《生活中的优化问题举例》教学案
教学目标：
能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题．
教学重点：
利用导数知识解决实际中的最优化问题．
教学难点：
将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．
教学过程：
背景知识：生活中经常遇到求面积体积最大、利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为__________问题.
通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题.
一、知识回顾
利用导数求函数最值的步骤？(1)先求___________；
(2)再____________.
二、新课探究：
探究(一)：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
思考1：设哪个量为x，函数式子更简单？版心的高，宽，海报的高，宽？
思考2：设版心的高为x，则版心的宽为___________，海报的高为___________，海报的宽为___________？海报的面积为___________？海报四周空白的面积为___________？
思考3：设海报四周空白的面积为S(x)，则S(x)的最简表达式如何？其定义域是什么？
思考4：用什么方法求S(x)的最大值？能想到几种方法？
解法一：
解法二：
方法感悟：
解决面积、容积的最值问题，要合理选择自变量，结合图形，将面积或容积表示为自变量的函数，并确定函数定义域.
探究(二)：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r π分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
思考1：1mL 饮料所占的体积是多少3cm ？半径为r 的瓶子最多能装多少mL 的饮料？出售每瓶饮料制造商可获利多少？
思考2：每瓶满装的饮料的利润(单位：分)是多少？
思考3：设每瓶满装饮料的利润为f (r )，则函数f (r )的定义域是什么？解：
方法感悟：
解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
三、课堂检测练习
1：将一段长为12cm 的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为多少？
分析：可设哪个量为x ？
2：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8
125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？
分析：利润L =___________减去___________，而收入R =___________乘以_________．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．
3:在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
分析：设箱底边长为x ，则箱底面积为___________？箱子高为___________？箱子容积=___________？
4. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格P (元/吨)之间
的关系为P ＝24200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50000＋200x 元．问该产品每月生产多少吨
产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)．
[分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝px ，月利润＝月收入－成本＝px －(50000＋200x )(x ≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值
四、小结
解决生活中的优化问题的基本步骤
1、建立实际问题的数学模型，写出函数关系式；
2、求函数的导数，求出极值点；
3、确定最大(小)值；
4、作答
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