专题：二次函数中的面积问题
1.如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的函数表达式为y ＝－4
21x2＋16
21x ＋4，抛物线W 与x 轴交与A ，B 两点(点B 在
点A 的右侧)，与y 轴相交于点C ，它的对称轴与x 轴交于点D ，直线l 经过C ，D 两点．
(1)求A ，B 两点的坐标及直线l 的函数表达式；
(2)将抛物线W 沿x 轴向右平移得到抛物线W ′，设抛物线W ′的对称轴与直线l 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求点F 的坐标，并直接写出抛物线W ′的函数表达式．
(3)如图②，连接AC ，CB ，将△ACD 沿x 轴向右平移m 个单位(0＜m ≤5)，得到△A ′C ′D ′.设A ′C ′交直线l 与点M ，C ′D ′交CB 于点N ，连接CC ′、MN.求四边形CMNC ′的面积(用含m 的代数式表示)
2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx －3(a ≠0)
与x 轴交于点A(－2，0)、B(4，0)两点，与y 轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求△PBQ 的面积关于运动时间t 的函数表达式；
(3)当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点K ，使S △CBK ＝5
2S △PBQ ，若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，
请说明理由．
3. 如图①，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点C ，点B 在x 轴的正半轴上，且AB ＝4，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过点A 、B 、C.
(1)求抛物线的表
达式；
(2)如图②，点D为抛物线的顶点，DE是抛物线的对称轴，点E 在x轴上，在抛物线上存在点Q，使得△QAE的面积与△CBE的面积相等，请直接写出点Q的坐标；
（3)如图③，若点R是抛物线上的一点，且位于对称轴的左侧，
9 .若存在，求出点R的坐标；若是否存在点R，使S△RBC＝
2
不存在，请说明理由；
（4)如图④，在直线AC的上方的抛物线上，是否存在一点M，使四边形MABC的面积最大．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(5)如图⑤，若点H(0，1)在y轴上，连接BH，将△BOH沿x轴向左平移得到△B′O′H′.设平移距离为m(0 4. 如图，已知抛物线y＝ax2－3x＋c与y轴交于点A（0，－4），与x轴交于点B（4，0），点P是线段AB下方抛物线上的一个动点. （1）求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标； （2）求点P移动到抛物线的什么位置时，∠PAB＝90°，求出此时点P的坐标； （3）当点P从点A出发，沿线段AB下方的抛物线向终点B移动，在移动中，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S 有最大值，最大值是多少？ 5. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、 B两点，与y轴交于点C（0，3）. （1）求抛物线的表达式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD.设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S. ①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围； ②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值； （3）在（2）的条件下，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2∶3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由. 6.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）. （1）求该二次函数的表达式； （2）点E是线段BD上的一点，过点E作x 轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标； （3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面 积是△BDG的面积的3 5 ？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说 明理由. 参考答案 1.解：(1)当y＝0时，－4 21x2＋ 16 21 x＋4＝0， 解得x1＝－3，x2＝7， ∴点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(7，0)， ∵－b 2a ＝－ 16 21 2×（－ 4 21 ） ＝2， ∴抛物线W的对称轴为直线x＝2，∴点D的坐标为(2，0)， 当x＝0时，y＝4， ∴点C的坐标为(0，4)， 设直线l 的表达式为y ＝kx ＋b ， 则???b ＝42k ＋b ＝0， 解得???k ＝－2b ＝4 ， ∴直线l 的函数表达式为y ＝－2x ＋4； (2)∵抛物线W 向右平移，只有一种情况符合要求，如解图①， 即∠FAC ＝90°， 设此时抛物线W ′的对称轴交x 轴于点G ， ∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， ∴tan ∠1＝tan ∠3， ∴FG AG ＝AO CO ， 设点F 的坐标为(xF ，－2xF ＋4)， ∴tan ∠1＝FG AG ＝－（－2xF ＋4）xF －（－3）＝3 4， 解得xF ＝5，－2xF ＋4＝－6. ∴点F 的坐标为(5，－6)，即抛物线向右移动了三个单位， 此时抛物线W ′的函数表达式为 y ＝－4 21x2＋40 21 x ； (3)由平移可得：点C ′，A ′，D ′的坐标分别为C ′(m ，4)，A ′(－3＋m ，0)，D ′(2＋m ，0)，CC ′∥x 轴，C ′D ′∥CD ， ∴直线A ′C ′的表达式为y ＝43x ＋4－4 3m ， 直线BC 的表达式为y ＝－4 7x ＋4， 直线C ′D ′的表达式为y ＝－2x ＋2m ＋4， 分别解方程组 ???y ＝43 x ＋4－43m y ＝－2x ＋4 和 ???y ＝－2x ＋2m ＋4y ＝－47 x ＋4， 解得?????x ＝25m y ＝－4 5m ＋4 和? ????x ＝75m y ＝－4 5m ＋4， ∴M(25m ，－45m ＋4)，N(75m ，－4 5m ＋4)， ∴yM ＝yN ， ∴MN ∥x 轴， ∵CC ′∥x 轴， ∴CC ′∥MN ， ∵C ′D ′∥CD ， ∴四边形CMNC ′为平行四边形， ∴S ?CMNC ′＝m[4－(－45m ＋4)]＝4 5 m2. 2.解：(1)把点A(－2，0)、B(4，0)分别代入y ＝ax2＋bx －3(a ≠0)，得 ???4a －2b －3＝0， 16a ＋4b －3＝0， 解得? ????a ＝38，b ＝－34， ∴该抛物线的表达式为y ＝38x2－3 4x －3； (2)由题意得AP ＝3t ，BQ ＝t. ∴PB ＝6－3t. 由题意得，点C 的坐标为(0，－3)． 在Rt △BOC 中，BC ＝ 32＋42＝5. 如解图①，过点Q 作QH ⊥AB 于点H. ∴QH ∥CO ， ∴△BHQ ∽△BOC ， ∴HQ OC ＝BQ BC ，即HQ 3＝t 5 ， ∴HQ ＝3 5 t. ∴S △PBQ ＝1 2PB ·HQ ＝1 2(6－3t)·3 5t ＝－9 10t2＋9 5t ＝－9 10(t －1)2 ＋9 10； (3)存在．点K 的坐标为(1，－278)或(3，－15 8)． 【解法提示】设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋c(k ≠0)． 把B(4，0)，C(0，－3)代入，得???4k ＋c ＝0， c ＝－3， 解得???k ＝34， c ＝－3， ∴直线BC 的表达式为y ＝3 4x －3. ∵点K 在抛物线上． ∴设点K 的坐标为(m ，38m2－3 4 m －3)． 如解图②，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E.则点E 的坐标为(m ，3 4 m －3)． ∴EK ＝34m －3－(38m2－34m －3)＝－38m2＋32 m. ∵S △PBQ ＝－9 10(t －1)2＋9 10， 当△PBQ 存在时，0＜t ＜2 ∴当t ＝1时，S △PBQ 最大＝9 10 . 当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ＝52S △PBQ ，S △PBQ ＝9 10. ∴S △CBK ＝9 4 . S △CBK ＝S △CEK ＋S △BEK ＝12EK ·m ＋1 2 EK ·(4－m) ＝1 2 ·4·EK ＝2(－38m2＋32m) ＝－3 4m2＋3m. 即－34m2＋3m ＝94. 解得m1＝1，m2＝3. 综上所述，点K 的坐标为(1，－278)或(3，－158 )． 3. （1）抛物线的表达式为y ＝－x2－2x ＋3； （2）△QAE 与△CBE 的底边AE ＝BE.要使两三角形面积相等，只要高相等． 当△QAE的边AE上的高为3时，△QAE的面积与△CBE的面积相等． ①当y ＝3时，－x2－2x ＋3＝3，解得x1＝－2，x2＝0， ∴点Q 的坐标为(－2，3)或(0，3)． ②当y ＝－3时，－x2－2x ＋3＝－3，解得x ＝－1± √7 ， ∴点Q 的坐标为(－1＋√7 ，－3)或(－1－ √7，－3)． 综上所述，点Q 的坐标为(－2，3)或(0，3)或(－1＋ √7 ，－3)或(－1－ √7 ，－3)． （3）先假设存在点R ，使得S △RBC ＝ 9 2 .利用面积公式不易求解时考虑构造相似求解． 存在点R ，使S △RBC ＝9 2 此时点R 的坐标为（2 1 -237， 2373- 2 15） ； （3）要使△MAC 面积最大，可先把△MAC 的面积用含字母的式子表示出来，再利用二次函数的性质讨论其最值，进而求得M 点坐标． 四边形MABC 面积最大时，点M 的坐标为( -3 2， 4 15 )； （5）要求S 与m 的关系，先要判断△AOC 与△B ′O ′H ′的位置关系，对m 的取值范围进行分类讨论，在不同的情况下对S 与m 的函数关系进行探求． ①当0 1 (OM ＋O ′H ′)·OO ′ = - 2 1 m2+m ②当1≤m ≤2时，重叠部分是△B ′O ′H ′， ∴S ＝ 21 ×1×1＝ 21 ； ③当2 S 四边形B ′MNO ′＝S △B ′O ′H ′－S △H ′MN ＝-41 m2+m-2 1 4.解：(1)当y ＝0时，即－4 21x2＋16 21 x ＋ 4＝0，解得x1＝－3，x2＝7， ∵点B 在点A 的右侧， ∴点A 的坐标是(－3，0)，点B 的坐标是(7，0)． 抛物线的对称轴是直线x ＝－b 2a ＝－1621÷[2×(－4 21)]＝2， ∴点D 的坐标是(2，0) 对于二次函数y ＝－4 21x2＋16 21x ＋4，当x ＝0时，y ＝4，所以点 C 的坐标为(0，4)． 设直线l 的函数表达式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，代入C 、D 两点坐标得 ???b ＝4，2k ＋b ＝0，解得???k ＝－2， b ＝4， 则直线l 的函数表达式为y ＝－2x ＋4； (2)∵抛物线W 向右平移只有一种情况符合要求，即是∠FAC ＝90°， 如解图，设此时抛物线W ′的对称轴交x 轴于点G ， ∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3，tan ∠1＝tan ∠3. ∴FG AG ＝AO CO ＝34 由点F 在直线l 上，设点F 坐标为(xF ，－2xF ＋4)，
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