第一届（1959年）
罗马尼亚 布拉索夫（Bra ?ov ，Romania ）
1. 求证3144
21++n n 对每个自然数 n 都是最简分数。（波兰）
2. 设A x x x x =--+-+1212，试在以下3种情况下分别求出x 的实数解： a)2=A ；b)A =1；c)A =2。（罗马尼亚）
3. a 、b 、c 都是实数，已知关于 cos x 的二次方程
0cos cos 2=++c x b x a
试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当
a =4,
b =2,
c =-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。（匈牙利）
4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c ，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。（匈牙利）
5. 在线段AB 上任意选取一点M ，在AB 的同一侧分别以 AM 、MB 为底作正方形AMCD 、 MBEF ，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P 、Q ，设这两个外接圆又交于 M 、N 。
a) 求证：AF 、BC 相交于N 点；
b) 求证：不论点M 如何选取，直线MN 都通过定点S ；
c) 当M 在A 与B 之间变动时，求线段PQ 的中点的轨迹。（罗马尼亚）
6. 两个平面P 、Q 的公共边为 p ，A 为P 上给定一点，C 为Q 上给定一点，并且这两点都不在直线p 上。试作一等腰梯形ABCD （AB 平行于CD ），使得它有一个内切圆，并且顶点B 、D 分别落在平面P 和Q 上。（捷克斯洛伐克）
第二届（1960年）
罗马尼亚 锡纳亚（Sinaia ，Romania ）
1. 找出所有具有下列性质的三位数N ：N 能被11整除且商等于N 的各位数字的平方和。（保加利亚）
2. 寻找使下式成立的实数x ：（匈牙利）
()92211422+<+-x x x
3. 直角三角形ABC 的斜边BC 的长为a ，将它分成n 等份（n 为奇数），令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A 到BC 边的高长为h ，求证：（罗马尼亚）
()
a n nh 14tan 2-=α 4. 已知从A 、B 两点引出的高线长h a 、h
b 以及从 A 引出的中线长m a ，求作三角形ABC 。（匈牙利）
5. 正方体ABCD-A'B'C'D'（上底面 ABCD ，下底面 A'B'C'D'）。X 是对角线AC 上任意一点，Y 是B'D'上任意一点。
a) 求XY 中点的轨迹；
b) 求a)中轨迹上的、并且还满足 ZY =2XZ 的点Z 的轨迹。（捷克斯洛伐克）
6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。 令V 1 为圆锥的体积，V 2为圆柱的体积。
a) 求证：V 1不等于V 2；
b) 设V 1=kV 2，求k 的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角。（民主德国）
7. 一个等腰梯形的两底为a 、c ，高为h 。
a) 在这个等腰梯形的对称轴上，找到所有的点P ，使以P 为顶点，且经过梯形腰的两个端点的角为直角； b) 计算P 点到两底的距离；
c) 判断在什么情况下P 点确实存在。讨论各种情况。（保加利亚）
第三届（1961年）
匈牙利 维斯普雷姆（Veszpr ém ，Hungary ）
1. 设a ，b 为常数，解方程组
??
???==++=++22222z xy b z y x a z y x ，并给出a 和b 满足什么条件时才能使x 、y 、z 为互不相同的正数。
（匈牙利） 2. 设a 、b 、c 为三角形的三条边，其面积为S 。证明S c b a 34222≥++并说明何时取等号。（波兰）
3. 解方程1sin cos =-x x n n ，n 是自然数。（保加利亚）
4. 设P 是三角形P 1P 2P 3内一点。直线P 1P ，P 2P ，P 3P 分别与其对边相交于Q 1，Q 2，Q 3。证明数字3
3
2211,,PQ P P PQ P P PQ P P 至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。（民主德国）
5. 作三角形ABC 满足AC=b ，AB=c ，且∠AMB=ω，其中M 是线段BC 的中点且ω<90°。证明：当且仅当b c b <≤2tan ω
时可作出此三角形，并说明何时等号成立。
（捷克斯洛伐克） 6. 三个不共线的点A 、B 、C 在平面ε的同一侧；假设平面ABC 不与平面ε平行。在平面ε上任取三个点A ’、B ’、C ’。设L 、M 、N 分别为线段AA ’，BB ’，CC ’的中点，G 为三角形LMN 的重心（不考虑使L 、M 、N 不能构成三角形的情况）。问：当A ’、B ’、C ’各自变化时，G 的轨迹是什么？（罗马尼亚）
第四届（1962年）
捷克斯洛伐克（?esk é Bud ějovice ，Czechoslovakia ）
1. 找出具有下列各性质的最小正整数n ：
a) 它的最后一位数字是 6；
b) 如果把最后的6去掉并放在最前面，所得到的数是原来数的4倍。（波兰）
2. 试找出满足下列不等式的所有实数 x ：
2
113>+--x x （匈牙利） 3. 已知正方体ABCD-A'B'C'D'（ABCD 、A'B'C'D'分别是上下底）。一点X 沿着正方形ABCD 的边界以方向ABCDA 作匀速运动；一点Y 以同样的速度沿着正方形B'C'CB 的边界以方向 B'C'CBB'运动。点X 、Y 在同一时刻分别从点A 、B'开始运动。求线段XY 的中点的轨迹。（捷克斯洛伐克）
4. 解方程 cos 2x+cos 22x+cos 23x=1。（罗马尼亚）
5. 在圆K 上有三个不同的点A 、B 、C 。试在K 上再作出一点D 使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。（保加利亚）
6. 一个等腰三角形，设R 为其外接圆半径，内切圆半径为r ，求证这两个圆的圆心的距离是)2(r R R -。（民主德国）
7. 求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。（苏联）
第五届（1963年）
波兰 弗罗茨瓦夫（Wroclaw ，Poland ）
1. 找出下列方程的所有实数根（其中p 是实参数）：
x x p x =-+-1222（捷克斯洛伐克）
2. 给定一点A 及线段BC ，设空间中有一点使得以该点为顶点，一边通过A 点，另一边与线段BC 相交的角为直角，试求出所有满足条件的点的轨迹。（苏联）
3. 在一个n 边形中，所有内角都相等，相连的边长度满足a 1≥a 2≥…≥a n 。
求证：所有边长都相等。（匈牙利）
4. 设 y 是一个参数，试找出方程组?????????=+=+=+=+=+5
1445
3342231125yx x x yx x x yx x x yx x x yx x x 的所有解x 1，x 2，x 3，x 4，x 5。（苏联）
5. 求证2
173cos 72cos 7cos =+-πππ
。（民主德国） 6. 五个同学A 、B 、C 、D 、E 参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE 。但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C 、D 两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种）。还有一种猜测说结果会是DAECB 的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何？（匈牙利）
第六届（1964年）
苏联 莫斯科（Moscow ，Soviet Union ）
1. a) 求所有正整数n 使得2n —1能被7整除；
b) 求证不存在正整数n 使得2n +1能被7整除。（捷克斯洛伐克）
2. 假设a 、b 、c 是三角形的三边长，求证：
abc c b a c b c a b a c b a 3)()()(222≤-++-++-+（匈牙利）
3. 三角形ABC 的三边长分别为a 、b 、c 。分别平行于三角形ABC 的各边作三角形ABC 内切圆 的切线，每条切线都在△ABC 中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a 、b 、c 表示）。（南斯拉夫）
4. 十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。（匈牙利）
5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。（罗马尼亚）
6.四面体ABCD 的中心是D 0 ，分别过A 、B 、C 作DD 0的平行线，这些线分别交平面BCD 、 CAD 、ABD 于点A 1、B 1、C 1，求证：ABCD 的体积是A 1B 1C 1D 0的三分之一；再问如果D 0为三角形 ABC 内的任意一点，结果是否仍然成立？（波兰）
第七届（1965年）
民主德国 柏林（Berlin ，German Democratic Republic ）
1. 找出所有的x （0≤x ≤2π）使其满足22sin 12sin 1cos 2≤
--+≤x x x 。（南斯拉夫）
2. 如下方程组 ?????=++=++=++0003
33232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a
其中x 1、x 2、x 3未知。系数满足以下条件：
a) a 11、a 22、a 33为正数；
b) 其余系数是负数；
c) 在每个方程中，系数的和是正数。
证明该方程组只有唯一解x 1=x 2=x 3=0。（波兰）
3. 给出四面体ABCD ，其中AB 和CD 长度分别为a 和b 。异面直线AB 和CD 的距离为d ，夹角为ω。四面体ABCD 被平面ε分为两部分，平面ε平行于AB 和CD 。AB 和CD 到平面ε的距离的比为k 。计算出这两部分的体积之比。（捷克斯洛伐克）
4. 找出所有满足条件的四个实数x 1、x 2、x 3、x 4，它们中任何三个数的乘积加上第四个数的和都等于2。（苏联）
5. 给出三角形OAB ，其中∠AOB 是锐角。M 是边AB 上除O 外的任意一点，从M 点向OA 和OB 作垂线，垂足为P 、Q 。设三角形OPQ 的垂心为H 。当M 在下列范围移动时，求H 的轨迹。
a) 边AB ；
b) 三角形OAB 内部。（罗马尼亚）
6. 在平面上给出了n 个点（n ≥3）。每对点都有线段相连。令d 为这些线段中最长的线段的长度。我们定义d 就是这个点的集合的直径。证明在给出的点的集合中长度为d 的线段至多有n 条。（波兰）
第八届（1966年）
保加利亚 索菲亚（Sofia ，Bulgaria ）
1. 在一次数学竞赛中共有A 、B 、C 三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。在所有没有答对A 的学生中，答对B 的人数是答对C 的人数的两倍，只答对问题A 的人数比既答对A 又至少答对其他一题的人数多1。又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A 。请问有多少学生只答对B ？（苏联）
2. 令a 、b 、c 为三角形的三边，其对角分别为α、β、γ。证明如果)tan tan (2tan βαγ
b a b a +=+，那么三角
形是等腰三角形。（匈牙利）
3. 求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其它点到各顶点的距离之和。（保加利亚）
4. 求证：对于任一自然数n ，以及任一实数t k x 2
π≠（t =0,1，…，n ；k 为整数），都有 x x x
x x n n 2cot cot 2sin 1...4sin 12sin 1-=+++（南斯拉夫） 5. 解方程组：
1
1
11
334224114443223113442332112441331221=-+-+-=-+-+-=-+-+-=-+-+-x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a 其中a 1、a 2、a 3、a 4是四个不同的实数。（捷克斯洛伐克）
6. 已知三角形ABC ，K 、L 、M 分别是BC 、CA 、AB 的内点。求证三角形AML 、BKM 、CLK 之中至少有一个三角形的面积不大于三角形ABC 的四分之一。（波兰）
第九届（1967年）
南斯拉夫 采蒂涅（Centinje ，Yugoslavia ）
1. 在平行四边形ABCD 中，AB =a ，AD =1，∠BAD =A ，且三角形ABD 是锐角三角形。求证：当且仅当
A A a sin 3cos +≤时，以A 、
B 、
C 、
D 为圆心，半径为1的四个圆能覆盖这个平行四边形。
（捷克斯洛伐克） 2. 求证：只有一条边大于1的四面体体积不大于8
1。（波兰） 3. 令k ，m ，n 为自然数且满足m +k +1是一个大于n +1的质数，c s =s (s +1)。求证：
))...()((21k n m k m k m c c c c c c ---+++能被乘积c 1c 2…c n 整除。（英国）
4. 三角形A 0B 0C 0和A 1B 1C 1是锐角三角形。考虑所有与三角形A 1B 1C 1相似且外接于三角形 A 0B 0C 0的所有三角形ABC （即BC 边包含A 0，CA 边包含B 0，AB 边包含C 0），试构造出满足此条件的面积最大的三角形ABC 。（意大利）
5. 考虑数列{c n }，其中
...
......
(8)
2128
222128
211n n n n a a a c a a a c a a a c +++=+++=+++= 其中a 1、a 2、…、a 8是不全为零的实数。如果数列{c n }中有无穷多项等于0，试求所有使c n =0的自然数n 。（苏联）
6. 在一次运动会中，连续n 天内（n >1）一共颁发了m 块奖牌。在第一天，颁发了一块奖牌以及剩下m -1个中的71；在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的7
1；依此类推。在最后一天即第n 天，剩下的n 块奖牌全部颁发完毕。问该运动会共进行了几天，一共颁发了多少块奖牌？（匈牙利）
第十届（1968年）
苏联 莫斯科（Moscow ，Soviet Union ）
1. 求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另一个角的两倍。（罗马尼亚）
2. 试找出所有自然数n ，其各位数的乘积等于n 2-10n -22。（捷克斯洛伐克）
3. 考虑以下方程组
1
21213
2222
121...
x c bx ax x c bx ax x c bx ax x c bx ax n n n
n n =++=++=++=++-- 其中x 1、x 2、…、x n 是未知数，a 、b 、c 为实数并且a ≠0。令Δ=(b -1)2-4ac 。证明对这个方程组
a) Δ<0，无解；
b) Δ=0，有且只有一个解；
c) Δ>0，有一个以上的解。（保加利亚）
4. 求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。（波兰）
5. 设f 是定义域和值域都为实数集的函数并且对于任一实数x 和任一正数a ，等式
2
)()(21)(x f x f a x f -+=+都成立。 a) 证明函数f 是周期函数（比如，存在一个正数b 使得对于所有x 满足f (x +b )=f (x )）。
b) 当a =1时，给出一个非常值函数的例子。（民主德国）
6. 对于任一自然数n ，试求和
...22...422122101+??????+++??????++??????+=??????++∞
=+∑k k k k k n n n n （[x ]表示不大于x 的最大整数）。（英国）
第十一届（1969年）
罗马尼亚 布加勒斯特（Bucharest ，Romania ）
1. 证明对任意正整数a 和任一正整数n 都满足：数字z=n 4+a 不是质数。（民主德国）
2. 令a 1，a 2，…，a n 为实数常数，x 为实数变量，且
123212
)cos(...2)cos(2)cos()cos()(-++++++++=n n x a x a x a x a x y 。若f (x 1)=f (x 2)=0，证明对于一些整数m 有x 2-x 1=mπ。（匈牙利）
3. 对每一个k = 1, 2, 3, 4, 5，试找出a >0应满足的充要条件，使得存在一个四面体，其中k 个边长均为a ，其余6-k 个边的长度均为1。（波兰）
4. 以AB 为直径作半圆γ。C 是γ上不同于A 和B 的一个点，D 是C 到AB 的垂线的垂足。我们作三个圆γ1、γ2、γ3都与直线AB 相切。在这里，γ1是△ABC 的内切圆，而γ2和γ3都与直线CD 和圆γ相切，且位于直线CD 的两边。证明γ1、γ2、γ3还有一条公切线。（荷兰）
5. 给出平面上n 个点（n >4），其中任意三点都不共线。证明至少有??
?
??-23n 个凸四边形其顶点都是给出的点其中的四个。（蒙古）
6. 求证：对于所有实数x 1、x 2、y 1、y 2、z 1、z 2，其中x 1>0，x 2>0，02111>-z y x ，02222>-z y x ，满足不等式22
222111*********)())((8z y x z y x z z y y x x -+-≤+-++，并给出等号成立的条件。（苏联）
第十二届（1970年）
匈牙利 凯斯特海伊（Keszthely ，Hungary ）
1. M 是三角形ABC 的边AB 上的任何一点，r 、r 1、r 2分别是三角形ABC 、AMC 、BMC 的内切圆的半径，q 是AB 外旁切圆的半径（即与AB 边相切，与CA 、CB 的延长线上相切的圆），类似的， q 1、q 2分别是AC 、BC 外旁切圆的圆心。求证： q
r q r q r =?2211。（波兰） 2. 已知a 、b 、n 是大于1的整数，且a 、b 是两个计数系统的底。A n -1和A n 是a 进制数，B n -1和B n 是b 进制数；它们的联系如下：
,0,...,...,
...,...1021101021101≠≠====---------n n n n n n n n n n n n n n x x x x x B x x x B x x x A x x x A
证明：当且仅当a >b 时有n
n n n B B A A 11--<。（罗马尼亚） 3. 实数a 0，a 1，…，a n ，…满足条件：1=a 0≤a 1≤a 2≤…≤a n ≤…。并数字b 1，b 2，…，b n ，…被定义为 k
n k k k n a a a b 1)1(11∑=--
=。 a) 求证对于所有n 都有0≤b n ＜2。
b) 设c 满足0≤c ＜2，证明对于足够大的n 存在满足上面要求的a 0，a 1，…能使b n >c 。（瑞典）
4. 试找出所有的正整数n 使得集合{n , n +1, n +2, n +3, n +4, n +5}可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。（捷克斯洛伐克）
5. 在四面体ABCD 中，∠BDC 是直角。假设点D 到平面ABC 的垂线的垂足H 是△ABC 的垂心。求证：(AB +BC +CA )2≤6(AD 2+BD 2+CD 2)，并指出在什么情况下等号成立。（保加利亚）
6. 一个平面上有100个点，任意三点都不共线。求证由这些点为顶点的三角形中至多有70%是锐角三角形。（苏联）
第十三届（1971年）
捷克斯洛伐克 日利纳（?ilina ，Czechoslovakia ）
1. 证明下面的说法在n =3或n =5时是正确的，而在其它大于2的自然数n 是错误的：
如果a 1，a 2，…，a n 为任意实数，那么(a 1-a 2)(a 1-a 3)...(a 1-a n )+(a 2-a 1)(a 2-a 3)...(a 2-a n )+...+(a n -a 1)(a n -a 2)...(a n -a n -1)≥0。（匈牙利）
2. 一个有9个顶点A 1，A 2，…，A 9的凸多面体P 1，若将顶点A 1移至A i 时则P 1平移为P i （i =2,3，…，9），求证在P 1，P 2，…，P 9中至少有两个多面体有一个公共内点。（苏联）
3. 求证：一个由形式2k -3（k =2,3，…）组成的整数的集合包含一个每个元素两两互质的无限子集合。（波兰）
4. 四面体ABCD 的所有面都是锐角三角形。我们定义形如XYZTX 的所有闭合多边形路径如下：X 是AB 边上不同于A 和B 的一点；类似地，Y ，Z ，T 分别是边BC 、CD 、DA 的内点。求证：
a) 如果∠DAB +∠BCD ≠∠CDA+∠ABC ，那么在所有闭合路径之中，没有最小长度。
b) 如果∠DAB +∠BCD =∠CDA+∠ABC ，那么将有无数条最短路径，它们的长度都是2sin 2
AC ，其中
α=∠BAC+∠CAD+∠DAB 。（荷兰）
5. 证明对于任一自然数m ，都存在一个在同一平面上的有限点集S ，满足下列条件：对于S 中的每个点A ，恰好有m 个在S 中的点到A 点的距离为单位长。（保加利亚）
6. 令A =(a ij )(i ，j=1,2，…，n ）为一个元素都是非负整数的方阵。假设有一个元素a ij =0，那么第i 行的元素和第
j 列的元素的和不小于n 。求证：这个方阵的所有元素的和不小于2
2
n 。（瑞典）
第十四届（1972年）
波兰 托伦（Toru ń，Poland ）
1. 有十个互不相同的二位数，求证必可从中选出两个不相交的子集，使得这两个子集中的元素之和相等。（苏联）
2. 设n ≥4， 求证每一个圆内接四边形都可以分割成n 个圆内接四边形。（荷兰）
3. 设m 、n 为任意非负整数。求证：)!
(!!)!2()!2(n m n m n m +是整数。（0！=1）（英国） 4. 找出下述方程组的解（x 1，x 2，x 3，x 4，x 5），其中x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是正实数。
))((0
))((0))((0
))((0
))((4221422531253124252425231423142253225321≤--≤--≤--≤--≤--x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （荷兰）
5. 令f 和g 为定义域和值域都为实数集的函数，并对于所有的x 和y 都满足等式()()2()()f x y f x y f x g y ++-=。求证：如果f (x )不恒为0，对于所有x 都有()1f x ≤，那么对于所有y 都有()1g y ≤。（保加利亚）
6. 给出四个不同的平行平面，证明存在一个正四面体，它的顶点分别在这四个平面上。（英国）
第十五届（1973年）
苏联 莫斯科（Moscow ，Soviet Union ）
1. 点O 在直线g 上；12,,...,n OP OP OP 是单位向量，而P 1，P 2，…，P n 都与g 在同一平面且都在g 的一侧。证明当n 为奇数时，1
2...1n OP OP OP +++≥。这里OM 代表向量OM 的长度。
（捷克斯洛伐克） 2. 判断是否存在不在同一平面内的有限点集M ，对于M 内的任何两个点A 和B ，都可以在M 中找到任何两个点C 、D 使得AB 和CD 平行但不重合。（波兰）
3. 找出所有实数a 和b 使得方程43210x ax bx ax ++++=至少有一个实根。对于所有这样的对（a ，b ），找出
22a b +的最小值。（瑞典）
4. 一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？（南斯拉夫）
5. G 是一个定义域为实数集的形如f (x )=ax +b （a 、b 为实数）的非常值函数的集合，且G 满足：
a) 如果f 和g 都在G 内，那么g f 也在G 内；这里()()()g f x g f x =。
b) 如果f 在G 内，那么它的反函数1f -也在G 内；这里f (x )=ax +b 的反函数是1()x b f x a
--=。 c) 对于G 内的每一个f ，都有一个实数x f 可使f (x f )=x f 。
求证：存在一个实数k 对于G 内的所有f 都有f (k )=k 。（波兰）
6. 设a 1，a 2，…，a n 是n 个正数，q 是0到1之间的一个给定的实数。找到n 个数b 1，b 2，…，b n 使之满足： a) 对于k =1,2,...,n 都有a k
+<<； c) 12121...(...)1n n q b b b a a a q
+++
+<+++-。（瑞典）
第十六届（1974年）
民主德国 埃尔福特（Erfurt ，DR Germany ）
1. 三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数，这三个数p 、q 、r 满足0
2. 在三角形ABC 中，证明AB 边上存在点D 使得CD 是AD 和DB 的几何平均数的充要条件是
2sin sin sin 2
C A B ≤。（芬兰） 3. 求证：数字3021221n
k k n k =+?? ?+??∑不论任何整数n ≥0都不能被5整除。
（罗马尼亚） 4. 考虑一个8×8的棋盘分成p 个不重叠的长方形并满足：
i) 每个长方形都有相同数目的黑格子与白格子。