第2节 消元 代入消元法（1）
要点突破
一、代入法解二元一次方程组
由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。代入法解二元一次方程组需要注意以下几点：①正确用代入法解二元一次方程组的一般步骤；②从方程组中选一个系数比较简单的方程变形；③求得的两个未知数的值要用大括号括起来。 二、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成y ＝ax ＋b （或x ＝ay ＋b ）的形式。
②将y ＝ax ＋b （或x ＝ay ＋b ）代入另一个方程中，消去y （或x ）得到一个关于关于x （或y ）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；
④把求得的x （或y ）的值代入y ＝ax ＋b （或x ＝ay ＋b ）中，求出y （或x ）的值。 ⑤把求得的x ，y 的值用“{”联立起来，就是方程组的解。 典例剖析：
例 （2007年南京市）解方程组4
25x y x y +=??-=?
思路探索：由x ＋y ＝4变形得y ＝4－x ③，把③代入②求得x 的值。
解析：由①得：y ＝4－x ③
把③代入②得：2(4)5x x --= 解得：x ＝3
把x ＝3代入③得：y ＝1 ∴这个方程组的解为3
1
x y =??
=? 规律总结：利用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
1°选择一个系数比较简单的二元一次方程，把这个方程化成y kx b =+（或x ky b =+）的形式。
2°将y kx b =+（或x ky b =+）代入另一个方程，得到一个关于x （或y ）的一元一次方程，解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值。
3°将求得的x （或y ）的值代入y kx b =+（或x ky b =+）中，求出另一个未知数。 课时达优：
一、精心填一填，你会轻松（每题5分，共30分）
1、已知35x y +=，用含x 的式子表示y ＝ __________________，用含有y 的代数式表示x ＝________________.
①②
2、方程532x y -=-的一个解中2x =，那么这个解中，y ＝___________.
3、若方程1y x =-的解也是方程325x y +=的解，则x ＝_______，y ＝________.
4、用代入消元法解方程组3
237y x y x =-??+=? 可以消去未知数_____，把____代入____.
5、若31
25
x k y k =-??
=-+?是方程3226x y -=的解，则k ＝_______。
6、若12x y =??
=-?是方程组7
1mx ny mx ny +=??-=-?
的解，则m ＝_______，n ＝_______.
二、耐心选一选，你会开心（每题5分，共30分） 7、下列用代入法解方程组32
3112x y x y
-=??=-? 的步骤，其中最简单，正确的是（ ）
A 、由①，得23y x +=
③，把③代入②，得2
31123
y y +?
=- B 、由①，得32y x =-③，把③代入②，得3112(32)x x =-- C 、由②，得1132x y -=
③，把③代入①，得113322
x
x --
= D 、由②代入①，得1122y y --=（把3x 看作一个整体） 8、对于方程3x －2y －5＝0，用含y 的代数式表示x ，应是（ ） A 、y ＝6x －10 B 、3225y x =
- C 、1
(25)3
x y =+ D 、615x y =+ 9、若352220x y x y +++--=，则223x xy -的值是（ ） A 、14 B 、－4 C 、－12 D 、12 10、已知x ＋3y ＝0，则
3232y x
y x
+-的值为（ ）
A 、
13 B 、－1
3
C 、3
D 、－3 11、若方程组431
(1)3
x y ax a y +=??
+-=?的解x 与y 相等，则a 的值等于（ ）
A 、4
B 、10
C 、11
D 、12 12、已知32x y =-??
=-?是方程组1
2
ax cy cx by +=??-=?的解，则a ，b 间的关系是（ ）
A 、491b a -=
B 、321a b +=
C 、491b a -=-
D 、491b a +=
①②①②
三、细心做一做，你会成功（共40分） 13、用代入法解下列方程组
（1）37x y x ??+=?＝ （2）411
y x x y ????+=?2
=3
14、用代入法解下列方程组
（1）2332x y y x ??=+?
＝ （2）452(1)5(1)x y x y =??+=-?-
15、已知21x y =??=-?是方程组431
ax y b
x by a +=??-=-?的解，求a ，b 的值.
16、已知x ＋y ＝30，x －y ＝20，求2
1
(3)12.75
x y --的值.
第二课时 代入消元法（2）
要点突破
本节课继续学习代入消元法，代入消元法的第一步是选一个系数比较简单的方程，怎么的方程才是系数比较简单的方程，并不是系数越小，要根据具体问题具体讨论，如
283
354x y y x
=-??
=-?这个方程中x 的系数成倍数关系，我们就应该把第一方程直接代入第二个方程。学习了本节课的内容，你还能发现许多巧妙的代入方法。
典例剖析： 例1：解方程组5613(1)
7181(2)
x y x y +=??
+=-?
思路探索：本题如果直接使用代入法解题，计算过程较繁琐，仔细观察题目我们可以发现两个方程中y 的系数正好呈倍数关系，因此我们可以把6y 看作一个整体代入（2）式。 解析：由方程（1），得6135y x =-③
把③代入方程②，得73(135)1x x +-=-。整理，得840x =
∴5
2x y =??
=-?
规律总结：本题是将6y 作为一个整体代入方程（2），这种方法叫整体代入法。整体代入法适合两个方程中有呈倍数关系的的方程组，是解方程或方程组常常采取的一种方法。 例2：（2007上海市）2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如表所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据．已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额．
思路探索： 我们可以设表中缺失的两个数据为x 、y ，根据题目中提供的两个相等关系“已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍”“累计降价的总金额为269亿元”列出两个二元一次方程，从而得出一个二元一次方程组。
解析：设2003年和2007年的药品降价金额分别为x 亿元、y 亿元． 根据题意，得6543540269
y x
x y =??
++++=?
解方程组，得20
120x y =??=?
答：2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元
规律总结：列二元一次方程组解决实际问题，设出两个未知数，根据题目中的两个相等关系，列出一个二元一次方程组，解这个二元一次方程组。
课时达优：
一、精心填一填，你会轻松（每题5分，共30分）
1、在式子mx ny +中，当x ＝5，y ＝－1时，这个式子的值为0；当x ＝3，y ＝5时，它的值是28，则m ＝______，n ＝_______.
2、已知方程组35471x y x y -=??
-=?与4
6
ax by ax by -=??+=?的解相同，则a ＝________，b ＝_________。
3、已知a －3b ＝2a ＋b －15＝1，则2
2
43a ab b -++的值为___________。
4、若关于x 、y 的二元一次方程组2351
x y k
x y k +=??
+=-?的解x 与y 的差是7，则k ＝______。
5、若x ＝
1
2时，关于x 、y 的二元一次方程组212
ax y x by -=??=?－的解，x 、y 互为倒数，则a －2b ＝_________。
6、把一个长方形的长减少4cm ，宽增加2cm ，得到一个正方形，它的面积与原长方形的面积相等，则原来长方形的长为_______，宽为________。 二、耐心选一选，你会开心（每题5分，共20分）
7、解方程组3476(1)
91025(2)m n m n -=??
-+?
的最好方法是（ ）
A 、由（1）得743n m +=
，再代入（2） B 、由（2）得25109
n
m +=，再代入（1） C 、由（1）得374m n =+，再代入（2） D 、由（2）得92510m n =+，再代入（1）
8、已知24x y =-??
=?和4
1
x y =??=?都是方程y ax b =+的解，则（ ）
A 、125a b ?=???=?
B 、123a b ?=-???=?
C 、121a b ?=???=-?
D 、121
a b ?=-???=-?
9、已知甲、乙两人的收入之比为3∶2，支出之比为7∶4，一年后，两人各余400元，若甲的收入为x 元，支出为y 元，可列出的方程组为（ ）
A 、4002740034x y x y -=???+=??
B 、4003440027x y x y =+???-=??
C 、4002440037x y x y -=???=??－
D 、40027
4003
4x y x y -=???-=?? 10、古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的。驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所托货物的袋数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 三、细心做一做，你会成功（共50分） 11、已知方程10mx ny +=的解为12x y =-??=?及2
1
x y =??=-?，求3m ＋7n 的值.
12、解方程：
（1）
3121
41)3(5)
x y
y x
-
?
?
-=+
?
（）＝（－）
（
（2）
4
52
3
157
x y
x y
?
-=
??
?
?-=-
??
－
（3）52
3222
x y
x y
?
=
?
?
?-=
?
13、已知方程组
62
93
x y
x y k
=-
?
?
-=-
?
有正整数解，求k的值.
14、解方程组：
232(2)
1
45
3(23)2
40 45
x y x y
x y x y
-+
?
+=
??
?
-+
?-+=??
15、开学后书店向学校推销两种素质教育图书，如果按原价买这两种书共需880元，书店推销时，第一种书打了八折，第二中书打了七五折，结果两种书共少用了200元。那么这两种书的原价各是多少元？
第三课时消元（3）
要点突破
一、加减消元法
通过加减达到消元目的，从而求得方程组的解的方法叫做加减消元法。加减消元法的理论依据是：等量加等量，和相等；等量减等量，差相等；互为相反数两数相加得0。
二、什么时候可以运用加减消元法
当方程组中两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，我们就可以运用加减消元法，运用时我们只需将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，
注意：①正确用加减法解二元一次方程组的一般步骤；
②求解不完整，只求一个未知数的值；
③方程两边同乘以一个不等于零的数，容易出现漏项。
运用加减消元法解方程组时，首先要观察两个方程同一个未知数的系数，如果系数相等，那就将这两个方程直接相减；如果系数互为相反数，则将两个方程相加，就可以消去该未
知数。 典例剖析：
例 :（2007年长春）方程组34231
x y x y +=??
-=-?，
的解是（ ）
A 、11x y =-??=-?
B 、11x y =??=?
C 、2
2x y =-??=?
D 、21x y =-??=-?
思路探索：观察方程组，我们可以发现y 的系数分别是3和－3，它们是一对互为相反数，我
们将方程①和方程②相加就可以消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程。 解析：①＋②得：
3x ＝3 x ＝1
把x ＝1代入方程①代入方程② 1＋3y ＝4 y ＝1 解得：1
1
x y =??
=? 规律总结：当二元一次方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数时，这时我们可以将两个方程通过相加或相减达到消元的目的。 课时达优：
一、精心填一填，你会轻松（每题5分，共30分） 1、方程组231252x y x y -=??
+=-?中，x 系数的特点是_____________，方程组548
746
x y x y +=??-=?中，y
的系数的特
点
是
________________，这两个方程组用_________
消元法解较方便。
2、用加减法解方程组29
25
x y x y +=??
-=-?
解：①＋②，得____________，即____________. ①－②，得____________，即____________. 所以方程组的解为_________________. 3、用加减法解方程组2728x y x y +=??+=?①②
可将方程①两边同乘以__________，再与方程②相
_____。
4、方程组1325y x
x y =-??+=?
的解________（填“是”或“不是”）方程3213x y -=的一个解。
5、若234a b +=和35a b -=-能同时成立，则a ＝_______，b ＝_______。
6、一个两位数的十位数与个位数的和是9，如果这个两位数加上27，那么恰好成为个位数与十位数对调后组成的两位数，求原来的两位数为________。
①
②
二、耐心选一选，你会开心（每题5分，共30分） 7、用加减法解方程组235
283
x y x y -=??
-=?时，①－②得（ ）
A 、52y =
B 、118y =－
C 、112y =－
D 、58y = 8、已知27
28
x y x y +=??+=?，那么x y -的值是（ ）
A 、－1
B 、0
C 、1
D 、2 9、方程组326254x y x y -=??
=?①－②
将①×2－②×3得（ ）
A 、3y ＝2
B 、4y ＋1＝0
C 、y ＝0
D 、7y ＝10 10、关于x 、y 的二元一次方程组24x y a
x y a
+=??
-=?的解是二元一次方程35280x y --=的一个
解，则a ＝( )
A 、3
B 、2
C 、7
D 、6
11、若方程组32
3x y k x y k -=-??-=?
的解中x 与y 相等，则k 的值为（ ）
A 、1
B 、
23 C 、12 D 、－2
3
12、已知方程组32mx ay ax ny +=??
-=-?
的解是1
4x y =-??=-?，则m ，n 的关系是（ ）
A 、165m n -=
B 、1611m n -=
C 、1611m n +=－
D 、165m n +=- 三、细心做一做，你会成功（共40分） 13、用加减消元法解方程组
（1）231121x y y x +=??-=? （2）2
230.20.3 2.8
x y
x y ?+=???+=?
（3）32(21)421
4(1)2x y y x x -+=???++=-?? （4）2332225
3(23)2(32)625x y x y
x y x y ++?=+???++?=+??
14、甲、乙两人同解方程组
2
32
Ax By
Cx y
-=
?
?
-=-
?
，甲正确解得
1
1
x
y
=
?
?
=-
?
，乙因抄错C，解得
2
6
x
y
=
?
?
=-
?
.
求A、B、C的值。
15、若方程组
45
1
x y
ax by
-=
?
?
+=-
?
与
39
3418
x y
ax by
+=
?
?
-=
?
有公共解，求a、b的值.
16、下面给出的三个方程组
234
567
x y
x y
+=
?
?
+=
?
，
23
234
x y
x y
+=
?
?
+=
?
及
345
969798
x y
x y
+=
?
?
+=
?
的解相同吗？
你能得出什么结论？将上述三方程组推导为一般形式，并证明你的结论。
第四课时消元（4）
要点突破
一、加减消元法的一般步骤：
（1）根据“方程两边都乘（或除以）同一个不等于0的数，所得方程与原方程是同解方程”的原理，将原方程组化成有一个未知数的系数的绝对值相等的形式，即同一个未知数的系数相等或互为相反数。
（2）根据“方程两边都加上（或减去）同一个数，所得方程与原来方程是同解方程”的原理，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
（4）将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得
到方程组的解。
（5）将两个未知数的值用“{”合写在一起。
注意：事实上，所有的二元一次方程都可以用“代入法”解，也都可以用“加减法”解。但是，通过比较，我们发现对于同一个方程组，用两种方法解有“繁”、“简”之别。所以，我们应该根据方程组的结构特点，选择最优方法。 典例剖析：
例 解方程组3122
23
x x y x y -?-=????=??①②
方法1：（代入法）由②得2
3
x y =③ 把③代入①得 221232y y y --=， 解得：y ＝314
把y ＝
3
14
代入③得， ∴17314
x y ?=????=??
方法2：（加减法） 原方程组可化为：41320x y x y +=??
-=?①②
则①＋②×2得:7x ＝1，解得17x =
，把1
7
x =，代入①式得： 1417y +=，解得：y ＝3
14
∴17314
x y ?=????=??
方法3：（参数法）设
23
x y
=＝k ，则x ＝2k ，y=3k 把x ＝2k ，y=3k 代入①得：61262k k k --=，解得：k ＝1
14
∴17x =，y ＝314，∴17
3
14
x y ?
=????=??
规律总结：二元一次方程的解法不一定是唯一的，我们在解题过程中，一定要具体题目的特征，选择恰当的方式解方程组。 课时达优：
一、精心填一填，你会轻松（每题5分，共30分）
1、解二元一次方程组的基本思想是____________，方法有___________和___________。
2、已知53x t
y t =-??-=?
，则x 与y 的关系式是______________。
3、在△ABC 中，∠A －∠C ＝25°，∠B －∠A ＝10°，则∠B ＝________°。
4、正整数m 为___________时，方程组3
(21)y mx y m x
=+??
=-?的解是正整数。
5、当方程组()56a b x y bx ay -+=??+=?的解为1
2x y =??=?
时，a ＝_______，b ＝_______ .
6、等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和9两部分，则它的底边长是________。
二、耐心选一选，你会开心（每题5分，共30分）
7、如果x ∶y ＝3∶2，并且327x y +=，则x 与y 中，较小的值是（ ） A 、3 B 、6 C 、9 D 、12 8、已知21x y =-??=?是方程组1
7
ax by bx ay +=??+=?的解，则()()a b a b +-的值为（ ）
A 、－
353 B 、353
C 、－16
D 、16 9、若x 、y 的值满足(2)(1)0x y x y +++-=，则 x ＋y 的值为（ ） A 、无解 B 、－2 C 、2或－1 D 、－2或1
10、当x ＝2时，代数式31ax bx ++的值为6，那么当x ＝－2时，3
1ax bx ++的值为（ ）
A 、6
B 、－4
C 、5
D 、1 11、已知42x y =??=-?与2
5x y =??=-?
－都是方程y kx b =+的解，则k 与b 的值为（ ）
A 、12k =
，b ＝－4 B 、12k =-，b ＝4 C 、12k =，b ＝4 D 、1
2
k =-，b ＝－4 12、某船的载重量是260t ，容积是1000m 3
，现有甲、乙两种货物，甲种货物每吨的体积是8
m 3，乙种货物的体积是每吨2 m 3，要想充分利用这船的载重量和容积，甲、乙两种货物应装的吨数依次是（ ）
A 、100，160
B 、80，180
C 、120，140
D 、180，80 三、细心做一做，你会成功（共40分） 13、解方程组： （1）3(1)55(1)3(5)x y y x -=+??
-=+? （2）300
5%53%25%300
x y x y +=??+=??
（3）24527
14527
x y x y ?+=????-=?? （4）231553x y m x y m +=??-=-?
14、甲、乙两人在解方程组581x y x y +=??-=-? ①②时，甲看错了①式中的x 的系数，解得15
8x y =??=?
，
乙看错了方程②中的y 的系数，解得3
15x y =??
?=-??
，若两人的计算都准确无误，请写出这个方
程组，并求出方程组的解。
15、已知方程组321
421x y m x y m +=+??
+=-?
，求
（1）当m 为何值时，x 、y 的符号相反，绝对值相等；
（2）当m 为何值时，x 比y 大1。
16、已知4360x y z --=，270x y z +-=，求522310x y z
x y z
+---的值。
8.2消元自测题
夯实基础
一、精心填一填，你会轻松（每题5分，共30分） 1、方程组
{52y 36x-1
x y +==
若用代入法解，最好对方程 变形，用 的
代数式表示 . 2、如果
{
32x y ==-是方程组
{
1
4ax by ax by +=-=的解，那么a= ,b= .
3、如果方程组
{
64ax by ax by +=-=与方程组
{
35
471x y x y -=-=的解相同，则a= ,b= .
4、已知|x －3y ＋6|x ＋2y －1|=0，则x= , y .
5、当m= 时,方程组
{35y 22x+718
x m
y m -==-得解互为相反数.
6、使满足方程组35223x y m x y m
+=+??
+=?的x 、y 的值的和等于2，则m 2
－2m ＝ ．
二、耐心选一选，你会开心（每题5分，共30分） 7、如果
3
2
x y =，并且x ＋3y=27，则x ，y 中较小的是（ ） A 、12 B 、9 C 、6 D 、3 8、以
{
1
2x y =-=为解的二元一次方程组（ ）
A 、有且只有一个
B 、有且只有两个
C 、有且只有三个
D 、有无数个 9、将二元一次方程345x y +=变形，正确的是（ ） A 、45
3
y x +=
B 、354y x +=
C 、453y x -=
D 、543
y
x -= 10、下列说法错误的是（ ） A 、方程组
{2y 3
325
x x y +=-=-的解满足方程2x ＋y=3
B 、方程3x －2y=－5的解一定是方程组{2y 3
3x-25
x y +==-的解
C 、方程组
{
2y 3
325x x y +=-=-的解是方程5x －y=－2的解
D 、如果关于x 、y 的方程组{
y 1x a
x y +=-=与方程组
11、若关于x 、y 的方程组?
??=-=+m y x m
y x 932的解，也是方程3x ＋2y ＝17的解，则m 为( )
A 、3
B 、1
C 、－1
D 、2
12、已知32
x y =-??
=-?，是方程组1
2ax cy cx by +=??-=?，的解，则a b ，间的关系是（ ）
A 、491a b -=
B 、321a b +=
C 、491b a -=-
D 、941a b +=
综合创新
三、细心做一做，你会成功（共40分） 13、选择你认为简便的方法，解下列方程. (1) {5432180
x y x y =++-= (2)
{21
329x y x y +=--=
(3) 1341
4
3x y x y
?+=???+=? (4) 922
292x
y y x ?-=???+=-?
14、甲、乙两个同学各有世界名著若干本，如果甲送给乙10本，那么两人的书相等；如果乙送给甲10本，那么甲所有的书就是乙剩的书的2倍.温原来甲、乙各有书多少本？
15、某校七年级学生春游，若租用48座的客车，则正好坐满；若租用64座的客车，则比48座的客车少用一辆，并且也恰好坐满.请你猜一猜若租用48座的各车需要几辆？若选择租用64座的客车需要几辆?
16、对于有理数x 、y 定义一种新运算：x △y=ax ＋by ＋1,其中a 、b 为常数，等式右边是通常加法与乘法运算.已知3△5=15，4△7=28，求a 、b 和2△2
8.2
第一课时 1、5－3x
53
y
- 2、4 3、3 －2 4、y ① ② 5、3 6、3 －2 7、D （点拨：D 项代入后直接得到一个整系数的一元一次方程，而其他选项代入后还有分母） 8、C （点拨：把y 看作已知数，x 看作未知数，解出x 的值即可） 9、B （点拨：由题意可得：350
2220
x y x y ++=??
--=?，解出x ＝－1，y ＝－2，然后代入代数式的求值） 10、B （点拨：
将x ＝－3y 代入即可） 11、C （点拨：把题中所有的x 用y 换掉，从而求出x 、y 的值，然后将x 、y 的值代入第二个方程） 12、D （点拨：把3
2x y =-??=-?
代入方程组，然后消去c
即可得到关于a ，b 的二元一次方程组） 13、（1）34x y =??
=?（2）3
2
x y =??=?
14、（1）243x y =???=??（2）169
199x y ?
=???
?=??
15、解：把21x y =??
=-?代入431
ax y b
x by a +=??-=-?得：
21831a b b a -=??
+=-?，解得：8
15a b =??=?
16、解：∵x ＋y ＝30，x －y ＝20，∴x ＝25,y ＝5 把x ＝25,y ＝5代入2
1
(3)12.75
x y --得：
21(3)12.75x y --＝21
(2515)5
-－12.5＝7.3 第二课时：
1、1 5
2、2.5 1
3、0
4、－2
5、11.5
6、8 2
7、C （点拨：m 的系数成倍数关系，我们选择较小的系数代入较大的系数）
8、B （点拨：将24x y =-??
=?和4
1
x y =??=?分
别代入y ax b =+，得到两个关于a 、b 二元一次方程组） 9、C （点拨：由“收入之比为3∶2，支出之比为7∶4，甲的收入为x 元，支出为y 元”得到乙的收入、支出分别为
2
3
x 、
4
7
y ） 10、A （点拨：设原来驴子和骡子所驮的货物分别为x 袋和y 袋，列出两个关于x 、y 的二元一次方程组） 11、100 12、（1）7
10
x y =??
=?（点拨：把21)y -（看作一个整体）
（2）19570x y =??=?－－（点拨：把15x 看作一个整体） （3）104x y =??
=?
（点拨：设52x y
=＝k ，把x ＝5k 、y ＝2k 代入方程②）
13、解：∵62x y =-的正整数解有：41x y =??
=?，2
2
x y =??=?
把41x y =??=?，22x y =??=?
分别代入方程②，求出k ＝1或2
14、7
6
x y =-??
=?
15、解：设的一种书的原价为x 元，第二种书的原价为y 元。根据题意，得
880(180%)(175%)200x y x y +=??
-+-=?，解得：400
480x y =??=?
答：略
第三课时;
1、相等；互为相反数；加减消元法
2、44x =；1x =；214y =；7y =；1
7x y =??=?
3、
2 减 4、是 5、－1 2 6、36 7、A （点拨；两个方程相减时，左边减左边，右边减
右边，将同类项相减） 8、A （点拨：这个二元一次方程组成轮对称，可将①－②即可得到x y -的值） 9、C （点拨：把第①中的每一个方程都乘以2，减去第②个方程的每一项都乘以3） 10、B （点拨：由方程组解出x ＝3a ，y ＝－a,然后将这组解代入后面的二元一次
方程） 11、A （点拨：由32
3x y k x y k -=-??-=?
中的两方程相减得到一个关于x 、y 的二元一次方
程，再加上方程x ＝y ，解得x ＝y ＝
1
2） 12、C （点拨：将14
x y =-??=-?代入方程组得到两个关于m 、a 、n 的方程，两方程运用加减法消去a ） 13、（1）13x y =??=?，（2）412x y =??
=?－，（3）43
12
x y ?
=????=-??，
（4）
8
5
12
5
x
y
?
=-
??
?
?=
??
14、A＝
5
2
，B＝－
1
2
，C＝－5
15、a＝1,b＝－1
16、三个方程的解相同，都是
1
2
x
y
=-
?
?
=
?
，
一般形式：
(1)2
(1)2
mx m y m
nx n y n
++=+
?
?
++=+
?
的解为
1
2
x
y
=-
?
?
=
?
第四课时：
1、消元代入法加减法
2、x＋y＝8
3、75°
4、2或4
5、3 0
6、3或7
7、B（点拨：设x＝3k，y＝2k，并代入方程求出k＝3） 8、C（点拨：将
2
1
x
y
=-
?
?
=
?
代入方
程组，然后①＋②，①－②即可求出a＋b和a－b的值） 9、D（点拨：两数相乘等于0，只需其中一个等于0就可以了） 10、B（点拨：将x＝2代入得到8a＋2b＝5，然后将x＝
－2代入求解） 11、A（点拨：将
4
2
x
y
=
?
?
=-
?
与
2
5
x
y
=
?
?
=-
?
－
代入y kx b
=+，得到两个关于k、
b的二元一次方程组） 12、B（点拨：设甲种货物x吨，乙种货物y吨，根据重量和体积列出两个关于x、y的二元一次方程）
13、（1）
5
3
3
x
y
?
=
?
?
?=-
?
，（2）
175
125
x
y
=
?
?
=
?
，（3）
135
2
27
2
x
y
?
=
??
?
?=
??
，（4）
2
11
3
x m
y m
=
?
?
?
=
??
14、解：设原方程组为
58
1
ax y
x by
+=
?
?
-=-
?
③
④
，根据题意，
15
8
x
y
=
?
?
=
?
和
3
1
5
x
y
=
?
?
?
=-
??
分别满足④，③，
所以
318
1581
a
b
-=
?
?
-=-
?
，解得
3
2
a
b
=
?
?
=
?
，所以原方程组为
358
21
x y
x y
+=
?
?
-=-
?
，解这个方程组得：
1
1
x
y
=
?
?
=
?
15、（1）m＝－3；（2）m＝－13
16、－9 5
本节自测
1、② x y
2、1 1
3、5
2
1 4、
9
5
-
7
5
5、8
6、0
7、C（点拨：设x＝3k，
y＝2k） 8、D（点拨：由于以{12x y=-=为解的二元一次方程有无数个，因此以{12x y=-=的二
元一次方程组也有无数个） 9、D （点拨：要表示x ，就把y 看作已知数，要表示y ，就把x 看作已知数） 10、B （点拨：方程组的解是组成方程组的每个方程的公共解） 11、B （点拨：由前面方程组消去m ，得到一个关于x 、y 的二元一次方程，然后这个二元一次方程和后面的方程组成一个方程组，解出x 、y 的值，然后代入求出m 的值） 12、D （点拨：将32
x y =-??=-?，
代入方程组，然后两个方程消去字母c ）
13、（1）26x y =??=?（2）232x y =???=-??（3）127
127x y ?=????=??
（4）74x y =-??
=-? 14、解：设甲有书x 本，乙有书y 本，根据题意，得
1010102(10)x y x y -=+??+=-?，解得：7050
x y =??
=? 答：甲有书70本，乙有书50本。
15、解：设若租用48座的客车需要x 辆，若租用64座的客车需y 辆。根据题意，得
48641x y x y =??
=+?，解得4
3x y =??=?
答：租用48座得客车需要4辆，若租用64座的客车需3辆。 16、a ＝－37，b ＝25，2△2＝－23
期中试卷
1、C
2、B
3、A
4、B
5、B
6、D
7、D
8、A
9、C 10、C 11、D 12、
A 13、 150°，30°，150° 14、1 15、1025y - 16、14x y =??=?22x y =??=? 17、略 18、第27排15号 19、（0，0）,纵，横 20、21cm 21、 13 22、16 40°
23、4n
24、（1）3212
x y ?=????=?? （2）51x y =??
=?（3）32
x y =??=?（4）1812
m n =??
=? 25、∠3，（两直线平行，同位角相等） （等量代换） DG ，（内错角相等，两直线平行） ∠AGD ，（两直线平行，
同旁内角互补） 110° 26、作图略 27、x:z=4:3 y:z= 7:9 28、能判断CE ∥BD （理由略） 29、9 30、∠D=40° 31、a ＝4b ＝5 c ＝－2 （2）c 错抄成 －11
32、出售34英吋50台，29英吋彩电46台
高斯列主元消元法解线性方程组 一、题目：用Gauss 列主元消去法解线性方程组Ax b =，其中， A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803?? ? ? ? ? ? ? ? ??? 0.230 -52.322 54.000 240.236 29.304 -117.818b ?? ? ? ?= ? ? ? ? ??? T X=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068) 二、原理及步骤分析 设 n n ij R a A ?∈=][)1(，n n R b b b b ∈=],,,[)1()2(2)1(1 。若约化主元素 ),,2,1(0)(n k a k kk =≠，则通过高斯消元法将方程b AX =约化为三角形方程组求解。 如果在消元过程中发现某个约化主元0) (=k kk a , 则第K 次消元就无法进行。此外，即 使所有约化主元全不为零，虽然可以完成方程组的求解，但也无法保证结果的可靠性，因为计算过程中存在舍入误差。 为减少计算过程中的舍入误差对解的影响，在每次消元前，应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元，如果在子块的第一列中选取主元，则相应方法称为列主元消元法。相应过程为： （1）选主元：在子块的第一列中选择一个元) (k k i k a 使) (max k ik n i k k k i a a k ≤≤= 并将第k 行元与第k i 行元互换。 （2）消元计算：对k=1,2,……n-1依次计算 ()()()?? ?? ?????++=-=++=-=++==++n k k i b m b b n k k j i a m a a n k k i a a m k k ik k i k i k kj ik k ij k ij k kk k ik k ik ,,2,1,,2,1,,,2,1) ()()1() ()()1()() ()( （3）回代求解
8.2 消元——解二元一次方程组 第1课时用代入消元法解方程组 基础题 知识点1 用一个未知数表示另一个未知数 1．在方程2x－3y＝6中，用含有x的代数式表示y，得( ) A．y＝23x－6 B．y＝－23x－6 C．y＝23x－2 D．y＝－23x＋2 2．用含有x或y的式子表示y或x： (1)已知x＋y＝5，则y＝ (2)已知x－2y＝1，则y＝ (3)已知x＋2(y－3)＝5，则x＝ (4)已知2(3y－7)＝5x－4，则x＝ 知识点2 用代入法解二元一次方程 3．用代入法解方程组x＝2y，y－x＝3，①②下列说法正确的是( ) A．直接把①代入②，消去y B．直接把①代入②，消去x C．直接把②代入①，消去y D．直接把②代入①，消去x 4．用代入法解方程组y＝1－x，x－2y＝4时，代入正确的是( ) A．x－2－x＝4 B．x－2－2x＝4 C．x－2＋2x＝4 D．x－2＋x＝4 5．(丹东中考)二元一次方程组x＋y＝5，2x－y＝4的解为( ) A.x＝1y＝4 B.x＝2y＝3 C.x＝3y＝2 D.x＝4y＝1 6．(贵阳中考)方程组x＋y＝12，y＝2的解为x＝ 7．用代入法解下列方程组： (1)(重庆中考) ①y＝2x－4，②3x＋y＝1； (2)y＝3－x，①2x＋3y＝7；② (3)3m＝5n，①2m－3n＝1；②
(4)3x＋2y＝19，①2x－y＝1.② 知识点3 代入法解二元一次方程组的简单应用 8．(柳州中考)小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示．问：这两个苹果的重量分别为多少克？ 中档题 9．用代入法解方程组2x－5y＝0，①3x＋5y－1＝0②时，最简单的方法是( ) A．先将①变形为x＝52y，再代入② B．先将①变形为y＝25x，再代入② C．先将②变形为x＝1－5y3，再代入① D．先将①变形为5y＝2x，再代入② 10．方程组x＝y＋5，2x－y＝5的解满足x＋y＋a＝0，则a的值是( ) A．5 B．－5 C．3 D．－3 11．在二元一次方程4x－3y＝14中，若x，y互为相反数，则x＝2，y＝－2． 12．(哈尔滨中考)美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品数量是国画作品数量的2倍多7幅，则展出的油画作品有幅． 13．用代入法解下列方程组： (1)5x＋2y＝15，①8x＋3y＝－1；② (2)3（y－2）＝x－17，2（x－1）＝5y－8； (3)x＋y3＋x－y2＝6，3（x＋y）－2（x－y）＝28.
二元一次方程组的解法（二） ——加减消元法 一、 教学内容解析： 本节课内容节选自沪科版七年级数学上册第3章第3节第2课时。是在学生学习了代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另一种消元方法——加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。教材的编写目的是让学生通过学习加减消元法充分体会“化未知为已知”的转化过程，体会代数的一些特点和优越性。对于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元法等重要的数学思想方法有着重要的意义。理解并掌握解二元一次方程组的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础。 二、学生学情分析：我所任教的班级学生基础比较好，他们已经具备了一定的探索能力和思维能力，也初步养成了合作交流的习惯。大多数学生的好胜心比较强，性格比较活泼,他们希望有展现自我才华的机会，但是对于七年级的学生来说，他们独立分析问题的能力和灵活应用的能力还有待提高，很多时候还需要教师的点拨、引导和归纳。因此，我遵循学生的认识规律，由浅入深，适时引导，调动学生的积极性，并适当地给予表扬和鼓励，借此增强他们的自信心。 三、教学目标： 1、学会用加减消元法解二元一次方程组； 2、经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法； 3、培养学生自主探索、尝试、比较，养成与他人合作、交流思维过程的习惯，通过交流学习获取成功体验，激发学生的学习兴趣，品尝成功的喜悦，树立学习自信心。 四、教学重难点： 1.教学难点：灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元”。 2.教学重点：探索并掌握加减消元法解二元一次方程组，体会消元化归思想。 五、教学过程： （一）复习旧知 问题导入： 1.用代入消元法解二元一次方程组的步骤是什么？ 2.解二元一次方程组的基本思路是什么？ 3.解方程???-=--=+9 3552x 4y x y 是否有其他更简单的解法？揭示课题——二元一次方程组的解法（二） 设计意图：提出问题，既复习前面所学内容，增加学生的学习兴趣，又为接下来的学习做铺垫，引出课题。 （二）探究新知 1.热身练习 请你计算:(2a+b)-(a-b) (3m+2n)-(4m+2n) (3a+2b)+(a-2b) (3m+2n)+(n-3m) 2.学生讨论 （1）请观察等式左边和右边分别有几个字母？ （2）把等式的左面构造成二元一次方程组，你会用其他方法求解吗？刚才的计算对你有什么启示？
二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计 姓名初亚兵 工作单位濮阳县化肥厂职工子弟学校 学科（专业）初中数学
二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计 一、教学内容解析： 本节课内容节选自人教版七年级数学下册第8章第二节第2课时。是在学生学习了代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另一种消元方法——加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。教材的编写目的是让学生通过学习加减消元法充分体会“化未知为已知”的转化过程，体会代数的一些特点和优越性。对于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元法等重要的数学思想方法有着重要的意义。理解并掌握解二元一次方程组的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础。 二、教学目标设置： 通过对新课程标准的学习，我把本节课的三维教学目标确定如下： （一）知识与技能目标： 1、学会用加减消元法解二元一次方程组； 2、灵活的对方程进行恒等变形使之便于加减消元； 3、理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想。 （二）过程与方法目标： 1、通过经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法； 2、经历个体思考探究、小组交流、全班交流的合作化学习过程理解根据加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。 （三）情感态度及价值观： 1、培养学生学会自主探索、尝试、比较，养成与他人合作、交流思维过程的习惯； 2、通过交流学习获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣，品尝成功的喜悦，树立学习自信心； 教学重点：探索并掌握加减消元法解二元一次方程组，体会消元化归思想。 教学难点：灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元”。三、学生学情分析： 我所任教的班级学生基础比较好，他们已经具备了一定的探索能力和思维能力，也初步养成了合作交流的习惯。大多数学生的好胜心比较强，性格比较活泼,他们希望有展现自我才华的机会，但是对于七年级的学生来说，他们独立分析问
线性代数中矩阵的消元法与高等数学中解多元方程问题的联系 在高等数学中，解多元方程的过程一般是杂而烦的，大量的未知数常常使我们眼花缭乱、不知所措，所能做的，就是不断的移项、消元、加加减减，最后，还不一定能得出答案，得出的答案也不一定正确。 在学完矩阵的消元法以后，顿时觉得类似解多元方程的问题用矩阵来解会简单许多。在这里，我举个例子： 例1：解线性方程组：6 2245241 3231321321=+=++=+-x x x x x x x x （见线性代 数课本P17) 解： ? ??? ? ??--??→?????? ??--?? →?????? ??--??→?????? ??---+????? ??-----????? ??-=++-?? 61001010900110106100900151106100310151101830062023423151102140131213126302452413123 22321213121 r r r r r r r r r r r r r r r r A 所以，方程有唯一解??? ??-=-==619 3 21x x x 。 用矩阵的消元法解多元线性方程明显比我们从前学习的普通方法要简单的多。虽然计算不能说变得简单了，但是至少看起来一目了然，可以减少计算错误的发生，也省去了重复地写大量的未知数，使步骤变得简单多了。 当然这仅仅是线性代数运用在解线性方程中的一个方面，下面，我再举一个例子：
例 2：解线性方程组??? ??=+=++=++7 3472232 321321x x x x x x x x （见线性代数课本 P67）。 解：26102033 1 1112 21-=---++== D ， 按照三阶行列式的定义，我们可以计算： .47 1 411 721,23 7 141271,23 1 7 114 227 321-==-==-==D D D 所以，.3,1,1332211== == == D D x D D x D D x 这里，我们有必要提一下二阶行列式的定义： 设二元线性方程组???=+=+)2(~) 1(~22 221211212111b x a x a b x a x a ，对方程组进行消元 )2()1(1222?-?a a ，有212221*********)(b a a b x a a a a -=-，当021122211≠-a a a a 时， 有 21 122112122211a a a a b a a b x --= 。 类似的，021122211≠-a a a a 时，有 21 1222112112112a a a a a b b a x --= 为了便于记忆，引入记号： 2112221122 21 1211 a a a a a a a a -=，这样2 12221b a a b -可以记为 22 2 121a b a b ，所以，当 022 21 1211≠a a a a 时，方程组???=+=+22221 211212111b x a x a b x a x a 有 唯一解D D x 11= ，D D x 22=，其中，2 21 111222 2 121 1,b a b a D a b a b D = = 。 这样，方程组的解就由系数和常数项表示出来了，这组解我们称之
8.2 消元——加减消元法解二元一次方程组（第1课时） 一、学习目标 1. 进一步体会解二元一次方程组的基本思想——消元思想。 2. 能理解、运用加减消元法解简单的二元一次方程组。 3. 培养阅读课本的方法，提高自学能力。 二、 温故知新： 1． 根据等式性质填空: <1>若a =b ，那么a ±c = . (等式性质1) <2>若a =b ，那么ac = . (等式性质2) <3>思考:若a =b ，c =d ,那么a ±c =b ±d 吗? 2．用代入法解方程的关键是什么？ 3．之前我们用什么方法解过下面这个方程组？ ???=+=+40 222y x y x 具体步骤是：由①得 =y . ③，把③代入①得 .从而达到消元的目的。（即把二元一次方程变成我们较熟悉的一元一次方程） 三、学习内容： （一）提出问题，阅读课本，得出加减法的定义。 1． 解这个方程组???=+=+40 222y x y x 除了用代入法，还有别的方法吗？ 2. 请大家认真阅读课本99面第二个思考前的内容。回答第一个思考中的问题。 3．探讨：课本上的这半句话：“②－①可消去y ，得 x =18”中隐含了那些步骤？ 4. 思考：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组???=-=+. 81015,6.3104y x y x 5．总结得出加减法的定义。
初一（ ）班 号 姓名 2．填空题。 （1）已知方程组???=-=+6 32173y x y x 两个方程只要两边 就可以消去未知数 。 （2）已知方程组???=+=-10 62516725y x y x 两个方程只要两边 就可以消去未知数 。 3．选择题。 （1）用加减法解方程组???=--=+1756 76y x y x 应用 （ ） A.①-②消去y. B.①-②消去x. C. ②-①消去常数项. D. 以上都不对. （2）方程组???=-=+5231323y x y x 消去y 后所得的方程是 A.6x =8. B.6x =18. C.6x =5. D.x =18. （三）例题分析。 例3．用加减法解方程组 ???=-=+336516 43y x y x 解： （四）练习。 1．用加减法解下列方程组。 ???=+=+5238 52)1(y x y x ???-=-=+2 236 32)2(y x y x 四、小结。 五、布置作业。 P 103 习题8.2第3大题。
8.2.2消元-----二元一次方程组的解法 （加减消元法） 授课年级：七年级 授课教师：武旭飞
8.2.2消元-----二元一次方程组的解法 （加减消元法） 授课年级：七年级授课教师：武旭飞 教学目标： 1、知识技能目标 掌握加减消元法的基本步骤，熟练运用加减消元法解简单的二元一次方程组 2、能力目标： 能够熟练运用加减消元法解二元一次方程组，训练学生的运算技巧，养成检验的习惯。 3、情感态度及价值目标： 通过研究解决问题的方法,培养合作交流意识和探究精神,进而体会数学的独特魅力。教学重点： 用加减法解二元一次方程组。 教学难点： 灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元” 教学过程 （一）复习与准备 问题1：等式有哪些基本性质？如何用数学式子来表示它们？ 学生回顾结果： <1>若a=b,那么a±c=b±c <2>若a=b,那么ac=bc 让学生思考：若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗? 问题2：前面我们学习了用代入法解二元一次方程组，同学们，回想一下，用代入法解二元一次方程组的基本思路是什么？其一般步骤有哪些？ 学生回顾回答： 基本思路：消元，把二元转化为一元 一般步骤：<1>变——用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b； <2>代——把变形后的方程代入到另一个方程中，消去一个未知数； <3>解——解得出的一元一次方程，求出一个未知数的值；
<4>回代——把求出的未知数的值代回方程，求出另一个未知数的值； <5>联——用“﹛ ”把求出的未知数的值括起来。 设计意图：通过此活动，即复习巩固了前面所学知识，又为本节课的学习做了必要的铺垫。 （二）感受身边的数学，引入新课 问题3：列方程组解决下面的问题： 篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 学生思考，设未知数，设这个队胜x 场，负y 场，根据题意列出方程组： 列出方程组后，让同学用自己的方法把这个方程组解出来。 教师巡视观察学生的参与状况，并适时给与指导。 待学生解出后，师生一起总结归纳解题方法： 1、用前面学过的代入法来解 把其中一个未知数用另一个来表示，然后进行代入求解。如把②变形为 10y x =- ③，把③代入②就可以求出未知数x=6，再把x=6代入③，即可解出y=4.则该方程组的解为 2、有同学可能预习了后面的知识，会用到加减法，充分肯定后，一起来探讨发现这种方法。 设计意图：通过实际问题，引发学生思考，由于问题贴近生活，而且等量关系简单，学生比较容易列出方程组，列方程组是让学生感受实际生活与数学的密切联系，而如何解这个方程组才是我们这节课的重点。学生通过前面的学习，很容易想到用代入法来解决，要鼓励学生思考除代入法之外的解题办法。 （三）新知探求 问题4：你还能用其他方法解这个方程组吗？ 引导学生观察未知数的系数，找出其中的特点。（未知数y 的系数相等，都为1，）根据系数的特点，让学生思考发现新的解方程组的方法：利用等式的性质把两个方程的左右两边10216x y x y +=??+=?① ② 64 x y =??=?10216x y x y +=??+=?① ②
§7.2二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计 福建省晋江市第一中学许清海一、教学内容解析： 本节课内容节选自华师大版七年级数学下册第7章第二节第2课时。是在学生学习了代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另一种消元方法——加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。教材的编写目的是让学生通过学习加减消元法充分体会“化未知为已知”的转化过程，体会代数的一些特点和优越性。对于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元法等重要的数学思想方法有着重要的意义。理解并掌握解二元一次方程组的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础。 本节内容的教学重点：探索并掌握加减消元法解二元一次方程组，体会消元化归思想。 二、教学目标设置： 通过对新课程标准的的学习，结合我班学生的实际情况，我把本节课的三维教学目标确定如下： （一）知识与技能目标： 1、学会用加减消元法解二元一次方程组； 2、灵活的对方程进行恒等变形使之便于加减消元； 3、理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想。 （二）过程与方法目标： 1、通过经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法； 2、经历个体思考探究、小组交流、全班交流的合作化学习过程理解根据加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。 （三）情感态度及价值观： 1、培养学生学会自主探索、尝试、比较，养成与他人合作、交流思维过程的习惯； 2、通过交流学习获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣，品尝成功的喜悦，树立学习自信心； 3、通过知识的学习形成辩证唯物主义观以解决问题。 三、学生学情分析：
消元法解二元一次方程组的概念、步骤与方法 湖南李琳高明生 一、概念步骤与方法： 1.由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤： （1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来. （2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值. （4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解. 注意：⑴运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值. ⑵当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便. 3.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. 4.用加减法解二元一次方程组的一般步骤: 第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,?可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,?可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数. 第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元. 第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,?合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,?常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑. 注意：⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便. ⑵如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好. 5.列方程组解简单的实际问题．解实际问题的关键在于理解题意,找出数量之间的相等关系,这里的相等关系应是两个或三个,正确的列出一个(或几个)方程,再组成方程组． 6.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： ⑴设出题中的两个未知数； ⑵找出题中的两个等量关系； ⑶根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组； ⑷解这个方程组，求出未知数的值. ⑸检验所得结果的正确性及合理性并写出答案. 注意：对于可解的应用题，一般来说，有几个未知数，就应找出几个等量关系，从而列
消元法解二元一次方程组 ——加减消元法 教学目标 【知识与技能】 1、探索经历加减消元法解二元一次方程组的过程，掌握加减消元法解二元一次方程组。 2、熟练掌握对二元一次方程恒等变形，利于用加减消元。 3、理解加减消元法的基本思路，体会化未知为已知的化归思想。 【过程与方法】 1、通过经历二元一次方程组解法的探究过程，体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法； 2、经历自主学习，小组活动，课堂展示的过程理解加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。 【情感态度】 1、初步认识数学与人类生活的密切关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学解题的逻辑性。形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。 【教学重点】加减消元法. 【教学难点】对二元一次方程组变形进行加减消元 教学过程 一、自主预习（利用多媒体展示）
<学生活动> 学生带着问题独立阅读课文，对所学知识进行全方位了解 二、情境导入，初步认识 问题1、22240.x y x y +=??+=?，① ②观察①、②中y 的系数____，②-①可消除未知数____，得x=____，从 而求得y=____.这种消元方法叫 __________.
问题2、???=-=+810158 .210y x y x 观察得①、②中y 的系数____，①+②得___________，解这个二元一 次方程组得x=_____，从而求得y=_____
三、思考探究，获取新知 思考 什么叫做加减消元法？ <学生活动> 学生分组探究，得出结论 <学生活动> 学生小组发言，总结这两道题的解题方法，并指出方法的依据 <教师小结> 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 《合作探究》问题2 用加减法解方程组34165633.x y x y +=?? -=?， 追问1 直接加减是否可以消去一个未知数？ 追问2 能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相等？ <学生活动> 学生分组讨论，如何解决未知数系数的绝对值不相等的二元一次方程组的解法
消元法解线性方程组 学校：青海师范大学 院系：数学系 专业：数学与应用数学 班级：10B 指导教师：邓红梅 学号：20101611218 姓名：梅增旺
摘要：线性方程组在数学的各个分支，在自然科学，工程技术，生产实际中经常遇到，而且未知元的个数及方程的个数可达成百上千，因此它的理论是很重要的，其应用也很广泛。本篇将就解线性方程组在此做一浅谈，以消元法为主要方法。消元法是解一般线性方程组行之有效的方法，早在中学大家都已经有接触，消元法的基本思想是通消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组进行求解。 关键字：线性方程组消元法求解 Abstract: linear equations in various branches of mathematics, natural science,engineering technology, often encountered in actual production, and the unknown element number and the number of equations can be hundreds, so itis important in the theory, its application is very extensive. This article on thesolution of linear equations based on a discussion, mainly by means ofelimination method. Elimination method is the general linear equations ofeffective early in high school, everyone has a contact, the basic idea ofelimination method is through the elimination of the equations of deformationinto easy to solve with the solution of equations. Keywords:elimination method for solving linear equations
消元-----二元一次方程组的解法 （第二课时） 教学目标： 1、知识技能目标 掌握加减消元法的基本步骤，熟练运用加减消元法解简单的二元一次方程组 2、能力目标： 能够熟练运用加减消元法解二元一次方程组，训练学生的运算技巧，养成检验的习惯。 3、情感态度及价值目标： 通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识和探究精神，进而体会数学的独特魅力。 教学重点： 用加减法解二元一次方程组。 教学难点： 灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元”
教学过程 （一）复习与准备 问题1：等式有哪些基本性质？如何用数学式子来表示它们？学生回顾结果： <1>若a=b,那么a±c=b±c <2>若a=b,那么ac=bc 让学生思考： 若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗? 问题2：前面我们学习了用代入法解二元一次方程组，同学们，回想一下，用代入法解二元一次方程组的基本思路是什么？其一般步骤有哪些？ 生回顾回答： 基本思路：消元，把二元转化为一元 一般步骤：<1>变——用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b； <2>代——把变形后的方程代入到另一个方程中，消去一个未知数； <3>解——解得出的一元一次方程，求出一个未知数的值；
<4>回代——把求出的未知数的值代回方程，求出另一个未知数的值； <5>联——用“﹛”把求出的未知数的值括起来。 设计意图：通过此活动，即复习巩固了前面所学知识，又为本节课的学习做了必要的铺垫。 （二）感受身边的数学，引入新课 问题3：列方程组解决下面的问题： 植树节时，某中学七年级五班组织同学到校外植树，5个男生和2个女生共植树33棵，3个男生比2个女生多植树7棵。每个男生和每个女生各植树多少棵？ 学生思考，设未知数，设每个男生植树x棵，每个女生植树y棵，根据题意列出方程组： ?5x+2y=33??3x-2y=7①② 列出方程组后，让同学用自己的方法把这个方程组解出来。 教师巡视观察学生的参与状况，并适时给与指导。 待学生解出后，师生一起总结归纳解题方法： 1、用前面学过的代入法来解
8.2消元一一用加减法解二元一次方程组 教学设计 教材分析 学生是在学过代入消元法解二元一次方程组基础上学习本节内 容，初步知道消元”解决二元一次方程组是核心，其中蕴含着转化思想，而本节课学习加减消元法深化对消元理解，拓展对二元一次方程的解法。 教学目标： （1）知识与技能：会用加减消元法求未知数系数相等或相反数的二元一次方程组的解。 （2）过程与方法：通过探究二元一次方程组的解法，经历用加减法把二元”专化为一元”的过程，体会消元的思想。 （3）情感态度与价值观：让学生在探究中感受数学知识的实际用价值，养成良好的学习习惯。教学重难点 重点：用加减法解二元一次方程组 难点：两个方程相减消元时，对被减得方程各项符号要做变号处 理。 教学方法：本节课采用小组合作探究”的教学法。 学情分析 我所任教的班级学生基础一般，本节课主要围绕重点，打好基础。 结合学校采取的小组合作学习，他们已经具备了一定的合作探索能力和交流思维能力。大多数学生性格比较活泼，他们希望自己的能力得到周
围人的勺肯定y, 5但是对于七年级的学生来说，他们独立分析问题的能力和灵活应帶的能力还有待提高，很多时候还需要教师的点拨、引 导和归纳。因此，我遵循学生的认识规律，由浅入深，适时引导，调 动学生的积极性，并适当地给予表扬和鼓励，借此增强他们的自信心。 教学过程 一、知识回顾 1、温故而知新：复习等式的性质 2、解二元一次方程组的基本思想：要把二元一次方程组转化一元 一次方程. 3、用代入法解方程的步骤 「321x + 123y =567 4、用代入法解方程〔345x-123y = 99 认真观察此方程组中y的系数有什么特点，并根据特点你想到什么解题方法？课上探究：能否有其他方法解答。（设计目的；这部分是学生在课前已经完成，这样可以巩固上节课的内容，同时能为本节课学习做一个铺垫） 二、探究新知 例 1 ：!321x+i23y=567 345^123^99 认真观察此方程组中y的系数有什么特点，并根据特点你想到什么解题方法？ 例 2 : ?x+5y=5 < 3x_4y = 23 认真观察此方程组中x的系数有什么特点，并根据特点你想到什
Matlab之Gauss消元法解线性方程组 1.Gauss消元法 function x=DelGauss(a,b) %Gauss消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1;%存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 for i=k+1:n if a(k,k)==0 return end m=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*a(k,k);%计算行列式 end det=det*a(n,n); for k=n:-1:1%回代求解 for j=k+1:n b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/a(k,k);
end Example: >>A=[1.0170-0.00920.0095;-0.00920.99030.0136;0.00950.0136 0.9898]; >>b=[101]'; >>x=DelGauss(A,b) x= 0.9739 -0.0047 1.0010 2.列主元Gauss消去法： function x=detGauss(a,b) %Gauss列主元消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1;%存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 amax=0;%选主元 for i=k:n if abs(a(i,k))>amax amax=abs(a(i,k));r=i; end end if amax<1e-10 return;
教学设计 消元法——解二元一次方程组 (加减消元法) 教学目标： 理解解二元一次方程组的思路是“消元”，体会化归思想；会用加减消元法解简单的二元一次方程组，并能选择适当方法解二元一次方程组；会用二元一次方程组表示简单实际问题中的数量关系． 重点： 用加减消元法解简单的二元一次方程组． 难点： 用二元一次方程组解简单的实际问题． 教学流程： 一、知识回顾 问题1：解二元一次方程组的基本思路： 答案：二元一次方程组――消元－→一元一次方程 问题2：用代入法解二元一次方程组的关键？ 答案：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数. 二、探究1 问题1：还记得等式的性质1吗？ 答案：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等. 如果a＝b，那么a±c＝b±c 问题2：方程组 10 216 x y x y += ? ? += ? ① ② 除了用代入法求解外，还有其他方法呢？ 追问1：这两个方程中，y的系数有什么关系？答案：两个方程中y的系数相等 追问2：用②－①可消去未知数y吗？ 解：②－①，得 2x＋y－(x＋y)＝16－10 解得： x＝6 把x＝6代入①得：
y＝4 所以这个方程组的解是： 6 4 x y =? ? =? 追问3：①－②也能消去未知数y，求出x吗？ 问题3：联系刚才的解法，想一想怎样解方程组： 分析：未知数y的系数互为相反数，由①＋②，可消去未知数y，从而求出未知数x的值. 解：①＋②，得 3x＋10y＋(15x－10y)＝2.8＋8 18x＝10.8 x＝0.6 把x＝0.6代入①，得 3×0.6＋10y＝2.8 y＝0.1 所以这个方程组的解是： 0.6 0.1 x y = ? ? = ? 追问：①＋②，这一步的依据是什么？ 答案：等式的性质1 问题4：你能归纳刚才的解法吗？ 定义：当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 练习1：(1)如何用加减消元法消去未知数x，求出未知数y？ 解：(1)①－②，得
第2课时 用加减消元法解方程组 基础题 知识点1 用加减法解二元一次方程组 1．方程组? ????x ＋y ＝5，①2x ＋y ＝10，②由②－①，得正确的方程是(B ) A ．3x ＝10 B ．x ＝5 C ．3x ＝－5 D ．x ＝－5 2．用加减法解方程组? ????2a ＋2b ＝3，①3a ＋b ＝4，②最简单的方法是(D ) A ．①×3－②×2 B ．①×3＋②×2 C ．①＋②×2 D ．①－②×2 3．方程组? ????2x －y ＝4，5x ＋y ＝3的解是(D ) A .?????x ＝1y ＝2 B .? ????x ＝3y ＝1 C .?????x ＝0y ＝－2 D .? ????x ＝1y ＝－2 4．(襄阳中考)若方程mx ＋ny ＝6的两个解是? ????x ＝1，y ＝1，?????x ＝2，y ＝－1，则m ，n 的值为(A ) A ．4，2 B ．2，4 C ．－4，－2 D ．－2，－4 5．已知方程组? ????x ＋3y ＝17，2x －3y ＝6，两个方程只要两边分别相加就可以消去未知数y ． 6．解方程组： (1)(聊城中考)? ????x －y ＝5，①2x ＋y ＝4；② 解：①＋②，得3x ＝9，解得x ＝3. 把x ＝3代入②，得y ＝－2. ∴原方程组的解为? ????x ＝3，y ＝－2. (2)(重庆中考B 卷)? ????x －2y ＝1，①x ＋3y ＝6；② 解：②－①，得y ＝1. 将y ＝1代入①，得x ＝3.
∴原方程组的解为?????x ＝3，y ＝1. (3)(赤峰中考)? ????2x －y ＝7，①3x ＋2y ＝0.② 解：①×2＋②，得7x ＝14，∴x ＝2. 把x ＝2代入①，得4－y ＝7，解得y ＝－3. ∴原方程组的解是? ????x ＝2，y ＝－3. 知识点2 用加减法解二元一次方程组的简单应用 7．(苏州中考)某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？ 解：设中型车有x 辆，小型车有y 辆，根据题意，得 ?????x ＋y ＝50，12x ＋8y ＝480，解得? ????x ＝20，y ＝30. 答：中型车有20辆，小型车有30辆． 中档题 8．(河北中考)利用加减消元法解方程组? ????2x ＋5y ＝－10，①5x －3y ＝6，②下列做法正确的是(D ) A ．要消去y ，可以将①×5＋②×2 B ．要消去x ，可以将①×3＋②×(－5) C ．要消去y ，可以将①×5＋②×3 D ．要消去x ，可以将①×(－5)＋②×2 9．若|m －n －3|＋(m ＋n ＋1)2 ＝0，则m ＋2n 的值为(B ) A ．－1 B ．－3 C ．0 D ．3 10．若点P(x ，y)在第一象限内，且点P 到两坐标轴的距离相等，并满足2x －y ＝4，则?????x ＝4，y ＝4Ｗ. 11．解方程组： (1)? ????2x ＋3y ＝4，①5x ＋6y ＝7；② 解：由①×2，得4x ＋6y ＝8.③ ②－③，得x ＝－1. 把x ＝－1代入①，得 2×(－1)＋3y ＝4，解得y ＝2. ∴原方程组的解为? ????x ＝－1，y ＝2.
第2课时用加减消元法解方程组 1.用加减法解二元一次方程组. 2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想. 自学指导：阅读教材第94至97页，回答下列问题： 自学反馈 1.已知方程组 317 236 x y x y += -= ? ? ? ， ， 两个方程只要两边分别相加，就可以消去未知数 y. 2.已知方程组 25716 25610 x y x y ? -= += ? ? ， ， 两个方程只要两边分别相减，就可以消去未知数x. 3.用加减法解方程组 6719 6517 x y x y += ? -= ? - ? ，① ② 应用(B) A.①-②消去y B.①-②消去x C.②-①消去常数 D.以上都不对 4.方程 3213, 325 x y x y += -= ? ? ? 消去y后所得的方程是(B) A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18 活动1 提高问题，引发讨论 我们知道，对于方程组 22, 240 x y x y += += ? ? ? ① ② 可以用代入消元法求解. 这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？ 活动2 导入知识，解释疑难 1.问题的解决 上面的两个方程中未知数y的系数相同，②-①可消去未知数y，得(2x+y)-(x+y)=40-22即x=18，把x=18代入①得y=4.另外，由①-②也能消去未知数y，得(x+y)-(2x+y)=22-40.即-x=-18，x=18，把x=18代入①得y=4. 2.想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组 379, 47 5. x y x y + ? = -= ? ? ① ② 分析：这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值. 解：由①＋②得7x=14,x=2. 把x=2代入①得y= 3 7 ,
教学设计（教案）模板
教学过程 1.回忆： 我们已经学习了用代入法解二元一次方程组，关键是“消元”，那么，对于这个方程组，上节课我们已经练习了。（出示两种解法） 还有没有其他解法呢？ 2.探索 看一看：在这个方程组中，未知数x的系数分别是什么？如何计算结果为0？即3X-3X=0. 那么，就消去了X，得到了一元一次方程。 做一做：把两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减．你得到了什么结果？ 解：（1）-（2），得 9y = －18 , y = －2. 将y = －2代入（1），得 3x＋5×(－2) = 5, x = 5. 思考：（2）-（1），如何解？ . 师：比较以上三种解法，你认为哪一种最简单呢？ 3.学习例题解方程组： 看一看：y的系数有什么特点？ 想一想：先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知数呢？ 解(1)+(2)得, 7x = 14, x = 2.
把x = 2代入（1）得, 6 + 7y = 9, 7y = 3, 4、议一议 从上面的问题中我们能够得到什么启发呢？我们能够得到解方程组的基本思路？解方程的主要步骤有哪些？ （1）对某些二元一次方程组可通过方程两边分别相加（减），消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这就是本节课解方程组的基本思路。 （2）、解这种类型的方程组的主要步骤，是观察求未各数的系数的绝对值是否相同，若互为相反数就用加，若相同，就用减，达到消元目的。 （3）、这种通过两式相加（减）消去一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 5．练习 解下列方程组： 6.小结：（1）对某些二元一次方程组可通过方程两边分别相加（减），消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这就是本节课解方程组的基本思路。 （2）、解这种类型的方程组的主要步骤，是观察求未各数的系数的绝对值是否相同，若互为相反数就用加，若相同，就用减，达到消元目的。 （3）、这种通过两式相加（减）消去一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。