第三章 线性控制系统的能控性和能观性
在现代控制理论中，能控性和能观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的，它是最优控制和最优估值的设计基础。
能控性和能观性是分别分析)(t u 对状态)(t x 的控制能力以及输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。
§3－1 能控性的定义
能控性所研究的只是系统在控制作用)(t u 的作用下，状态矢量)(t x 的转移情况，而与输出)(t y 无关。
矢量的线性无关与线性相关：
如果0x x x x 332211=++++n n C C C C 式中的常数
n C C C 21,满足
0321====n C C C C ,则把向量n x x ,x 21 叫做线
性无关。
例如向量⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=0011x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0102x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1003x 便是线性无关。
若向量n x x ,x 21 中有一个向量i X 为其余向量的线性组合，
即：
∑≠==n
i
j j j
j i C 1x x 则称向量n x x ,x 21 为线性相关。
例如向量⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=3211x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1012x
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4223x 便是线性相关。
又例如在式中213x x x +=,0x 3x x 321=++式中系数并不全为零。故为线性相关。 具有约旦标准型系统的能控性判据 1．单输入系统
先将线性定常系统进行状态变换，把状态方程的A 阵和B 阵化
为约旦标准型)ˆ,ˆ(B A
,再根据B 阵确定系统的能控性。 具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为
bu x x
+=λ ，或
bu Jx x
+= 。其中：
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡=n λλλλλ 0
03
2
1
，各根互异。其中：（特征值有重根的）
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++n m m J λλλλλλ
01
001
01
2
1
1
1
1 ，
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
n b b b b 21 下面列举两个二阶系统，对其能控性加以剖析。
例：1）[]x c c y u b x x 21221000=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=λλ 2
2112222111x c x c y u b x x x x +=+==λλ
从上式看出1x
与u 无关，即不受u 控制，因而只有一个特殊状态。⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=)(02t x x 是能控制状态，故为状态不完全能控的，因而为不能控系统。
例：2）[]x
c c y u b x x
21
211
00
1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=λλ
2
21122222111x c x c y u b x x
x x x
+=+=+=λλ （为
约旦型）
虽然1x
与)(t u 无直接关系，但它与2x 是有联系的，而2x 却是受控于)(t u 的，所以系统的各状态完全能控的。 几点结论：
1）系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A 和控制矩阵b 。系统矩阵A 是由系统的结构和内部参数决定的，控制矩阵b 是与控制作用的施加点有关的。因此系统的能控性完全取决于系统的结构、参数以及控制作用的施加点。
2）在A 为对角线型矩阵的情况下，如果b 的元素有为0的，则与之相应的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，而与
)(t u 无关。这样，该方程的解无强制分量，在非零初始条件时，
系统状态不可能在有限时间f t 内，衰减到零状态。从状态空间
上说，
[]n T
x x x x 21,=是不完全能控的。 3）在A 为约旦标准矩阵的情况下，由于前一个状态总是受下一个状态的控制，故只有当b 中相应于约旦块的最后一行的元素为零时，相应的为一个一阶标量齐次微分方程，而成为不完全能控的。
4）在结构图中与)(t u 无关的孤立方块，其自由解是
t i i e x λ)0(，故为不能控状态。(见p84例题)
一．线性连续定常系统的能控性定义
设线性定常系统 Bu Ax x
+= 能控性定义：如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在有限时间区间][0
f t t 内，使系统由某一初始状态)(0t x 转移到
指定的任一终端状态)(f t x ，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的。 几点说明：
1．在线性定常系统中，为简便，可以假定初始时刻00=t ，初始状态为)0(x ，而任意终端状态就指定为零状态，0)(=f t x
2．假定0)(0=t x ，而)(f t x 为任意终端状态，若存在一个无约束控制作用)(t u ，在有限时间][f o t t 内，能将)(t x 由
零状态驱动到任意)(f t x 。
3．在讨论能控性的同时，控制作用从理论上说是无约束的（而实际上是不可能的）其取值并非是唯一的，我们关心的
只是它能否将)(0t x 驱动到)(f t x ，而不计较x 的轨迹如何。 二．对于离散时间系统
对于单输入的n 阶线性定常离散系统
)()()1(k Hu k Gx k x +=+
)k (u 是标量控制作用，它在 )k ,1k (+区间内是个常值。
若存在控制作用序列)1L (u )1k (u ),k (u -+ 能将第k 步的某个状态)k (x 在L 上到达零状态，0)L (x =（k L >的有限数）就称此状态是能控的。若系统在第k 步上的所有状态)k (x 都是能控的，那么此系统是状态完全能控的，称为能控系统。 三．直接从A 与B 判别系统的能控性
1．单输入系统：
[]
B A B A AB B M 1
n 2-= 线性连续定常单输入系统，Bu Ax x
+= 如果能用一个无约束的控制信号，在有限的时间内f 0t t t ≤<，使初始状态转移到任一终止状态，这个系统称为可控系统。如果系统中各个状态都可控，我们称之为完全能控系统。 对状态方程的解：
τττφφd )(bu )t ()0(x )t t ()t (x t
t
00
⎰-+-= 0t t ≥ （3—17） 对任意的初始状态矢量)t (x 0，应能找到)t (u ，使之在有限时间内0f t t ≥转移到零状态[]0)t (x f =，令f t t = ，0)t (x f = 上式得：
⎰-=-f
t t
f 00f )d )bu(-(t )t (x )t t (τττφφ
