初三知识整理
第一章勾股定理
?勾股定理：
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
说明：若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2。
?勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。说明：根据勾股定理的逆定理，可以判定一个三角形是否是直角三角形：若已知三角形的三条边，只需验证最大边的平方是否等于另两边的平方和，若相等，则是直角三角形；若不等，则不是。
?勾股数：
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数），也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17等，请熟记。
?勾股定理的应用
求两点之间的距离和线段的长度常构造直角三角形，利用勾股定理求解，求立体图形上两点之间的最短距离大致可分为：(1)圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；(2)长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题，
?直角三角形三边之间的关系
不等量关系是：斜边的长大于每条直角边的长，其依据是“垂线段最短”；
等量关系是：勾股定理，勾股定理是我们求直角三角形边长的依据，在直角三角形中，已知任意两边的长，可求第三边的长．
?直角三角形的判别
直角三角形的判别有两种方法：(1)利用定义，判断一个三角形中有一个角是直角；(2)根据三角形一边的平方等于另外两边的平方和，来判定该三角形是直角三角形，
?勾股定理中的方程思想
勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项．
?勾股定理中的转化思想
在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解，
第二章实数
?无理数：
无限不循环小数叫做无理数。
说明：1、无理数有两个本质属性，一是“无限”，二是“不循环”只有满足这两个条件的小数才是无理数。
2、虽然从开方运算可以得到无理数，但并不是所有的无理数都是从开方开不尽得到的，如圆周率是无理数，它并不是从开方开不尽产生的，因此不能误认为“无理数是开方开不尽的数”。
3、判断一个数是否是无理数，要根据定义看其本质属性，不能说“带根号的数是无理数”，事实上=5是有理数而不是无理数。
4、要把无理数和它的有理数近似值严格区别开来。如是无理数，而它的近似值1.4，1.41，1.414，1.4142…都是有理数。
?无理数与有理数的区别：
（1）有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母为1的分数）；而无理数写不成分数的形式，即无理数不能用n/m（n不等于0，m、n是整数）表示。
?实数：
有理数与无理数统称为实数。
?实数的分类：有理数和无理数。
有理数包括（正有理数、0、负有理数）。
无理数包括（正无理数、负无理数）。
正有理数包括（正整数、正分数）。
负有理数包括（负整数、负分数）。
正无理数和负无理数都是无限不循环小数。
?实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a0）。
?实数a的绝对值
=
?实数的绝对值性质：
；｜a ｜=｜－a｜；=；=（b）；=
?实数的大小：
正数大于0，负数小于0；两个正实数直接比较；两个负实数，绝对值大的反而小。
?实数的运算：
在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方及开方运算，有理数的运算法则在实数范围内仍然成立，实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同：
a（a0）
0（a = 0）
-a （a
先乘方、开方，再算乘除，最后算加减．同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的，
先算括号里面的，但开方运算则需注意，负实数只能开奇次方，而不能开偶次方。
有理数范围内适用的运算律、幂的运算法则、乘法公式，在实数范围内同样适用。
?实数和数轴上的点的对应关系：
任何一个有理数，在数轴上都有一个惟一确定的点与之对应，但是数轴上的点并不都表示
有理数，无理数也可用数轴上的点表示，由此可见，数轴上表示有理数的点是不连续的，
而有理数、无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以数轴上的点和实数一一对应，即每
一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，
?比较实数大小的方法：
实数的大小比较与有理数的大小比较的原则是相同的．在数轴上，右边的点表示的数总比
左边的点表示的数大；正数大于零，零大于负数；两个负数进行大小比较时，先比较它们
的绝对值，绝对值大的反而小；两个正实数的大小比较，一般采用作差法、作商法、作平
方法等。
1、数轴法
在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。
2、计算法：
直接求实数的值（或近似值），然后根据实数的性质（正数0负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小）进行比较。求值时一般将实数写成小数的形式。
3、特殊性质法：
利用某些数的特殊性质，如：
（1）分母相同的两个正分数，分子大的分数较大；分子相同的两个正分数，分母大的反而小。（2）若a b0，则0，（n为正整数）。
4、作差法：
对实数a、b，若a-b0，则a b；若a-b0，则a b；若a-b0，则a b。
5、作商法：
（1）对a>0，b>0，若a/b＞1，则a>b；若a/b＜1，则a （2）对a<0，b<0，若a/b>1，则a 说明：（1）作差法是与0比较，作商法是与1比较。（2）作差法适用于任意两个实数的大小比较。而用作商法时，需分两正数比较和两负数比较两种情况。 ?算术平方根： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”读作“根号a”。说明：0的算术平方根是0，即=0。 ?平方根： 一般地，如果一个数x的平方等于a即x2=a，那么这个数x和它的相反数—X就叫做a的平方根，也叫做二次方根。 ?平方根的性质： 一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 ?开平方： 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。 ?立方根： 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。 ?立方根的性质： 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 ?开立方： 求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。 ?确定平方根或立方根的大致范围 有些数的平方根或立方根不是有理数，而是无理数，这些数都是开方开不尽的数，我们可以借助平方运算或立方运算，通过两边夹遭韵方法估计它们的值所在的范围，例如要估算√43的大小，要求误差小于O．1．首先找出43邻近的两个完全平方数，如36<43<49，则√36<√43<√49，即6<√43<7，由此可见√43的整数部分应是6，然后再由6.52=42.25，6.62=43.56得42.25<43<43.56，得6.5<√43<6.6，从而知√43的十分位上的数应为5，即√43≈6.5或6.6． ?通过估算比较两个数的大小 对于含根号的数比较大小，一般可采用下列方法：(1)先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；(2)当符号相同时，把不含根号的数平方（或立方）和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，算术平方根（或立方根）越大；(3)若同分母或同分子的，可比较它们分子或分母的大小． ?涉及三种非负数的问题 非负数是正数和零的统称，初中数学学习中，常见的非负数有三种；实数的绝对值、实数的平方、非负实数的算术平方根，灵活运用它们值的大小或等于O的特性，对一些问题可找到很好的解决途径。 第三章图形的平移与旋转 ?平移： 平移是图形变换的一种基本形式．在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. (1)图形的平移是指整个图形在平面内的平行移动，包括图形上的每一条线、每个点，它 由移动的方向和距离决定；(2)确定一个图形平移后的位置的条件是：平移的方向、平移的距离、图形原来的位置；(3)图形的平移是图形的一种变换——平移变换，简称平移； (4)平移前后图形的形状、大小都不发生变化． ?平移的性质： 经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等． (1)在图形的平移变换过程中，要注意图形上的点的对应关系，即要找准对应点，然后找出对应的线（线段）、角、边等；(2)平移后的图形与原图形全等，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，对应点所连的线段既能反映图形平移的方向，也能表示平移的距离（线段的长度）． 平移作图的条件： 平移作图是常见的作图，根据平移的定义可知，要确定一个图形平移后的位置需要三个条件：(1)图形原来的位置；(2)平移的方向；(3)平移的距离．三个条件必不可少，若缺少一个条件并不是无法作出平移后的图形，而是作出的图形不惟一。 平移作图的方法： 平移作图的一般步骤为：(1)确定平移的方向和距离，并确定一组对应点；(2)确定图形中的关键点，关键点一般为端点、转折点、交点等，如三角形的三个顶点为关键点，四边形的四个顶点为关键点，圆的关键点为圆心等；(3)利用第一组对应点和平移的性质确定图形中所有关键点的对应点，注意其方法不惟一；(4)按原图形的方式依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形， ?利用平移设计图案的一般思路是： (1)确定“基本图案”；(2)把“基本图案”按一定方向、一定距离连续平移，完成图案的设计；(3)设计的图案的主旨和含义要适当、明确，图案设计的自主性很强，同时为了美感和一定的目的要求，是有一定难度的。 ?旋转： 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转， 这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角． 对图形旋转的概念，我们应从以下几个方面理解：(1)旋转中心在旋转的过程中保持不动； (2)图形的旋转是由旋转中心、旋转角和旋转方向来决定的；(3)将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，意味着图形上每一点绕这个定点同时按相同的方向旋转相同的角度；(4)这里“一个角度”指的是大于0°而小于360°的角；(5)图形的旋转不改变图形的形状、大小． ?旋转的性质： 由旋转的概念可知旋转的性质为：(1)旋转后的图形与原图形的大小和形状都一样；(2)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；(3)图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度． ?平移与旋转的区别和联系： 联系：平移和旋转都是在平面内进行的图形变换，变换前后的图形是全等的，对应线段相等、对应角相等、对应点的排列次序相同． 区别：平移是在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，它应同时满足的条件是：①有原图形；②平移的方向；③平移的距离。而旋转是在平面内将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，它应同时满足的条件是：①有原图形；②旋转中心；③旋转的方向；④旋转角度． ?旋转作图满足的条件： 要确定一个图形旋转后的位置需要满足三个条件：(1)图形原来的位置，(2)旋转中心及旋转方向；(3)旋转角．只有上述三个条件同时具备了，一个图形旋转后的位置才惟一确定。?旋转作图的步骤： 图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点到旋转中心的距离相等，这既是旋转的基本规律，也是我们旋转作图的依据：旋转作图的步骤：①确定旋转中心及旋转方向、旋转角；②找出表示原图形的关键点；③将原图形上的关键点与旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角，得到这些关键点的对应点；④按 原图形的方式连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形． ?图形的三种基本变换： 到目前为止，我们主要学习了三种基本的图形变换：平移、旋转、轴对称，三者既有区别，又有联系．区别：(1)运动方式不同．平移是沿某方向平行移动；旋转是绕一定点转动；轴对称是沿一条直线翻折；(2)对应点的连线的性质不同，两个具有平移关系的图形对应点连接的线段平行且相等；两个具有旋转关系的图形对应点连接的线段没有特殊关系；两个成轴对称的图形的对应点连接的线段被对称轴垂直平分；(3)三种变换所需条件不同．平移变换需要知道平移方向和平移距离；旋转变换需要知道旋转中心、蕨转方向和旋转角；轴对称变换需要知道对称轴． 联系：三者都是平面内的图形变换，而且都不改变图形的大小和形状，只是改变图形的位置， 每种变换需要满足的条件不同，其分析侧重点也不同。一般有以下几种分析方法：(1)平移变换。分析每次平移变换的方向、距离，再分析平移变换的次数；(2)旋转变换．分析每次旋转变换的旋转中心、旋转方向、旋转角，再分析旋转变换的次数；(3)轴对称变换，确定对称轴进行轴对称变换；(4)平移变换与旋转变换的组合，一般先进行旋转变换，再进行平移变换；(5)旋转变换与轴对称变换的组合。一般先进行旋转变换，再进行轴对称变换；(6)轴对称变换与平移变换的组合，一般先进行轴对称变换，再进行平移变换， ?图案的欣赏与分析： 欣赏与分析图案特别强调了两个方面：一方面强调体会图案的艺术美和其反映的设计意义；另一方面通过分析图案的形成过程，意在思考图案的设计思路，也就是平移、旋转、轴对称及其组合是如何进行合理运用的． 对于较为复杂的图案的分析要运用“整体思想”，即从整个图案着手，分析图案的组成一共有几种“基本图案”，再从细处思考每种“基本图案”是怎样进行变换的． ?简单图案设计的一般方法： 图案的设计是利用图形的基本变换来进行图案设计，图形的基本变换有轴对称、平移、旋转这三种基本形式，但较多的图形变换形式都是经过组合变化而成的．利用图形变换设计简单图案的一般方法是：(1)确定设计图案的表达意图；(2)分析设计图案所给定的基本图形；(3)对基本图形综合运用平移变换、旋转变换、轴对称变换，力求设计的图案内容清晰，寓意明确， 在进行图案设计时注意弄清设计的要求及设计的目的，只有在正确把握设计要求及设汁目的的前提一F，才能合理地进行图案设计， ?图案分析的一般步骤： (1)分割原图案，找出“基本图案”；(2)确定“基本图案”运动的形式，简单图案的设计要求做到主题明确，具有较好的艺术效果，与环境能够和谐统一，能够运用平移、旋转或轴对称等图形运动形式． 第四章四边形性质探索 ?平行四边形： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ?平行四边形的对角线： 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。 ?平行四边形的性质： 1、平行四边形的对边分别相等； 2、平行四边形的对角分别相等； 3、平行四边形的对角线互相平分。说明： （1）平行四边形的定义也是性质，即平行四边形的对边平行。（2）平行四边形相邻的两个角（邻角）互补。（3）平行四边形的两条对角线将其分成4个三角形，相对的两个三角形分别全等，且4个三角形面积相等。 ?平行线之间的距离： 若两条直线互相平行，则其中一条直线上的任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。 ?平行四边形的判别： ⑴两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（定义判定） ⑵两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑷两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑸一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 ?菱形： 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ?菱形的性质： （1）菱形具有平行四边形的所有性质（即对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分）。（2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的两条对角线互相垂直且平分每组对角。 说明：菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线是它的两条对称轴。 ?菱形的判别： （1）四条边都相等的四边形是菱形； （2）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 ?菱形的面积公式： 如果菱形的两条对角线长分别为a、b，则菱形的面积S=a b。 ?矩形：有一内角是直角的平行四边形叫做矩形。（也叫长方形） ?矩形的性质： 1、矩形具有平行四边形的所有性质（即对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分）。 2、矩形的四个角都是直角。 3、矩形的对角线相等。 说明：（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在直线是它的两条对称轴。（2）由矩形性质可得直角三角形的一个重要性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ?矩形的判别： （1）三个角是直角的四边形是矩形； （2）一个角是直角的平行四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 ?正方形： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 ?正方形的性质： 1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分。 说明： 1）正方形既可以看做特殊的菱形，也可以看做特殊的矩形，所以它具有菱形的所有性质（当然也具有平行四边形的所有性质）。 2）根据正方形四个角都是直角且对角线平分对角可知，正方形对角线与边的夹角为450。3）正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线和对边中点连线所在直线是它的四条对称轴。 ?正方形的判定： （1）有一个角是直角、一组邻边相等的平行四边形；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形； ?梯形： 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，不平行 的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高。 ?等腰梯形：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ?等腰梯形的性质： 1、等腰梯形的两腰相等。 2、等腰梯形在同一底上的两个角相等。 3、等腰梯形的对角线相等。说明：等腰梯形是轴对称图形，通过上、下底中点的直线是它的对称轴。 ?等腰梯形的判别： 1、两腰相等的梯形是等腰梯形。 2、在同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 3、对角线相等的梯形是等腰梯形。说明：成轴对称图形的梯形是等腰梯形。 ?直角梯形： 一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 ?研究梯形问题的主要方法： 在研究有关梯形的问题时，常常通过添加辅助线，把梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题来解决。 说明：常用的梯形辅助线的添加方法：（1）作两条高；（2）作两条对角线；（3）平移一腰；（4）平移一条对角线；（5）延长两腰；（6）过一顶点和一腰中点作直线。 ?梯形的中位线： 连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。 ?梯形的中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。说明：设梯形的上底、下底、高的长度分别为a、b、h、l，则梯形的面积S=（a+b）h=l h。 ?梯形的一般梯形、等腰梯形、直角梯形的性质和判定方法： 一般梯形： ⑴一组对边平行，另一组对边不平行； ⑵中位线平行于底边，且等于两底和的一半； ⑶S=1/2（a+b）h，（其中：a、b、h分别是梯形的上、下底的长和高）。 ?直角梯形的性质： 除一般梯形的性质外，还有：一底角是直角。 ?平行四边形的面积： （1）平行四边形的面积=底边长×高=ah（a是平行四边形的一边长，h是a边与其对边的距离）。 （2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形的面积相等。 （3）菱形的面积等于对角线乘积的一半 ?特殊的四边形的边、角、线关系 平行四边形： 边：对边平行且相等；角：对角相等；对角线：两条对角线互相平分。 矩形： 边：对边平行且相等；角：四个角都是直角；对角线：两条对角线互相平分且相等。 菱形： 边：对边平行，四条边都相等；角：对角相等； 对角线：两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 正方形： 边：对边平行，四条边都相等；角：四个角都是直角； 对角线：两条对角线互相平分且相等，每条对角线平分一组对角。 等腰梯形： 边：两底平行，两腰相等；角：同一底上的两个角相等；对角线：两条对角线相等。 ?四边形和多边形的内角和、外角和： 四边形：内角和等于360°；外角和等于360°， ?平行四边形的面积： ⑴平行四边形的面积=底边长×高=ah（a是平行四边形的一边长，h是a边与其对边的距离）。 ⑵同底（等底）同高（等高）的平行四边形的面积相等。 ?三角形、梯形的中位线定理： ⑴三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 ⑵梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 ?与平行四边形（包括矩形、菱形）相关的一些辅助线的作法： ⑴有平行线时，常作平行线构造平行四边形； ⑵有中线时，常作加倍中线构造平行四边形； ⑶是矩形、菱形时，常用连结对角线的方法把四边形问题转化为三角形问题；垂直时，常可作垂线构造矩形。 ?多边形： 在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。 说明：在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。多边形的边、顶点、内角和的含义与三角形相同。 ?N边形的内角和： n边形的内角和等于（n-2）1800。 ?正多边形： 在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形。 ?多边形的外角： 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。 ?多边形的外角和： 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。 ?多边形的外角和：多边形的外角和都等于3600。 ?多边形的对角线： 在多边形中，连结不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 说明：（1）过n边形的一个顶点可作（n-3）条对角线（n）。 （2）n边形的对角线的总条数为n（n-3）（n）。 ?中心对称图形： 在平面内，一个图形绕某个点旋转1800，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。 ?中心对称图形的性质： 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 ?平面图形的镶嵌： 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．又称做平面图形的密铺． 用形状、大小完全相同的三角形可以镶嵌，因为三角形的内角和为180°，所以用6个形状、大小完全相同的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面． 用形状、大小完全相同的四边形也可以镶嵌，在用四边形镶嵌的图案中，可以观察到：每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角．四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°， 用边长相等的正六边形可以镶嵌，因为正六边形的每个内角都是（6-2）×180°/6=120°，在每个拼接点处，恰好能容纳3个内角，而且相互不重叠，没有空隙。 正五边形的每个内角都是108°，360°不是108°的整数倍，所以正五边形不能镶嵌。?长方形的折叠问题： 解决图形折叠问题时，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，角的度数保持不变。 第五章位置的确定 ? 平面直角坐标系： 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向。x 轴和y 轴统称坐标轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点。 ? 直角坐标系的三个要素：原点、正方向、单位长度。 ? 坐标平面：建立了平面直角坐标系的平面叫做坐标平面。 ? 象限 两条坐标轴把平面分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 ? 点的坐标 对于平面内任意一点P ，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a 、b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对(a ，b)叫做点P 的坐标。 ? 点的坐标确定点的位置 已知点P 的坐标是(a ，b)，在x 轴上找到表示实数a 的点M ，过M 作x 轴的垂线l 1，再在 y 轴上找到表示实数b 的点N ，过N 作y 轴的垂线l 2，则l 1与l 2的交点就是点P 。坐标平 面内的点与有序实数对一一对应横坐标为零的点在y 轴上，纵坐标为零的点在x 轴上． ? 图形平移与图形坐标变化之间的关系： 在平面直角坐标系中，图形的平移是一种常见的变化，因此我们要熟悉图形平移与图形坐标变化之间的关系：(1)当图形上、下平移时，横坐标不变，向上平移a （a>O ）个单位，纵坐标就增加a ，向下平移a （a>0）个单位，纵坐标就减少a ，比如已知点A(2，3)、B(3， 1)，线段AB 向上平移1个单位，点A 变为A'(2，4)，点B 变为B'(3，2)，线段AB 向下平移1个单位，点A 变为A”(2，2)，点B 变为B”(3，0).反之，当图形上点的横坐标不变，纵坐标增大或减小时，图形会相应地向上或向下平移． (2)当图形左、右平移时，纵坐标不变，而横坐标发生变化，向左平移时，横坐标变小， 向右平移时，横坐标变大．反之，当图形上点的纵坐标不变，横坐标减小或增大时，图形就会相应地向左平移或向右平移． ?图形的伸长、压缩与图形坐标变化之间的关系 当图形各点的横坐标不变，纵坐标扩大或缩小时，图形被纵向拉长或压缩；同样的，当图形各点的纵坐标不变，横坐标扩大或缩小时，图形被横向拉长或压缩． ?图形轴对称与图形坐标变化之间的关系 图形关于x轴或y轴对称，是坐标平面内常用到的一种变化，当图形关于x轴对称时，对应点的连线被x轴垂直平分，因此，对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，比如点A(2，-3)和点B(2，3)关于x轴对称，同样的，图形关于y轴对称时，对应点的横坐标互为相反数，纵坐标不变．反之，当图形上的各点横坐标相同，纵坐标互为相反数时，图形关于x轴对称；当图形上的各点纵坐标相同，横坐标互为相反数时，图形关于y轴对称．当两点关于原点对称时，两点的横坐标、纵坐标都互为相反数，比如点 ?直角坐标系中点的坐标特征及应用 在平面直角坐标系中，(1)若点P(a，b)在第一象限内，则其横、纵坐标均为正数，即a>0，b>0;反过来，若a>0，b>0，则点P(a，b)在第一象限内．(2)若点P(a，b)在第二象限内，则a<0，b>0；反过来，若a<0，b>0，则点P（a，b）必在第二象限内．(3)若点P(a，b)在第三象限内，则a<0，b<0;反过来，若a<0，b<0，则点P(a，b)必在第三象限内．(4)若点P(a，b)在第四象限内，则a>0，b<0;反过来，若a>0，b<0，则点P(a，b)必在第四象限内，(5)若点P(a，b)在x轴上，则b=0;反过来，若b=0，则点P(a，b)必在x轴上．(6)若点P(a，b)在y轴上，则a=0；反过来，若a=0，则点P(a，b)必在y轴上． 第六章函数 ?函数： 在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y 都有惟一确定的值和它对应，那么就把y叫做x的函数，x叫做自变量，y也叫做因变量。?函数的表示方法： 表示两个变量之间的关系常用的方法有三种：(1)列表法；(2)图象法；（3）代数关系式法．列 表法能清楚地反映两个变量的具体数值，但不可能列出全部的对应值；图象法直观、形象， 但不能准确的刻画两个变量的具体对应值；代数关系式法能准确地反映出两个变量之间的 关系． ?判断两个变量之间是否存在函数关系的依据是： 函数的定义 ?函数的图像： 函数关系式是两个变量之间的对应关系，因此可在平面直角坐标系中画出函数的图象．把 一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系 内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象，利用函数的图象可研究函 数的性质． ?函数图象的画法： 用描点法画函数的图象一般分为三个步骤：(1)列表：给出自变量和因变量的一些对应值；(2)描点：以表中对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；(3)连线：按照横坐 标由小到大的顺序，把所描各点用光滑的曲线连起来． ?函数概念的三个要素： 自变量的取值范围、函数值的取值范围及对应法则。判断两个函数是否相同，应从这三个 要素进行考察。 ?自变量的取值范围： 如果用解析式表示函数，那么自变量的取值范围是使解析式有意义的自变量取值的全体。 如果函数关系是实际问题，则必须使实际问题有意义。 说明：用解析式表示的函数的自变量取值范围的求法： （1）若函数的解析式是整式，则自变量的取值范围是任意实数； （2）若函数的解析式是分式，则自变量的取值范围是使分母不为零的一切实数； （3）若函数的解析式是二次根式，则自变量的取值范围是使被开方数大于等于零的自变量的 所有值； （4）若函数的解析式兼有上述两种或两种以上的结构特点，则求自变量的取值范围时，先按（1）—（3）所述方法分别求出它们的取值范围，再求它们的公共部分。 ?一次函数： 若两个自变量xy之间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x 的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。 ?一次函数的图像： y=kx+b （k≠0）的图像是过（0，b）且与直线y=kx（k≠0）平行的一条直线。 说明：（1）作一次函数图像时，只要确定图像上的两个点，再过两点作直线即可。（2） 直线y=kx+b （k≠0）与y轴交于（0，b），与x轴交于（，0）。 ?一次函数的性质： （1）k>0时，y随x的增大而增大，即从左至右直线上升。 （2）k<0时，y随x的增大而减小，即从左至右直线下降。 （3）当越大，则y的值增大或减小的速度越快。 ?直线的平移： 直线y=kx+b （k≠0）的图像可由直线y=kx（k≠0）沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移 个单位得到。 ?用待定系数法求解析式的步骤： （1）设出含有待定系数的解析式。 （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式中，得到关于待定系数的方程（组）。（3）解方程（组），求出待定系数的值。 （4）将求得的待定系数代回所设的解析式中。 说明：用待定系数法确定一次函数解析式，常将函数设为y=kx+b （k≠0），其中k、b为待定 中考数学知识点总结 一、常用数学公式 公式分类公式表达式 乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 二、基本方法 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册) 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：222c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．． 。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示，AO=BO=CO ） A C O O A C D F ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。(如图2所示，OD=OE=OF) 第二章一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为0 2= ax（a、b、c为 bx +c + 。 常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程 ．．．．．． ※把0 2= ax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次bx +c + 项系数；b为一次项系数；c为常数项。 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 o叫作圆圆的定义：第一种：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点 心，线段0A叫作半径。第二种：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长， 也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（ 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD, AB是弦，且CDLAE， C ~|M A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M CDLABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心 圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4圆周角 知识点一圆周角定理 九年级上册知识点总结 （数学） 2017年12月 第二十一章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数； bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如)0(2≥=a a x 的方程，根据平方根的定义可解得a x a x -=+=21 （2） 直接开平方法适用于解形如p x =2或 )0(2≠=+m p a mx ）（形式的方程， 如果 p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1） 把常数项移到等号的右边； （2） 方程两边都除以二次项系数； 中考数学知识点 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为 1. 2．当x=3时,函数y= 2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. (1,2). 6．抛物线 2)1(2 1 2+-= x y 的顶点坐标是7．反比例函数x y 2=的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 知识点7：圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. A 图5 圆的总结 一 集合: 圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹: 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线; 3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线; ４、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系: 1点与圆的位置关系: 点在圆内 d<ｒ 点C 点在圆上 d=r 点Ｂ在圆上 点在此圆外 d ＞r 点Ａ在圆外 2 直线与圆的位置关系： 直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d ＜ 3 圆与圆的位置关系： 外离(图1） 无交点 外切(图2) 相交(图3） 内切（图４) 内含(图５) 无交点 D B B A 四 垂径定理： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论１:（１)平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； （３)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共４个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它３个结论，即： ①A Ｂ是直径 ②AB ⊥ＣＤ ③CE ＝DE ④ ⑤ 推论２:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙Ｏ中,∵AB ∥ＣD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即:∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ＡC Ｂ 圆周角定理的推论: 推论１:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙Ｏ中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径 即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴ＡB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角 BC BD =AC AD = 初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数A、数与式： 1、有理数 有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。 幂的运算：AM+AN=A（M+N） （AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作 初三数学知识点归纳 1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 :从网络收集整理.word版本可编辑. 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3 ）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： ?平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ?平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。（1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O的半径为r，OP=d。 7、（1 （2 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9A（x1，y1）、B（x2，y2）。 d= r 直线与圆相切。 d< r（r > d直线与圆相交。 d > r（r （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 3、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 考点二、角（3分） 1、角的度量：角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。 把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。 把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。 1°=60’=60” 2、角的平分线及其性质 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 角的平分线有下面的性质定理： （1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 第五章相交线与平行线 考点一、平行线（3~8分） 1、平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 2、平行线的判定 平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行。 平行线的两条判定定理：（1）内错角相等，两直线平行。（2）同旁内角互补，两直线平行。 补充平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。 3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。 考点二、命题、定理、证明（3~8分） 所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。 考点三、投影与视图（3分） 1、投影 投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。 平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。 中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。 2、视图 物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。 第六章实数 考点一、实数的倒数、相反数和绝对值（3分） 1、相反数 a+b=0，a=—b，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： ? 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ? 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 （1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距 离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； d = r 点P 在⊙O 上 d < r （r > d 点P 在⊙O 内 d > r （r 人教新版初中数学知识点总结（全面最新） 目录 一、七年级数学（上）知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步 二、七年级数学（下）知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述 三、八年级数学（上）知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式 四、八年级数学（下）知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析 五、九年级数学（上）知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率 六、九年级数学（下）知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图 七年级数学（上）知识点 第一章 有理数 一． 知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ??? ?????? ????负分数负整数 负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 注意：0即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； π不是有理数； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a 和- a 互为相反数； 0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ； 正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小： 两个负数比大小，绝对值大的反而小； 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1； 若ab=1? a 、b 互为倒数； 若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对 初中数学知识点总结 第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数，如3 2,7等; （２）有特定意义的数,如圆周率π，或化简后含有π 的数,如 3 π+8等； （3)有特定结构的数,如0.１0１00100０1…等； (４)某些三角函数,如s ｉｎ６0o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果ａ与b 互为相反数,则有a+b=0，a=—b,反之亦成立。 2、绝对值:一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥０。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数,若｜a|=a ，则a ≥0；若|a|=－ａ，则a ≤0。正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数:如果a 与b 互为倒数,则有ａb ＝1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和－1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟)。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零;负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ± ”。 2、算术平方根:正数a 的正的平方根叫做ａ的算术平方根，记作“ a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 ==a a 2()() ?? ?<-≥00a a a a 注意 a 的双重非负性： 3、立方根:如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做ａ 的立方根（或ａ 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。 注意： 3 3 a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字:一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位,这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法：把一个数写做n a 10?±的形式,其中101<≤a ,n 是整数，这种记数法叫做科 学记数法。 考点五、实数大小的比较 1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可）。 初三数学圆的知识点总结归纳 圆是一种几何图形。根据定义，通常用圆规来画圆。 同圆内圆的直径、半径的长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。下面是为大家整理的有关初三数学圆的知识点总结，希望对你们有帮助!初三数学圆的知识点总结1.不在同一直线上的三点确定一个圆。2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形4.圆是定点的距离等于定长的点的集合5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7.同圆或等圆的半径相等8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12.①直线L和⊙O相交d②直线L和⊙O 相切d=r③直线L和⊙O相离dr13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线 必经过切点16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上20.①两圆外离dR+r ②两圆外切d=R+r③.两圆相交R-rr④.两圆内切d=R-rRr ⑤两圆内含dr21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦22.定理把圆分成nn≥3:⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形23.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆24.正n边形的每个内角都等于n-2×180°/n25.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形26.正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长27.正三角形面积√3a/4 a表示边长28.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此 k×n-2180°/n=360°化为n-2k-2=429.弧长计算公式：L=n兀R/18030.扇形面积公式：S扇形=n兀R /360=LR/231.内公切线长= d-R-r 外公切线长= d-R+r32.定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半33.推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等34.推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径35.弧长公式l=ar a是圆心角的弧度数r 0 扇形面积公式s=1/2lr初三数学复习方法一、回归课本，夯实基础，做好预习。数学的基本概念、定义、公式，数学知识点之间的内在联 人教新版初中数学知识点总结（全面最新） 七年级数学（上）知识点 第一章 有理数 一． 知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成 )0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ?????????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 注意：0即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； π不是有理数； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a 和- a 互为相反数； 0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ； 正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小： 两个负数比大小，绝对值大的反而小； 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1； 若ab=1? a 、b 互为倒数； 若ab=-1 a、b互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ； （2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定，负因数为奇数个时乘积为负，负因数为偶数个时乘积为正. 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba； （2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac . 圆知识点学案 考点一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） （2）直径 经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD） 直径等于半径的2倍。 （3）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 考点七、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d 初三知识整理 全套教科书包含了课程标准（实验稿）规定的“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体 九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。包含以下章节： 第21章二次根式第22章一元二次方程 第23章旋转第24章圆 第25 章概率初步 本册书内容分析如下： 第21章二次根式 学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式”一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。 在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论： （1）是一个非负数； （2）≥0）； （3）(a≥0)． 注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到 (a≥0，b≥0)，(a≥0，b>0)， 并运用它们进行二次根式的化简。 “二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。 第22章一元二次方程 学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。 本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念， “22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。 （1）在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 （2）在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。 （3）在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种中考数学知识点总结
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