 的最小值等于－4. 6．(2013·温州模拟)已知M 是△ABC 内的一点，且AB ·AC ＝23，∠BAC ＝30°， 若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4 y 的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．16 D ．19 解析：选B 由AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos 30°＝23得|AB |·|AC |＝4，S △ABC ＝12 |AB |·|AC |sin 30°＝1， 由12＋x ＋y ＝1得x ＋y ＝12 . 所以1x ＋4y ＝2? ????1x ＋4y ·(x ＋y )＝2? ?? ??5＋y x ＋4x y ≥2×(5＋2×2)＝18. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处． 解析：设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x ；y 2＝0.8x 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋ 20x ≥2 0.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20 x ，即x ＝5时“＝”成立． 答案：5 8．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)． ①ab ≤1 ②a ＋b ≤ 2 ③a 2 ＋b 2 ≥2 ④a 3 ＋b 3 ≥3 ⑤1a ＋1 b ≥2. 解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤ a ＋ b 2 4 ＝1，当且仅当a ＝b 时取 等号，故①正确；(a ＋b )2 ＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于 a 2＋ b 22 ≥ a ＋ b 2 4 ＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；a 3＋b 3 ＝ (a ＋b )(a 2 ＋b 2 －ab )＝2(a 2 ＋b 2 －ab )，∵ab ≤1，∴－ab ≥－1，又a 2 ＋b 2 ≥2，∴a 2 ＋b 2 －ab ≥1，∴a 3＋b 3 ≥2，故④错误；1a ＋1b ＝? ????1a ＋1b ·a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b 2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取 等号，故⑤正确． 答案：①③⑤ 9．(2013·泰州模拟)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 解析：依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6，x ＋2y ≥4，当且仅当x ＋1＝2y ＋1，即x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值是4. 答案：4 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知a >0，b >0，c >0，d >0.求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ≥4. 证明： ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ＝a b ＋c d ＋b a ＋d c ＝? ????a b ＋b a ＋? ?? ?? c d ＋d c ≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b ，c ＝d 时，取“＝”)，故ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ≥4. 11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值． 解：(1)∵x >0，y >0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ， 即xy ≥8xy ，∴xy ≥8，即xy ≥64. 当且仅当2x ＝8y ， 即x ＝16，y ＝4时，“＝”成立． ∴xy 的最小值为64. (2)∵x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， ∴2x ＋8y ＝xy ，即2y ＋8 x ＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )·? ????2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8y x ＝18， 当且仅当2x y ＝8y x ，即x ＝2y ＝12时“＝”成立． ∴x ＋y 的最小值为18. 12．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度 达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式； (2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时) 解：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ， 则由已知得? ?? ?? 200a ＋b ＝0， 20a ＋b ＝60，解得????? a ＝－1 3，b ＝200 3. 故函数v (x )的表达式为 v (x )＝???? ? 60，0≤x ＜20，1 3200－x ，20≤x ≤200. (2)依题意并由(1)可得 f (x )＝???? ? 60x ，0≤x ＜20，1 3 x 200－x ，20≤x ≤200. 当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，f (x )取得最大值为60×20＝1 200； 当20≤x ≤200时，f (x )＝1 3x (200－x )≤ 13? ??? ??x ＋200－x 22＝10 000 3， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立． 所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 000 3. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 000 3 ≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时． 1．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________． 解析：log 2a ＋log 2b ＝log 2ab .∵log 2a ＋log 2b ≥1，∴ab ≥2且a ＞0，b ＞0.3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥23a ·32b ＝23a ＋2b ≥23 2 2ab ≥23 2×2 ＝18，当且仅当a ＝2b ，∴3a ＋9b 的最小值为 18. 答案：18 2．设a ，b 均为正实数，求证：1a ＋1 b ＋ab ≥2 2. 证明：由于a 、b 均为正实数， 所以1a 2＋1 b 2≥2 1 a 2 ·1b 2＝2ab ， 当且仅当1a 2＝1 b 2，即a ＝b 时等号成立， 又因为2 ab ＋ab ≥2 2 ab ·ab ＝22， 当且仅当2 ab ＝ab 时等号成立， 所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2 ab ＋ab ≥22， 当且仅当????? 1a 2 ＝1b 2 ， 2 ab ＝ab ， 即a ＝b ＝4 2时取等号． 3．已知x <54，求f (x )＝4x －2＋1 4x －5 的最大值． 解：因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－? ????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋ 3＝1. 当且仅当5－4x ＝1 5－4x ，即x ＝1时，等号成立． 4．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分) 组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1| |B 1C 1| ＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米， 由a 2 x ＝4 000，得a ＝2010x . 则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2 x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160 ＝8010(2x ＋ 5 x )＋4 160(x >1)． (2)8010? ? ? ?? 2x ＋ 5x ＋4 160≥8010×2 2x × 5 x ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760. 当且仅当2x ＝ 5 x ，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米． 上海乌托邦教育 2014年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（共14题，满分56分） 1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是_________． 2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=_________． 3．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 _________． 4．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_________．5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________． 6．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）． 7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 _________． 8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=_________．9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是_________． 10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_________（结果用最简分数表示）． 11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=_________． 12．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= _________． 13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为_________． 14．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上 的Q使得+=，则m的取值范围为_________． 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分 2014年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．（5分）（2014?北京）已知集合A＝{x|x2﹣2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（2014?北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（） A．y＝B．y＝（x﹣1）2 C．y＝2﹣x D．y＝log0.5（x+1） 3．（5分）（2014?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（） A．在直线y＝2x上B．在直线y＝﹣2x上 C．在直线y＝x﹣1上D．在直线y＝x+1上 4．（5分）（2014?北京）当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） A．7B．42C．210D．840 5．（5分）（2014?北京）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列” 的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 6．（5分）（2014?北京）若x，y满足，且z＝y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（） A．2B．﹣2C．D．﹣ 7．（5分）（2014?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（） A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3 C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1 8．（5分）（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人B．3人C．4人D．5人 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?北京）复数（）2＝． 10．（5分）（2014?北京）已知向量，满足||＝1，＝（2，1），且+＝（λ∈R），则|λ|＝． 11．（5分）（2014?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2＝1具有相同渐近线，则 C的方程为；渐近线方程为． 12．（5分）（2014?北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝时，{a n}的前n项和最大． 13．（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种． 14．（5分）（2014?北京）设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0） 若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）＝f（）＝﹣f（），则f（x）的最小正周期为． 2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（理工类） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 （选择题 共50分） 注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共10小题。 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．已知集合2 {|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ?= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 2．在6 (1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 A ．向左平行移动 12个单位长度 B ．向右平行移动1 2 个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c < 5． 执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =， c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是 绝密★启封前 机密★使用完毕前 2０１3年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理)（北京卷) 本试卷共5页，１50分，考试时长1２0分钟,考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题 共4０分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共４0分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{}101A =-， ，,{}|11B x x =-<≤，则A B = Ａ.{}0 B.{}10-， ? C.{}01，?Ｄ.{}101-，， （2)在复平面内,复数()2 2i -对应的点位于（ ) A.第一象限?Ｂ．第二象限?C ．第三象限 D.第四象限 （3)“π?=”是“曲线()sin 2y x ?=+过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件?? ?B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件? D.既不充分也不必要条件 （4)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．1? B ． 23??C.1321 D.610987 （５）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称,则()f x = A ．1e x +????B.1e x - Ｃ.1e x -+? D.1e x -- (6)若双曲线22 221x y a b -= 则其渐近线方程为 A ．2y x =± ?? B.y = C ．1 2 y x =± D ．y = (７)直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43 ? ?B ．2 Ｃ．8 3 ? 2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 圆柱的侧面积公式：cl S =圆柱侧，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式：Sh V =圆柱, 其中S 是圆柱的底面积,h 为高. 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ . 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2 个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数x y cos =与)2sin(?+=x y (0≤π?<),它 们的图象有一个横坐标为 3 π 的交点,则?的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率 分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 开始 0←n 1+←n n 202>n 输出n 结束 （第3题） N Y 组距 频率 100 80 90 110 120 130 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 底部周长/cm （第6题） 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 2014年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 2 y= 3．（5分）（2014?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（） （ （ 4．（5分）（2014?北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） 1＞ 6．（5分）（2014?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为 作出可行域如图， （﹣ （﹣ ﹣ 7．（5分）（2014?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx ， = 8．（5分）（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?北京）复数（）2=﹣1． ） 10．（5分）（2014?北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|= ． =．由于向量，|，且+（ = ，满足||=1=+=（ 故答案为： 11．（5分）（2014?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则 C的方程为；渐近线方程为y=±2x． ﹣具有相同渐近线的双曲线方程可设为 ， ﹣， 故答案为：， 12．（5分）（2014?北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大． 13．（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种． 2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1． 满足 (z i i i z +=为虚数单位）的复数z = A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122 i -- 2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则 A ．123 p p p =< B ．231 p p p =< C ．132p p p =< D ．123p p p == 3．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++ (1)(1)f g +则＝ A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 4．5 1(2)2 x y -的展开式中23 x y 的系数是 A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20 5．已知命题2 2 :,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题 ①p q ∧②p q ∨③()p q ∧?④()p q ?∨中，真命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于 A ．[6,2]-- B ．[5,1]-- C ．[4,5]- D ．[3,6]- 7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2014年北京高考数学（理科）试题 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ) .{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） .A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ =-+??=+?（θ为参数）的对称中心（ ） .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ） .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥?? -+≥??≥? 且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ） .2A .2B - 1.2C 1 .2 D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ） （A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9.复数2 11i i +?? = ?-?? ________. 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则 λ=________. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2 214 y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________. 12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(?ω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2 ,6[π π上具有单调性，且 ?? ? ??-=??? ??=??? ??6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 绝密★启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 I 卷 ) 数 学(理科 ) 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x 2 2x 3 0 } ， － ≤＜＝，则A B = B={ x | 2 x 2 A .[-2,-1] B .[-1,2 ） C .[-1,1] D .[1,2） (1 i )3 2. (1 i ) 2 = A .1 i B .1 i C . 1 i D . 1 i 3.设函数 f ( x) ， g( x) 的定义域都为 R ，且 f ( x) 时奇函数， g (x) 是偶函数，则下列结论正确的 是 A . f (x) g( x) 是偶函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 C .f (x) | g( x) 是奇函数 D .|f ( x) g ( x) 是奇函数 | | 4.已知 F 是双曲线 C ： x 2 my 2 3m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 A . 3 B .3 C . 3m D . 3m 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率 A . 1 B . 3 C . 5 D . 7 8 8 8 8 6.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边 为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0, ]上的图像大致为 专题10：三角函数 1.（2012年海淀一模理11）若1tan 2α= ，则cos(2)απ 2 += . 2.（2012年西城一模理5）已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=（ ） A ．2 B ．1 C ． 12 D ．1 4 3．（2012年门头沟一模理4）在ABC ?中，已知4 A π ∠=，3 B π ∠= ，1AB =，则BC 为 （ ） 1 1 4.（2012年东城11校联考理11）在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，若 sin A C =， 30=B ，2=b ，则边c = . 5.（2012年房山一模11）已知函数()()?ω+=x x f sin （ω>0, π?<<0）的图象如图所示，则ω=_ _，?=_ _. 6．（2012年密云一模理6） 已知函数sin(),(0,||)2 y x π ω?ω?=+>< 的简图如右上图， 则 ω ? 的值为（ ） A. 6π B. 6π C. 3π D. 3π 7.（2012年西城二模理9）在△ABC 中，BC ，AC =，π 3 A =，则 B = _____． 8.（2012年海淀二模理1）若sin cos 0θθ<，则角θ是（ ） A ．第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角 x y O π2π 1 -1 9.（2012年朝阳二模理4）在△ABC 中， 2AB = ，3AC = ，0AB AC ?< ，且△ABC 的面积为3 2 ，则BAC ∠等于（ ） A ．60 或120 B ．120 C ．150 D ．30 或150 10.（2012年昌平二模理9）在?ABC 中，4 ,2,2π ===A b a 那么角C =_________. 11.（2012年东城二模理11）在平面直角坐标系xOy 中，将点 A 绕原点O 逆时针旋转 90到点 B ，那么点B 的坐标为____，若直线OB 的倾斜角为α，则sin2α的值为 ． 12.（2012年海淀二模理11）在AB C ?中，若 120=∠A ，5c =，ABC ? 的面积为， 则a = . 13．（2013届北京大兴区一模理科） 函数()cos f x x =（ ） A ．在ππ (,)22 -上递增 B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减 C ．在ππ (,)22 -上递减 D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增 14．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数sin() y A x ω?=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能．．是（ ） A ．41 sin(2)55y x =+ B ．31 sin(2)25y x = + C ．441 sin()555 y x =- D ．441 sin()555 y x =+ 15．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题）函数2sin()y x ω?=+在一个 周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ） A ．2sin(2)4 y x π =- B ．2sin(2)4y x π =+ C ．32sin()8 y x π =+ D ．72sin()216 x y π =+ 16．（2013届北京大兴区一模理科）函数 f x x x ()s i nc o s =的最大值是 。 2014年北京市高考数学（理科）试题及答案 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ) .{0}A .{0,1} B .{0,2} C .{0,1,2} D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） .A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ =-+??=+?（θ为参数）的对称中心（ ） .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 4.当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ） .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥??-+≥??≥? 且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ） .2A .2B - 1.2C 1.2 D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ） （A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9.复数211i i +??= ?-?? ________. 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2 214 y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________. 因为+10n a ≠，所以+2n n a a λ-=. （2）由题设11a =，1211a a S λ=-，可得21a λ=-， 由（1）知31a λ=+，若{}n a 为等差数列，则2132a a a =+，解得4λ=，故+24n n a a -=.由此可得21{}n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143n n a -=-；2{}n a 是首项为3，公差为4的等差数列，2=41n a n -.所以21n a n =-，+1n n a a -=2.因此存在4λ=，使得数列{}n a 为等差数列. 【提示】根据等差数列知识完成证明，求出使得{}n a 为等差数列的参数λ 【考点】等差数列 18.【答案】（1）200=平均数 2150s = （2）（i ）0.6826 （ii ）68.26 【解析】（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差2s 分别为： 平均数1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200=?+?+?+?+?+?+?=. 2222222(30)(20)(10)0020090220033102420008300025010s ---=?+?+?+?+?+?+?=．．．．．．．. （2）（i ）由（1）知(200,150)Z N :，从而187821222001222001220.682()6)(P Z P Z <<=-<<+=．．．．. （ii ）由（i ）知，一件产品的质量指标值位于区间1878,2(212)．．的概率为06826．，依题意知100,0682 ()6X B ～．，所以100068266826EX =?=．．. 【提示】给出频率分布直方图求平均数和方差，利用正态分布求概率. 【考点】平均数和方差及正态分布 19.【答案】（1）证明：连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ，因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C ⊥1BC ， 且O 为1B C 及1BC 的中点.又AB ⊥1B C ，所以1B C ⊥平面ABO . 由于AO ?平面ABO ，故1B C ⊥AO .又1B O CO =，故1AC AB =. （2）因为AC ⊥1AB ，且O 为1B C 的中点，所以AO CO =. 又因为AB BC =，所以BOA BOC △△≌.故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两垂直. 以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，||OB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 因为∠160CBB ?=，所以1CBB △为等边三角形， 2014届高考数学最后一讲 一、主要考点： （一）、填空题 1．复数，2．集合（简易逻辑），3．双曲线与抛物线，4．统计，5．概率，6．流程图，7．立体几何，8．导数，9．三角，10．向量，11．数列，12．解析几何，13．不等式，14．杂题（函数） 填空题的能力题体现在考试说明中的C级（8个）以及B级（36个）中，近几年，主要体现在：导数，三角计算，解析几何（直线与圆），平面向量（基本定理与数量积），不等式（线性规划、基本不等式或函数），数列综合，函数综合等． （二）、解答题 15．三角与向量，16．立体几何，17．应用题，18．解析几何，19．数列，20．函数综合二：时间安排（参考意见） 填空题（用时40分钟左右）：1—6题防止犯低级错误，平均用时在2分钟左右。 7—12题防止犯运算错误，平均用时在2.5分钟左右。13—14防止犯耗时错误，平均用时在5分钟左右。 解答题（用时在85分钟左右）：15—16题防止犯运算和表述错误，平均用时10分钟左右。17—18题防止犯审题和建模错误，平均用时在15分钟左右。19—20题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误，平均用时在16分钟左右。 三：题型分析 （一）填空题：解题的基本方法一般有：①直接求解法；②数形结合法；③特殊化法(特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、特殊点法、特殊方程法、特殊模型法)；④整体代换法；⑤类比、归纳法；⑥图表法等． （二）解答题：是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，分值占90分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇)、解析几何(或与平面向量交汇)．从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，最后几天时间里，能不断回顾之前做过的典型题目，从知识、方法等层面进行反思做到触类旁通，举一反三；考场上能将平时所掌握的知识、学到的方法体现在你的解题中，将你会做的做对，相信你的高考数学一定能取得满意成绩！！！ 四：特别提醒： (1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分．解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分． (2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分．我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略．对此可以采取以下策略： ①缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半． ②跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的．这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答． ③辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步 2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷 文科数学 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =（ ） A.{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C.{}1,2 D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A.x y e -= B.y x = C.ln y x = D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A.1 D.15 输出 5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“2 2 a b >”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 6.已知函数()26 log f x x x = -，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 7.已知圆()()2 2 :341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点 P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图 记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 2014年普通高等学校招生全国统一考试（卷） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={}，，则 ▲ . 2. 已知复数(i 为虚数单位),则的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的的值是 ▲ . 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数与(0≤),zxxk 它们的图象有一个横坐 标为 的交点,则的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则 在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 7. 在各项均为正数的等比数列中,,则的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分 别为，，若它们的侧面积相等，且，则 的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系中,直线被圆 截得的弦长为 ▲ . 10. 已知函数若对于任意,都有成立,则实数的 取值围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系中，若曲线(a ，b 为常数) zxxk 过点，且该曲线在点P 处的切线与直线平行，则的值是 ▲ . 12. 如图，在平行四边形中，已知，， 4,3,1,2--}3,2,1{-=B =B A 2)i 25(+=z z n x y cos =)2sin(?+=x y π?<3 π ?}{n a , 12=a 4682a a a +=6a 1S 2S 1V 2V 4 921=S S 2 1 V V xOy 032=-+y x 4)1()2(22=++-y x ,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)( 2014年高考理科数学新课标1卷分析版 一、选择题（题型注释） 1．已知集合{} {}22|,032|2 <≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B A I （ ） A ．]1,2[-- B ． )2,1[- C.．]1,1[- D ．)2,1[ 【答案】A 【分析】 试题分析：由已知得，{ 1A x x =≤-或}3x ≥，故{} 21A B x x =-≤≤-I ，选A ． 【考点定位】1、一元二次不等式解法；2、集合的运算． 2． =-+2 3 )1()1(i i （ ） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --1 【答案】D 【分析】 试题分析：由已知得 =-+23)1()1(i i 22(1)(1)2(1) 1(1)2i i i i i i i +++==----． 【考点定位】复数的运算． 3．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A ．)()(x g x f 是偶函数 B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C.．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数 【答案】C 【分析】 试题分析：设()()()H x f x g x =，则()()()H x f x g x -=--，因为)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，故()()()()H x f x g x H x -=-=-，即|)(|)(x g x f 是奇函数，选C ． 【考点定位】函数的奇偶性． 4．已知F 为双曲线C :)0(32 2 >=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A. 3 B. 3 C. m 3 D. m 3 【答案】A 【分析】 试题分析：由已知得，双曲线C 的标准方程为22133 x y m -=．则2 33c m =+， 33c m =+ 2014年高考数学全国二卷(理科)完美版 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题共60分) 2014·新课标Ⅱ卷第1页一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝() A．{1}B．{2} C．{0,1}D．{1,2} 2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝() A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i 3．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝() A．1 B．2 C．3 D．5 4．钝角三角形ABC的面积是1 2，AB＝1， BC＝2，则AC＝() A．5 B. 5 C．2 D．1 5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是() A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A.1727 B.59 C.1027 D.13 7．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．设x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0， 3x －y －5≥0， 则z ＝2x －y 的最大值为( ) A ．10 B ．8 C ．3 D ．2 10．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94 11．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.22 2014·新课标Ⅱ卷 第2页12.设函数f (x )＝ 3sin πx m .若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2 2014年江苏高考数学真题及答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．． ． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A I ▲. 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为▲. 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是▲. 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲. 5. 已知函数x y cos =与)2sin(?+=x y (0≤π?<),zxxk 它们的图象有一个横坐标为 3 π的交点,则?的值是▲. 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测 的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm. 7. 在各项均为正数的等比数列} {n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是▲. 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等， 且4921=S S ，则2 1V V 的值是▲. 9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲. 10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(2014年上海市高考数学试卷(理科)
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