数学建模最佳组队方案

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数学建模论文

加权向量组合安排最佳组队方案

摘要：

在一年一度的数学建模竞赛活动中，都会有很多院校组织学生参加数学建模竞赛，比赛规则就是3个人组成一个队，但是每个学校都会有同样的问题，那就是在挑选出来的参赛团队中如何安排组队才能使队伍实力最强，以及整个团队实力最强，即追求一种整体实力最大化，这是参赛之前每个院校必须做好的工作，组队原则是队员各方面能力能互补。

根据某院校20名参赛预选队员，学校决定从20名队员中选出18名队员参加数学建模竞赛。根据对20名队员各项（7项）衡量指标判定学生的综合素质，我们通过定义7项指标的权重得到一个正互反阵， 采用层次分析法，进行分析，并且检验是否通过一致性检验，即

9 0.1cicrri 则通过一致性检验，那么就可以知道每一个学生的综合成绩，通过筛选把最差的两个学生排除，就得到安排人数及名单，经检验在问题一中各项指标分层分析都通过一致性检验，运用MATLAB进行计算输出结果。

在问题二中采用一随机三个人进行组合，进行随机组队，然后采用对每一个队组成的37 的一个矩阵这样的矩阵通过MATLAB计算有816个，那么就有816种组合方式，在矩阵中每一行表示学生的姓名，列表示学生的各项指标，为了让三个对员能够形成互补，我们采用调用函数max() 方法进行搜索每一列最大值，构成一个新的数组，代表该队的各项能力水平，这样依次取出就得到816个队的各项指标的成绩，再与问题一里面的权重向量w 相乘，就得到一个8161 的一个总体综合实力的矩阵，再通过排序筛选出最大的一个值，找到与之对应的组合队员，那么就可以确定该队实力最强。

问题三采用随机排序然后每隔3个数归为一个整体代表每一个，一共有六个，通过增加其随机次数来确定它的稳定值。

关键词：

层次分析，随机数循环，加权向量，MATLAB，一致性检验

一．问题重述：

问题一：

对于问题一的得要求要在20个队员中选出最好的18个人参加比赛，通过筛选把最后的两个同学进行排就可以确定参赛队员名单。

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问题二：

对于问题二，根据题目要求通过对全局组合进行筛选，这里运用问题一里面的数据，通过层次分析出来的权向量w，以及筛选出来的18个队员名单进行排列组合的所有可能性做一个全局计算，得到每种可能组队的一个总体评价分数指标，然后筛选出最大的一个分数，就可以知道该队的人员组合安排。

问题三：

对于问题三，根据题目要求筛选出来的18名队员组成的六个队需要进行一个科学合理的搭配使得总体水平效果最好，要解决的问题是具体安排每一个队由哪些人员组成，需要解决的是队员组成的队伍里面队员能够进行相互各方面的缺陷，这样才能使总体效果最好。

二．模型假设：

1. 假设竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件；

2. 参赛队员都能正常发挥自己的水平；

3.假设7个指标的影响度是逐渐降低的

4.假设随机组组队，每个队员在该组都能弥补其他两人的不足

5.假设每队的综合能力只是取决于他们的7项指标

三．符号说明：

CI：一致性指标；

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CR：一致性比率；

RI：随机一致性指标；

X：7个指标的权重

Y: 每个队员的综合得分

W:每名队员依据各个指标所占权重所得分数

Tl：每个方案总分

t:一个方案下每个队的竞技水平

iZ：表示组队的名称

四．模型建立与求解：

问题一：

该问题是一个综合排序问题。对于此类问题，可通过层次分析法知道不同评价指标所占权重，然后根据权重进行整体评估与排序。

在本题中，依据层次分析法，目标层为选择队员；准则层为学科成绩、智力水平、动手能力、写作能力、外语能力、协作能力、其它特长；方案层为A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T这20个待选队员（如图1）。假设7个评价指标所占权重是依次递减的，分别为1,2,3,4,5,6,7。通过两两比较建立成对比较阵（如图2），然后进行一致性检验，若检验通过，则计算出目标层与准则层之间权重X。

针对准则层与方案层，若用层次分析法，需建立7个2020的矩阵，人为工作量过大；且心理学家认为，成对比较因素不宜超过9个，而此时的成对比较因素有20个，因此准则层与方案层之间的权重计算不用层次分析法，而通过Excel直接依据各个指标所占权重计算每个人

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的得分，再将每个人的7个指标得分求和得出每个队员的综合得分Y，并对总得分Y降序排列排除最后两名队员。

图1：

计算每名队员综合得分的方法如下：

（1）在matlab中输入正互反矩阵（图2），调用编写好的层次分析法计算权重方程xxjj0，得出CI、CR，判断一致性；

（2）得出7个指标所占权重X；

（3）通过Excel计算每名队员依据各个指标所占权重所得分数W；

（4）每个队员各个指标的B求和，得出每个队员的综合分数Y；

（5）个队员的综合分数C进行排序，选出前18位；

输入正互反矩阵（图2）

矩阵2： 选拔优学科 写作能动手能智力水其他能协作能外语水ADTCB…目准方

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得出0.0326CI，0.0247CR

当正互反阵为7阶时，对应的1.32RI

得到结果：CIRI且0.1CR，所以通过一致性检验，可用产生的权重

7个指标权重分别为：

0.35430.23990.15870.10360.06760.04480.0312X，，，，，，

队员编号 学科成绩 智力水平 动手能力 写作能力 外语水平 协作能力 其它

特长

A 8.6 9 8.2 8 7.9 9.5 6

B 8.2 8.8 8.1 6.5 7.7 9.1 2

C 8 8.6 8.5 8.5 9.2 9.6 8

D 8.6 8.9 8.3 9.6 9.7 9.7 8

E 8.8 8.4 8.5 7.7 8.6 9.2 9

F 9.2 9.2 8.2 7.9 9 9 6

G 9.2 9.6 9 7.2 9.1 9.2 9

H 7 8 9.8 6.2 8.7 9.7 6

I 7.7 8.2 8.4 6.5 9.6 9.3 5

J 8.3 8.1 8.6 6.9 8.5 9.4 4

K 9 8.2 8 7.8 9 9.5 5

L 9.6 9.1 8.1 9.9 8.7 9.7 6

M 9.5 9.6 8.3 8.1 9 9.3 7

N 8.6 8.3 8.2 8.1 9 9 5

O 9.1 8.7 8.8 8.4 8.8 9.4 5

P 9.3 8.4 8.6 8.8 8.6 9.5 6

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Q 8.4 8 9.4 9.2 8.4 9.1 7

R 8.7 8.3 9.2 9.1 8.7 9.2 8

S 7.7 8.1 9.6 7.6 9 9.6 9

T 9 8.8 9.5 7.9 7.7 9 6

对B求和，得出每个队员的综合分数Y如下表：

员 ABCDEEGHIJKLNOQRST合分数 8.48306 7.96585 8.42869 8.83374 8.55399 8.78522 9.04494 7.80676 7.92337 8.08406 8.42356 9.10536 .0687 8.34625 8.75006 .78081 8.53414 8.72626 8.30146 8.73683

对每个队员的综合分数Y排序：

队员编号 L M G D F P O

综合分数 9.10536 9.0687 9.04494 8.83374 8.78522 8.78081 8.75006

排名 1 2 3 4 5 6 7

队员编号 T R E Q A C K

综合分数 8.73683 8.72626 8.55399 8.53414 8.48306 8.42869 8.42356

排名 8 9 10 11 12 13 14

队员编号 N S J B I H

综合分数 8.34625 8.30146 8.08406 7.96585 7.92337 7.80676

排名 15 16 17 18 19 20

由上表排序知，队员H、I综合得分较低，因此淘汰。所选择的18名队员名单分别为:

A、B、C、D、E、F、G、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T。

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问题二：

考虑到3名队员之间能力的互补性，需选出3名队员，他们每个人在7项评价指标中最高分予以保留生成新的最高分。将新生成的7项最高分按第一问的权重相加，得出最高综合分。这3名队员的综合最高分越高，则这只队伍的能力越强。

对于每一项评价指标，三人进行比较，将3人中的最高值予以保留，得到由三人成绩共同组成的新的一组指标。将新得出的一组指标分别乘以第一组得出的权重，让后对一组中的7项指标求和，其积记为这一组的总分数。

求出所有组合情况下每组的总分数，并选出所有总分数中的最大值。找出最大值所对应的组合情况，即为最佳3人组队。

经过程序运行计算，得出总分最大值为9.5178，此时为第622种组合情况，对应的队员名单为：

G、S、L。

程序请看在附录-第二问

问题三：

要求18名队员组成6个队, 并且整体竞赛技术水平最高, 同时给出每个队的竞赛技术水平。通过matlab随机产生18个元素的一行18列矩阵，随机分成六组作为一个分组方案，编程类似问题二，最后通过总分t衡量，量化看一个方案的优秀程度。经过大数量的循环得到最优方案

（1）一次循环即为一个方案，随机分出6个组，记为(1,...,6)iZi列出每个组的分数矩阵，例如随机组合一个组如下