宁夏银川市第二中学2020-2021学年上学期期末考试
高二数学（理）试题
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．
2
12(1)i
i +=- （ ）
A ．112i --
B ．112i -+
C ．112i +
D ．112
i - 2．方程22123
y x m m +=-+表示双曲线,则实数m 的取值范围是 （ ）
A ．32m -<<
B ．13m -<<
C ．34m -<<
D ．30m -<<
3．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）
A.2e
B.e
C.
ln 2
2
D.ln 2 4．下列函数中，在区间(0,)+∞ 内单调递减的是( )
A ．y ＝1x
－x B ．y ＝x 2－x C ．y ＝ln x －x D ．y ＝e x
－x
5．已知,,A B C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点,,A B C 一定共面的是（ ）
A ．OM OA O
B O
C =++ B ．23OM OA OB OC =++ C ．111222OM OA OB OC =
++ D ．111
333
OM OA OB OC =++ 6．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数()x f ，如果 ()00='x f ，那么0x x =是函数()x f 的
极值点．因为()3x x f =在0=x 处的导数值()00='f ，所以0=x 是函数()3
x x f =的极值点．以上推
理中 ( )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．结论正确
7．在我校学科月活动中，老师推荐了一本古典名著.为了解学生诵读情况，老师随机问了甲，乙，丙，丁四名学生，但这四名学生中仅有一人阅读了老师推荐的这本名著，当他们被问到谁阅读了这本名著时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了” ；丙说：“甲和丁都没有阅读” ；丁说：“乙阅读了”. 假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该名著的学生是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
8．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'
(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.
(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>
9．已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在第一象限），过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，若60AFE ∠=?，则AFE △的面积为（ ）
A.43
B.23
C.
43
3
D.
23
3
10．已知函数2
()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[)2,8
B ．[]2,8
C ．(][),28,-∞+∞
D ．()2,8 11.函数()2
e e x x
f x x
--=的图像大致为（ ）
12．设函数()(1)x
f x e x =-，函数()
g x mx m =-，(0)m >，若对任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围是（ ）
A.2
13,3
e -??-???
?
B.2
1,3e ??????
C.1,3??+∞????
D.)
2
,e ?+∞?
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．）
13．曲线2
x y =与直线x y =所围成的封闭图形的面积为__________ ．
14．已知向量()0,1,1=-a ，()4,1,0=b ,
λ+=a b ，且0λ>，则λ=_________.
15．如果椭圆22
1369
x y +=的弦被点(42)，
平分，则这条弦所在的直线方程是___________ 16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ______． 三、解答题（本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 已知曲2
2
981x y +=
（Ⅰ）求其长轴长，焦点坐标，离心率；
（Ⅱ）求与已知曲线焦点相同且离心率为的双曲线方程；
18．（本小题满分12分） 已知函数3
21()13
f x x ax bx =
-++，当3x =时，函数()f x 有极小值8-. （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）求()f x 在[0,4]上的值域.
19．（本小题满分12分） 设函数()b
f x ax x
=-
，曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为74120x y --=． （Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
20．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，1
2
QA AB PD == （Ⅰ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （Ⅱ）求直线DQ 与平面PQC 所成角的正弦值.
21．（本小题满分12分）
设椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，已知点M 的坐标为(2,0). （Ⅰ）当l 与x 轴垂直时，求点A 、B 的坐标及||AB 的值 (Ⅱ）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.
.
22．（本小题满分12分） 已知函数()ln (1)f x x a x =+- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.
宁夏银川市第二中学2020-2021学年上学期期末考试
高二数学（理）试题参考答案
二. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．
2
12(1)i
i +=- （ B ）
A ．112i --
B ．112i -+
C ．112i +
D ．112
i - 2．方程22123
y x m m +=-+表示双曲线,则实数m 的取值范围是 （ A ） A ．32m -<< B ．13m -<< C ．34m -<< D ．30m -<<
3．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ B ） A.2e B.e C.
ln 2
2
D.ln 2 4．下列函数中，在区间(0,)+∞ 内单调递减的是( A )
A. y ＝1x
－x B. y ＝x 2－x C. y ＝ln x －x D. y ＝e x
－x
5．已知,,A B C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点,,A B C 一定共面的是（ D ）
A ．OM OA O
B O
C =++ B ．23OM OA OB OC =++ C ．111222OM OA OB OC =
++ D ．111
333
OM OA OB OC =++ 6．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数()x f ，如果 ()00='x f ，那么0x x =是函数()x f 的
极值点．因为()3x x f =在0=x 处的导数值()00='f ，所以0=x 是函数()3
x x f =的极值点．以上推
理中 ( A )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．结论正确
7．在我校语文学科月活动中，老师推荐了一本古典名著.为了解学生诵读情况，老师随机问了甲，乙，丙，丁四名学生，但这四名学生中仅有一人阅读了老师推荐的这本名著，当他们被问到谁阅读了这本名著时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了” ；丙说：“甲和丁都没有阅读” ；丁说：“乙阅读了”. 假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该名著的学生是（ B ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
8．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'
(1)()0x f x -≥，则必有（ C ）A ．(0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤
C.
(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>
9．已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在第一象限），过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，若60AFE ∠=?，则AFE △的面积为（ A ）
A.43
B.23
C.
43
D.
23
10．已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ D ） A ．[)2,8
B ．[]2,8
C ．(]
[),28,-∞+∞ D ．()2,8
11.函数()2
e e x x
f x x --=的图像大致为（ B ）
12．设函数()(1)x
f x e x =-，函数()
g x mx m =-，(0)m >，若对任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围是（ D ）
A.2
13,3
e -??-???
?
B.2
1,3e ??????
C.1,3??+∞????
D.)
2
,e ?+∞?
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．）
13．曲线2
x y =与直线x y =所围成的封闭图形的面积为 1
6 ．
14．已知向量()0,1,1=-a ，()4,1,0=b
,
λ+=a b ，且0λ>，则λ=____3___.
15．如果椭圆22
1369
x y +=的弦被点(42)，
平分，则这条弦所在的直线方程是_280x y +-= 16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则
b =___1ln2-_．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 已知曲2
2
981x y +=
（Ⅰ）求其长轴长，焦点坐标，离心率；
（Ⅱ）求与已知曲线相同焦点且离心率为的双曲线方程； 【解析】椭圆的标准方程为，∴a=9，b=3，c=6
（Ⅰ）由题意易得：长轴长2a=18，焦点坐标、离心率． （Ⅱ）设双曲线方程为： 又双曲线与椭圆共焦点且离心率为 ∴，解得： ∴双曲线方程为：
18．（本小题满分12分）
已知函数3
21()13
f x x ax bx =
-++，当3x =时，函数()f x 有极小值8-. （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）求()f x 在[0,4]上的值域.
【解析】（Ⅰ）2()2f x x ax b '=-+，
由题意得(3)960(3)99318f a b f a b '=-+=??=-++=-?，解得13a b =??=-?
，
321
()313
f x x x x ∴=--+，经检验3x =为()y f x =的极小值点，符合题意.
（Ⅱ）由（1）得2
()23(3)(1)f x x x x x '=--=-+
当()0f x '>时，34x <≤；当()0f x '<时，03x ≤<.
所以()f x 在[0,3)上单调递减，在(3,4]上单调递增，
所以()f x 的最小值为(3)8f =-.
因为(0)1f =，17
(4)3
f =-
，所以()f x 的最大值为(0)1f =. 所以()f x 在[0,4]上的值域为[8,1]-.
19．（本小题满分12分） 设函数()b
f x ax x
=-
，曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为74120x y --=． （Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
【解析】（Ⅰ）由74120x y --=得734y x =
-． 当2x =时，12y =，则1
(2)222
b f a =-=① 又
2()b f x a x '=+
，则
7
(2)44
b f a +='=②． 由①②得4147
a b a b -=??
+=?，解得13a b =??=?，故3
()f x x x =-．
（Ⅱ）设00(),P x y 为曲线上任一点，
由231y x
'=+，知曲线在点00(),P x y 处的切线方程为002
03(1)()y y x x x -=+-， 即00200
33
()(1)()y x x x x x --
=+-． 令0x =得06y x =-
，从而得切线与直线0x =的交点坐标为
6
(0)x -，； 令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为00)2(2x x ，
， 所以点00(),P x y 处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为
00
16
|||2|62x x -?=． 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，此定值为6．
20．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝
1
2
PD ．
（Ⅰ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；
（Ⅱ）求直线DQ 与平面PQC 所成角的正弦值.
【解析】（1）如图，以D 为坐标原点，DA ，DP ，DC 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系
D ﹣xyz
.
依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0），D （0，0，0）， 则DQ =（1，1，0），DC =（0，0，1），PQ =（1，﹣1，0），（3分）
所以0PQ DQ ?=，0PQ DC ?=， 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ， 又DQ
DC D =，故PQ ⊥平面DCQ ，
又PQ ?平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .（6分） （Ⅱ）依题意，(1,1,0)PQ =-，()0,2,1PC =-，
设(,,)x y z =n 是平面PQC 的法向量，
则00
PQ PC ??=???=??n n ，即020x y y z -=??-+=?，取1x =，则1y =，2z =，
故平面PQC 的一个法向量是n =（1，1，2），（9分） 又DQ =（1，1，0），
所以
cos 3,DQ =
=
=n ， 设直线DQ 与平面PQC 所成的角为α，
则sin α=,cos DQ n =
故直线DQ 与平面PQC 所成角的正弦值为
3
.（12分）
21．（本小题满分12分）
设椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，已知点M 的坐标为(2,0). （Ⅰ）当l 与x 轴垂直时，求点A 、B 的坐标及||AB 的值 (Ⅱ）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（Ⅰ）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.
由已知可得，点A 或B (1,.||AB (Ⅱ）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=?.
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，
则12x x < MA MB x x y y k k += +--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2) MA MB x x x x k k x x k k k -+++= --. 将(1)y k x =-代入2 212 x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以， 21221222422 ,2121 x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021 k k k k k k k k k x x x x --++-++= =+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠. 22．（本小题满分12分） 已知函数()ln (1)f x x a x =+- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围. 解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为1 (0,),()f x a x '+∞= -， 若0,a ≤则()0,f x '>所以()(0,)f x +∞在单调递增. 若0a >，则当1(0,)x a ∈时，()0,f x '>当1(,)x a ∈+∞时，()0,f x '< 所以()f x 在1(0,)a 单调递增，在1(,)a +∞单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 当0a ≤时，()(0,)f x +∞在无最大值； 当0a >时，()f x 在1 x a = 取得最大值， 最大值为111 ()ln()(1)ln 1f a a a a a a =+- =-+-. 因此1()22f a a >- 等价于ln 10a a +-<. 令()ln 1g a a a =+-， 则()g a 在(0,)+∞单调递增，(1)0g =. 于是，当01a <<时()0g a <； 当1a >时，()0g a >，因此，a 的取值范围是(0,1).
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