2011年全国各地中考数学试卷试题分类汇编
第16章 频数与频率
1. (2011浙江金华,6,3分)学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况,随机调查了40名学生,将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图,则参加绘画兴趣小组的频率是( )
A .0.1
B .0.15
C .0.25
D .0.3
【答案】D
2. (2011四川南充市,4,3分)某学校为了了解九年级体能情况,随机选取30名学生测试一分钟仰卧起坐次数,并绘制了如图的直方图,学生仰卧起坐次数在25~30之间的频率为( )
(A )0.1 (B )0.17 (C )0.33 (D )0.4
次数(次)
人数(人)
5
1210
3
【答案】D
3. (2011浙江温州,7,4分)为了支援地震灾区同学,某校开展捐书活动,九 (1)班40名同学积极 参与.现将捐书数量绘制成频数分布直方图如图所示,则捐书数量在5. 5~
组别
人数
1412108
12
11
9
6.5组别的频率是( ) A .0.1
B .0.2
C .0.3
D .
0.4
【答案】B
4. (2011浙江丽水,6,3分)学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况,随机调查了40名学生,将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图,则参加绘画兴趣小组的频率是( ) A .0.1 B .0.15 C .0.25 D .0.3
【答案】D
5. (2011四川内江,13,5分)“Welcome to Senior High School .”(欢迎进入高中),在这段句子的所有英文字母中,字母o 出现的频率是 . 【答案】1
5
组别
人数
1412108
12
11
9
6. (2011广东东莞,18,7分)李老师为了解班里学生的作息时间,调查班上50名学生上学路上花费的时间,他发现学生所花时间都少于50分钟,然后将调查数据整理,作出如下频数分布直方图的一部分(每组数据含最小值不含最大值).请根据该频数分布直方图,回答下列问题:
(1)此次调查的总体是什么?
(2)补全频数分布直方图;
(3)该班学生上学路上花费时间在30分钟以上(含30分钟)的人数占全班人数的百分比是多少?
【解】(1)此次调查的总体是:班上50名学生上学路上花费的时间的全体.
(2)补全图形,如图所示:
(3)该班学生上学路上花费时间在30分钟以上的人数有5人,总人数有50,
5÷50=0.1=10%
答:该班学生上学路上花费时间在30分钟以上的人数占全班人数的百分之10.
7. (2011广东广州市,22,12分)
某中学九年级(3)班50名学生参加平均每周上网时间的调查,由调查结果绘制了频数分布直方图(图6),根据图中信息回答下列问题: (1)求a 的值;
(2)用列举法求以下事件的概率:从上网时间在6~10小时的5名学生中随机选取2
人,其中至少1人的上网时间在8~10小时.
图6 【答案】
(1)a =50―6―25―3―2=14
(2)设上网时间为6~8小时的三个学生为A 1,A 2,A 3,上网时间为8~10个小时的2名学生为B 1,B 2,则共有A 1A 2,A 1A 3,A 1B 1,A 1B 2,
A 2A 3,A 2
B 1,A 2B 2 A 3B 1,A 3B 2 B 1B 2
10种可能,其中至少1人上网时间在8~10小时的共有7种可能,故 P (至少1人的上网时间在8~10小时)=0.7
9. (2011 浙江湖州,21,8) 班主任张老师为了了解学生课堂发言情况,对前一天本班男、
女生的发言次数进行了统计,并绘制成如下频数分布折线图(图1) . (1) 请根据图1,回答下列问题:
① 这个班共有 名学生,发言次数是5次的男生有 人、女生有 人; ② 男、女生发言次数的中位数分别是 次和 次.
(2) 通过张老师的鼓励,第二天的发言次数比前一天明显增加,全班发言次数变化的人数
..
频数
的扇形统计图如图2所示.求第二天发言次数增加3次的学生人数和全班增加的发言总次数.
【答案】解:(1)①40;2;5 ②4;5.
(2)发言次数增加3次的学生人数为:40(120%30%40%)4()?---=人.
全班增加的发言总次数为40%40130%4024316241252??+??+?=++=(次).
10. (2011浙江义乌,20,8分)为了解某市九年级学生学业考试体育成绩,现从中随机抽
取部分学生的体育成绩进行分
段(A :50分;B :49-45分;C :44-40分;D :39-30分;E :29-0分)统计如下:
根据上面提供的信息,回答下列问题:
(1)在统计表中,a 的值为 ▲ ,b 的值为 ▲ ,并将统计图补充完整(温馨提示:作
图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑);
(2)甲同学说:“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数. ”请问:甲同学的
分数段 人数(人) 频率 A 48 0.2 B a 0.25 C 84 0.35 D 36 b E
12
0.05
学业考试体育成绩(分
12
2436
48607284人数
学业考试体育成绩(分数段)统计表
体育成绩应在什么分数段内? ▲ (填相应分数段的字母)
(3)如果把成绩在40分以上(含40分)定为优秀,那么该市今年10440名九年级学生
中体育成绩为优秀的学生人数约有多少名?
【答案】解:(1) 60 , 0.15 (图略) (2) C
(3)0.8×10440=8352(名)
答:该市九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数约有8352名.
11. (2011山东聊城,19,8分)今年“世界水日”的主题是“城市用水:应对都市化挑
战”.为了解城市居民用水量的情况,小亮随机抽查了阳光小区50户居民去年每户每月的用水量,将得到的数据整理并绘制了这50户居民去年每月总用水量的折线图和频数、频率分布表如下:
注:x 表示50户居民月总用水量(m 3
) (1)表中的a =________;d =___________.
(2)这50户居民每月总用水 量超过550m3的月份占全年月 份的百分率是多少(精确到1%)?
(3)请根据折线统计图提供的数据,估计该小区去年每户居民平均月用水量是多少? 【答案】(1)3,
6
1;(2)这50户居民月总用水量超过550m 3
的月份有5个,占全年月份的百分率为(5÷12)×100%=42%
(3)(378+641+456+543+550+667+693+600+574+526+423)÷50÷12=109m 3
13. (2011山东临沂,20,6分)某中学为了解学生的课外阅读情况.就“我最喜爱的课外
读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查(每位同学仅选一项),并根据调查结果制作了尚不完整的频数分布表:
组 别 频 数 频 率
350 1 12 400 12 450 6 500 600 1 12 650 6 类别频数(人数)频率 文学m 0.42 艺术22 0.11 科普66 n 其他28 合计 1 下面是自首届以来各届动漫产品成交金额统计图表(部分未完成): (1)表中m=_________,n=__________; (2)在这次抽样调查中,最喜爱阅读哪类读物的学生最多? 最喜爱阅读哪类读物的学生最少? (3)根据以上调查,试估计该校1200名学生中最喜爱阅读科普读物的学生有多少人? 【解】(1)84,0.33;…………………………………………………………………(2分)(2)喜爱阅读文学类的学生最多(84人),喜爱阅读艺术类的学生最少(22人); …………………………………………………………………(4分)(3)1200×0.33=396(人).………………………………………………………(6分)14. (2011浙江省,20,8分)据媒体报道:某市四月份空气质量优良,高举全国榜首,青春中学九年级课外兴趣小组据此提出了“今年究竟能有多少天空气质量达到优良”的问题,他们高举国家环保总局所公布的空气质量级别表(见表1)以及市环保监测站提供的资料,从中随机抽取了今年1-4月份中30天空气综合污染指数,统计数据如下: 表I:空气质量级别表 空气污染 指数 0~50 51~100 101~150 151~200 201~250 251~300 大于300 空气质量 级别Ⅰ级(优)Ⅱ级(良)Ⅲ1(轻微 污 染) Ⅲ2(轻度 污 染) Ⅳ1(中度 污 染) Ⅳ2(中度 重污 染) Ⅴ(重度污 染) 空气综合污染指数 30,32,40,42,45,45,77,83,85,87,90,113,127,153,167 38,45,48,53,57,64,66,77,92,98,130,184,201,235,243 请根据空气质量级别表和抽查的空气综合污染指数,解答以下问题:(1) 填写频率分布表中未完成的空格; 分组频数统计频数频率 0~50 0.30 51~100 12 0.40 101~150 151~200 3 0.10 201~250 3 0.10 合计30 30 1.00 (2) 写出统计数据中的中位数、众数; (3)请根据抽样数据,估计该市今年(按360天计算)空气质量是优良(包括Ⅰ、Ⅱ级)的天数. 【答案】(1) 分组频数统计频数频率 0~50 9 0.30 51~100 12 0.40 101~150 3 0.10 151~200 3 0.10 201~250 3 0.10 合计30 30 1.00 (2) 中位数是 80 、众数是 45 。 (3) ∵ 252 30 12 9 360= + ? ∴空气质量优良(包括Ⅰ、Ⅱ级)的天数是252天. 《分类讨论专题训练》 在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略. 分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的. 分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行. 类型之一 直线型中的分类讨论 直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论,特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要. 1.(沈阳市)若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A .50° B .80° C .65°或50° D .50°或80° 2.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ,则它的周长为( ) A .9cm B .12cm C .15cm D .12cm 或15cm 3. (江西省)如图,把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠,使点B 落在边AD 上的点B′处,点A 落在点A′处, (1)求证:B′E=BF ;(2)设AE=a ,AB=b, BF=c,试猜想a 、b 、c 之间有何等量关系,并给予证明. 类型之二 圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,在解决圆的有关问题时,特别是无图的情况下,有时会以偏盖全、造成漏解,其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等. 4.(湖北罗田)在Rt △ABC 中,∠C =900,AC =3,BC =4.若以C 点为圆心, r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点,则r 的取值范围是___ __. 5.(上海市)在△ABC 中,AB=AC=5,3cos 5 B .如果圆O 的半径为10,且经过点B 、C ,那么线段AO 的长等于 . 6.(?威海市)如图,点A ,B 在直线MN 上,AB =11厘米,⊙A ,⊙B 的半径均 为1厘米.⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B 的半径也不断增大,其半径r (厘米)与时间t (秒)之间的关系式为r =1+t (t≥0). (1)试写出点A ,B 之间的距离d (厘米)与时间t (秒)之间的函数表达式; 综合性问题 一、选择题 1.(2018·湖北省孝感·3分)如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论:①∠ADC=15°;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△CBG;⑤AF=(﹣1)EF.其中正确结论的个数为() A.5 B.4 C.3 D.2 【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°,据此可判断;②求出∠AFP和∠FAG度数,从而得出∠AGF度数,据此可判断;③证△ADF≌△BAH即可判断;④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB 即可得证;⑤设PF=x,则AF=2x、AP==x,设EF=a,由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x,根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x,据此得出EH=a,证△PAF∽△EAH得=,从而得出a与x的关系即可判断. 【解答】解:∵△ABC为等边三角形,△ABD为等腰直角三角形, ∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°, ∴△CAD是等腰三角形,且顶角∠CAD=150°, ∴∠ADC=15°,故①正确; ∵AE⊥BD,即∠AED=90°, ∴∠DAE=45°, ∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°,∠FAG=45°, ∴∠AGF=75°, 由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG,故②错误; 记AH与CD的交点为P, 由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°, 则∠BAH=∠ADC=15°, 在△ADF和△BAH中, ∵, ∴△ADF≌△BAH(ASA), ∴DF=AH,故③正确; ∵∠AFG=∠CBG=60°,∠AGF=∠CGB, ∴△AFG∽△CBG,故④正确; 在Rt△APF中,设PF=x,则AF=2x、AP==x, 设EF=a, ∵△ADF≌△BAH, ∴BH=AF=2x, △ABE中,∵∠AEB=90°、∠ABE=45°, ∴BE=AE=AF+EF=a+2x, ∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a, ∵∠APF=∠AEH=90°,∠FAP=∠HAE, ∴△PAF∽△EAH, ∴=,即=, 整理,得:2x2=(﹣1)ax, 由x≠0得2x=(﹣1)a,即AF=(﹣1)EF,故⑤正确; 故选:B. 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点. 2.(2018·山东潍坊·3分)如图,菱形ABCD的边长是4厘米,∠B=60°,动点P以1厘米秒的速度自A点出发 一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图1,正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上,点O是对角线AC、BD 的交点,过点O作OE⊥MN于点E. (1)如图1,线段AB与OE之间的数量关系为.(请直接填结论) (2)保证点A始终在直线MN上,正方形ABCD绕点A旋转θ(0<θ<90°),过点 B作BF⊥MN于点F. ①如图2,当点O、B两点均在直线MN右侧时,试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系?请说明理由. ②如图3,当点O、B两点分别在直线MN两侧时,此时①中结论是否依然成立呢?若成立,请直接写出结论;若不成立,请写出变化后的结论并证明. ③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时,线段AF、BF与OE之间的数量关系为.(请直接填结论) 【答案】(1)AB=2OE;(2)①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF ﹣AF=2OE, 【解析】 试题分析:(1)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论; (2)①过点B作BH⊥OE于H,可得四边形BHEF是矩形,根据矩形的对边相等可得 EF=BH,BF=HE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等,根据全等三角形对应边相等可得OH=AE,OE=BH,再根据AF-EF=AE,整理即可得证; ②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H,可得四边形BHEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BH,BF=HE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等,根据全等三角形对应边相等可得OH=AE,OE=BH,再根据AF-EF=AE,整理即可得证; ③同②的方法可证. 试题解析:(1)∵AC,BD是正方形的对角线, ∴OA=OC=OB,∠BAD=∠ABC=90°, ∵OE⊥AB, 中考数学题型汇总 1.中点 ①中线:D 为BC 中点,AD 为BC 边上的中线 ( ) 有全等 平行线中有中点,容易是斜边的一半直角三角形的斜边中线,可得使得到延长.6.5BD AD 2c b .4CDE ABD DE AD E AD .3S S .2CD BD .12 22 2 ACD ABD +=+???===?? 1.例.如图,在菱形ABCD 中,tan ∠ABC=,P 为AB 上 一点,以PB 为边向外作菱形PMNB ,连结DM ,取DM 中点E ,连结AE ,PE ,则的值为( ) A . B . C . D . 2. 角平分线 ②角平分线:AE 平分∠BAC 有等腰三角形 平行线间有角平分线易作全等三角形有相同角有公共边极易.5.4 .3.2BAE .1CE BE AC AB DF DE CAE ==∠=∠ 3.高线 ③垂线:AF ⊥BC 角形 多个直角,易有相似三充分利用求高线可用等面积法即.4Rt .3.290AFC BC AF .1? ?=∠⊥ ②直角三角形:AD 为中线AE 为垂线 ? ????=?==+?=?== ==?=∠+∠?Rt AE BC AB AC S BC CD ABC ,构造充分利用特殊角;勾股定理:等面积法:: 斜边中线为斜边的一半两角互余:,60,45305.BC CE AC BC BE AB BC AB AC .42 1 21.321 BD AD .290C B .122222 4.函数坐标公式公式1:两点求斜率k 2 12 1x x y y k AB --= 1 13531203 3 30360145-=?-=?= ?=?=?k x k x k x k x k x 时,轴正方向夹角为⑤与时,轴正方向夹角为④与时,轴正方向夹角为③与时,轴正方向夹角为②与时,轴正方向夹角为①与 公式2:两点之间距离 221221)()(AB y y x x -+-= 应用:弦长公式 公式3:中点公式 ) 2,3(ABC )2 ,2( AB 3 213212 121y y y x x x y y x x ++++=?++=重心中点 应用:求中点坐标 公式4:两直线平行与垂直 1//21212 121-=??⊥=?k k l l k k l l ②① 应用:①平行与垂直②直角三角形 A B C D P E 2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1,点C 的坐标为(–4,0),平行四边形OABC 的顶点A ,B 在抛物线上,AB 与y 轴交于点M ,已知点Q (x ,y )在抛物线上,点P (t ,0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标; (2) 当四边形CMQP 是以MQ ,PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围; ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1:2时,求t 的值. (1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0 14 12 =21 2. 如图,已知在矩形ABCD 中,AB =2,BC =3,P 是线段AD 边上的任意一点(不含端点 A 、D ),连结PC , 过点P 作PE ⊥PC 交A B 于E (1)在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ,使得QC ⊥QE ?若存在,求线段AP 与AQ 之间的数量关系;若不存在,请说明理由; (2)当点P 在AD 上运动时,对应的点E 也随之在AB 上运动,求BE 的取值范围. (3)存在,理由如下: 如图2,假设存在这样的点Q ,使得QC ⊥QE. 由(1)得:△PAE ∽△CDP , ∴ , ∴ , ∵QC ⊥QE ,∠D =90 ° , ∴∠AQE +∠DQC =90 ° ,∠DQC +∠DCQ =90°, ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°, ∴△QAE ∽△CDQ , ∴ , ∴ ∴ , 即 , ∴ , ∴ , ∴ . ∵AP≠AQ ,∴AP +AQ =3.又∵AP≠AQ ,∴AP≠ ,即P 不能是AD 的中点, ∴当P 是AD 的中点时,满足条件的Q 点不存在, 综上所述, 的取值范围8 7 ≤ <2; 3.如图,已知抛物线y =-1 2 x 2+x +4交x 轴的正半轴于点A ,交y 轴于点B . (1)求A 、B 两点的坐标,并求直线AB 的解析式; (2)设P (x ,y )(x >0)是直线y =x 上的一点,Q 是OP 的中点(O 是原点),以PQ 为对角线作正方形PEQF ,若正方形PEQF 与直线AB 有公共点,求x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ,求S 关于x 的函数解析式,并探究S 的最大值. (1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+4 第8课时分类讨论题 在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略. 分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行. 类型之一直线型中的分类讨论 直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论,特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要. 1.(沈阳市)若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为()A.50°B.80°C.65°或50° D.50°或80° 2.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为() A.9cm B.12cm C.15cm D.12cm或15cm 3. (江西省)如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处, (1)求证:B′E=BF;(2)设AE=a,AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系,并给予证明. 类型之二 圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,在解决圆的有关问题时,特别是无图的情况下,有时会以偏盖全、造成漏解,其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等. 4.(湖北罗田)在Rt △ABC 中,∠C =900,AC =3,BC =4.若以C 点为圆心, r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点,则r 的取值范围是___ __. 5.(上海市)在△ABC 中,AB=AC=5,3cos 5 B .如果圆O 的半径为10,且经过点B 、C ,那么线段AO 的长等于 . 6.(?威海市)如图,点A ,B 在直线MN 上,AB =11厘米,⊙A ,⊙B 的半径均 为1厘米.⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B 的半径也不断增大,其半径r (厘米)与时间t (秒)之间的关系式为r =1+t (t≥0). (1)试写出点A ,B 之间的距离d (厘米)与时间t (秒)之间的函数表达式; (2)问点A 出发后多少秒两圆相切? 年中考数学分类汇总 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 2018年中考数学分类汇总 主讲:六枝特区第九中学 汪恒 第一章 实数 课时1.实数的有关概念 【课前热身】 1.(08重庆)2的倒数是 . 2.(08白银)若向南走2m 记作2m -,则向北走3m 记作 m . 3.(08乌鲁木齐)2的相反数是 . 4.(08南京)3-的绝对值是( ) A .3- B .3 C .13- D .13 5.(08宜昌)随着电子制造技术的不断进步,电子元件的尺寸大幅 度缩小,在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7(毫米2), 这个数用科学记数法表示为( ) A.7×10-6 B. 0.7×10-6 C. 7×10-7 D. 70×10-8 【考点链接】 1.有理数的意义 ⑴ 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应. ⑵ 实数a 的相反数为________. 若a ,b 互为相反数,则b a += . ⑶ 非零实数a 的倒数为______. 若a ,b 互为倒数,则ab = . ⑷ 绝对值?? ???<=>=)0( )0( )0( a a a a . ⑸ 科学记数法:把一个数表示成 的形式,其中1≤a < 10的数,n 是整数. ⑹ 一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精 确到哪一位.这时,从左边第一个不是 的数起,到 止,所有的数字都叫做这个数的有效数字. 2.数的开方 ⑴ 任何正数a 都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根a 叫 _______________. 没有平方根,0的算术平方根为 ______. ⑵ 任何一个实数a 都有立方根,记为 . ⑶ =2a ???<≥=)0( )0( a a a . 3. 实数的分类 和 统称实数. 4.易错知识辨析 (1)近似数、有效数字 如0.030是2个有效数字(3,0)精确 到千分位;3.14×105是3个有效数字;精确到千位.3.14 万是3个有效数字(3,1,4)精确到百位. (2)绝对值 2x =的解为2±=x ;而22=-,但少部分同学写成 分类讨论 【知识要点】 分类是基本逻辑方法之一.依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。“物以类聚,人以群分”。将事物进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。 分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的,又叫做逻辑划分。不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类,都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。因此分类讨论既是一种逻辑方法,也是一种数学思想。 需要运用分类讨论的思想解决的数学问题,就其引起分类的原因,可归结为:①涉及的数学概念是分类定义的;②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能;④数学问题中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同结果的。 应用分类讨论思想解决问题,必须保证分类科学、统一,不重复,不遗漏,并力求最简。运用分类的思想,通过正确的分类,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。 1命题动态: 分类讨论思想是中考的必考内容,历年来,备受全国各省市命题者的青睐,题型多样,主要考察学生数学思维和逻辑推理能力,经常与分类讨论相关的题目有绝对值的化简与计算,三角形边角关系,等边三角形,实际问题以及动点问题中,难度系数较大,对学生能力要求很强,纵观广州近几年考卷,几乎都在动点问题和实际问题中,平均分值16分左右。 2 突破方法: a.牢固掌握概念,掌握概念间的区别与联系。 b.动点问题中的分类讨论是难点,需要同学们认真、细致的分析运动过程,依据动点某时刻所处的位置,化动为静,再利用平面几何知识去处理。 c.实际问题主要是考察学生对数学的驾驭能力以及一些常识性问题,比如人数不能为小数,时间不能为负数等等。 【考点精析】 考点1. 许多定义,定理,公式是分类的。 例1. 化简a 32a ---。 例2. 求11+--=x x y 的最大值与最小值 【举一反三】 1.化简:1x 2x --+ 河北 周建杰 分类 (2008年南京市)27.(8分)如图,已知O 的半径为6cm ,射线PM 经过点O ,10cm OP =, 射线PN 与 O 相切于点Q .A B ,两点同时从点P 出发, 点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动,点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动.设运动时间为t s . (1)求PQ 的长; (2)当t 为何值时,直线AB 与O 相切? 以下是河南省高建国分类: (2008年巴中市)已知:如图14,抛物线2 334 y x =- +与x 轴交于点A ,点B ,与直线34y x b =-+相交于点B ,点C ,直线3 4y x b =-+与y 轴交于点E . (1)写出直线BC 的解析式. (2)求ABC △的面积. (3)若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动(不与A B ,重合),同时,点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动.设运动时间为t 秒,请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式,并求出点M 运动多少时间时,MNB △的面积 最大,最大面积是多少? 答 以下是湖北孔小朋分类: 21.(2008福建福州)(本题满分13分) 如图,已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发,分别沿AB 、BC 匀速运动,其中点P 运动的速度是1cm/s ,点Q 运动的速度是2cm/s ,当点Q 到达 A B Q O P N M 点C 时,P 、Q 两点都停止运动,设运动时间为t (s ),解答下列问题: (1)当t =2时,判断△BPQ 的形状,并说明理由; (2)设△BPQ 的面积为S (cm 2),求S 与t 的函数关系式; (3)作QR //BA 交AC 于点R ,连结PR ,当t 为何值时,△APR ∽△PRQ ? (2008年贵阳市)15.如图4,在126 的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位),A 的半径为1,B 的半径为2,要使A 与静止的B 相切,那么A 由图示位置需向右平移个单位. 以下是江西康海芯的分类: 1.(2008年郴州市)如图10,平行四边形ABCD 中,AB =5,BC =10,BC 边上的高AM =4, E 为 BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合).过E 作直线AB 的垂线,垂足为 F .FE 与DC 的延长线相交于点 G ,连结DE ,DF .. (1) 求证:ΔBEF ∽ΔCEG . (2) 当点E 在线段BC 上运动时,△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系?并说明你的理由. (3)设BE =x ,△DEF 的面积为 y ,请你求出y 和x 之间的函数关系式,并求出当x 为何值时,y 有最大值,最大值是多少? 10分 辽宁省 岳伟 分类 2008年桂林市 如图,平面直角坐标系中,⊙A的圆心在X轴上,半径为1,直线L为y=2x-2,若⊙A沿X轴向右运动,当⊙A与L有公共点时,点A移动的最大距离是( ) A B (图4) 中考数学专题复习——分类讨论问题 一、教学目标 使学生养成分类讨论思想,并掌握一定的分类技巧,以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系,对待问题能有更严谨、缜密的思维。 二、教学重点 对常见题型分类方法的掌握;能够灵活使用一般的分类技巧。 三、教学难点 对于分类的“界点”、“标准”把握不准确,容易出现重复解、漏解等现象。 四、板书设计 1:分式方程无解的分类讨论问题; 2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题; 3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题; 4:分类问题在动点问题中的应用; 4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论; 4.2组合图形(二次函数、一次函数、平面图形等组合)中动点问题的分 类。 五、教学用具 打印互动背景资料、三角板、多媒体。 六、作业布置 附后 1:分式方程无解的分类讨论问题 例题1:方程 =+=-+-a 3 49332无解,求x x ax x 解:去分母,得: 1 .6,801a 31 -a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=?-=++a a a x x ax x 或者或或由已知)( 猜想:把“无解”改为“有增根”如何解? 68-==a a 或 例题2: ==--+a 21 12无解,求x a x 2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题 例题3:已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根,求m 的取值范围。 (1) 当02 =m 时,即m=0时,方程为一元一次方程x+1=0,有实数根x=1- (2) 当02≠m 时,方程为一元二次方程,根据有实数根的条件得:4 1-m ,0144)12(22≥≥+=-+=?即m m m ,且02≠m 综(1)(2)得,4 1-≥m 常见病症:(很多同学会从(2)直接开始而且会忽略02≠m 的条件) 总结:字母系数的取值范围是否要讨论,要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种(1)前置式,即“二次方程”;(2)后置式,即“两实数根”。这都是表明是二次方程,不需要讨论,但切不可忽视二次项系数不为零的要求,本题是根据二次项系数是否为零实行讨论的。 例题4:当m 是什么整数时,关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数。中考数学专题分类讨论题
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