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2019届百校联盟top20十二月联考（全国ⅰ卷）数学（理）
试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题
1
．已知集合{|A x y ==，{}
|1x
B y y e ==+，则A B =I （ ）
A ．[2,)+∞
B ．(,2]-∞
C ．[1,2]
D ．(1,2]
答案：D
求出A 、B 所表示的范围，求交集即可得解. 解：
由题知{|2}A x x =…，{|1}B y y =>，故(1,2]A B ?=. 故选：D. 点评：
本题考查了集合的运算以及函数求值域，考查了计算能力，属于简单题. 2．已知复数z 满足(1)2z i m i ?-=+，若z 是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．-1
C ．2
D ．-2
答案：C
由(1)2z i m i ?-=+可得：2(2)(1)(2)(2)1(1)(1)2
m i m i i m m i
z i i i +++-++===--+，再根据纯虚数的定义，即可得解. 解： 依题意，(2)(1)(2)(2)(1)(1)2m i i m m i z i i ++-++==-+，则2020m m -=??+≠?，，
故2m =.
故选：C. 点评：
本题考查了复数的除法及纯虚数的概念，考查了计算能力，属于简单题.
3．自宋朝以来，折扇一直深受文人雅土的喜爱，在扇面(折扇由扇骨和扇面组成)上题字作画是生活高雅的象征.现有一位折扇爱好者准备在如图所示的扇面上题字，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面部分的概率为（ ）
A ．
47
B ．
34
C ．
1649
D ．
4049
答案：D
求出整个折扇和只有扇骨处的面积，相减即得扇面的面积，代入几何概型概率公式即可得解. 解：
S 大扇形212aR =，S 小扇形212r α=，222
940
14949
R r P R -∴==-=. 故选：D. 点评：
本题考查了扇形的面积公式和几何概型，考查了计算能力，属于简单题. 4．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37
=4S ，212
a =，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．2 B ．
1
2
C ．2或1
2 D ．2或1
答案：C
根据等比数列的求和公式及通项公式，由37
=4S ，212
a =，代入即可得解. 解：
依题意得1237
4a a a ++=
，212
a =， 22274a a a q q ++=∴
，15
2
q q ∴+=， 解得2q =或1
2
q =. 故选：C. 点评：
本题考查了等比数列的基本量的求值，考查了等比数列的求和及通项公式，考查了计算能力，属于简单题.
5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数.且在(,0)-∞上单调递减，则()f x 的解析式可能为（ ）
A ．()x
x
f x e e -=- B ．1()lg
||
f x x = C ．()|sin |f x x =
D ．()f x =答案：D
由函数()f x 的性质，即定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上单调递减，逐个排除即可得解.对A ，()=()x
x f x e e f x --=--，不符；对B ，0x ≠，不符；对C ，在(,0)
-∞上不单调，即可得解. 解：
函数()e e x
x
f x -=-是奇函数，
1
()lg
||
f x x =的定义域不是R ， 函数()|sin |f x x =在(,0)-∞上不具有单调性，
函数()f x =(,0)-∞上单调递减且是偶函数.
故选：D. 点评：
本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了函数基本性质的识记和理解，属于简单题.
6．若a 是常数，74
(2)(1)a x y -+的展开式中各项系数和为-16，则42
x y 的系数为（ ）
A ．60
B ．-1680
C ．336
D ．3360
答案：D
由74
(2)(1)a x y -+的展开式中各项系数和为-16，首先赋值令1x =，代入求得1a =，
根据7
(12)x -求出4x 的系数，根据4
(1)y +求出2
y 的系数，相乘即可得解.
解：
依题意7
4
(2)(11)16a -+=-，1a \=，
74(12)(1)x y -+的展开式中，
42x y 的系数为4
4274C (2)C 351663360-=??=.
故选：D. 点评：
本题考查了二项展开式的通项公式，考查了赋值法求和，考查了计算能力，属于中档题. 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线部分是某几何体的三视图，则该几何体
的表面积为（）
A．76+43+46B．76+43+26C．76+23+46D．76+23+26答案：C
由三视图还原为直观图，由直观图即可求得该几何体的表面积.
解：
如图：将三视图还原，
可知几何体由一个棱长为4的正方体截去两个三棱锥得到，
故所求几何体的表面积:
11131
1662232424484223
S=?-???-???-??++?
22242
=+
742346
故选：C.
点评：
本题考查了三视图，考查了空间想象能力，考查了面积的计算，属于中档题.
8．运行行如图所示的程序框图，则输出k的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B
根据,a b的初始值，通过不断的赋值计算，经过三次的循环，即可得解. 解：
运行该程序，第一次，
2
3
a=，2
k=，
8
9
b=；
第二次，
8
9
a=，3
k=，
8
9
b=；
第三次，
8
9
a=，4
k=，
64
81
b=；
此时不满足
81
99
b
a
-…，故退出循环，此时输出k的值为4.
故选：B.
点评：
本题考查了程序框图，考查了循环结构求输出结果，考查了计算能力，属于简单题.
9．已知函数(
)2cos 232
f x cos x x ππ????
=-++ ? ?????在区间,6t π??-????上单调递增，则
实数t 的取值范围为（ ） A ．0,
12π??
???
B ．,612ππ??
-
??
? C ．,62ππ??
-
??
? D ．0,
2π?
?
??
?
答案：B
先化简()f x 为sin 23x π?
?
+ ??
?
，再根据正弦函数的增区间可解得． 解：
依题意，(
)12222f x sinx cosx sinx ??=-+ ? ???
2sinxcosx x =+
112222cos x sin x -=
+
sin 23x π?
?=+ ??
?，
当,6x t π??
∈-
????时，20,233x t ππ??+∈+????因为y sinx =在,22ππ??-????
上单调递增，且
()f x 在,6t π??
-????
上单调递增，
所以][0,2,322t πππ??+?-????，即6
232t t πππ?>-????+≤??
，
解得6
12
t π
π
-
<≤
故选：B ． 点评：
本题主要考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性．属中档题． 10．已知抛物线2
14
y x =
的焦点F ，直线l 过点F 且与抛物线相交于M ，N 两点，M ，N 两点在y 轴上的投影分别为C ，D ，
若||CD …则直线l 斜率的最大值是（ ）
A
B ．2
C ．3
D
．答案：A
设直线方程为1y kx =+，联立抛物线方程可得2440x kx --=，设()11,M x y ，
()22,N x y ，
则12124,
4,
x x k x x +=??
?=-?所以
12CD y y k
=-==
求解不等式即可得出答案. 解：
因为抛物线2
4x y =的焦点(0,1)F ，所以设直线方程为1y kx =+，
由2244401
x y
x kx y kx ?=?--=?
=+?，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则12124,
4,
x x k x x +=??
?=-?所以
(
)
1212CD y y k x x =-=-==
，
解得k
l 故选：A. 点评：
本题考查了利用韦达定理研究直线和抛物线的关系， 考查了根与系数的转化思想，考查了计算能力，属于难题.
11．已知奇函数()f x 和其导函数()f x '的定义域均为R ，当(0,)x ∈+∞时，
3()()0f x xf x '+<，则不等式33(1)(-1)8(2)0x f x x f x --<的解集为（ ）
A ．(),1-∞-
B ．11,3?
?- ???
C ．()1,10,3??-∞- ???
U D ．()11,0,3??-+∞ ???
U
答案：B
由题意可构造函数3
()()g x x f x =，
]232()3()()[3()()0g x x f x x f x x f x xf x '''=+=+<，可得()g x 在(0,)+∞为减函数，
再根据()f x 为奇函数，可得()g x 为偶函数，根据函数单调性和奇偶性解不等式即可. 解：
令3()()g x x f x =，当(0,)x ∈+∞时，
]232()3()()[3()()0g x x f x x f x x f x xf x '''=+=+<，
所以函数()g x 是(0,)+∞上的减函数.
()f x Q 是奇函数，()g x ∴是偶函数，
由不等式3
3
(1)(1)8(2)0x f x x f x ---<，得(1)(2)g x g x -<，所以|1||2|x x ->，得
113x -<<.即11,3x ?
?∈- ??
?.
故选：B 点评：
本题考查了构造法，考查了利用导数求函数单调性以及利用函数单调性解不等式，考查了转化思想和计算能力，属于难题.
12．已知各项均不为0的数列{}n a 满足11
99
a =-
，1(21)n n n a a a ++=，若212221
11
n n n
n n b a a a a -+=
-
，则当数列{}n b 的前n 项和取得最大值时，n 的值是（ ）
A ．24
B ．25
C ．32
D ．33
答案：B
根据数列{}n a 的递推关系：1(21)n n n a a a ++=，化简可得：
111
2n n
a a +-=，可得数列1n a ??????
为等差数列，可得n
a 通项公式，代入21222111
n n n n n b a a a a -+=-即可求出n b 的通项，388(1)(16)16404n b n n =+-?-=-+，所有正项的和即是最大值.
解：
依题意，121
n n n a a a +=
+，得
121112n n n n a a a a ++==+，111
2n n a a +∴-=，
∴数列1n a ??
?
???
是首项为99-，公差为2的等差数列，2122212121211111
n n n
n n n n n
b a a a a a a a -+-+??=
-
=- ???，因为2121114n n a a -+-=-， 即24n n b a -=
，122211416n n
n n b b a a ++??
-=--=- ???
，且1214388b a =-?=， {}n b ∴是首项为388，公差为-16的等差数列，
故388(1)(16)16404n b n n =+-?-=-+， 令0n b >，解得101
4
n <
， 故当数列{}n b 的前n 项和取得最大值时，n 的值是25. 故选：B 点评：
本题考查了利用递推关系求数列通项，考查了数列前n 项和的最大值，考查了转化思想和计算能力，属于较难题.
二、填空题
13．已知a r 是单位向量，若()0a a b ?-=v v v ，(2)(2)0a b a b +?-=r r r r 则a v ，b v
的夹角为
__________. 答案：
3
π 根据a r
是单位向量，展开()0a a b ?-=v v v 即得：1a b ?=r r ，由(2)(2)0a b a b +?-=r r r r 得：
||2||2b a ==r r
，代入向量夹角公式即可.
解：
因为a r
是单位向量，
由2()01a a b a a b a b ?-=?=???=r r r r r r r r
，
由(2)(2)0||2||2a b a b b a +?-=?==r r r r r r
，
设a r 与b r 的夹角为θ，则1cos 2||||a b a b θ?==r r
r r ，
3
π
θ∴=
.
故答案为：3
π. 点评：
本题考查了向量的数量积，考查了单位向量的概念及向量夹角公式，考查了计算能力，属于简单题.
14．已知实数x ，y 满足不等式组040240
x y x y x y -≤??+-≤??-+≥?
，则26
3x y z x +-=-的取值范围是
__________. 答案：180,
7??
????
首先根据不等式组0
40240
x y x y x y -≤??+-≤??-+≥?
画出可行域，化简26
3x y z x +-=-即得23y z x =
+-，而
3
y
x -表示可行域内的点与点(3,0)P 连线的斜率，根据斜率的范围即可得解. 解：
依题意，作出可行域，如图所示：
是以点(2,2)A ，(4,4)B --，(0,4)C 为顶点的三角形区域（包含边界），
26233
x y y
z x x +-=
=+--，
3
y
x -表示可行域内的点与点(3,0)P 连线的斜率， 故3PA PB y
k k x -剟， 得4237y x --剟，故18
07
z 剟.
故答案为：180,7??
????
. 点评：
本题考查了线性规划求取值范围，考查了目标函数的几何意义以及斜率的取值范围，考
查了数形结合思想及计算能力，属于中档题.
15．双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 为双曲线C 右
支上一点，直线1AF 与y 轴交于点B ，且13||F B AB =，
12AF AF ⊥，则双曲线C 的离心率为__________.
设||AB m =，2AF n =，则13F B m =，又122F F c =，根据题意可得：
121Rt BOF Rt F AF △∽△，432c m
m c =，再根据双曲线的定义及性质可得：42m n a -=，
222(4)(2)m n c +=，联立消去m ，解方程即可得解.
解：
依题意121Rt BOF Rt F AF △∽△，
设||AB m =，2AF n =，则13F B m =，又122F F c =，
所以22
2
42432(4)(2)m n a c m m c m n c -=???
=??+=??，
，
，
222
16(42)4c m m a c =+-=??，， 消去m
，整理得2230c a -+=，因为c
e a
=
，
所以230e -+=
，解得e =
e =.
+ 点评：
本题考查了利用双曲线的焦点三角形求离心率，考查了双曲线的定义及性质和平面几何的结合，考查了计算能力，属于较难题.
16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，1
cos 3
ACB ∠=，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为52π，则三棱锥P ABC -体积的最大值为__________.
答案：
2
3
根据三棱锥P ABC -外接球的表面积为52π可得：外接球半径13R =ABC ?外接圆半径为r ，根据外接球和三棱锥P ABC -的位置关系可得：
()2
22(2)(2)R r PA =+，由4PA =，代入可得3r =，由正弦定理即得：42AB =再利用余弦定理结合基本不等式即可得解. 解：
设三棱锥P ABC -的外接球球心为O ，半径为R ，
ABC ?外接圆半径为r ，则2452R ππ=，
解得13R =2
2
2
2PA R r ??=+ ???
，故
3r =，又2sin AB r ACB =∠， 42AB ∴=
22322cos AC BC AC BC ACB ∴=+-??∠，
24AC BC ∴??，
三棱锥P ABC -的体积11122322
24433233
ABC V S PA =?????=
△?. 点评：
本题考查了三棱锥的外接球问题，同时考查了利用正、余弦定理解三角形，还考查了利用基本不等式求最值，考查了空间想象及计算能力，属于难题.
三、解答题
17．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，且ABC ?的
面积为2
4
a ，
（Ⅰ）若sin sin a A b C =，求A ；
（Ⅱ）求22
b c bc
+的取值范围.
答案：（Ⅰ）6
A π
=
；（Ⅱ）.
（I ）由ABC ?的面积为24
a ，代入公式可得：22sin a bc A =，再根据sin sin a A
b C =，
利用正弦定理可得：a bc =2，联立即得：1
sin 2
A =
，又A 为锐角，即可得解. （II ）由题干可得：22sin a bc A =，代入余弦定理可得：
2222cos 2sin 2cos b c a bc A bc A bc A +=+=+，
所以222sin 2cos 4b c A A A bc π+?
?=+=+ ??
?，再结合角A 范围即可得解. 解：
（Ⅰ）2
4
ABC
a S =
Q △，21sin 24a bc A ∴=， 即22sin a bc A =，
sin sin a A b C =Q ， a bc ∴=2，
2sin bc bc A ∴=，1sin 2
A ∴=，
02
A π
<<
Q ，6
A π
∴=
.
（Ⅱ）由余弦定理知，2222cos a b c bc A =+-，
2222cos 2sin 2cos b c a bc A bc A bc A ∴+=+=+，
22
2sin 2cos 4b c A A A bc π+??∴=+=+ ???，
02
A π
<<
Q ，34
4
4
A π
π
π
∴
<+
<
，
sin 124A π?
?<+ ??
??，
24A π?
?∴<+ ??
??，
22
b c bc
+∴的取值范围为(2,22]. 点评：
本题考查了利用正、余弦定理解三角形，其方法有两种：角化边和边化角，求范围所用方法基本是：
（1）利用基本不等式求最值； （2）利用三角函数求最值.
18．为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:h ).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).
（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z 近似服从正态分布
()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .
（i ）求(0.88.3)P Z <<；
（ii ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ξ，试求()E ξ.
6.16 2.5≈，若Z ~(
)2
,N μσ
，()0.6827P Z μσμσ-<<+=，
(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=.
答案：（Ⅰ）平均数5.85；样本方差6.16；（Ⅱ）（i ）0.8186；（ii ）4093.
（Ⅰ）利用频率分布直方图的小矩形的中间数据，代入平均数和样本方差公式即可得解； （Ⅱ）利用正态分布的图像与性质以及二项分布的期望，即可得解. 解：
（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数为
10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8x =?+?+?+?+?+?=.
2222222(1 5.8)0.05(3 5.8)0.2(5 5.8)0.3(7 5.8)0.25(9 5.8)0.15(11 5.8)0
s =-?+-?+-?+-?+-?+-?6.16=.
（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知~(5.8,6.16)Z N ， 即(
)2
~ 5.8,2.5
Z N ，
从而(0.88.3)(5.85 5.8 2.5)(2)P Z P Z P Z μσμσ<<=-<<+=-<<+
1
()[(22)()]0.8186
2
P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ=-<<++-<<+--<<+=（ii ）由（i ）可知，~(5000,0.8186)B ξ，
故()50000.81864093E np ξ==?=. 点评：
本题考查了频率分布直方图，考查了正态分布和二项分布，考查了计算能力，属于较难题.
19．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，其中
11
12
AC BC AA ==
=，点D 是线段1AA 的中点.
（Ⅰ）若点Q 满足DQ QB λ=u u u r u u u r
，且1CQ BC ⊥，求λ的值；
（Ⅱ）求二面角11B C D B --的余弦值. 答案：（Ⅰ）2；3
（I ）根据直三棱柱111ABC A B C -的性质及所给数据，将1CQ BC ⊥转化为CQ BD ⊥，则在Rt BCD ?中直接求解即可；
（II ）建立空间直角坐标系，利用法向量即可求二面角的余弦值. 解：
（Ⅰ）因为在侧面11ACC A 中，11
2
AC AA =
，1AA AC ⊥，点D 是棱1AA 的中点， 所以1145A DC ∠=?，45ADC ∠=?，则1C D DC ⊥.
因为BC ⊥平面1C CD ，所以1BC C D ⊥. 由BC CD C ?=，得1C D ⊥平面BCD ， 所以1C D CQ ⊥，又因为1CQ BC ⊥，
111C D BC C =I ，所以CQ ⊥平面1BDC ，
所以CQ BD ⊥.
在Rt BCD ?中，90BCD ∠=?，1BC =，2CD =
，3BD =，
则6CQ =
，所以233DQ =，3QB =， 又因为DQ QB λ=u u u r u u u r
，所以2λ=.
（Ⅱ）
如图：以C 为坐标原点，CA ，CB ，1CC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,1,0)B ，(1,0,1)D ，1(0,1,2)B ，1(0,0,2)C ，
1(0,1,2)BC ∴=-u u u u r ，(1,1,1)BD =-u u u r
，11(0,-1,0)BC =u u u u r ，1(1,1,1)B D =--u u u u r ， 设平面1BC D 的一个法向量为()111,,m x y z =u r
， 则10,0,
m BC m BD ??=??=?u u u u v v u u u v v
11111
200y z x y z -+=?∴?-+=?，
，，令11z =，得(1,2,1)m =u r ，
设平面11B C D 的一个法向量为()222,,n x y z =r
，
则1110,0,
n B C n B D ??=???=??u u u u v v u u u u v v
22
2200y x y z -=?∴?--=?，
，令21z =，得(1,0,1)n =r ，
设二面角11B C D B --的平面角为θ，
则cos cos ,||||m n m n m n θ?=??===u r r
u r r u r r ，
故二面角11B C D B --
点评：
本题考查了空间线面垂直关系的证明，考查了利用空间直角坐标系求二面角，考查了转化思想和计算能力，属于较难题.
20．已知椭圆222
21(0)x x C b a b a :+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，
点1,2M ?? ? ???
是椭圆C 上一点，且12MF F △
的面积为2
. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）记椭圆C 的左顶点为A ，过点A 作直线1l ，2l 分别交椭圆C 于点P ，Q (异于点
A )，当12l l ⊥时，求证：直线PQ 过定点.
答案：（Ⅰ）2
212
x y +=；（Ⅱ）详见解析.
（Ⅰ）根据条件结合椭圆的性质，列式即可得解；
（Ⅱ）设直线:PQ x my n =+，代入椭圆方程2
2
22=0x y +-整理可得：
()2
222220m
y mny n +++-=，由韦达定理得出根与系数关系，根据直线的垂直，
利用向量的数量积为零，列出等式，即可求出n 的值. 解：
（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，
由题知222
22
11121
22a b c a b c ?+=??
??=??=+???
，， 解得22a =，221b c ==.
故椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（Ⅱ）由题意得(A ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，
直线:PQ x my n =+，代入22
22=0x y +-整理得(
)
2
22
2220m y mny n +++-=，
()()222(2)4220mn m n ∴?=-+->，
即2220-+>m n ，
12222mn y y m +=-+，21222
2
n y y m -=+，
12l l ⊥Q ，
()()()()
11221122AP AQ x y x y my n y my n y ∴?=?+=++?++u u u r u u u r
(
1212my n my n y y =++++
()()
2212121((m y y m n y y n =++++
()()2
2
22212(2(2
2
m n m n mn n m m +-?=
-
+++
22
3202
n m ++==+，
解得3
n =-
或n =，
∴直线PQ 过定点??
? ???
. 点评：
本题考查了椭圆基本量的运算，考查了利用韦达定理研究直线与椭圆的关系，考查了转化思想，要求较高的计算能力，属于难题. 21．已知函数ln ()2a x
f x bx x
=
++，曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程是5220x y --=.
（Ⅰ）求实数a ，b 的值;
（Ⅱ）若函数()()2g x xf x =-有两个不同的零点1x ，2x ，求证：126x x +>. 答案：（Ⅰ）3a =，1
2
b =-
；（Ⅱ）详见解析. （Ⅰ）根据导数的几何意义，P 点处的导数就是该点切线的斜率，再根据该切点既在曲
线上也在直线上，列式即可得解；
（Ⅱ）求出()g x 的解析式及其单调性，当(0,3)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数；
(3,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，由函数()g x 有两个不同的零点，则1x ，
2x 满足12036x x <<<<，构造函数()()(6)((0,6))G x g x g x x =--∈，再根据()
G x 的单调性即可得出1x ，2x 的关系. 解：
（Ⅰ）由ln ()2a x f x bx x =
++求导，得2
ln ()a a x
f x b x -'=+， 由切线方程5220x y --=知，切点为31,2P ??
???
， 切线斜率为
52
， 所以32252b a b ?+=????+=??
，，
解得3a =，12b =-.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知3ln 1
()22
x f x x x =
-+， 21
()3ln (2)2
g x x x ∴=--，
3(1)(3)
()(2)x x g x x x x
+-'=--=-，
当(0,3)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数；
(3,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数.
所以3x =时，函数()g x 取得极大值. 又易知(1)0g <，(3)0g >，(6)0g <，
所以函数()g x 的两个不同的零点1x ，2x 满足12036x x <<<<， 构造函数()()(6)((0,6))G x g x g x x =--∈， 即2211
()3ln 3ln(6)(2)(4)22
G x x x x x =---
-+-， 2
332(3)()26(6)
x G x x x x x -'=+-=--.
当(0,6)x ∈时，()0G x '…
，所以()G x 为(0,6)上的增函数，
因为103x <<，所以()1(3)0G x G <=， 即()()1160g x g x --<，即()()116g x g x <-， 因为()()120g x g x ==，所以()()216g x g x <-，
又因为103x <<，所以163x ->，而236x <<，且()g x 在区间(3,6)上单调递减， 所以由()()216g x g x <-可得216x x >-， 即126x x +>. 点评：
本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造和转化思想，在高考中一般作为压轴题考查，要求较高的计算能力和数学思维，属于难题.
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为12112x y t ?=-???
?=+??
(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MON ∠的大小.
答案：（Ⅰ）直线l
的极坐标方程为(cos )1ρθθ+=+；曲线C 的直角坐标方
程为22
2x y x +=；（Ⅱ）6
MON π
∠=
.
（Ⅰ）通过消参即得直线l 的普通方程，再通过直角坐标和极坐标的互化，即可得到直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ，根据极角的的意义，则：
12MON θθ∠=-，联立直线l 的极坐标方程和圆的极坐标方程，消去ρ，计算即可得
解. 解：
（Ⅰ）由1112x y t ?=????=+??
，，得直线l
的普通方程为1x += 又因为cos ,
sin ,x y ρθρθ=??=?