2012各省数学竞赛汇集
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题（70分）
1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.
2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-u u u r u u u r u u u r u u u r
则AC =___4____.
3、从集合
{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为
_____
3
10
_______. 4、已知a 是实数，方程2
(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位）
，则
||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22
1124
x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且
倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜
率为___1
2
____.
6、已知a 是正实数，lg a k
a =的取值范围是___[1,)+∞_____.
7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的
体积为____________.
8
、
已
知
等
差
数
列
{}
n a 和等比数列
{}
n b 满足：
11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.
（*
n N ∈）
9、将27,37,47,48,557175，
，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.
10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组
(,,)a b c 的个数为__24___.
二、解答题（本题80分，每题20分）
11、在ABC ?中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b C c B a +=
（2）
2
2sin cos cos 2
C A B
a b
c
+=
+
12、已知
,a b
为实数，
2
a >，函数
()|ln |(0)
a
f x x b x x
=-+>.若
(1)1,(2)ln 212
e
f e f =+=
-+. （1）求实数,a b ； （2）求函数
()f x 的单调区间；
（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <
13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线
OM
上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点
C ，
D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.