必修1对数及其运算、对数函数分类复习
对数及其运算
考点1：指数式与对数式的互化
【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式
① 4
5
625
=； ②
6
1264
-=
； ③
1 5.733m
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
；
④ 12
log 164=-； ⑤ lg0.012=-； ⑥ ln10 2.303=．
【例2】求下列各式中x 的值
① 642log 3
x =-
； ②
log 86
x =； ③
8log 16x
=；
④x = ；
⑤x =； ⑥()5
6
log log
x =；
⑦(1
3x -=．
考点2：对数恒等式及对数性质 【例3】
（1）下列等式中正确的是（ ）
A ．3log 5
325= B ．4log 3
33= C ．3log 1
33= D ．3log 2012
32012=
（2）求下列各值：
①
lg1= ; ②= ; ③3log 5
3= ; ④7log 5
7= ;
⑤3log 5
9= ; ⑥3
log
3= ； ⑦9log 5
3= ;
⑧2log 3
12⎛⎫
= ⎪⎝⎭
; ⑨2log 5
18⎛⎫=
⎪⎝⎭
.
（3）已知2(3)
log
(3)1
x x x ++=，求实数x 的值．
考点3：对数的运算性质 【例4】
（1） 用log a
x ，log a
y ，log a
z 表示下列各式
①
log a xyz =
____________； ②
2
3log a x y
=
____________；
③
log a
=
____________； ④
log a
=____________．
（2）计算下列各式 ①
22log 10log 5-=
_____；②
lg5lg 2+=
_____；③
77
1log 3log 3
+=_____；
④ 3
3
log 5log 15-=_____=
______；
⑥ 3
3
3
322log 2log log 89-+=________． 考点4：换底公式
【例5】计算下列各式
①log log log x
y z y z x ⋅⋅=
________；②5
8
log 4log 5⋅=________；
③
527log 3log 125⋅=
_________；
④2
35111
log
log log 2589
⋅⋅=_______.
【例6】
（1）已知2
log 3p =，请用p 表示18
log
24
（2）已知3
log 5q =，那么45
log
75=
______（用q 表示）；
（3）8
log 3p =，3
log 5q =，那么lg5=______（用p ，q 表示）； （4）已知3
5
log 5log 8a b ==，，那么20
log 75=______(用a b ，表示)； （5）已知2log 3a =，37b
=，那么12
log 56=_______(用a b ，表示)． 【挑战五分钟】求值：
（1）6log 36= （2）4log 8= （3）21log 8= （4）27
1
log
81
= （5）1
2
log 4=
（6）13
log 9= （7）lg0.001= （8）6
lg10= （9）
5
lg10-= （10）2
ln e =
（11）ln π
e （12）14lg23lg5lg 5+- （13）5
5
2
3
2log 10log 0.25log 1log 3+++
（14）()2
lg 25lg 2lg 50lg 2++ （15）
()2
81
lg500lg lg6450lg2lg552
+-++
（16）5
8
log 4log 5⋅ （17）
2
3
5
log 25log 8log 9⋅⋅（18）lg3
lg30
155⎛⎫
⋅ ⎪⎝⎭
（19）若32a
=，则3
3
2log 6log 8-=_______（用a 表示）； （20）已知18log 9a =，185b
=，则36
log 45=_______.
课后练习
1、已知2012
32log
[log (log )]0
x =，那么1
2
x -等于（ ）
A ．1
3 B C D
2、已知5
()ln f x x =，则(2)f 等于（ ）
A ．ln2
B ．ln32
C ．1
ln 32 D ．1ln 25
3、已知2
3
4
9
a
=
(0)a > ，则23
log
a =
．
4、（1）已知6
log 3a =，则用a 表示6
log 2，表达式为6
log 2= ．
（2）已知()0,0,1ab m a b m =>>≠且log
m
b x
=，则log m
a 等于（ ）
A ．1x -
B ．1x +
C ．1x
D ．1x - 5、（1）2log 3
0lg 4lg 252
0.5+++=
________; （2）()5
2
3
182-⎛⎫
--+
= ⎪⎝⎭
_____．
6、如果0a >，且100a M N ≠>>，，，那么：
（1）log a N
a =_______；（2）log log a
a
M N +=________；
（3）log
log a
a M N -=
________；（4）log
a
M α=
________；
（6）log log a
b
b a ⋅=________；（7）log
n
a b =
________；（8）
log n m a b =
________.
对数函数
考点1：对数函数的定义 考点2：对数函数的图象与性质 【例1】
（1
）如图是对数函数log a
y x =的图象，已知a 值
43，3
5
，110，则相应于1
C ，2
C ，3
C ，4
C 的a 值依次是（ ） A
，43，3
5
，110 B
，43，110
3
5
C ．4335，110
D ．43110，3
5
（2）当1a >时，在同一坐标系中，函数x
y a -=与log a
y x =的图
象是（ ）
D
C B A
（3）函数x
y a =与log
(01)
a
y x a a =->≠且在同一坐标系中的图象形
状只能是（ ）
D
C
B
A
考点3：对数值的大小比较
【例2】比较下列各题中两个值的大小
（1）5
log 7与5
log 8 （2）0.5
log 7与0.5
log 8 （3）2
log 3和1 （4）0.2
log 0.7
和1
（5）5
log 0.4和0 （6）0.5
log
0.3
和0 （7）3
log 5和2
log 5
（8）3
log 4与5
log 4
（9）3
log 0.2与5
log 0.2 （10）0.2
log 7与0.3
log 7 （11）
2log 3
和0.3
log 2
【例3】
（1）比较大小（填“>”，“<”或“=”）． ①
0.5log 2011
____
0.5log 2012
；②
1.5log 2011
____
1.5log 2012
；
③0.5
log 3____0.6
log 3
④0.5log 0.8
____
0.6log 0.8
； ⑤
1.5log 3
____
2log 3
；
⑥ 1.5
log
0.8
____2log 0.8．
（2）若3
log 4a =，7
log 6b =，2
log 0.8c =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c
>> C ．
c a b
>>
D ．b c a >>
（3）若2
0.3a =，2
log 0.3b =，3
log 4c =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b
>>
D ．b c a >> 【拓展】
（1）设25
log 2a =，35
log 3b =，25
log 3c =，则a b c ，，的大小顺序是（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c b a >>
（2）设4
log 3a =，3
log 4b =，1
3
3log 4
c =，则a b c ，，的大小顺序是（ ） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >> 考点4：对数函数与指数函数的关系
【例4】判断下列函数是否有反函数，若有，则求出反函数
（1）1y x =+；（2）2y x =；（3）21y x =+；（4）3
1y x =-；（5）
3x
y =；（6）2
y x =
【例5】
（1）若()x
f x a =,()lo
g b
g x x =-,且lg lg 0a b +=，1a ≠，1b ≠．
则()y f x =与()y g x =的图象（ ）
A ．关于直线0x y +=对称
B ．关于直线0x y -=对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于原点对称
（2）若函数()x
f x a =（0a >，且1a ≠）的反函数的图象过点(21)-，，
则a =______．
（3）若()3
log f x x =的反函数是()y g x =，则()1g -值为（ ）
A ．3
B ．3-
C ．13
D ．13
- 考点5：与对数相关的复合函数的定义域问题 【例6】求下列函数的定义域
①()2
log 1y x =+；②()lg 1y x =-；③()
2
3
log 2y x
x =-．
【例7】求下列函数的定义域
①()2log a
f x x =；②()()
2
2
log 23f x x
x =--+；③()(1)
log
(3)
x f x x -=-；
④
()
f x ()f x
考点6：与对数相关的复合函数的值域问题 【例8】 （1）已知函数
2()log f x x
=，①当
142x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，时，函数值域为
____________；②当()08x ∈，时，函数值
域为____________；③当()16x ∈+∞，时，函数值域为____________．
（2）已知函数x x g 3
1log )(=，①当()03x ∈，时，函数值域为
_____________；②当
19x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
，时，函数
值域为______________；③当1927x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时，函数值域
为______________； 【例9】求下列函数的值域
（1）()()
lg 1f x x =-；（2）()()()2
log 11f x x x =+≥；（3）()f x =
（4）()()
2
2
log 45f x x
x =-+；（5）
()()
2
1
2
log 23f x x x =--+；（6）
()()
2
1
2
log 613f x x x =-+．
【例10】已知函数()
2
()lg 21f x ax
x =++．
（1）若()f x 的定义域为R ，求实数a 的范围； （2）若()f x 的值域为R ，求实数a 的范围．
考点7：与对数相关的复合函数的单调性问题 【例11】判断下列函数的单调性 （1）
()()
2log 1f x x =+；（2）
()()
lg 1f x x =-；（3）
()()
22log 45f x x x =-+；
（4）()()
2
12
log 23f x x x =--+；（5）()()
2
12
log 613f x x
x =-+
【例12】求函数()()
2
log 321a
f x x x =--的定义域、值域和单调区
间．
课后练习
1、当1a >时，在同一坐标系中，函数x
y a -=与log a
y x =的图象
是（ ）
D
C
B
A
2、若0.5
log
0.6
a =
，b =
，c = ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．c a b << 3、函数()
2
1
2
log 32y x
x =-+的增区间是（ ）
A ．()1-∞，
B ．()2+∞，
C ．32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，
D ．32⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
， 4、下列说法中，正确的是（ ） A ．对任意R x ∈，都有32x
x
>
B
．x
y -=是R 上的增函数
C ．若R x ∈且0x ≠，则22
2log
2log x x
=
D ．在同一坐标系中，2x
y =与2
log y x =的图象关于直线
y x
=对称
5、求下列函数的定义域 （1）()
2
1
log x y x
x -=-；（2）y =
1a >）
对数与对数函数 一、 知识要点 1、 对数的概念 （1）、对数的概念： 一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数 （2）、对数的运算性质： 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： )()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= （3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数； ②、01log =a ，log =a a ③、对数恒等式 N a N a =log （4）、对数的换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 2、 对数函数 （1）、对数函数的定义 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数； 它是指数函数x a y = )10(≠>a a 且的反函数 对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为,(+∞-∞ （2）、对数函数的图像与性质 log (01)a y x a a =>≠且的图象和性质
题型一：对数的运算 【例题1】、将下列指数式写成对数式： （1）45=625 （2）6 2-= 641 （3）a 3=27 (4) m ）（3 1=5.73 【练习1】、将下列对数式写成指数式： （1）416log 2 1-=； （2）2log 128=7； （3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303 【例题2】、（1）5log 25， （2）4.0log 1， （3）2log （74×5 2）， （4）lg 5100 【练习2】、求下列各式的值： （１） 2log ６－2log ３ （３）5log ３＋5 log 3 1 （４）3log ５－3log １５ 【例题3】、已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 【练习3】、计算：①3 log 12.05 - ② 2 1 94log 2log 3log -?题型二：对数函数 【例题4】、求下列函数的定义域 （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log x y a -= 【练习4】、求下列函数的定义域 （1）y=3log (1-x) (2)y= x 2log 1 (3)y=x 311log 7- x y 3log )4(= 【例题5】、比较下列各组数中两个值的大小： ⑴ 5.8log ,4.3log 22； ⑵7.2log ,8.1log 3.03.0； ⑶) 1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a 【练习5】、比较下列各组中两个值的大小： ⑴ 6log ,7log 76； ⑵.0log ,log 23π 5.0log 31与2.6log 3 1 ⑵ 8log 3与8log 2 3log 2与8.0log 5.0 3.2log 1.1与2.2log 2.1 一、选择题： 1、已知 32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、 2a - B 、52a - C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 2、 2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、 4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1
对数与对数运算知识点总结与例题讲解 本节知识点 (1)对数的概念. (2)对数式与指数式的互化. (3)对数的性质. (4)对数的运算性质. (5)对数的换底公式. 知识点一对数的概念 一般地，如果a =N (d>0且GHl),那么数X叫做以"为底N的对数，记作 X = Iog41 N.其中"叫做对数的底数,N叫做真数. 例如,因为16二4,所以］就是以16为底4的对数,记作log164 = -? 2 2 对对数概念的理解： (1)底数d必须满足d>0且a≠??, (2)真数N大于O (负数和O没有对数). 规定底数"> O且(心1的原因： 当"V O时,N取某些值时，X的值不存在. 例如,log(.3)9 = 2,但IOg(_J) 27 却不存在. 当Q = O时： ①若N≠0,则X的值不存在； ②若/V = 0,则A-的值是任意正数.(注意:0的负指数弄和0次胳都没有意义) 当G = I时： ①若N≠?,则X的值不存在； ②若N = I,则X的值是任意实数. 所以在对数的定义里,规定底数“ > 0且a≠?. 常用对数与自然对数 将以10为底的对数叫做常用对数,记作IgN ;将以无理数e (ea 2.71828…)为底的
对数叫做自然对数,记作InN. 根据对数概念,可以求參数的取值范围 例1.求下列各式中X的取值范围. (1)IOg oS(X-3); (2) IOg(X.n(2-x). 分析:对数的概念,对底数和真数都作出了规定,要使对数式有意义,必须满足: (1)底数。>0且a≠?i (2)真数∕V>0. 解：(1) ?题意可知:x-3>0,解之得:x>3. ???x的取值范圉是(3,乜)； x-l>O (2)由题意可知:?Λ--1 ≠1 ,W-之得:l
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案 对数函数及其性质 编稿： 审稿： 【学习目标】 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3．了解反函数的概念，知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠． 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。 （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。 要点二、对数函数的图象与性质 a ＞0 0＜a ＜1 图象 性质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x ＜1时，y ＜0， 当x ≥1时，y ≥0 当0＜x ＜1时，y ＞0， 当x ≥1时，y ≤0 要点诠释： 关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图
对数运算与对数函数 一、知识梳理 1、对数的概念 ①、定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数 ①、①底数的取值范围：),1()1,0(+∞ ；①真数的取值范围,0(+∞ ①、指数式与对数式的互化： 例如：1642= ? 216log 4= ; 100102=?2100log 10= 242 1= ?2 1 2log 4= ; 01.0102=-?201.0log 10-= 注意：负数与零没有对数 ①、几个重要性质： (1)01log =a ，(2)1log =a a (3)对数恒等式:如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log ①、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N 的常用对 数N 10log 简记作lgN 例如：5log 10简记作lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5. ①、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN 例如：3log e 简记作ln3 ; 10log e 简记作ln10 2、对数的运算法则： 1 、 log ()log log a a a MN M N =+ log ( )log log a a a M M N N =- log log n m a a m M M n = 对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0)
必修1对数及其运算、对数函数分类复习
对数及其运算 考点1：指数式与对数式的互化 【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式 ① 4 5 625 =； ② 6 1264 -= ； ③ 1 5.733m ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ； ④ 12 log 164=-； ⑤ lg0.012=-； ⑥ ln10 2.303=． 【例2】求下列各式中x 的值 ① 642log 3 x =- ； ② log 86 x =； ③ 8log 16x =； ④x = ； ⑤x =； ⑥()5 6 log log x =； ⑦(1 3x -=． 考点2：对数恒等式及对数性质 【例3】
（1）下列等式中正确的是（ ） A ．3log 5 325= B ．4log 3 33= C ．3log 1 33= D ．3log 2012 32012= （2）求下列各值： ① lg1= ; ②= ; ③3log 5 3= ; ④7log 5 7= ; ⑤3log 5 9= ; ⑥3 log 3= ； ⑦9log 5 3= ; ⑧2log 3 12⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ; ⑨2log 5 18⎛⎫= ⎪⎝⎭ . （3）已知2(3) log (3)1 x x x ++=，求实数x 的值． 考点3：对数的运算性质 【例4】 （1） 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式 ① log a xyz = ____________； ②
2 3log a x y = ____________； ③ log a = ____________； ④ log a =____________． （2）计算下列各式 ① 22log 10log 5-= _____；② lg5lg 2+= _____；③ 77 1log 3log 3 +=_____； ④ 3 3 log 5log 15-=_____= ______； ⑥ 3 3 3 322log 2log log 89-+=________． 考点4：换底公式 【例5】计算下列各式 ①log log log x y z y z x ⋅⋅= ________；②5 8 log 4log 5⋅=________； ③ 527log 3log 125⋅= _________； ④2 35111 log log log 2589 ⋅⋅=_______. 【例6】 （1）已知2 log 3p =，请用p 表示18 log 24 （2）已知3 log 5q =，那么45 log 75= ______（用q 表示）；
对数与对数函数 一、知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页） 1、对数与对数的运算性质 （1）、一般地，如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数，记做x= ,其中a叫做对数的底，叫做对数的真数。 （2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN. （3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系： （4）、零和负数没有对数； =1； =0；=N （5）、对数的运算性质： 如果，M>0,N>0 ，那么 =+ = =n（n） 换底公式：= 对数恒等式：=N 2、对数函数与对数函数的性质 （1）、一般地，我们把函数f(x)=)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+。 （2）、对数函数的图象及性质 图象的性质：①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线 图象分a1 与a<1两种情况。 3、反函数：对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。原函数的定义域是反函数的值域，原函数的 值域是反函数的定义域。互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x对称。【关于反函数注意大纲的要求】 二、题型探究 探究一：对数的运算 例1：（15年安徽文科）= - +-1) 2 1 ( 2 lg 2 2 5 lg。 【答案】-1 【解析】 试题分析：原式＝1 2 1 2 2 lg 5 lg 2 lg 2 2 lg 5 lg- = - = - + = - + - 考点：对数运算. 例2：【2014辽宁高考】已知 1 3 2 a- =， 21 2 11 log,log 33 b c ==，则（） A．a b c >>B．a c b >>C．c a b >>D．c b a >> 例3：【2015高考浙江】若 4 log3 a=，则22 a a - +=． 【答案】3 3 4 . 【考点定位】对数的计算 探究二：对数函数及其性质 例4：【2014江西高考】函数) ln( ) (2x x x f- =的定义域为（） A.)1,0( B. ]1,0[ C. ) ,1( )0, (+∞ -∞ D. ) ,1[ ]0, (+∞ -∞
高一数学对数与函数知识点 一、对数的基本概念 对数是数学中一种重要的运算符号，经常用于解决指数运算中 的问题。在高一数学中，对数是一个重要的知识点。它的基本概 念就是要通过对数运算，将一个指数问题转化为一个普通算术问题。 在数学中，以a为底的b的对数，记为logₐb，其中a称为底数，b称为真数。对数运算可以看作是指数运算的逆运算，即logₐb=c，等价于aᶜ=b。 二、对数的运算规则 对数运算有一些特定的规则，通过这些规则可以简化对数运算，使得计算更加方便。以下是一些常见的对数运算规则： 1.对数与指数的关系：logₐa=x，等价于a^x=a。 2.乘法规则：logₐ(M*N)=logₐM+logₐN。 3.除法规则：logₐ(M/N)=logₐM-logₐN。 4.幂的规则：logₐ(M^p)=p*logₐM。
5.换底公式：logₐb=logₓb/logₓa，其中a、b、x为正数，且a ≠ 1。 通过这些运算规则，可以在计算过程中将复杂的对数运算转化 为简单的算术运算，提高计算的效率。 三、指数函数与对数函数 指数函数是指以一个正数a(a>0且a≠1)为底的函数y=a^x。对 数函数是指数函数的逆运算，其中y=logₐx。在高一数学中，学生 会学习指数函数和对数函数的定义、性质、图像等内容。 指数函数和对数函数都是非常重要的函数，它们在数学中有广 泛的应用。例如在金融、物理、化学等领域，指数函数和对数函 数经常用于描述增长、衰减、半衰期等现象。 四、指数函数与对数函数的性质 指数函数和对数函数有一些重要的性质，这些性质在高一数学 中也是需要掌握的知识点。以下是一些常见的性质： 1.指数函数的图像：当a>1时，指数函数的图像呈现上升趋势；当0 新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第12讲对数与对数函数 1.对数的概念 如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a(MN)＝log a M＋log a N； ②log a M N ＝log a M－log a N； ③log a M n＝n log a M(n∈R). (3)换底公式：log a b＝log c b log c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>10 ➢ 考点1 对数的化简求值 [名师点睛] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）己知lg 2,10b a b a +==，则=a _______；b =_________． 【答案】 10 1 【解析】10log 10=⇒=b a a b ， ∴1 lg log 102log 10a a a b +=+=，解得log 10110=⇒=a a ，∴1b =﹒ 故答案为：10；1﹒ 2．（2022·全国·高三专题练习）化简求值 （1）( ) 3lg1 log 233536log log 321 45 +-+ ； （2）()2 lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++；. （3）23722ln 2log 7log 81ln 2log 2log 8e +⋅--． 必修1专题复习——对数与对数函数 1．23log 9log 4⨯=（ ） A ． 14 B ．1 2 C ．2 D ．4 2．计算()()516log 4log 25⋅= （ ） A ．2 B ．1 C ． 12 D ．1 4 3．已知222125 log 5,log 7,log 7 a b ===则 （ ） A ．3 a b - B ．3a b - C ．3a b D ．3a b 4．552log 10log 0.25+=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 5．已知3 1 ln 4,log ,12 ===-x y z ，则（ ） A.< 高一必修一《对数函数》知识点 数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，下面是小编整理的高一必修一《对数函数》知识点，希望对大家有帮助! 1.对数 (1)对数的定义： 如果ab=N(a>0，a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b. (2)指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b(a>0，a≠1，N>0).两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. (3)对数运算*质: ①loga(MN)=logaM+logaN. ②loga(M/N)=logaM-logaN. ③logaMn=nlogaM.(M>0，N>0，a>0，a≠1) ④对数换底公式：logbN=(logab/logaN)(a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0). 2.对数函数 (1)对数函数的定义 函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞). 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保*根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢? 在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义:logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2，3，4，5，等等)第二，根据定义运算公式：logaM^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立(比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4;一个等于1/16，另一个等于-1/16 (2)对数函数的*质: ①定义域：(0，+∞). ②值域：R. ③过点(1，0)，即当x=1时，y=0. ④当a>1时，在(0，+∞)上是增函数;当0 高一数学必修一对数知识点 对数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。在高一 数学必修一课程中，掌握对数的相关知识点对于学习和解题都非 常关键。本文将介绍高一数学必修一中与对数相关的几个重要知 识点。 一、对数的定义和性质 对数是指数运算的逆运算，用于描述指数运算中的幂次关系。 设a和b是正实数且a≠1，若a^x=b，则称x是以a为底b的对数，记作x=log_a b。对数的性质包括对数的定义、对数的唯一性和对 数的计算规则。 二、常用对数和自然对数 常用对数以10为底，通常记作lgx或logx，其中x是正实数。 自然对数以常数e（自然对数的底）为底，通常记作lnx，其中x 是正实数。常用对数和自然对数在科学和工程计算中经常使用， 掌握其使用方法和性质对于解题和应用都具有重要意义。 三、对数函数与指数函数的性质 对数函数和指数函数是互为反函数的函数。指数函数y=a^x （a>0，a≠1）是底为a的对数函数y=log_a x的反函数，反之亦然。对数函数和指数函数的图像具有一些特殊的性质，如对数函数的 图像在直线y=x上对称。 四、对数方程和对数不等式 对数方程是指形如log_a f(x)=b的方程，其中a是正实数，a≠1；f(x)是一个关于x的已知函数，b是常数。对数不等式是指形如 log_a f(x) 07课 对数运算 1.下列式子中正确的个数是( ) ①log a (b 2－c 2)=2log a b －2log a c ②(log a 3)2=log a 32 ③log a (bc)=(log a b)·(log a c) ④log a x 2 =2log a x A.0 B.1 C.2 D.3 2.log 22的值为( ) A.－ 2 B. 2 C.－12 D.1 2 3.如果lgx=lga ＋2lgb －3lgc ，则x 等于( ) A.a ＋2b －3c B.a ＋b 2－c 3 C.ab 2c 3 D.2ab 3c 4.计算2log 510＋log 50.25=( ) A.0 B.1 C.2 D.4 5.已知a=log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( ) A.a －2 B.5a －2 C.3a －(1＋a)2 D.3a －a 2 －1 6.已知f(log 2x)=x ，则f(1 2)=( ) A.14 B.12 C.2 2 D. 2 7.设lg2=a ，lg3=b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b 1＋a B.a ＋2b 1＋a C.2a ＋b 1－a D. a ＋2b 1－a 8.已知log 72=p ，log 75=q ，则lg2用p 、q 表示为( ) A.pq B.q p ＋q C.p p ＋q D. pq 1＋pq 9.设方程(lgx)2－lgx 2 －3=0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( ) A.1 B.－2 C.－10 3 D.－4 10.计算：log 6[log 4(log 381)]=________. 11.使对数式log (x －1)(3－x)有意义的x 的取值范围是________． 12.已知5lgx =25，则x=________，已知log x 8=32 ，则x=________. 13.计算： (1)2log 210＋log 20.04=________； (2)lg3＋2lg2－1lg1.2=________； (3)lg 2 3－lg9＋1=________； (4)1 3log 168＋2log 16 3=________； (5)log 6112－2log 63＋1 3 log 627=________. 14.计算：log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78= 15.设log 89=a ，log 35=b ，则lg2=________. 16.已知log 34·log 48·log 8m=log 416，求m 的值． 对数函数复习 一、基础知识 1.对数概念 对数的概念：如果(01)x a N a a >≠＝，且，那么数x 叫做以a 为底N 的 对数，记作log a x N ＝，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2.对数的运算法则 如果0,1,0,0a a N M >≠>>有 log ()log log a a a MN M N =+ log log log a a a M M N N =- log log n m a a m M M n = 3.对数换底公式： a N N m m a log log log = ( 0 ,10 ,1,0)a a m m N >≠>≠>， 4.两个常用的推论: ①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b n b a n a m log log = , 01a b >（且均不为） 对数函数的性质： 5.同底的指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数 6.指数方程和对数方程主要有以下几种类型： ()()()()log , log f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法） ()()()()()(), log log ()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法) ()log ()log ()log log ()/log a b a a a f x g x f x g x b =⇔= (换底法) 对数函数专项训练 一、选择题 1．已知 在 上是 的减函数，则 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（0，2） D ． 2．当 时，函数 和 的图象只可能是（ ） 3．如果 ，那么 、 之间的关系是（ ） A ． B ． C ． D ． （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x =⇔=log ； ○ 3 注意对数的书写格式．N a log 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2 10 N 简记作 lg N ．以 e （e 是一个无理数，e = 2.7182 ⋅⋅⋅ ） ， 对数及对数运算 【学习目标】 1．理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化； 2．了解常用对数与自然对数的意义； 3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算； 4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明． 5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用． 【要点梳理】 要点一、对数概念 1．对数的概念 如果 a b = N (a > 0，且a ≠ 1)，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作:log a N=b ．其中 a 叫做对数的 底数，N 叫做真数． 要点诠释： 对数式 log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且 a ≠1， N>0， b ∈R ． 2．对数 log N (a > 0，且a ≠ 1)具有下列性质： a （1）0 和负数没有对数，即 N > 0 ； （2）1 的对数为 0，即 log 1 = 0 ； a （3）底的对数等于 1，即 log a = 1 ． a 3．两种特殊的对数 通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，log 为底的对数叫做自然对数， log N 简记作 l n N ． e 4．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系 可由下图表示． 由此可见 a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 要点二、对数的运算法则 已知 log M log N (a > 0且a ≠ 1，M 、N > 0) a a （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； log (MN ) = log M + log N a a a 推广： log (N N N ) = log N + log N + + log N a 1 2 k a 1 a 2 a k (N 、N 、 、N 1 2 k > 0) （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； log a M N = log M - log N a a （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log M α = α log M a a 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能 成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然 log 2（-3）（-5）是存在的，但 log 2 对数与对数函数 考纲要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； 2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10， 1 2的对数函数的图象； 3.体会对数函数是一类重要的函数模型； 4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 知识梳理 1.对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算性质 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R ). (3)换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a >1 01时，y >0； 当0 第18讲 对数及对数式运算5大常考题型总结 【知识点梳理】 1.对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数； ①常用对数：以10为底，记为lg N ； ①自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则： ①特殊对数：1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠ ①对数恒等式：log N a a N =(其中0a >且1a ≠，0N >) ①对数换底公式：log log log c a c b b a = 如：252log 7lg7ln7 log 7=log 5lg5ln7==． (4)对数的运算法则： ①外和内乘原理：log ()log log a a a MN M N =+； ①外差内除原理：log log log a a a M M N N =-； ①提公次方法：log log (m n a a n b b m m = ，)n R ∈； ①指中有对，没心没肺：log a b a b =和log b a a b = 如：433log 81log 34==，2log 525=． (5)换底公式和对数运算的一些方法： ①常用换底：log log log c a c b b a = 如：252log 7lg7ln7 log 7=log 5lg5ln7==． ①倒数原理：1log log a b b a = 如：321 log 2log 3 =． ①约分法则：log log log a b a b c c ⋅= 如： 232log 3log 4log 4=2⋅=；35157log 15log 7log 5log 31⋅⋅⋅=． ①归一法则：()2 lg 2+lg51lg 2lg5+lg 2+lg5=lg 2lg5+lg 2+lg5=lg5+lg 21=⇒⋅=． 【题型目录】 题型一：对数的定义 题型二: 指数对数的互化 题型三: 对数的运算求值 题型四：换底公式的应用 题型五：对数式的应用题 第六讲 对数及对数函数 【套路秘籍】 一．对数的概念 (1)对数的定义 ①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数． ②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数 4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a N a ＝N (a >0且a ≠1，N >0)； ②log a a N ＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)； ②log a b ＝1 log b a (a ，b 均大于零且不等于1)． (3)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log m n a M ＝n m log a M . 二．对数函数的定义 1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质 3.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 【套路修炼】 考向一 对数的运算 【例1】（1）lg 2 2·lg 250＋lg 2 5·lg 40＝. （2）若3a =5b =225，则1a +1 b = 。 （4）若log a 2=m ，log a 5=n ，则a 3m+n =( 。 【举一反三】 1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为． 2．若3x ＝4y ＝36，则2x ＋1y ＝. 3． 设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝. 4.计算：(1－log 63)2 ＋log 62·log 618 log 64 ＝. 第九讲-对数运算与对数函数 知识点一、对数的概念 1、对数的概念 一般地，如果()10≠>a a a 且的b 次幂等于N ，即N a b =，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作b N a =log .其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．[例如]2log 233=⇔=x x ★特别的：规定0a >,且1a ≠的原因： ①当0a <时，N 取某些值时，x 的值不存在，如：27 (3)log x -=是不存在的. ②当0a =时，当0N ≠时，x 的值不存在，如：270log 027x x =⇒=是不成立的；当0N =时，则x 的取值时 任意的，不是唯一的. ③当1a =时，当1N ≠，则x 的值不存在；当1N =时，则x 的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把10log N 记为lg N ②自然对数：e 是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以e 为底的对数称为自然对数,并把log N e 记 作ln N 说明：“log ”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 3、对数与指数的关系 一般地，对数与指数的关系如下：若10≠>a a 且，则N a x =⇔x N a =log . 4、对数的性质 (1)1的对数为零，即01log =a ； (2)底的对数为1，即1log =a a ； (3)零和负数没有对数．即x a log 中真数0>x 知识点二、对数的运算 1、对数运算性质： 当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： （1）log log log M N MN +=； （2）log log log M M N N -=； （3）log log m a a m b b =.另外：log log n m a a m b b n = 2、换底公式：a b b c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 3、倒数关系：1 log log a b b a =()1,0,1,0≠>≠>b b a a .即log log 1a b b a ⋅= 4、对数恒等式：log a N a N =. 题型一、对数概念的认识 【典型例题】 1、使()log 23a a -有意义的实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()()0,11,+∞ C ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 【变式练习】 1、(多选)下列说法正确的有（ ） A ．零和负数没有对数 B ．任何一个指数式都可以化成对数式 C ．以10为底的对数叫做常用对数 D ．以e 为底的对数叫做自然对数新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第12讲 对数与对数函数
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