现代控制理论第三章

第三章 线性控制系统的能控性和能观性

在现代控制理论中，能控性和能观性是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出来的，它是最优控制和最优估值的设计基础。

能控性和能观性是分别分析)(tu对状态)(tx的控制能力以及输出)(ty对状态)(tx的反映能力。

§3－1 能控性的定义

能控性所研究的只是系统在控制作用)(tu的作用下，状态矢量)(tx的转移情况，而与输出)(ty无关。

矢量的线性无关与线性相关：

如果0xxxx332211nnCCCC式中的常数nCCC21,满足

0321nCCCC,则把向量nxx,x21叫做线性无关。

例如向量0011x 0102x 1003x便是线性无关。

若向量nxx,x21中有一个向量iX为其余向量的线性组合， 即：nijjjjiC1xx 则称向量nxx,x21为线性相关。

例如向量3211x 1012x 4223x 便是线性相关。

又例如在式中213xxx,0x3xx321式中系数并不全为零。故为线性相关。

具有约旦标准型系统的能控性判据

1．单输入系统

先将线性定常系统进行状态变换，把状态方程的A阵和B阵化

为约旦标准型)ˆ,ˆ(BA,再根据B阵确定系统的能控性。

具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为buxx，或buJxx。其中：n00321，各根互异。其中：（特征值有重根的）

nmmJ0010010121111 ，

nbbbb21

下面列举两个二阶系统，对其能控性加以剖析。

例：1）xccyubxx21221000

22112222111xcxcyubxxxx

从上式看出1x与u无关，即不受u控制，因而只有一个特殊状态。)(02txx是能控制状态，故为状态不完全能控的，因而为不能控系统。

例：2）xccyubxx21211001

221122222111xcxcyubxxxxx（为约旦型）

虽然1x与)(tu无直接关系，但它与2x是有联系的，而2x却是受控于)(tu的，所以系统的各状态完全能控的。

几点结论：

1）系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b。系统矩阵A是由系统的结构和内部参数决定的，控制矩阵b是与控制作用的施加点有关的。因此系统的能控性完全取决于系统的结构、参数以及控制作用的施加点。

2）在A为对角线型矩阵的情况下，如果b的元素有为0的，则与之相应的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，而与)(tu无关。这样，该方程的解无强制分量，在非零初始条件时，系统状态不可能在有限时间ft内，衰减到零状态。从状态空间上说，nTxxxx21,是不完全能控的。

3）在A为约旦标准矩阵的情况下，由于前一个状态总是受下一个状态的控制，故只有当b中相应于约旦块的最后一行的元素为零时，相应的为一个一阶标量齐次微分方程，而成为不完全能控的。

4）在结构图中与)(tu无关的孤立方块，其自由解是tiiex)0(，故为不能控状态。(见p84例题)

一．线性连续定常系统的能控性定义

设线性定常系统 BuAxx

能控性定义：如果存在一个分段连续的输入)(tu，能在有限时间区间][0ftt内，使系统由某一初始状态)(0tx转移到指定的任一终端状态)(ftx，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的。

几点说明：

1．在线性定常系统中，为简便，可以假定初始时刻00t，初始状态为)0(x，而任意终端状态就指定为零状态，0)(ftx

2．假定0)(0tx，而)(ftx为任意终端状态，若存在一个无约束控制作用)(tu，在有限时间][fott内，能将)(tx由零状态驱动到任意)(ftx。

3．在讨论能控性的同时，控制作用从理论上说是无约束的（而实际上是不可能的）其取值并非是唯一的，我们关心的只是它能否将)(0tx驱动到)(ftx，而不计较x的轨迹如何。

二．对于离散时间系统

对于单输入的n阶线性定常离散系统

)()()1(kHukGxkx

)k(u是标量控制作用，它在 )k,1k(区间内是个常值。若存在控制作用序列)1L(u)1k(u),k(u能将第k步的某个状态)k(x在L上到达零状态，0)L(x（kL的有限数）就称此状态是能控的。若系统在第k步上的所有状态)k(x都是能控的，那么此系统是状态完全能控的，称为能控系统。

三．直接从A与B判别系统的能控性

1．单输入系统：BABAABBM1n2

线性连续定常单输入系统，BuAxx 如果能用一个无约束的控制信号，在有限的时间内f0ttt，使初始状态转移到任一终止状态，这个系统称为可控系统。如果系统中各个状态都可控，我们称之为完全能控系统。

对状态方程的解：

d)(bu)t()0(x)tt()t(xtt00 0tt （3—17）

对任意的初始状态矢量)t(x0，应能找到)t(u，使之在有限时间内0ftt转移到零状态0)t(xf，令ftt ，0)t(xf 上式得：

f0ttf00f)d)bu(-(t)t(x)tt( 左边同乘一个)tt()tt(f00f1

f0tt00)d)bu(-(t)t(x （3—18）

根据凯莱—哈密顿定理，A的任一次幂，可由其)1n(2.1.0幂的和表示 j1n0jjkkAaA （对任何的k）

故：kAtAe0kkk!t)t( (3－19)

kA0kkk!t)t(0kkjk1n0jjj1n0jjk0kk!ktaAAa!kt

其中： k!ta)t(k0kjkj

将上式代入式（3－18）有

jjbAbA)t(x1n0jj1n0jj0 （3－20）

其中 f0tt0i)d)u(-(tj 其中1n2.1.0j，1,...,2,1,0ni

由于)t(u为标量函数，又是定限积分，所以j也是标量，将式（3－20）写成矩阵形式

jBABAABB)t(x1n20 （3－21）

要是系统能控，则对任意给定的初始状态)t(x0，应能从式（3－21）解出j来。 )t(x)t(x)t(xbAbAAbb01n02011-1n2j

（3－22）BABAABBM1n2的逆存在。

因此必须保证系统秩等于n（即满秩）即nrankM，当系统nrankM时，系统为不能控的，单输入系统BuAxx，其能控的充分必要条件是由A，B构成的能控性矩阵bAAbbM2必须是满秩。nrankM

例1：u01xx1011xx2121

01B 01011011AB

0011AB,B n1rankM 不能控

例2：u000xaaa100010x210 100B

2a10AB 22122aaa1BA 22122aa-a-1a-10100M 3rankM 为满秩，可控。

在单输入系统中，根据A和B还可以从输入和状态矢量间的传递函数阵确定能控性的充分必要条件。由式（1－64）知xu间的传递函数阵为b)AsI()s(W1ux

状态完全能控的充分必要条件是(s)Wux没有零点和极点重合（对消）现象。否则被相消的极点就是不能控的模式，系统为不能控系统。如果传递函数分子和分母约去一个相同公因子之后，就相当于状态变量减少了一维，系统出现了一个低维能控子空间或一个不能控子空间，故属于不能控系统。

例1：有系统如下，试判断是否能控

u15x0154x

xu间的传递函数阵为

154s15s)1s)(5s(115s1-5-4sb)AsI()s(W11ux 5155)1s()1s(5)1s)(5s(14s5-55s)1s)(5s(1ss

传递函数阵中有一个相同的零点和极点，该极点所对应的自然模式为te为不能控的，所以该系统为不能控系统。

例2： u100xaaa100010x210

从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性。

2012231210ux111001001Wssasasasasaasss）（

)(sWux中不可能出现相同的零点和极点，即分子，分母不存在公因子的可能性。

故能控标准型的状态方程一定是能控的。

2．多输入系统

BuAxx 阵rnB ru维列矢量

控制)t(u不是标量，而是为矢量)t(u，它是r维列矢量，相应的jr变为d)(u)t(0ttjj0 也是一个r维列矢量。 1n2101-n20BABAABB)t(x （3－23）

它是有nr个未知数的n个方程组，根据代数理论，在非奇次线性方程（3—23）中，有解的充分必要条件是它的系数矩阵M和增广矩阵)t(xM0的秩相等。在多输入输出系统中，M是nrn阵：)t(xMrankrankM0

考虑到)t(x0是任意给定的，欲使上式关系成立，M的秩必须是满秩。

多输入输出系统，由于矩阵M与TM的积是方阵，而它的非奇异性等价于M非奇异性，在计算行比列少的阵的秩时，常用TMrankMrankM的关系，通过计算方阵TMM的秩确定M的秩。

有时不写M矩阵，而记证以bA对或BA对，M满秩时，也可以说BA是能控的。

例3：判别三阶两输入系统的能控性

21uu001001x301010121x BAABA2