习题1 随机事件及其概率
习题解答
（A ）
一、事件的关系和运算
1.1 以10ν表示10次射击命中的次数，考虑事件}7{},6{},6{101010>=<=≥=νννC B A ，}85{10≤≤=νD ，
说明如下事件的含义：BC AC D A C A B A D A C A B A A ,,,,,,,,---+++, BD AD ,. 解 101010{6},,,{5},,{610},
A A
B A
C A A
D A B A A C νΩνν=<+=+=+=≥-=-=≤
≤ 101010{8},,,{68},{56}A D AC C BC AD BD ννν-=>==?=≤≤=≤<．
1.2 说明事件D C B A ,,,的含义：
(1) 自910，，，
等十个阿拉伯数字中随机选八个(允许重复)，组成一个八位电话号码(第一位数不为0)．引进事件：=i B {号码中不含数字i }，=i B {号码中含数字i }(i =910，，，
)， 90B B A =,90B B B +=,90B B C -=,90B B D +=．
(2) 靶子由半径为1210r r r <<<…的同心圆构成，以i A 表示事件“命中半径为i r 的圆”(10,21
，， =i )， 10
1
6
3
6
1
4
3
=======i i
i i
i i
A D A C A
B A A A ；；；
． 解 (1) =A {不含0,9}；=B {不含0或9}；C ={含9不含0}；D = {含0或9}．
(2) =A {半径为34r r 和的圆环}；=B {半径为6r 的圆}；=C {半径为6r 的圆}；=D {半径为1r 的圆}． 1.3 设电路MN 中装有a 和b 两个继电器．以A 和B 分别表 示a 和b 为通路，以A 和B 分别表示a 和b 断路．利用电路MN 的“通”和“断”两种状态，导出关于事件A 和B 的对偶律：
B A B A =+，B A AB +=．
解 引进事件=C {MN 为通路}，则C ={MN 为断路}．显然，
B A
C +=，B A C =，
因此B A B A C =+=．在B A B A =+分别将A 换成A ，将B 换成B ，得AB B A =+，于是B A AB +=．
1.4 对任意二事件A 和B ，证明：
(1) =++++))()()((B A B A B A B A ?； (2)Ω=+++B A B A B A AB ． 解 (1) 由事件运算的分配律，可见
()()()()[()()][()()]
[][][()][()]A B A B A B A B A A B B A B A A B B A B A AB AB BB A AB AB BB A A B B A A B B AA ++++=++++++=++++++=++++==?．
(2) 由事件运算的分配律，可见
()()AB AB AB AB A A B A A B B B Ω+++=+++=+=．
． 题1.3 插图
M
N
a b
1.5 设B A ,和C 是任意三事件，讨论下列命题是否正确：
(1) 若C B C A +=+，则B A =； (2) 若C B C A -=-，则B A =； (3) 若BC AC =，则B A =； (4) 若? ==B A AB ，则B A =． 解 易见，(1),(2),(3)都不正确，只有(4)正确．事实上，由事件运算的对偶律，可见
AB A B Ω=+=?=．
而由Ω=+B A 且AB =?，可见A 和B 互为对立事件，即B A =，因此(4)确实正确．
(2) 不难说明(1),(2),(3)都不成立．为此只需分别举出反例：例如，由于C B A ,,是三任意事件，取B A ≠而
Ω=C 是必然事件，则C B C A +=+且C B C A -=-，但B A ≠，从而(1)和(2)不成立．设A B C ≠=?，，则BC AC =但B A ≠，从而(3)不成立．
注意，该题的结果反映了事件的运算与数的运算的不同之处．
二、概率的直接计算
1.6 假设一批100件商品中有4件不合格品．抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p ．
解 以ν表示随意抽取的4件中不合格品的件数，则
4964100
{1}1{0}
C 110.84720.1528C p P P νν=≥=-==-≈-=．
1.7 从0,1,2,,10…等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：1A ={三个数最大的是5}；2A ={三个数大于、等于和小于5的各一个}；3A ={三个数两个大于5，一个小于7}．
解 从11个数中随机取出三个，总共有311C 165=种不同取法，
即总共有3
11C 个基本事件，其中有利于1A 的取法有25C 10=种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有2
5C 10=种不同取法）
； 有利于2A 的取法有5×5=20种（在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有5×5=25种不同取法）；
有利于3A 的取法有5×2
5C 70=种(在小于5的5个数中随意取一个，
在大于5的5个数中随意取两个)．于是，最后得
111102550
()0.06()0.15()0.30165165165
P A P A P A =
=====，，．
1.8 考虑一元二次方程 02
=++C Bx x , 其中B , C 分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数． (1) 求方程无实根的概率α， (2) 求方程有两个不同实根的概率β．
解 显然，系数B 和C 各有1,2,3,4,5,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事件．考虑方程的判别式C B 42-=?．事件{无实根}和{有两个不同实根}，等价于事件{0}?<和{0}?>．下表给出了事件{0}?<和{0}?>所含基本事件的个数． B 1 2 3 4 5 6
∑
{0?>}含基本事件数 0 0 2 3 6 6
17
由对称性知{0}?<和{0}?>等价，因此αβ=．易见，方程无实根的概率α和有两个不同实根的概率β为
17
0.4736
αβ==
≈．
． 1.9 随机将分别印有1,2,3,4四张卡片排成一行．求事件A 的概率：=A {至少一张卡片排列的顺序号与其数字相同}．
解 设k A ={印有k 的卡片列的顺序号恰好是k }(=k 1,2,3,4)，则1234A A A A A =+++．那么，
1234()()P A P A A A A =+++．
由一般加法公式，可见
[]
[]123412341213142324341231241342341234 ()
()()()()
()()()()()() ()()()()()P A A A A P A P A P A P A P A A P A A P A A P A A P A A P A A P A A A P A A A P A A A P A A A P A A A A +++=+++-+++++++++-．
显然(例1.7)
12341()()()()4
P A P A P A P A ====
． 四张卡片排成一行，总共有4!种不同情形．四张卡片中任何两张(例如第一张和第二张)的顺序号恰好所印数字一致，总共有1×1×2×1＝2 种不同情形(第一张和第二张各有一种选择，第三张剩下两种选择，第四张最后只剩下一种选择)．因此
21
()(14)4!12
i j P A A i j =
=≤<≤． 若四张中任何三张(例如，第一、第二和第三张)都分别印有1，2，3，则第四张自然印有4．因此
()123411
()(14)4322411
4!24
i j k P A A A i j k P A A A A =
=≤<<≤??==；
．
于是，有
12344641155()()4122424248
P A P A A A A =+++=
-+-==． 1.10 从0,1,,9…中，随意取4个数字(允许重复)排成一列，结果恰好形成一个四位数．求下列事件的概率：1A ={4个数字两两不等}；2A ={此数是奇数}；3A ={6至少出现一次}；4A ={6恰好出现一次}．
解 考虑自总体{0,1,,9}Ω=…的4=n 次放回抽样．基本事件的总数39109000N =?=：第一位数字（不为0）有9种选择，其余三位数字共有103种选择．分别以(1,2,,)k N k n =…表示k A 所含基本事件的个数．
(1) 199874536N =???=；
(2) 2291054500N =??=：第一位数字有9种、最后一位数字有5种、中间两位数字共有102种选择； (3) 333910893168N =?-?=，即基本事件的总数N 减去3A 的对立事件3A ＝｛6不出现｝所含基本事件的个数；
(4) 32493892673N =+??=：只有第一位数是6的共有39种情形，6只出现在第2,3或4位数上的情形各有298?种；
于是，所求概率为
12123434()0.504 ()0.500()0.352 ()0.297N N P A P A N N
N N
P A P A N N =
=======；；；．
三、概率的基本公式和运算法则
1.11 假设箱中黑、白、红球各有543，，
个，12个球除颜色外完全相同．现在一个一个地从箱中取出所有的球，求取到红球比黑球早的概率α．
解 引进事件：=A {取到红球比黑球早}．以B W ，和R 分别表示“黑球”，“白球”和 “红球”； 以(WWR)表示事件{前两次抽到黑球，第三次抽到白球}……依此类推．易见， (R)(WR)(WWR)(WWWR)A =+++， 其中右侧的4个事件显然两两不相容，其概率相应为：
513513251(R)(WR)(WWR)102109610986
321511
(WWWR)10987247168
P P P P ???=
=====??????===????，，，．
于是，由概率的可加性，红球比黑球早的概率为
11115()0.714326241687
P A =
+++=≈． 说明 我们是按古典型求的概率(WR)(WWR)(WWWR)P P P ，，，显然可以用乘法公式来求． 1.12 对于随机变量X 和Y ，求{min[,]0}X Y ≤P ，已知概率
341
{0}, {0}{0,0}555
P X P Y P X Y >>==≤≤=，．
解 引进事件{0}{0}A X B Y >=>=，，则{0,0}X Y AB >>=．由条件知
211()()()555341
()()(){0,0}555
P A P B P AB P A P B P AB P X Y ======≤≤=，，，
，，．
由对立事件的概率的公式和加法公式，可见
{min[,]0}()
()()()2112 5555
P X Y P A B P A P B P A B ≤=+=+-+=+-=．
1.13 假设电话号码为八位数(第一位数不为0)，求事件=1A {电话号码中不含0或9}和=2A {电话号码中含0不含9}的概率．
解 引进事件：0B ={电话号码中不含0}，9B ={电话号码中不含9}， =+=901B B A {电话号码中不含0或9}，909092B B B B B A -=-=．易见
878
0909777
9898() () ()910910910P B P B P B B ?===???，，．．
(1) 由加法公式，可见
10909098787
()()()()()
98980.7170910P A P B B P B P B P B B =+=+-+?-=≈?．
(2) 由减法公式，可见
78
290990977
898()()()()0.2387 910910P A P B B B P B P B B ?=-=-=-≈??．
1.14 3个考生的准考证混放在一起，现在将其随机寄给3个人．引进事件：=A {恰好两个考生收到自己的准考证}，求()P A ．
解 引进事件：A k ={第k 个考生收到自己的准考证}(k = 1,2,3,4)．那么，
123123123123123123123()()1()A A A A A A A A A A B A A A B A A A P B P A A A P A A A =++==++==-++，，，．
而由古典型概率公式，有
121323123123123123213121
()(1,2,3)3
11
()()()()66()()()
1
()(|)(|)6
k k P A k P A A P A A P A A P A A A P A A A P A A A P A A A P A P A A P A A A =
========= ；；
，．
(1) 事件321321321,,A A A A A A A A A 显然两两不相容，故
12312312331()()()()62
P A P A A A P A A A P A A A =++=
=． (2) 由一般加法公式, 得
[]123123121323123()
()()()()()()()33123663
P A A A P A P A P A P A A P A A P A A P A A A ++=++-+++=-+= ． 于是，
1231231()()1()3
P B P A A A P A A A ==-++=． 1.15 已知概率(),(),()P A p P B q P AB r ===．分别求下列各事件的概率： ，，B A B A + A B +，
AB ,()A A B +．
解 由事件运算的性质，易见
()1()1()1()1()1()1[()()()]1[]()1()1[]([])()()P A B P AB r P AB P AB r P AB P A B P A P B P AB p q r P A B P A B p q r P A A B P A AB P A p +=-=-=-=-=-+=-+-=-+-+=-+=-+-+=+==，，，
，．
1.16 设事件A 在每次试验中出现的概率为p , 求， (1) 在n 次独立重复试验中事件A 至少出现一次的概率α； (2) 事件A 在n 次试验中最多出现一次的概率β．
解 记ν——n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，i A ={第i 次试验中事件A 出现}(1,2,,)i n =…，它们显然相互独立，且()i P A p =．
(1) 事件“A 在n 次独立重复试验中至少出现一次”表示为12{1}n A A A ν≥=+++…．由于12,,,n A A A …以及12 ,,,n A A A …相互独立，可见
1212{1}()
1()1(1)n n n P P A A A P A A A p αν=≥=+++=-=--……．
(2) 事件“A 在n 次试验中最多出现一次” 表示为}1{}0{}1{=+==≤ννν．易见，
121212
1
1{0}()()()()(1){1}()()(1){1}{0}{1}(1)(1)n n n n n n n n n P P A A A P A P A P A p P P AA A P A A A np p P P P p np p ννβννν--====-==+
+=-=≤==+==-+-……，，
．
说明 求概率βα 和可以利用“n 次伯努利试验恰好有)0(n k k ≤≤次成功”的概率的计算公式
k n k
k n p p C k --==)1(}{νP ．
1.17 把00,01,02,,09,10,11,,99…等前100个数偶分别写在100张卡片上，混合均匀后随机地取出一
张卡片，设X 是该卡片上两个数字之和，而Y 是该卡片上两个数字之积．求条件概率
{|0}(0,1,2,,18)P X m Y m ===…．
解 易见，事件}0{=Y 包含{00,01,,09,10,20,,90}…
…等1N =19个基本事件．易见，事件{0|0}
X Y ==含1个基本事件：{00}；对于1,2,,9m =…
，{|0}X m Y ==各含2个基本事件：{0,0}n m ．故 1
{0|0}19
2
{|0}(1,2,,9)19
P X Y P X m Y m ===
====…；．
对于10,11,,18m =…
，显然{|0}0P X m Y ===．于是 1
0191,2,
,919 0 {|0}m m P X m Y ==????
===?????，若，２，若，
，其他．
1.18 假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球．现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个球，结果是白球．求箱中原来是白球的概率α．
解 引进事件：=A {取出的是白球}，1H ={箱中原来是白球}，2H ={箱中原来是红球}，则12,H H 构成完全事件组，并且12()()0.5P H P H ==．由条件知
12(|)1(|)0.5P A H P A H ==，． 由贝叶斯公式，有
1111122()(|)2
(|)()(|)()(|)3
P H P A H P H A P H P A H P H P A H α==
=+．
1.19 在无线电通信中接连不断地发送信号0和1，其中0占60%，而1占40%．由于存在干扰，发送信号0时接收信号可能是0，1和x （模糊信号），概率相应为0．70，0．10和0．20；发送信号1时接收信号也可能是0，1和x ，概率相应为0.85，0.05和0.10．问接收到模糊信号x 时最好译成0还是1？
解 引进事件：0H ={发送信号是0}，1H ={发送信号是1}，k A ={接收信号为k }(x k ,1,0=)，则
010*********()0.6()0.4(|)0.70(|)0.10(|)0.20(|)0.05(|)0.85(|)0.10x x P H P H P A H P A H P A H P A H P A H P A H ========，；
，，；，，． 由贝叶斯公式，有
000001110()(|)
(|)0.75()(|)()(|)
(|)1(|)0.25.x x x x x x P H P A H P H A P H P A H P H P A H P H A P H A =
=+=-=；
．
计算结果表明，在接收到模糊信号x 时译成0比译成1为好．
四、事件的独立性和独立试验
1.20 设三台独立工作设备)3,2,1(=k S k 的可靠性(无故障工作的概率)相同，已知至少一台无故障的概率为9.99%，求每台设备的可靠性p ．
解 引进事件k A ={第k 台设备无故障}(k =1,2,3)，A ={至少一台无故障}．易见，
12312331233()1()()()()1(1)99.9%(1)10.9990.00119
10.11010
A A A A A A A A P A P A P A P A P A p p p p =++==-==--=-=-=-==
=，，
，
，
，． 1.21 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.30需进一步进行调试， 经调试以概率0.90可以出厂，以概率0.10定为不合格品不能出厂．现在该厂在生产条件稳定的情况下，新生产了20台仪器．求最后20台仪器
(1) 都能出厂的概率α； (2) 至少两台不能出厂的概率β．
解 这里认为仪器的质量状况是相互独立的．设1H ={仪器需要调试}，2H ={仪器不需要调试}，A ={仪器可以出厂}．由条件知
1212()0.30 ()0.70 (|)0.80(|)1P H P H P A H P A H ====， ，
，．
(1) 10台仪器都能出厂的概率
0112210
100()()(|)()(|)
0.300.800.700.940.940.5386P A P H P A H P H P A H ααα==+=?+===≈ ；
．
(2) 记ν——10台中不能出厂的台数，即10次伯努利试验“成功(不能出厂)”的次数．由(1)知成功的概率为
p =0.06．易见，10台中至少两台不能出厂的概率
109{2}1{0}{1}
10.94100.940.060.1175P P P βννν=≥=-=-==--??≈．
1.22 设电路MN 中有5个独立工作的元件1,2,3,4,5，它们的可靠性 均为p ，将它们按插图的方式连接(称其为桥式电路)．求该电路的可靠性 (通畅的概率)α．
解 引进事件i A ={第i 元件工作正常}(i =1,2,3,4,5)，B ={电路通畅}． 由条件知事件i A （i =1,2,3,4,5）相互独立． 解法1 由插图，易见4325315421A A A A A A A A A A B +++=．由概率的一般加法公式(见本题下面的说明)
和事件i A (i =1,2,3,4,5)的独立性，可见
1245135234124513523412451235123413452345123451234512345234()()
()()()() [()()()
()()()] 4()()
2252P B P A A A A A A A A A A P A A P A A P A A A P A A A P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A p p p p =+++=+++-++++++-=+-+5．
解法2 引进事件：3A ={元件3工作正常}，3A ={元件3出现故障}，则它们构成完全事件组．因此由全概率公式，有
3333()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+．
易见
314251425142514252
2
22
3124512451245(|){()()}()()
[1()][1()][1()()][1()()] [1(1)][1(1)](2)(|)()()()(P B A P A A A A P A A P A A P A A P A A P A P A P A P A p p p p P B A P A A A A P A A P A A P A A A A =++=++=--=--=----=-=+=+-；
24)2p p =-．
于是
22242
3
4
5
()(2)(1)(2)
2252P B p p p p p p p p p p =-+--=+-+．
说明 容易证明：对于任意4事件
12341234121314232434124513523412451235123413452345 ()
()()()()
[()()()()()()]
()()()()
[()()()
()()P A A A A P A P A P A P A P A A P A A P A A P A A P A A P A A P A A P A A P A A A P A A A P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P +++=+++-+++++=+++-+++++123451234512345()] 4()()
A A A A A P A A A A A P A A A A A +- 习题1.22插图
3 1
2
4
5 M N
1.23 设B A ,是任意二事件，证明：
(1) 若事件A 和B 独立且B A ?，则()0P A =或()1P B =； (2) 若事件A 和B 独立且不相容，则A 和B 中必有一个是0概率事件． 证明 (1) 由于B A ?，可见
()()()()()()()()P AB P A P B P AB P A P A P A P B ===，，． 因此，若()0P A ≠，则()1P B =；若()0P B ≠，()0P A =．
(2) 对于事件A 和B ，由于它们相互独立而且不相容，可见
()()()0P A P B P AB ==，
因此，概率()P A 和()P B 至少有一个等于0．
1.24 设事件A 和)2,1(=i B i 独立，且=21B B ?，证明A 和21B B +，21B B -，21B B 独立． 证明 由1B 与2B 不相容，可见1AB 与2AB 不相容，故由加法公式，有
121212121212([])()()()
()()()()
()[()()] ()[()]P A B B P AB AB P AB P AB P A P B P A P B P A P B P B P A P B B +=+=+=+=+=+，
因此A 和21B B +独立．
类似可以证明A 和12B B -独立．事实上，
12121121111211212([])()()
()()()()()()() ()[()()]()()P A B B P AB AB P AB AB B P AB P A P B P A P B P A P B B P A P B P B B P A P B B -=-=-===-=-=-，
因此A 和21B B -独立．
最后，因为根据条件?21=B B ，即21B B 是不可能事件，而不可能事件与任何事件都独立，所以A 和21B B 独立．
（B ）
一、单项选择题
1.25 甲、乙两个篮球队进行比赛，假设有三种可能的结局：甲胜，乙胜与平局，考虑事件A ={甲胜乙负}，则A =
(A) 1B ={甲负而乙胜}． (B) 2B ={甲和乙平局}．
(C) 3B ={甲胜或平局}． (D) 4B ={乙胜或平局}． [ ] 分析 应填(D)．把“甲、乙两个篮球队比赛”视为随机试验E ，其基本事件空间为123{,,}Ωωωω=，其中
12{}{}ωω==甲胜乙胜，，3{}ω=平局．
事件A ={甲胜乙负}1{}ω=，因此23{}A ωω=，即A 表示“4B ={乙胜或平局}”．于是(D)为正确选项． 说明 题中事件4321,,,B B B B 可以通过基本事件分别表示为：
1223313423{},{},{},{}B B B B ωωωωωω====．
1.26 设C B A ,,是任意事件，满足C AB ?，则 (A) A C ?且B C ?． (B) A B C +?．
(C) A C ? 或B C ?． (D) A B C +?．
[ ] 分析 (1) 直选法 因为根据条件C AB ?．所以由事件运算的对偶律，可见
C AB B A ?=+，
于是(B)是正确选项．
(2) 排除法 为说明选项(A)，(C)，(D)不成立，只需分别举出反例 ．例如，设C A ?，Ω=B ，则A AB C =?，但是A C ?且B C ?，从而选项(A)错误；
假设随机变量X 在]2,2[-上均匀分布，引进事件
{}{}，
，
，????
??
≤≤-=≤≤-=≤≤-=212 1202X C X B X A
则显然C A AB ?=，但是C B C A ??，，因此选项(C)不成立；
最后，对于选项(C)，若C B A AB ?+?，则根据对偶律C B A ?+，从而(D)也是错误选项． 于是，只有(B)是正确选项．
1.27 设B A ,是任意二事件，则下列各选项中错误的选项．．．．．
是 (A) 若AB =?，则B A ,可能不相容． (B) 若AB ≠?，则B A ,也可能相容．
(C) 若AB =?，则B A ,也可能相容． (D) 若AB ≠?，则B A ,一定不相容． [ ] 分析 应该选(D)．宜采用直选法确定符合题目要求的选项；如果用排除法，则需要对其中三个选项分别举出反例．
(1) 直选法 对于选项(D)容易举出反例．设A B A B ≠?≠?=，，，则B A =．故AB B A ==≠?．然而B A ,显然相容：AB B =≠?，因此产生矛盾，故(D)确实是题目所指的错误选项，从而应该选(D)．
(2) 排除法 只需举例说明(A)，(B)，(C)可能成立，即不符合题意的错误选项．例如，若A 和B 互为对立事件，即A B =，则AB =?，且也互为对立事件，因此B A 和不相容，故选项(A)成立；
设AB ≠?且Ω≠+B A ，那么假如B A ,不相容：AB =?，则
A B AB Ω+==?=，
而这与Ω≠+B A 矛盾，可见B A ,也相容，从而选项(B)成立；
设B A ,不相容AB =?但Ω≠+B A ，那么若B A ,不相容AB =?，则Ω==+B A B A ，这与
Ω≠+B A 矛盾，可见B A ,也相容，从而选项(C)成立．
于是，(D)符合题意的要求的正确选项．
1.28 对于任意三事件C B A ,,，下列各等式正确的是 (A) AB A B =+． (B) A B A AB +=+．
(C) ()A B A B +-=． (D) A B C AC BC +=+． [ ] 分析 应该选(B)．该题采用直选法比较简便．
(1) 直选法 由事件的运算和性质，可见
()()A B A B AB A A B A AB Ω+=+-=+-=+．
于是(B)是正确选项．
(2) 排除法 对于选项(A)，
B A AB B B A B A +≠-=-=)(Ω，
因此选项(A)错误；
对于选项(C)，事件A B A -+)(显然等价于事件“B 出现但是A 不出现”，即AB B A B -=-，因而（只要AB 不是不可能事件）选项(C)一般不成立；
最后，对于选项(D)，因为事件运算的对偶律，知
．
C B A C B A =+ 所以选项(D)一般不成立．于是，只有(B)是正确选项．
1.29 设B A ,和C 是任意三事件，则下列选项中正确选项是
(A) 若C B C A +=+，则B A =； (B) 若C B C A -=-，则B A =．
(C) 若BC C A =，则B A =； (D) 若AB AB ==?，则B A =． [ ] 分析 应该选(D)．该题宜用直选法，因为直观上选项(A)，(B)，(C)明显不成立． (1) 直选法 由事件运算的对偶律，可见
AB A B Ω=+=?=．
而由Ω=+B A 且AB =?，可见A 和B 互为对立事件，即B A =．于是，(D)是正确选项．
(2) 排除法 为说明前三个选项都不成立，只需分别举出反例．由于C B A ,,是二任意事件，例如，设
B A ≠，而Ω=
C 是必然事件，则
A C
B
C A C B C Ω+=+=-=-=?，，
但是B A ≠，从而命题(A)和(B)不成立；设?=≠C B A ，，则BC AC =但B A ≠，从而命题（C ）不成立．于是，(D)是正确选项．
说明 该题的结果反映了事件的运算与数的运算的不同之处． 1.30 对于任意事件A ，B ，C ，若C B A ?+，则 (A) C B A ?+． (B) C B A ?．
(C) C B A ?+． (D) C AB ?． [ ] 分析 应该选(C)．本题采用直选法比较简便．
(1) 直选法 因为，由C B A ?+，可见C B A ?+，所以(C)是正确选项．
(2) 排除法 容易证明选项(A)，(B)和(D)不成立．事实上，设B A =，由条件C B A A ?+=，知
C A B A AB C A B A ?=+=?=+，，
因此，选项(A)和(D)都不成立；其次由条件C B A ?+，可见
C B A B A ?+=，
所以选项(B)不成立．于是，(C)是正确选项．
说明 该题可以用概率的语言表述为：对于任意事件A ,B ,C ，若C B A ?+，则 (A) ()()P A B P C +>． (B) ()()P A B P C >．
(C) ()()P A B P C +<． (D) ()()P AB P C <． [ ] 那么，利用上面的分析容易看到选项(C)正确．
二、解答题
1.31 设备或部件无故障工作的概率叫做可靠性．为了提高设备某种部件的可靠性，给它配备了若干同样的备件：当部件发生故障时，由一台自动转换器自动打开一备件代替原部件的工作．假设该部件的可靠性为p ，而转换器的可靠性为q ．求上述部件的可靠性r ．问为使系统可靠性r 不小于给定的α，应配备多少备件？
解 引进事件=A {原部件无故障}，=i A {第i 个备件无故障}，=B {转换器无故障}，=C {系统无故障}，则
1212()()
()()1()n n C A BA BA BA C A BA BA BA P C P C =++++==-，；．
于是，有
12()1()
1()()()()1(1)(1)n n r P C P C P A P BA P BA P BA p pq ==-=-=---…．
为使α≥r ，只要满足
1(1)(1)(1)(1)11(1)1n n n r p pq p pq pq p
ααα
=---≥--≤---≤
-，，， 由此，得
ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)n pq p p n pq αα-≤---??
---≥??-??
，
． 于是，为使可靠性r 不小于给定的α，备件的数量n 应满足：
ln(1)ln(1)ln(1)p n pq α??
---≥??-??
． 1.32 从n 双不同型号的皮鞋中随机取出)2(2n m m ≤只．求下列事件的概率：=A {取出的鞋任何两只都不成双}；=B {取出的鞋恰好一对成双}；=C {取出的鞋恰好两对成双}．
解 从n 双(2n 只)鞋中随意取出2m 总共有m n 22C 种不同取法，即基本事件的总数为22=C m
n N ．
(1) 为使取出的鞋无一对成双，只须先从n 双鞋中取出2m 双，然后从每双鞋中任取一只；总共有
m
n m M 22C 2=种不同取法，因此
22222C ()C m m
n
m
n
P A =． (2) 为使取出的鞋中只有一对成双，只须先从n 双鞋中任取一双，然后从其余1n -双鞋中任取2(1)m -双，
再从这2(1)m -双中各任取一只；总共有())
1(21
112C C 2---=m n n m M 种不同取法，因此 2(1)2(1)
1
222C ()C m m n m
n
n P B ---=． (3) 为使取出的鞋中恰好有两双，只须先从n 双鞋中任取两双，然后从其余n －2双鞋中任取2(m －2)双，
再从这2(1)m -双中各任取一只；总共有2(2)22(2)
2
2C C m m n n M ---=种不同取法，因此 2(2)22(2)
2
222C C ()C m m n n m
n
P C ---=． 1.33 将一枚完全对称和均匀的硬币接连掷n 次．引进事件：A ={正面最多出现一次}，B ={正面和反面各至少出现一次}．就2,3,4n =的情形讨论事件A 和B 的独立性．
解 以n X 表示“将硬币掷n 次正面出现的次数”．易见，事件{}n X k =表示“正面恰好出现k 次（反面恰好出现k n -次）”，因此
1
C 2k
n n n
P
X k ==｛｝． 其次，有
10{1}{11} 0{}11
(){0}{1}222
1
()1{0}{}12
n n n n n n n n n n n n n n A X X B X n X B X X n n n P A P X P X P B P X P X n -==+==≥-≥==+=+==+==+==-=-==-｛｝，，，｛｝；
，．
当2≥n 时，由于}1{==n X AB ，可见
(){1}2n n
n P AB P X ===
． 事件A 和B 独立，当且仅当
111()1()()222n n n n n P AB P A P B -+??=
=-= ???
． 由此可见，事件A 和B 独立，当且仅当
121-=+n n ．
由于上式当3=n 时成立，故当3=n 时事件A 和B 独立，但是上式当2=n 和4时不成立，从而当2=n 或4时事件A 和B 不独立．
1.34 甲、乙二人轮流射击，首先命中目标者获胜，已知其命中率分别为21 p p 和．假设甲首先开始射击，
(1) 求甲和乙获胜的概率α和β；
(2) 求射击无休止地进行下去而不分胜负的概率γ．
解 设=A {甲射击命中}，=B {乙射击命中}，则比赛结果可以表示为：
A B A B A B A B A B A B A A B A B A B A B A A B A B A A ，，，，，，
设0A ={甲胜}，0B ={乙胜}，C ={比赛无休止}，221111p q p q -=-=，，则
0112112121121212111
11201212
0()()() ()
()()11(1)(1)()()() () k k P A P A ABA P AB ABA P AB AB ABA p q q p q q q q p q q q q q q p p p p q q q q p p P B P AB P AB AB P AB AB AB αβ∞
===++++=++++===----==++∑……
．
23243
121221*********
121201212
112
001212
121121112 ()(1)()11(1)(1)()1()()111111k k P AB AB AB AB q p q q p q q p q q p q p p p q p q q q q p p p q p
P C P A P B q q q q q q p q p q q q q γ∞
=++=++++-===----==--=--------==--∑……
．
12
0q q =．
三、证明题
1.35 证明事件B A A ，和B A +构成完全事件组． 证明 首先，易见三个事件B A A ,和B A +两两不相容：
()()()()()()()( )()()()A AB A A B B AA B A AB AA B B AB A B AB A B AB BA A B B A ==?=?+===?=?====?；；
．
其次，三个事件B A A ,和B A +之和是必然事件：
( )A AB A B A AB A B
A A
B B A A Ω+++=++=++=+=．
于是，B A A ，和B A +构成完全事件组．
1.36 设A 和B 任意二事件，证明下列各关系式等价：,B A ?,B A ?AB =?，B B A =+． 证明 设,B A ? 即若A 出现，则B 也随之出现；从而，若B 不出现，则A 也不出现，因此B A ?． 由A B ?可见,B B A = 从而AB AAB ==?． 设AB =?，则由B A AB A +=和B A AB B +=，可见B B A AB B A B A =++=+．
最后，若B B A =+，则由B B A A =+?，得B A ?．于是，事件A 和B 的四个关系式等价得证．
1.37 设B A ,是任意二事件，证明，若(|)()P B A P B ≤，则(|)()P A B P A ≤． 证明 设(|)()P B A P B ≤．由条件概率的定义，知
()
(|)()()()()()P AB P B A P B P AB P A P B P A =≤≤，．
由此可见
()
(|)()()
P AB P A B P A P B =
≤． 1.38 设事件12,,,n B B B …两两不相容，且事件A 与各事件12,,,n B B B …都独立，证明A 与它们的和也独立．
证明 由于12,,,n B B B …两两不相容，且事件A 与各事件12,,,n B B B …都独立，可见
1
11111()()()
()()()n n n
n
k k k k k k k k n n
k k k k P A B P AB P AB P A P B P A P B P A P B ======????=== ? ???????
== ???
∑∑∑．
于是，A 与
1
n
k k B =独立．
习题二 随机变量及其概率分布
（A ）
一、随机变量及其分布函数
2.1将随机变量X 表示为随机试验E 的基本事件的函数． (1) 设E ——接连对同一目标射击命中为止，X ——射击的次数． (2) 设E ——将一枚硬币接连掷3次，X ——正面出现的次数．
(3) 设E ——自集合{0,1,2,3}的先后两次非还原抽样，X ——奇数出现的次数． 解 (1) {1,2,,,}n Ω=……，()()1,2,,,X k k k n ==……．
(2) Ω={000,001,010,011,100,101,110,111}，其中0——正面, 1——反面；
3)111(2)110()101()011(1)100()010()001(0)000(========X X X X X X X X ；；；．
(3) {
}
0,1,0,2,0,3,1,0,1,2,1,3,
(2,0),(2,1),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2)
()()()()()()Ω=
， (0,2)(2,0)0 (1,3)(3
X X X X ====；； (0,1)(1,0)(0,3)(3,0)(1,2)(2,1)(2,3)(3,2)1X X X X X X X X ========．
2.2 将随机变量X 表示为随机试验E 的基本事件的函数．
(1) 设E ——接连对同一目标射击直到恰好两次命中目标为止，X ——射击的次数． (2) 设E ——接连进行3次射击，X ——命中目标的次数．
解 (1) }),,,2,1{(,)( n k k k k X X ==∈==Ω．
ω 000 001 010 011 100 101 110 111 )(ωX X = 0 1 1 2 1 2 2 3 (2)
2.3 已知随机变量X 的分布函数为
0 1()arcsin 11 1 1x F x a b x x x <-=+-≤<≥>??
???，若，，若，，若．
(1) 当,a b 取何值时，()F x 为连续函数； (2) 当()F x 连续时，求{||12}P X <．
解 (1) 由于分布函数)(x F 是连续函数，可见1)1(0)1(==-F F ，；因此，将1-和1代入()F x ，得常数a 和b 的方程组
0(1) 1(1)2
2
F a b F a b π
π
=-=-
==+
，，
解得12,1πa b ==．因此
0 1()arcsin 11 1 111
2πx F x x x x <-=+-≤<≥>???????，若，，若，，若．
(2) 由于分布函数)(x F 是连续函数，可见
11111||22222111111111arcsin arcsin 2arcsin 2π22π2π23
P X P X P X P X ???????
?<=-<<=<-≤-????????
????????-=+--=?=．
2.4 求常数a 的值和事件{0.50.5}X -≤≤的概率，已知随机变量的分布函数
0 110()01 1 1 2
13x x F x x x a
x <--≤<=≤<≥?????+????，若，
，若，，若，，若．
且(0.9)16F =．
解 由分布函数的基本性质，可见
11(0.9)263
0 11 103()1013 1 1111
{0.50.5}(0.5)(0.5)236
a F a x x F x x x x P X F F =-==<-??-≤
．
．
2.5 向直线上掷一随机点，假设随机点落入区间),1(]1,0(]0,(∞-∞和，
的概率分别等于0.2，0.5和0.3，并
且随机点在区间]1,0(上分布均匀．假设随机点落入]0,(-∞得0分，落入),1(∞得1分，落入]1,0(坐标为x 的点得x 分．试求得分X 的分布函数)(x F ．
解 以321,,H H H 分别表示事件：随机点落入(,0],(0,1]-∞和(1,)+∞，它们构成完全事件组．由条件知
123()0.2()0.5()0.3P H P H P H ===，，．易见
12300,
00,{|}{|}01,
101001,
{|}11x x P X x H P X x H x x x x x P X x H x
≤=≤=≤
≥? ，若，若，若，若；，若；，若，若．
于是，由全概率公式，有
3
1
(){}(H ){|H }
0 00.20.501 1 1k k k F x P X x P P X x x x x x ==≤=≤
=+≤
∑，若，，若，，若．
易见，分布函数)(x F 既不是离散型的也不是连续型的，我们称之为离散-连续型的．
二、离散型随机变量
2.6 求常数C ，假设随机变量X 的概率分布为
{},1,2,2k
C P X k k ==
=…
解 由无限等比级数的求和公式，有
1
1
1{}2
12
1112
k
k k C
P X k C C ∞∞
===
===?
=-∑∑，． 2.7 将一颗色子掷两次，以X 表示两次掷出的最小点数，求X 的概率分布．
解 将一颗色子掷两次，有36个等可能基本事件：{(,):,1,2,,6}i j i j Ω==…，X 有1,2,…,6个可能值．在
36个基本事件中，有利于{1}X =的11个：(1,1),(1,2),,(1,6),(2,1),(3,1),,(6,1)……；有利于{2}X =的9个：
(2,2),(2,3),,(2,6),(3,2),(4,2),,(6,2),……
…有利于{6}X =只有1个：(6,6)．由此易见X 的概率分布为：
1
23456~11
97531363636363636X ?? ? ? ???
． 2.8 口袋中有7个白球，3个黑球，每次从中任取一球且不再放回． (1) 求4次抽球出现黑球次数X 的概率分布；
(2) 抽球直到首次出现白球为止，求抽球次数Y 的概率分布．
解 (1) 随机变量X 有0,1,2,3等4个可能值，若以W 和B 分别表示白球和黑球，则试验“4次抽球”相当
于“含7个W 和3个B ”的总体的4次不放回抽样，其基本事件总数为4
10C 210=，其中有利于{}X k = (0,1,2,3)k =的基本事件个数为：437C C k k -，因此
4
37
4
10
C C {}(0,1,2,3)C k k P X k k -===，
或
01230123~35
1056371131210210210210621030X ???? ? ?= ? ? ? ?????
． (2) 随机变量Y 显然有1,2,3,4等4个可能值；以W k 和B k 分别表示第(1,2,3,4)k k =次抽到白球和黑球，则“不放回抽球直到首次出现白球为止”相当于“自含7个白球3个黑球的总体的4次不放回抽样”，其基本事件
总数410P 10987120=???=．易见
7843728
{1}{2}10120109120327732171
{3}{4}109812010987120P Y P Y P Y P Y ?==
====??????======?????， ，， ．
1
234~84
2871120
120
120
120Y ?? ? ? ???
． 2.9 假设某自动生产线上产品的不合格品率为0.02，求随机抽取的30件中， (1) 不合格品不少于两件的概率α；
(2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的概率β．
解 设ν是抽到的30件产品中不合格品的件数，则ν服从参数为(30,0.02)的二项分布．
3029{0}0.980.5455{1}300.980.020.3340{1}1{0}0.4545P P P P νννν=====??=≥=-==；
；．
(1) 不合格品不少于两件的概率
30
29
{2}1{0}{1}
10.98300.980.020.1205P P P αννν=≥=-=-==--??=．
(2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的条件概率
{1,2}{2}
{2|1}0.2651{1}{1}P P P P P νννβνννν≥≥≥=≥≥==≈≥≥．
说明 本题亦可用古典概型求解．
2.10某生产线平均每三分钟生产一件产品，假设不合格品率为0.01． (1) 求8小时内出现不合格品件数X 的概率分布；
(2) 问为使至少出现一件不合格品的概率超过95%最少需要多长时间？
解 (1) 由条件知，若每三分钟生产一件成品，则8小时内平均可以生产8×60÷3=160件产品，每件产品为不合格品的概率是p =0.01，在160件成品中不合格品的件数X 显然服从参数为（160，0.01）的二项分布．
(2) 设n ——至少出现一件不合格品所要生产产品的件数，则n 件成品中不合格品的件数n ν服从参数为（n ，
0.01）的二项分布；按题意，n 应满足条件
{1}1{0}10.990.95ln0.95
298.0729ln0.99
n n n P P n νν≥=-==-≥≥≈，
．
于是，要使至少出现一件不合格品的概率超过95%，最少需要299×3=897分钟．
2.11设X 服从泊松分布，且已知{1}{2}P X P X ===，求{4}P X =．
解 以X 表示随意抽取的一页上印刷错误的个数，以)4,3,2,1(=k X k 表示随意抽取的第k 页上印刷错误的个数，由条件知X 和)4,3,2,1(=k X k 服从同一泊松分布，未知分布参数λ决定于条件：
2
{1}{2}e
e 2!
P X P X λ
λλλ--====
，．
于是λ=2．由于随机变量)4,3,2,1(=k X k 显然相互独立，因此
12341234248{0000}
{0}{0}{0}{0}(e )e 0.0003P X X X X P X P X P X P X --===========≈ ，，，．
2.12 假设某药物产生副作用的概率为2‰．求在1000例服用该药的患者中， (1) 恰好有0,1,2,3例出现副作用的概率，并利用泊松分布求其近似值； (2) 最少有一例出现副作用的概率，并利用泊松分布求其近似值．
解 设n ν——n 例服药者出现副作用的人数，1000,0.002n p ==，则n ν服从参数为(n , p )的二项分布，近似服从参数为2的泊松分布．
(1) 恰好有0,1,2,3例出现副作用的概率相应为
2222{0}e 0.1353 {1}2e 0.27074
{2}2e 0.2707 {3}e 0.18043
n n n n P P P P νννν----=≈≈=≈≈=≈≈=≈≈；；
；．
(2) 最少有一例出现副作用的概率
2{1}1{0}1e 0.86n n P P νν-≥=-=≈-≈．
2.13 某种玻璃器皿在汽车运输中的破损率为2%，现在一次运送1200件，试求， (1) 破损件数X 的概率分布；
(2) 最多破损30件的概率α，并利用泊松分布求其近似值．
解 1) 为求破损件数X 的概率分布，考虑1200n =n =1200次伯努利试验，每次试验成功的概率为p =0.02，可见X 的概率分布是参数(1200, 0.02)为的二项分布．由于1200,0.002n p ==，显然满足泊松定理的条件，可见X 近似服从参数为24的泊松分布．
2) 最多破损30件的概率(利用泊松分布累积概率数值表)
30120012000
30
24
{30}C 0.020.9824 e 0.90415!k k k k k k P X k α-=-==≤=≈≈∑∑
．
三、连续型随机变量
2.14 设随机变量X 服从区间25[，
]上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于
3的概率α．
解法1 易见，事件{3}A X =>的概率
5312
(){3}d 33
P A P X x =>==?．
设{3}k k A X =>，则由条件知123,,A A A 相互独立且()231,2,3)k P A =(．若事件B ={对X 的3次独立观测中至少两次的观测值大于3}，则B ={对X 的3次独立观测中，观测值都不大于3或恰好一次大于3}；那么
123123123123123123123123()1()
1[()()()()]1
67201127272727B A A A A A A A A A A A A P B P B P A A A P A A A P A A A P A A A α=+++==-=-+++??=-+=-=????
；
．
解法2 设Y 3次独立试验事件{3}A X =>出现的次数，则Y 服从参数为(3,)p 的二项分布，其中
23p =．因此
23(){2}{3}
48203(1)92727
P B P Y P Y p p p α===+==-+=
+=．
2.15 某加油站每周的销售量X (单位：104 L)是随机变量，其概率密度
45(1)01() 0 .x x f x -<<=??
?
，若，
，若不然． 假设该加油站每周初将油库充满．假如一周内油库被吸干的概率为1%，求油库的容积V ．
解 由题意知，容积V 满足条件
1
145
50.01{}5(1)d (1)(1)V
V
P X V x x x V =≥=-=--=-?．
由此可见6019.001.015≈-=V (104 L)=6019 L ．
2.16 假设随机变量)9 , 108(~N X ，求
(1) 事件{
101.1117.6}A X =<<的概率； (2) 满足{}0.90P X a ≤=的常数a ； (3) 满足{||}0.025P X b b ->=的常数b ． 解 由条件知，随机变量
108
~(0,1)3
X U N -=
．
(1) 由标准正态分布函数()x Φ数值表(附表1)，可见事件{
101.1117.6}A X =<<的概率 101.1108108101.1108 {101.1117.6}333{2.3 3.2}(3.2)(2.3)10.9930.989310.9886X P X P P U ΦΦ--+??
<<=<
??
=-<<=+-=+-=．
(2)设标准正态分布函数()x Φ，由条件知
第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑
数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、
* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。
概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望
数理统计学前沿简介 （陈希孺院士访谈） 一、概率论与数理统计学的产生和发展 记者：陈希孺院士，请你谈谈概率论与数理统计学学科的诞生和发展情况。 陈希孺院士：我们先从数理统计学开始，数理统计学是研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定的结论的科学和艺术。数理统计学所考察的数据都带有随机性（偶然性）的误差。这给根据这种数据所作出的结论带来了一种不确定性，其量化要借助于概率论的概念和方法。数理统计学与概率论这两个学科的密切联系，正是基于这一点。 统计学起源于收集数据的活动，小至个人的事情，大至治理一个国家，都有必要收集种种有关的数据，如在我国古代典籍中，就有不少关于户口、钱粮、兵役、地震、水灾和旱灾等等的记载。现今各国都设有统计局或相当的机构。当然，单是收集、记录数据这种活动本身并不能等同于统计学这门科学的建立，需要对收集来的数据进行排比、整理，用精炼和醒目的形式表达，在这个基础上对所研究的事物进行定量或定性估计、描述和解释，并预测其在未来可能的发展状况。例如根据人口普查或抽样调查的资料对我国人口状况进行描述，根据适当的抽样调查结果，对受教育年限与收入的关系，对某种生活习惯与嗜好（如吸烟）与健康的关系作定量的评估。根据以往一般时间某项或某些经济指标的变化情况，预测其在未来一般时间的走向等，做这些事情的理论与方法，才能构成一门学问——数理统计学的内容。
这样的统计学始于何时？恐怕难于找到一个明显的、大家公认的起点。一种受到某些著名学者支持的观点认为，英国学者葛朗特在1662年发表的著作《关于死亡公报的自然和政治观察》，标志着这门学科的诞生。中世纪欧洲流行黑死病，死亡的人不少。自1604年起，伦敦教会每周发表一次“死亡公报”，记录该周内死亡的人的姓名、年龄、性别、死因。以后还包括该周的出生情况——依据受洗的人的名单，这基本上可以反映出生的情况。几十年来，积累了很多资料，葛朗特是第一个对这一庞大的资料加以整理和利用的人，他原是一个小店主的儿子，后来子承父业，靠自学成才。他因这一部著作被选入当年成立的英国皇家学会，反映学术界对他这一著作的承认和重视。 这是一本篇幅很小的著作，主要内容为8个表，从今天的观点看，这只是一种例行的数据整理工作，但在当时则是有原创性的科研成果，其中所提出的一些概念，在某种程度上可以说沿用至今，如数据简约（大量的、杂乱无章的数据，须注过整理、约化，才能突出其中所包含的信息）、频率稳定性（一定的事件，如“生男”、“生女”，在较长时期中有一个基本稳定的比率，这是进行统计性推断的基础）、数据纠错、生命表（反映人群中寿命分布的情况，至今仍是保险与精算的基础概念）等。 葛朗特的方法被他同时代的政治经济学家佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡在这类问题的研究中不能尚空谈，要让实际数据说话，他的工作总结在他去世后于1690年出版的《政治算术》一书中。 当然，也应当指出，他们的工作还停留在描述性的阶段，不是现代意义下的数理统计学，那时，概率论尚处在萌芽的阶段，不足以给数理统计学的发展提供充分的理论支持，但不能由此否定他们工作的重大意义，作为现代数理统计学发展的几个源头之一，他们以及后续学者在人口、社会、经济等
第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题
您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题
您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题
您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题
您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题
您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题
概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。
第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计
概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL
一、概率定义的发展与分析 1.古典定义的历史脉络 古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比． 2.古典定义的简单分析 古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提． 如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”？伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P(n,r)的各种排列（或总数为C(n,r)的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，
而且还有数学上的问题． “应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“寻找另一条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律．这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础．“古典定义数学上的问题”在贝特朗（1822—1900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评． 3.统计定义的历史脉络 概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布?伯努利所说：“……这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”． 事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律．1919年，德国数学家冯?米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率．
第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生；
（4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B
（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==
《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念
1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法；
《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)
习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 概率论与数理统计知识 点总结详细 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 《概率论与数理统计》课程重点与难点要记 第一章：随机事件及其概率 题型一：古典概型 1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。 2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。 3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。 4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除 的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要） 课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16 题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率 1。3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。 2。设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。 3。设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。 课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12， 13 题型三：全概率与贝叶斯公式 1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求： （1）学生回答正确的概率； （2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。 2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。以A 记事件收到信号“1”，以B 记事件发出信号“1”。已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。 1）求收到信号“1”的概率？ 2）现已收到信号“1”，求发出信号是“1”的概率？ 课后习题：P23：7，8，9，12 P31：19，26，27，28 第二章：随机变量及其分布 题型一：关于基本概念：概率分布律、分布函数、密度函数 1．一房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了 第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1 《概率论与数理统计》课程教案 第一章 随机事件及其概率 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,； (3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解概 率的公理化定义。 (5) 理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。 二．本章的教学内容及学时分配 第一节 随机事件及事件之间的关系 第二节 频率与概率 2学时 第三节 等可能概型（古典概型） 2 学时 第四节 条件概率 第五节 事件的独立性 2 学时 三．本章教学内容的重点和难点 1） 随机事件及随机事件之间的关系； 2） 古典概型及概率计算； 3）概率的性质； 4）条件概率，全概率公式和Bayes 公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理 四．教学过程中应注意的问题 1） 使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件； 2） 注意让学生理解事件,,,,,A B A B A B A B AB A ???-=Φ…的具体含义，理解 事件的互斥关系； 3） 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律； 4） 古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组 合，复习排列、组合原理； 5） 讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回； 五．思考题和习题 思考题：1. 集合的并运算?和差运算－是否存在消去律？ 2. 怎样理解互斥事件和逆事件？ 3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？ 习题： 第二章 随机变量及其分布 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续 型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律 或密度函数及性质； 二．本章的教学内容及学时分配 第一节 随机变量 第二节 第二节 离散型随机变量及其分布 离散随机变量及分布律、分布律的特征 第三节 常用的离散型随机变量 常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时 第四节 随机变量的分布函数 分布函数的定义和基本性质，公式 第五节 连续型随机变量及其分布 连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时 第六节 常用的连续型随机变量 常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学时 三．本章教学内容的重点和难点 a) 随机变量的定义、分布函数及性质； b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何 事件的概率； c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)； 四．教学过程中应注意的问题 a) 注意分布函数(){}F x P X x =<的特殊值及左连续性概念的理解； b) 构成离散随机变量X 的分布律的条件，它与分布函数()F x 之间的关系； c) 构成连续随机变量X 的密度函数的条件，它与分布函数()F x 之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数()F x 关于x 处处连续，且()0P X x ==，其中x 为任(完整版)概率论与数理统计课程标准
概率论与数理统计知识点总结详细
《概率论与数理统计》课程重点与难点要记
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(完整word版)概率论与数理统计教案(48课时)
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