Comsol案例解析03：PDE之-E-H方程

COMSOL Multiphysics弱形式入门物理问题的描述方式有三种：1、偏微分方程2、能量最小化形式3、弱形式本文希望通过比较浅显的方式来讲解弱形式，使用户更有信心通过COMSOL Multiphysics的弱形式用户界面来求解更多更复杂的问题。

COMSOL Multiphysics是唯一的直接使用弱形式来求解问题的软件，通过理解弱形式也能更进一步的理解有限元方法（FEM）以及了解COMSOL Multiphysics的实现方法。

本文假定读者没有太多的时间去研究数学细节，但是却想将弱形式快速的应用到实际工程中去。

另外，本文也会帮助理解COMSOL Multiphysics文档中常用的到一些术语和标注方法，相关理论可以参考Zienkiewicz[1]，Hughes[2]，以及Johnson [3]等。

为什么必须要理解PDE方程的弱形式？一般情况下，PDE方程都已经内置在COMSOL Multiphysics的各个模块当中，这种情况下，没有必要去了解PDE方程和及其相关的弱形式。

有时候可能问题是没有办法用COMSOL Multiphysics内置模块来求解的，这个时候可以使用经典PDE模版。

但是，有时候可能经典PDE模版也不包括要求解的问题，这个时候就只能使用弱形式了（虽然这种情况是极少数的）。

掌握弱形式可以使你的水平超过一般的COMSOL Multiphysics用户，让你更容易去理解模型库中利用弱形式做的算例。

另一个原因就是弱形式有时候描述问题比PDE方程紧凑的多。

还有，如果你是一个教授去教有限元分析方法，可以帮助学生们直接利用弱形式来更深入的了解有限元。

最后，你对有限元方法了解的越多，对于COMSOL Multiphysics中的一些求解器的高级设置就懂得更多。

一个重要的事实是：在所有的应用模式和PDE模式求解的时候，COMSOL Multiphysics 都是先将方程式系统转为了弱形式，然后进行求解。

第二章发展方程的有限元分析W. B. J. ZIMMERMAN，B. N. HEWAKANDAMBYDepartment of Chemical and Process Engineering, University of Sheffield,Newcastle Street, Sheffield S1 3JD United KingdomE-mail:科学研究和工程应用中的偏微分方程（PDE）多源自复杂的平衡方程。

常见的偏微分方程主要来自质量守恒、动量守恒、组分守恒和能量守恒定律。

由于这些守恒定律是整个域上的积分方程，所以在连续性假设下，偏微分方程很容易用有限元方法近似描述。

本章介绍了COMSOL Multiphysics中典型的三种不同类型“时间－空间”系统偏微分方程——椭圆方程，抛物线方程和双曲线方程。

本章还对有限元方法进行了总体介绍，结合应用实例讲解有限元方法精确计算的特性，更深层次的内容将在后续章节中引出。

1. 简介在科学研究和工程应用中常会遇到满足守恒定律约束的偏微分方程，通常以积分形式出现。

所有由质量守恒、动量守恒、组分守恒和能量守恒控制的传递现象都会产生连续逼近的偏微分方程。

相信化工人员对传热、传质和动量传递现象不会感到陌生。

与前一章COMSOL Multiphysics化工实例中介绍的零维、一维空间系统相比，化工课程中通常不会出现超过二维或三维的偏微分方程计算。

从文献[1]中找到一个非常珍贵的例子。

实际上，很多常见的化工模型和公式都是由实际过程中更高维数的动力学过程简化而来的。

流体动力学中的阻力系数，传热传质系数，多相催化的Thiele模型，精馏塔设计中的McCabe-Thiele图等许多描述高维数系统传递现象或非稳态动力学过程的技术，都是半经验性的方法，也许可以用偏微分方程来描述这些过程，但是由于基本物理、化学现象的复杂性，这些方程通常很难求解。

所以对于初步的设计计算，这些快速计算的简化方法很受欢迎，但是对于细节设计、设计翻新、过程分析和优化过程，只有简化方法是不够的。

课程名称：大学物理实验（二）实验名称：卡门涡街的Comsol仿真图3.1卡门涡街仿真图四、实验内容及步骤：4.1建模本实验的的建模与仿真可分为八步：1.模型向导2.参数定义3.几何建模4.材料设置5.层流设置6.划分网格7.研究求解8.结果分析操作步骤：1.模型向导1)打开COMSOL软件，在新建窗口中单击模型向导；2)在模型向导窗口中，单击二维；3)在选择物理场树中双击流体流动单相流层流；4)单击添加，然后单击下方的研究；5)在选择研究中选择一般研究瞬态；6)单击底部的完成；2.参数定义1)在左侧模型开发器窗口的全局定义节点下，单击参数1；2)在参数的设置窗口中，定位到参数栏；3)在表中输入以下设置：图4.1 设置示范图4)在左侧主屏幕工具栏中单击f(x)函数，选择全局阶跃；5)在阶跃的设置窗口中，定位到参数栏；6)在位置文本框中输入0.1；3.几何建模1)在上方的几何工具栏中单击矩形；图4.2 建模完成后图材料设置在模型开发器窗口的组件(comp1)节点下，右键单击材料并选择空材料；在材料的设置窗口中，定位到材料属性明细栏；图4.3 设置示范图图层流设置在模型开发器窗口的组件1(comp1)节点下，右键单击层流(spf)并选择入口；在入口的设置窗口中，边界选择栏里选择边界1（单击右侧图形窗口里矩形的左边界即可）在入口的设置窗口中，定位到速度栏，在U0文本框中输入图4.4 划分网格后的图形在模型开发器窗口的研究节点下，单击步骤1: 瞬态；图6.3升力系数随时间的变化由图5.1可知，升力系数的大小在前0.5s几乎为0，0.5s到3.5s升力系数大幅不断变大然后减小，同时升力系数的峰值和谷值的绝对值都在变大，而且峰值和谷值的绝对值近似相等，3.5s到5.0s力系数的峰值和谷值的绝对值缓慢增大，直到5.0s时都取到最大约0.89，此后5.0s到7.0s升力系数在峰值和谷值的绝对值的最大值之间波动。

作出曳力系数随时间变化图图6.4 曳力系数随时间的变化由图5.2可知，曳力系数在0.5s前就从0急剧变大至约3.1，随后在0.5s到3.5s缓慢且小幅减小再增大至约3.17，在3.5s到7.0s时，曳力系数仅在3.17之间微小波动。

Comsol经典实例011: 铜柱的感应加热铜柱中的感应电流会使铜柱的温度升高, 而温度的变化会导致铜的电导率发生变化。

该模型涉及电磁场与热场之间的相互耦合, 要准确描述次物理过程, 需要同时求解传热过程和电磁场传播。

由感应电流引起的加热称为感应加热。

由电流引起的加热称为电阻加热或欧姆加热。

感应电流加热中要解决的难题是需要对感应线圈中的大电流进行主动冷却。

采用空心的线圈导体并在其中灌入水可以实现这一目的。

也就是使流速相当低, 冷却水会形成高度发展的湍流, 在导体和流体之间进行高效传热。

本案例阐明了基于湍流和实时混合假设的水冷却简化的建模方法。

一、参数设置Step01: 打开comsol软件, 单击“模型向导”选项创建模型, 在模型的“选择空间维度”界面选择“二维轴对称”, 在“选择物理场”界面分别选择“传热→电磁热→感应加热”, 单击“添加”按钮。

对应变量设置完毕以后, 单击“研究”按钮, 在“选择研究”树中添加“所选物理场接口的预设研究”中的“频域-瞬态”研究, 单击“完成”按钮进入软件主界面, 如图1所示。

图1 软件主界面Step02: 参数设置。

在模型开发器窗口的全局定义节点下, 单击“参数”子节点, 在“参数”设置窗口中, 定位到“参数”栏, 输入如图2所示的参数。

图2 设置全局参数二、几何模型1.矩形绘制Step03: 添加第一个矩形。

右键单击“几何1”节点, 在弹出的下拉菜单中选择“矩形”, 定位到“大小和半径”栏, 在“宽度”文本输入框中输0.3, 在“高度”文本输入框中输0.4；定位到“位置”栏, 在“z”的文本输入框中输入-0.2。

单击“构建选定对象”, 如图3所示。

Step04：添加第二个矩形。

右键单击“几何1”节点, 在弹出的下拉菜单中选择“矩形”, 定位到“大小和半径”栏, 在“宽度”文本输入框中输0.02, 在“高度”文本输入框中输0.15；定位到“位置”栏, 在“z”的文本输入框中输入-0.075。