第七节 Fourier级数

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第七节 Fourier级数

第七节 Fourier 级数
如果 f(x)在[a,b]上不是连续,能否有一个函数列收敛于或一致收敛于 f(x)？本节将从事这个问题的讨论. 为了方便我们讨论的区间为[-ππ].在进行定义域的周期延拓,可以认为 f(x) 是(—∞,∞)上的以 2π为周期的周期函数.所以能否用正弦和余弦函数来表示?
形如
3x

1 5
sin
5x

...

1 sin2n
2n 1
1x

...
．
例2 将函数
3
f
x

x,

x,
x 0; 0 x
1
展开成傅立叶级数．并由此求正项级数
的和
n2
n1
解此函数不是周期函数，它是区间 , 上的连续函数，要求它的 Fourier 级数，必
周期为 2 的偶函数，则它的 Fourier 级数就没有正弦函数，这样的级数称为余弦级数．例 2
中的 F x的傅立叶级数就是余弦级数．
在实际应用中，有时需要将某个区间上的函数展开成正弦级数或者余弦级数．例3
5
图 11-7-2
在区间[0, ] 上将函数 f x x 分别展开成正弦级数和余弦级数．
由于函数 F x在 R 上连续，所以
Fx

2

4
cos
x

1 32
cos 3x

1 52
cos 5x
......
．
在区间[ , ] 上， F x f x ，所以对于任意的 x [ , ] ，有
4
f
x

2

4

Fourier 级数

) (f2 , ϕn )ϕn = lim
N →∞
f = lim
N →∞
(f1 , ϕn )ϕn + i
2N ∑
(f, ϕn )ϕn = lim SN f ，
N →∞
n=0
n=0
此级数（或部分和 SN f ）在 L2 (−π, π ) 中收敛到 f 。由于
ϕ2n−1 = cos(nx) =
einx + e−inx , 2
∀ g ∈ span(ϕ0 , ϕ1 , · · · , ϕ2N ) 。
练习 4.1：假设 f 是以 2π 为周期的函数，试推导 ∫ π 1 sin[(N + 1/2)t] SN f (x) = f ( x + t) d t， 2 π −π sin(t/2) ) ∫ π( 1 sin[(N + 1)t/2] 2 AN f (x) = f (x + t) dt。 2(N + 1)π −π sin(t/2)
1 2(N +1)π
(1.6) (1.7)
被称为 Fejér 核函数。如图 3.1 所示，FN (t) ≥ 0 且函数 FN (t) = ∫π −π FN (t) dt = 1，并且当 N → ∞ 时函数 FN (t) 趋于 δ 函数。
(
sin[(N +1)t/2] sin(t/2)
N →∞ x∈[−π,π ]
|AN f (x) − f (x)| = 0 。
由 ∥AN f − f ∥L2 ≤ 推论 4.1
√
2π
sup
x∈[−π,π ]
由于 ∥AN f − f ∥L2
|AN f (x) − f (x)|，我们进一步得到 lim ∥AN f − f ∥L2 ＝0。 N →∞ √ ≤ 2π ∥AN f − f ∥C , 从以上定理我们看出如果 f ∈ Cper [−π, π ] 则

Fourier级数求系数

an

1

f ( x)cos nxdx,(n 1,2,3, ).

bn

1

f ( x)sinnxdx,(n 1,2,3, ).

第七节傅立叶级数
2
一、三角级数的有关概念
1、三角级数正弦函数是一种常见的周期函数. 如描述简谐振动的函数
y Asin(t )
cos kx cos nxdx 0,(k, n 1,2,3, , k n),
sinkx sinnxdx 0,(k, n 1,2,3, , k n),
②两个相同函数的乘积在区间[ -π,π]上的积分不等于零,
12 dx 2 ,
sin2 nxdx ,(n 1,2,3, ).

sin x)
4

1 sin2x 2

2 (32
cos 3x

1 3
sin3x)

1 sin 4 x
4

2 ( 52
cos 5 x

1 5
sin5x)
( x ; x ,3 , ).
7 注如果 f x只在 , 上有定义,且满足收敛定理的条件,
1
第七节傅立叶级数
一、三角级数的有关概念
1、三角级数
a0 2

(an
n1
cos nx bn sin nx).
2、三角函数系的正交性
1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x, ,cos nx,sinnx,
二、函数展开成傅立叶级数
1
a0

高等数学第七节傅里叶(Fourier)级数

由 f ( x ) 的 Fourier 系数建立的三角级数 a0 ∞ + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) 2 n =1 称为 f ( x ) 的 Fourier 级数 , 记为
公式 :
1 an = π
∫−π f ( x)cosnxdx
π
a0 ∞ f ( x) ~ + ∑ ( ancos nx + bnsin nx ) 2 n =1
取 x = 0, 则
4π + 4 1 = 2π 2 ∑ n2 3 n =1
4 ∑ 12 = 2π 3 n n =1
∞ 2
2
∞
?
收敛定理 !
1 =π2 ⇒∑ 2 6 n n=1
∞
16
1 1 1 π2 1+ 2 + 2 + 2 + L = L 8 3 5 7
1 =π2 ∑ n2 6 n=1
∞
1 1 1 1 π2 ⇒ 2 + 2 + 2 + 2 +L = L . 24 2 4 6 8
a0 ∞ f ( x − 0) + f ( x + 0) + ∑ (an cos nx + bn sin nx ) = 2 n =1 6 2 (证明 ) 略
函数 f ( x ) 展开成 (收敛的) Fourier 级数所要求条件不高 (与幂级数相比) , 收敛性容易得到满足 .
将 f ( x ) 展开成 Fourier 级数常用直接方法 .
x2
− 2x
sin nx
1 − n cos nx − 12 sin nx n 1 cos nx n3
14
2 0
a0 = 8 π 2 , 3

高等数学 11-6傅里叶(Fourier)级数

4 Em , n = 2k − 1, k = 1,2, L = (2k − 1)π 0, n = 2k , k = 1,2, L
所求函数的傅氏展开式为
u (t ) = ∑
4 Em sin(2n − 1)t (−∞ < t < +∞; t ≠ 0, ± π , ± 2π , L) n =1 ( 2n − 1)π
−
π
0, m ≠ n , m=n
3
∫ πcos mx cos nxdx = π ,
−
π
0, m ≠ n , m=n
∫ πsin mx cos nxdx = 0.
−
π
(其中m, n = 1,2,L)
三、函数展开成傅里叶级数问题（1）若能展开, ai , bi 是什么? （2）展开的条件是什么? 1.傅里叶系数
4
u=
1 1 (sin t + sin 3t + sin 5t ) π 3 5
4
2
u=
1 1 1 (sin t + sin 3t + sin 5t + sin 7t ) π 3 5 7
4
u=
1 1 1 1 (sin t + sin 3t + sin 5t + sin 7t + sin 9t ) π 3 5 7 9
=
(− E π ∫π
−
1
0
m
) cos ntdt +
π∫
1
π
0
E m cos ntdt
=0 bn = = 1
(n = 0,1,2, L)
π
−
π
∫π
u (t ) sin ntdt

傅里叶级数的计算方法

傅里叶级数的计算方法傅里叶级数是在数学和物理学领域广泛应用的数学工具，它可以把任意周期函数表示为一系列正弦波的叠加形式，这些正弦波具有不同的频率和振幅。

在实际应用中，傅里叶级数可以用于分析和合成信号，如音频、图像等。

在这篇文章中，我们将介绍傅里叶级数的计算方法，以及如何根据傅里叶级数分析信号。

一、Fourier级数的定义Fourier级数是将一个周期为$2\pi$的函数$f(x)$展开成如下几组正弦和余弦函数的和的形式：$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{[a_n\cos(nx)+b_n\sin( nx)]}$$其中$a_0, a_n, b_n$称为Fourier级数的系数，它们的计算方法如下。

二、Fourier级数系数的计算方法(1) $a_0$的计算方法：$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)dx}$$(2) $a_n$的计算方法：$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cos(nx)dx}$$(3) $b_n$的计算方法：$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)\sin(nx)dx}$$需要注意的是，由于Fourier级数中包含无穷多项，因此上述系数的计算并不是一件简单的事情。

当函数$f(x)$为简单的三角函数时，它们的计算比较容易，但是对于一般的周期函数来说，则需要借助复数和积分等更为高级的工具。

三、Fourier级数的应用Fourier级数的应用非常广泛。

我们将以音频信号的分析为例，介绍如何利用Fourier级数进行信号的分析和合成。

(1) 信号的分析：对于一个音频信号，我们往往需要知道它的主要频率分量、音量大小等信息。

利用Fourier级数，我们可以将音频信号分解为一些主要频率的正弦波的叠加形式，从而了解音频信号中包含的主要频率成分。

数学公式知识：微积分中的Fourier级数展开及其应用

数学公式知识：微积分中的Fourier级数展开及其应用Fourier级数展开在微积分中是一个非常重要的概念，它可以通过将任何周期函数分解为无限个正弦或余弦函数之和，从而使得对周期函数的分析更加容易。

本文将介绍Fourier级数展开的原理、计算方法及其应用。

1. Fourier级数展开的原理Fourier级数展开的基本思想是将任何周期为T的函数f(x)表示为以下无限级数的形式：f(x) = a0 + ∑(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中ω=2π/T，而a0、an和bn均为待定系数。

在该级数中，a0是函数f(x)在一个周期内的平均值，an和bn分别表示正余弦函数的振幅。

为了得到a0、an和bn的具体值，我们需要利用如下公式：a0 = (1/T)*∫(0->T) f(x)dxan = (2/T)*∫(0->T) f(x)cos(nωx)dxbn = (2/T)*∫(0->T) f(x)sin(nωx)dx2. Fourier级数展开的计算方法对于一个给定的周期函数f(x)，我们可以通过计算其a0、an和bn来得到其Fourier级数展开式。

具体方法如下：（1）计算a0：根据上述公式，将f(x)在一个周期内的积分求出，并除以周期长度T即可得到a0的值。

（2）计算an和bn：同样根据上述公式，可以将f(x)乘以cos(nωx)和sin(nωx)分别后再在一个周期内积分，并除以周期长度T即可得到an和bn的值。

（3）代入Fourier级数展开式：将所求的a0、an和bn代入Fourier级数展开式中，即可得到f(x)的Fourier级数展开式。

需要注意的是，由于Fourier级数展开式是无限级数，因此可以用其前几项来逼近一个给定的周期函数f(x)，但要得到较为准确的结果，需要计算更多的项。

3. Fourier级数展开的应用Fourier级数展开在微积分中的应用非常广泛，以下简要介绍几个具体的应用：（1）信号处理：将一个信号用Fourier级数展开式表示后，可以根据需要选择一定的频率范围，从而实现信号的滤波、去噪等处理。

Fourier级数与Fourier变换的概念及应用

Fourier级数与Fourier变换的概念及应用Fourier级数与Fourier变换是数学中非常重要的概念，它们在许多领域都有着广泛的应用。

本文将为大家详细介绍这两个概念的含义、性质以及应用。

一、Fourier级数Fourier级数是一种将周期函数用三角函数的和表示的方法。

它的基本思想是，将任意一个周期为T的函数f(x)展开成如下的三角级数：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，T = 2π/ω是函数f(x)的周期；an和bn是函数f(x)的各阶余弦和正弦系数；a0是函数f(x)在一个周期内的平均值。

这个级数称为Fourier级数，其中n为奇数或偶数正整数。

其中，an和bn系数可以由如下公式计算：an = (2/T) ∫f(x)cos(nωt)dxbn = (2/T) ∫f(x)sin(nωt)dx其中∫表示积分。

这个公式被称为Fourier系数公式。

Fourier级数是一种十分常见的数学工具，被广泛应用于信号处理、图像处理、声学等领域。

例如，我们可以用Fourier级数分析音乐，找出其中的各个音调和音高。

此外，Fourier级数也在计算机图形学中被广泛使用，用于图像压缩等方面。

二、Fourier变换Fourier变换是一种将非周期函数分解成各个频率分量的方法。

它的基本思想是，将任意一个函数f(x)在全实数轴上分解成各个频率的复指数的和：F(ω) = ∫f(x) e^-iωxdx其中，F(ω)是函数f(x)的频率域表示。

它表示的是不同频率的分量在该函数中所占的权重，即振幅和相位信息。

如果知道了F(ω)，我们可以通过它还原函数f(x)。

这个过程被称为Fourier逆变换：f(x) = (1/2π) ∫F(ω) e^iωxdωFourier变换在信号处理、图像处理、物理、工程等领域有着非常广泛的应用。

例如，我们可以用Fourier变换分析信号传输中的误差和失真情况，从而优化数据传输的效果。

高数：傅里叶(Fourier)级数

cos dx
0,
(n 1,2,3,)
sin
mx
sin
nxdx
0, ,
mn ,
mn
cos
mx
cos
nxdx
0, ,
mn ,
mn
sin mx cosnxdx 0.
(其中m,n 1,2,)
三、函数展开成傅里叶级数
问题: 1.若能展开, ai , bi 是什么?
证
f
(
x)
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin
nx)
f 2( x) a0 2
f ( x) [an f ( x)cos nx bn f ( x)sin nx]
n1
f ( x)可逐项积分，
f2([x)daxnf(x a)2c0 ofs(nxx)ddxx
bn
f
( x)sin nxdx]
n1
a0 2
f
( x)dx
a0
an
bn
[an
f
( x)cos nxdx
bn
f
( x)sin nxdx]
n1
f 2( x)dx
a02 2
(an2
n1
bn2 ) ,
结论可证.
四、小结
1.基本概念； 2.傅里叶系数； 3.狄利克雷充分
条件； 4.非周期函数的
播放
傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义——整体逼近
在点t k(k 0,1,2,)处不连续.
收敛于 Em Em Em ( Em ) 0,
2
2
当t k时, 收敛于u(t). 和函数图象为
an
1

Fourier级数知识点总结

Fourier级数知识点总结1. Fourier级数的定义Fourier级数是将某个周期为T的函数f(x)表示成一系列正弦和余弦函数的和的方法。

具体表达式如下：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))其中，a0、an、bn是函数f(x)的系数，ω0是基本频率，n为正整数。

在实际应用中，我们通常使用欧拉公式将正弦和余弦函数用指数函数表示，即：f(x) = a0 + Σ(cn*e^(inω0x))其中，cn是函数f(x)的系数，n为整数。

这样的表达形式更加便于进行分析和计算。

2. Fourier级数的性质Fourier级数具有一系列重要的性质，其中最重要的是其线性性质和正交性质。

线性性质：对于任意两个函数f(x)和g(x)，它们的Fourier级数可以分别表示成：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))g(x) = c0 + Σ(cn*cos(nω0x) + dn*sin(nω0x))那么，对于任意实数α和β，αf(x) + βg(x)的Fourier级数就是：αf(x) + βg(x) = (αa0 + βc0) + Σ(αan*cos(nω0x) + αbn*sin(nω0x)) + Σ(αcn*cos(nω0x) +αdn*sin(nω0x))这个性质使得Fourier级数在表示线性系统的瞬态响应、信号处理、图像处理等方面具有重要作用。

正交性质：对于周期为T的函数f(x)，其对应的Fourier级数可以表示成：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))那么，对于不同的正整数m和n，有如下关系成立：∫[0, T]cos(mω0x)cos(nω0x)dx = {0, (m ≠ n), T/2, (m = n)}∫[0, T]sin(mω0x)sin(nω0x)dx = {0, (m ≠ n), T/2, (m = n)}∫[0, T]cos(mω0x)sin(nω0x)dx = 0这个性质使得我们可以很方便地计算Fourier系数，也为Fourier级数的收敛性提供了理论基础。

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周期延拓 (T = 2 π )
F ( x ) = f ( x ) (− π, π )
1 端点处收敛于 [ f ( π − 0) + f ( − π + 0)] 2
例 2 将数f ( x) = 函数级 .
− x, − π ≤ x < 0 展为立开傅叶 x, 0 ≤ x ≤ π
∞
谐波分析
= A0 + ∑ ( An sin ϕ n cos nωt + An cos ϕ n sin nωt )
a0 令 = A0 , an = An sinϕn , bn = An cos ϕn , ωt = x, 2
a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ) 2 n =1
1 π 4∞ f ( x) = − ∑ cos( 2n −1)x 2 2 π n=1 (2n −1)
(−π ≤ x ≤ π)
利用傅氏展开式求级数的和
1 π 4∞ ∵ f ( x) = − ∑ cos(2n − 1)x, 2 2 π n=1 (2n − 1)
当x = 0时, f (0) = 0,
1 1 π2 = 1+ 2 + 2 +⋯ 8 3 5
解
所给函数满足狄利克雷充分条件. 所给函数满足狄利克雷充分条件
y
拓广的周期函数的傅氏级数展开式在 [− π , π ] 收敛于f ( x ) .
− 2π − π
π
0
π
2π
x
1 π 2 π a0 = ∫ f ( x)dx = ∫0 xdx = π, −π π π 2 2 π 1 π an = ∫ f ( x)cos nxdx = ∫ x cos nxdx = 2 (cos nπ − 1) nπ π 0 π −π
π ∞ π ∞ a0 = ∫−π dx + ∫−π ∑ ak cos kxdx + ∫−π ∑ bk sin kxdx 2 k =1 k =1 1 π a0 a0 = ∫−π f ( x)dx = ⋅ 2π , π 2 π
( 2 ) 求a n .
∫π −πFra biblioteka0 π f ( x ) cos nxdx = ∫− π cos nxdx 2
4Em u(t ) = ∑ sin(2n −1)t n=1 (2n − 1)π
∞
(−∞ < t < +∞;t ≠ 0,±π,±2π,⋯ )
展开步骤
条件， ①验证 f ( x ) 满足 Dirichlet 条件，并确定f ( x ) 的所有间断点，可作图，结合图形进行分析、的所有间断点，可作图，结合图形进行分析、判断 ②根据公式计算Fourier系数 ③写出Fourier 级数展开式，并注明展开式的级数展开式，成立范围
三角级数
2.三角函数系的正交性 2.三角函数系的正交性三角函数系
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,⋯cos nx , sin nx ,⋯
正交 : 任意两个不同函数在 [ − π, π]上的积分等于零 .
π
∫−πcos nxdx = 0,
∫−πsin nxdx = 0,
当t ≠ kπ时, 级数收敛于 u( t ). 和函数图象为
1 an = ∫ u(t )cos ntdt π −π 1 0 = ∫ (−Em ) cos ntdt π −π 1 π + ∫ Em cos ntdt = 0 π0 1 π bn = ∫ u(t )sin ntdt π −π
1 0 1 π = ∫ (−Em ) sin ntdt + ∫ Em sin ntdt π −π π0
为周期的周期函数.如果它满足条件: 设 f ( x ) 是以2π 为周期的周期函数.如果它满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, 并且至多只有有限个极值点, 的傅里叶级数收敛, 至多只有有限个极值点,则 f ( x ) 的傅里叶级数收敛, 并且
4 1 1 1 u(t ) = (sint + sin3t + sin5t + sin7t +⋯ ) 3 5 7 t < π, t ≠ 0) π (−π <
二、三角级数三角函数系的正交性
1.三角级数 1.三角级数
f ( t ) = A0 + ∑ An sin( nωt + ϕ n )
∞ n =1 n =1
+ ∑ [ak ∫− π cos kx cos nxdx + bk ∫− π sin kx cos nxdx ]
k =1 ∞ π π
= a ∫ cos 2 nxdx = an π ,
1 π an = ∫−π f ( x)cos nxdx π ( 3) 求bn .
( n = 1 ,2 ,3 ,⋯ )
2 = 2 [(−1)n − 1] nπ
4 , n = 2k − 1, k = 1,2,⋯ − 2 = ( 2k − 1) π 0, n = 2k , k = 1,2,⋯
1 π bn = ∫ f ( x) sin nxdx = 0, π −π
( n = 1,2,3,⋯)
所求函数的傅氏展开式为
第七节 Fourier级数级数一、问题的提出 − 1,
非正弦周期函数:矩形波非正弦周期函数矩形波 u( t ) =
u
1,
当− π ≤ t < 0 当0 ≤ t < π
−π
o
−1
π
t
不同频率正弦波逐个叠加
4 4 1 4 1 4 1 sin t , ⋅ sin 3t , ⋅ sin 5 t , ⋅ sin 7 t , ⋯ π 3 π π 5 π 7
an =
∫ f ( x ) cos nxdx π
0
( n = 1,2,⋯)
bn = 0 ( n = 1,2,⋯)
此时其Fourier级数展开式是只含有常数项和余弦项而没有正弦项的余弦级数
a0 ∞ + ∑ an cos nx 2 n =1
注意: 对于非周期函数如果函数 f ( x ) 只在注意: 对于非周期函数,如果函数上有定义,并且满足狄氏充区间 [− π , π ] 上有定义并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数也可展开成傅氏级数. 分条件也可展开成傅氏级数作法: 作法:
设 f ( x ) 为周期 2π 的可积函数
a0 ∞ f ( x ) = + ∑ (ak cos kx + bk sin kx ) ? 2 k =1 若能展开, 是什么? 问题: 若能展开问题: 1.若能展开 a i , bi 是什么
2.展开的条件是什么展开的条件是什么? 展开的条件是什么 1.傅里叶系数 1.傅里叶系数 a0 ∞ 若有 f ( x ) = + ∑ (a k cos kx + bk sin kx ) 2 k =1 (1) 求a0 . ∞ π π a0 π ∫− π f ( x )dx = ∫− π dx + ∫− π [ ∑ (a k cos kx + bk sin kx )]dx 2 k =1
0 ≤ t <π Em , u(t ) = − Em , − π ≤ t < 0
−π
o
− Em
π
t
将其展开为傅立叶级数. 将其展开为傅立叶级数
解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.
在点 t = kπ( k = 0, ±1, ±2, ⋯)处不连续 .
− Em + Em 故级数在点 t = kπ处收敛于 =0 2
π n −π
∫−π
∞ k =1
π
a0 π f ( x ) sin nxdx = ∫−πsin nxdx 2
π π
+ ∑ [ak ∫− π cos kx sin nxdx + bk ∫− π sin kx sin nxdx ] = bn π ,
1 π bn = ∫−π f ( x)sinnxdx π
( n = 1,2 ,3 ,⋯ )
4 u = sint π
4 1 u = (sint + sin3t ) 3 π
4 1 1 u = (sint + sin3t + sin5t ) 3 5 π
4 1 1 1 u = (sint + sin3t + sin5t + sin7t ) 3 5 7 π
4 1 1 1 1 u = (sint + sin3t + sin5t + sin7t + sin9t ) 3 5 7 9 π
傅里叶级数
a0 ∞ + ∑(an cos nx + bn sinnx) 2 n=1
问题: 问题:
a0 f ( x) = + ∑(an cos nx + bn sinnx) 2 n=1
条件?
∞
2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件
π −π
2
π
0
( n = 0,1,2,⋯) ( n = 1,2,⋯)
bn =
∫ f ( x ) sin nxdx π
∑ bn sin nx n =1
∞
此时其Fourier级数展开式是只含有正弦项而没有常数项和余弦项的正弦级数
当f ( x ) 是偶函数时
a0 =
∫ f ( x )dx π
2
π
0
2
π
1 1 1 设σ = 1 + 2 + 2 + 2 +⋯, 2 3 4

第七节 Fourier级数

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