习题2-1图 习题2-2图
习题2-3图
习题2-4图
习题2-5图
习题2-6图 材料力学习题集
第1章 引 论
1－1 图示矩形截面直杆，右端固定，左端在杆的对称平面内作用有集中力偶，数值为M 。关于固定端处横截面A －A 上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种答案比较合理。
正确答案是 C 。
1－2 图示带缺口的直杆在两端承受拉力F P 作用。关于A －A 截面上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是合理的。 正确答案是 D 。
1－3 图示直杆ACB 在两端A 、B 处固定。关于其两端的约束力有四种答案。试分析哪一种答案最合理。 正确答案是 D 。
1－4 等截面直杆在两端承受沿杆轴线的拉力F P 。关于杆中点处截面A －A 在杆变形后的位置（图中虚线所示），有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是正确的。 正确答案是 D 。
1－5 图示等截面直杆在两端作用有力偶，数值为M ，力偶作用面与杆的对称面一致。关于杆中点处截面A －A 在杆变形后的位置（对于左端，由A A '→；对于右端，由A A ''→），有四种答案，试判断哪一种答案是正确的。 正确答案是 C 。
1－6 等截面直杆，其支承和受力如图所示。关于其轴线在变形后的位置（图中虚线所示），有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种是合理的。 正确答案是 C 。
习题2-1图
习题2-2图
习题2-3图
习题2-4图
A
B
A
B
C
)
(ql 2l
M Q
F Q
F 4
54
14
1
第2章 杆件的内力分析
2－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及Ox 坐标取向如图所示。试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。
（A ）)(d d Q x q x F =；Q d d F x M
=； （B ）)(d d Q x q x F -=，Q d d F x M
-=； （C ）)(d d Q x q x F -=，Q d d F x M
=； （D ）)(d d Q x q x F =，Q d d F x
M
-=。 正确答案是 B 。
2－2 对于图示承受均布载荷q 的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断下列四种答案中
哪几种是正确的。
正确答案是 B 、C 、D 。
2－3 已知梁的剪力图以及a 、e 截面上的弯矩M a 和M e ，如图所示。为确定b 、d 二截面上的弯矩M b 、M d ，现有下列四种答案，试分析哪一种是正确的。
（A ）)(Q F b a a b A M M -+=，)(Q F d e e d A M M -+=； （B ）)(Q F b a a b A M M --=，)(Q F d e e d A M M --=； （C ）)(Q F b a a b A M M -+=，)(Q F d e e d A M M --=； （D ）)(Q F b a a b A M M --=，)(Q F d e e d A M M -+=。
上述各式中)(Q F b a A -为截面a 、b 之间剪力图的面积，以此类推。
正确答案是 B 。
2－4 应用平衡微分方程，试画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定 max Q ||F 。
解：（a ）0=∑A M ，l M
F B 2R =（↑） 0=∑y F ，l
M F A 2R =（↓） l
M
F 2||max Q =
M M 2||max =
（b ）0=∑A M ，022
R 2=?+?+?--l F l ql l
ql ql B ， ql F B
4
1
R =（↑）
A
D E
C
M
A
B
C
M
B 2M 2
M M
2
34
1M
22
ql
(a-2) (b-2)
(c) (d)
A
D
B
C
1
1.51
)
(2
ql M )
(2ql M A
D
B
32
252
1
(c-2) (d-2)
(e) (f)
A
B
C
0.5
B
E
0.5
0.5
D
ql
Q
F Q
F ql
(e-1) (f-1)
C
B
1
0.5
)
(2ql M A
(e-2)
A
B
C
D
l
A
D
B
1
0.75
Q
F Q
F 1.25
(c-1) (d-1)
)
(gl )
(gl A
C
B
D
0.125
E
0.125
)
(2
ql M
(f-2)
0=∑y F ，ql F A 4
1
R =（↓）， 2R 4
1
41ql l ql l F M B C =?=
?=（＋） 2ql M A =
ql F 4
5
||max Q =
2max ||ql M =
（c ）0=∑y F ，ql F A =R （↑） 0=∑A M ，2ql M A =
0=∑D M ，02
2=-?-?+D M l
ql l ql ql
22
3
ql M D =
ql F =max Q || 2max 2
3||ql M =
（d ）0=∑B M
02
1
32R =?-?
?-?l ql l q l F A ql F A 4
5
R =（↑）
0=∑y F ，ql F B 43
R =（↑）
0=∑B M ，22
l q
M B =
0=∑D M ，2
32
25ql M D = ql F 45
||max Q =
2
max 32
25||ql M = （e ）0=∑y F ，F RC = 0
0=∑C M ，02
23=+?+?-C M l
ql l ql
2ql M C = 0=∑B M ，221ql M B = 0=∑y F ，ql F B =Q
ql F =max Q || 2max ||ql M = （f ）0=∑A M ，ql F B 2
1
R =（↑） 0=∑y F ，ql F A 2
1
R =（↓） 0=∑y F ，02
1
Q =-+-B F ql ql ql F B 2
1Q =
0=∑D M ，
04
2221=+?-?D M l
l q l ql
2
M
2
M
2
12
1A
B 1
1
(d-1)
2
12
1A
B
1
)
(2ql M
(c-1)
212
1C
B
A
1)
(2ql M
(b-1)
M
C
p
(a) (b)
(c) (d)
C
B
A
D
2
)
(P l F M 1
(a-1)
习题2-6和2-7图
281
ql M D -=
28
1
ql M E =
∴ ql F 21
||max Q =
2max 8
1
||ql M =
2－5 试作图示刚架的弯矩图，并确定max ||M 。
解： 图（a ）：0=∑A M ，02P P R =?-?-?l F l F l F B P R F F B =（↑）
0=∑y F ，P F F Ay =（↓） 0=∑x F ，P F F Ax =（←） 弯距图如图（a-1），其中l F M P max 2||=，位于刚节点C 截面。 图（b ）：0=∑y F ，ql F Ay =（↑） 0=∑A M ，ql F B 2
1
R =（→） 0=∑x F ，ql F Ax 2
1
=
（←） 弯距图如图（b-1），其中2max ||ql M =。 图（c ）：0=∑x F ，ql F Ax =（←） 0=∑A M 02
R 2=?-?-l F l
ql ql B ql F B 2
1
R =
（↓） 0=∑y F ，ql F Ay 2
1
=（↑）
弯距图如图（c-1），其中2
max ||ql M =。 图（d ）：0=∑x F ，ql F Ax = 0=∑A M
02R 2=?+-?
-l F ql l
ql B ql F B 2
3
R =
0=∑y F ，22
3
ql F Ay =（↑）
弯距图如图（d-1），其中2
max ||ql M =。
2－6 梁的上表面承受均匀分布的切向力作用，其集度为p 。梁的尺寸如图所示。若已知p 、h 、l ，试导出轴力F Nx 、弯矩M 与均匀分布切向力p 之间的平衡微分方程。 解：
1．以自由端为x 坐标原点，受力图（a ） 0=∑x F ，0N =+x F x p x p F x -=N ∴
p x
F x
-=d d N 0=∑C M ，02
=?-h
x p M hx p M 2
1
= )
(2ql M
A
C B 15kN/m =q
(d)
x
N F x
x F N N d +F C
M
M d +x
d p
(b)
N
F x
l
l
x
hl p 2
1M
O
l
p
A
M m 343
40B C 5
.7m kN ?
(c)
习题2-8图 kN/m
2.0=q
h p x M 2
1
d d = 方法2．0=∑x F ，0d d N N N =-++x x x F x p F F
∴
p x
F x
-=d d N 0=∑C M ，02
d d =?
--+h
x p M M M ∴
2
d d h p x M =
2－7 试作2－6题中梁的轴力图和弯矩图，并确定max N ||x F 和
max ||M 。
解：l p F x =max N ||（固定端）
hl p
M 2
||max =（固定端）
2－8 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知A 端弯矩0)(=A M ，试确定梁上的载荷及梁的弯矩图，并指出梁在何处有约束，且为何种约束。 解：由F Q 图线性分布且斜率相同知，梁上有向下均布q 载荷，由A 、B 处F Q 向上突变知，A 、B 处有向上集中力；又因A 、B 处弯矩无突变，说明A 、B 处为简支约束，由A 、B 处F Q 值知 F RA = 20 kN （↑），F RB = 40 kN 由 0=∑y F ，04R R =?-+q F F B A
q = 15 kN/m 由F Q 图D 、B 处值知，M 在D 、B 处取极值
340
)34(211534202=?-?=D M kN ·m 5.712
12
-=?-=q M B kN ·m
梁上载荷及梁的弯矩图分别如图（d ）、（c ）所示。
2－9 已知静定梁的剪力图和弯矩图，如图所示，试确定梁上的载荷及梁的支承。
解：由F Q 图知，全梁有向下均布q 载荷，由F Q 图中A 、B 、C 处突变，知A 、B 、C 处有向上集中力，且 F RA = 0.3 kN （↑） F RC = 1 kN （↑） F RB = 0.3 kN （↑）
2.04
)
5.0(3.0=--=
q kN/m （↓） 由M A = M B = 0，可知A 、B 简支，由此得梁上载荷及梁的支承如图（a ）或（b ）所示。
C z
F C
A
B
D
Dz
F B
T Q
F A
T r
F z F S2
3F x
y z
(a)
0.5A B C D E
5.03.5)
(2ql M
(a) A B
C
0.2kN/m 0.3kN (b)
习题2-10图
E C A D q ql
2B
(b)
Q
F
习题2-11图
2－10 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知截面E 上的弯矩为零，试：
1．在Ox 坐标中写出弯矩的表达式； 2．画出梁的弯矩图； 3．确定梁上的载荷； 4．分析梁的支承状况。
解：由F Q 图知，全梁有向下均布q ；B 、D 处有相等的向上集中力4ql ；C 处有向下的集中力2ql ；结合M ，知A 、E 为自由端，由F Q 线性分布知，M 为二次抛物线，B 、C 、D 处F Q 变号，M 在B 、C 、D 处取极值。
221
ql M M D B -==，F QB = 4ql
222
7
24)3(21ql l ql l q M C =?+-= 1．弯矩表达式：
2021
)(>-<-=x q x M ，)0(l x ≤≤ >-<+>-<-=l x ql x q x M 402
1
)(2，)2(l x l ≤<
>-<->-<+>-<-=l x ql l x ql x q x M 32402
1)(2
)53(l x l ≤<
>
-<+>-<->-<+>-<-=l x ql l x ql l x ql x q x M 54324021
)(2 )65(l x l ≤<
即 >-<+>-<->-<+>-<-=l x ql l x ql l x ql x q x M 5432402
1
)(2 )60(l x ≤≤
2．弯矩图如图（a ）； 3．载荷图如图（b ）；
4．梁的支承为B 、D 处简支（图b ）。
2－11 图示传动轴传递功率P = 7.5kW ，轴的转速n = 200r/min 。齿轮A 上的啮合力F R 与水平切线夹角20°，皮带轮B 上作用皮带拉力F S1和F S2，二者均沿着水平方向，且F S1 = 2F S2。试：（分轮B 重F Q = 0和F Q = 1800N 两种情况） 1．画出轴的受力简图；
2．画出轴的全部内力图。
解：1．轴之扭矩：
3582005
.79549=?=x M N ·m 358===x B A M T T N ·m
F τ Cy
F Dy
F
习题2-12图
A
C
D
B
x
173
360
N
1800Q =F m)
(N ?z M
(h)
y Q F A
C
D
B
x
869
546
1800
(N)
N
1800Q =F
(d)
A
C
B
x
y
2387
1432
4296
z
Q F (N)
D
(b)
A
C
D
B
y
Q F (N)434
864
x
Q =F
(c)
A
C
D x
173
Q =F m)
(N ?z M
(g) m)(N ?y
M A
C D
B
x
477
859
(f)
x
M m)
(N ?x
358
1335
(e)
23872
3.0τ==
A
T F N 86920tan τr =?=F F N 14322
5.02s ==
B
T F N 轴的受力简图如图（a ）。 2．① F Q = 0时， 0=∑Cz M 06.04.02.0Q r =-+-F F F Dy 434=Dy F N 0=∑y F 1303-=Cy F N ② F Q = 1800 N 时， 0=∑Cz M 1254=Dy F N 0=∑y F 323-=Cy F N 0=∑Cy M
033.04.02.0S2τ=?+--F F F Dz 5250=Dz F N
0=∑z F ，1432=Cz F N 4772.0τ==F M Cy N ·m 8592.032s =?=F M Dy N ·m 1732.0r =?=F M Cz N ·m F Q = 0时，0=Dz M
F Q = 1800 N 时，360-=Dz M N ·m
2－12 传动轴结构如图所示，其一的A 为斜齿轮，三方向的啮合力分别为F a = 650N ，F τ = 650N ，F r = 1730N ，方向如图所示。若已知D = 50mm ，l = 100mm 。试画出：
1．轴的受力简图； 2．轴的全部内力图。
1335
C
D
C
D
习题3-1图
kN 15kN
15kN 5kN 5θθDE
F C D
4m 3m CE
F (a) C B D
A E 302040
(kN)N x F
A
C B
m 325N ?y
M
(f) A C
B x
M m)
(N ?16.25 (e)
x
N F A
C
B
650
(N)
(b)
A
B
x
x
A F Ay
F Az
F Bz
F By
F z
M 650N
650N
C
x
M y
1730N
x
M
(a)
y
Q F A
946
B
C
(N)
784
(c)
A
B
325
C
(N)
Q z F 325
(d)
z
M m)
(N ?A C B 94.6
78.4 (g)
解：1．力系向轴线简化，得受力图（a ）。
25.16102
50
6503=??=-x M N ·m
25.16025.0650=?=z M N ·m 0=∑x F ，650=Ax F N 0=∑Az M ，784=By F N 0=∑y F ，946=Ay F N 0=∑Cy M ，Bz Az F F =
0=∑z F ，3252
650
==
=Bz Az F F N 2．全部内力图见图（a ）、（b ）、（c ）、（d ）、（e ）、（f ）、（g ）所示。
第3章 弹性杆件横截面上的正应力分析
3－1 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm ×50mm 的矩形。试求杆CE 和杆DE 横截面
上的正应力。
解：图（a ）中，54
cos =θ （1）
截面法受力图（a ） 0=∑D M ，03)515(4=?+-?CE F （2） F CE = 15 kN 0=∑x F ，40cos =θDE F （3） （1）代入（3），得F DE = 50 kN ∴ 1505.002.010153
=??==A F CE CE σMPa 50==A F DE DE σMPa 3－2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度p = 10kN/m ，在自由端D
处作用有集中呼F P = 20 kN 。已知杆的横截面面积A = 2.0×10-4m 2
，l = 4m 。试求：
1．A 、B 、E 截面上的正应力；
2．杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。
解：由已知，用截面法求得 F NA = 40 kN
F NB = 20 kN F NE = 30 kN （1）20010
0.2104043N =??==-A F A A σMPa z
习题3-3图
习题3-4图
100N ==
A F B
B σMPa 150N ==A
F
E E σMPa
（2）200max ==A σσMPa （A 截面）
3－3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷F P 通过两端的刚性板加在杆上。试： 1．写出杆横截面上的正应力与F P 、d 、D 、E c 、E a 的关系式；
2．若已知d = 25mm ，D = 60mm ；铜和铝的单性模量分别为E c = 105GPa 和E a = 70GPa ，F P = 171 kN 。试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。 解：1．变形谐调：
a a Na c c Nc A E F
A E F = （1）
P Na Nc F F F =+ （2）
P a a c c c
c Nc F A E A E A E F +=
P a
a c c a
a Na F A E A E A E F +=
∴ ?
???
?????
-+=
=-?+?=+==4)(π4π)
(4
π4π22a 2c P a a Na a 22a 2
c P a a c c P c c Nc c
d D E d E F E A F d D E d E F E A E A E F E A F c σσ
2． 5.83)025.006.0(π1070025.0π10105101711010542
29293
9c =-???+???????=
σMPa
6.5510570
5.83c a c a =?
==E E σσMPa 3－4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷F P 通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试：
1．导出复合材料柱横截面上正应力与F P 、b 0、b 1、h 和E a 、E s 之间的关系式；
2．已知F P = 385kN ；E a = 70GPa ，E s = 200GPa ；b 0 = 30mm ，b 1 = 20mm ，h = 50mm 。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。 解：变形谐调：
a a Na s s Ns A E F
A E F = （1）
P Na Ns F F F =+
（2）
???
????+=+=P a a s s a
a Na P a
a s s s s Ns F A E A E A E F F A E A E A E F
1． a
1s 0P
s 1a 0s P s s Ns s 22hE b hE b F E h b E h b E F E A F +=?+=-=σ a
1s 0P
a a Na a 2hE
b hE b F E A F +-=-=σ 2． 175107005.002.021020005.003.0103850200993
9s -=????+??????-=
σMPa （压）
25.61200
70
175175s a a -=-=-=
E E σMPa （压） 3－5 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下h 与b 的比值：
1．横截面上的最大正应力尽可能小； 2．曲率半径尽可能大。
习题3-5图
习题3-6图
解：1．)
(66
222b d b M bh M W M z
z z z -=
==σ 03)(d d
d d 2232=-=-=b d b bd b b W z d 3
3
=
b 22223
2d b d h =
-= ∴ 2=b
h
（正应力尽可能小）
2．
z
z z EI M =ρ1
12123
223h h d bh I z -=
= 0d d =h I z ，得224
3
d h =
22224
1
d h d b =-=
∴ 3=b
h
（曲率半径尽可能大）
3－6 梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如图所示。梁在两端力偶M z 作用下发生弯曲。设正方形截面时，梁内最大正应力为0σ；去掉上、下角后，最大正应力变为0max σσk =，试求： 1．k 值与h 值之间的关系；
2．max σ为尽可能小的h 值，以及这种情形下的k 值。
解：3400h I zh =，3
30
0h W z =
30
max 0030h M
W M z z z ===σσ
y y h y h I I I h h
z zh zh d )(223
202400
00--=-=?
)3
4(34)()(3430343044033004
h h h h h h h h h h h h -=-=-+--
= )
3
4(02max max
h h h M W M z
h z h -=
==σσ )34()
34(3)34(3023
002300230
0max h h h h h h h h h h h h k -=-=-==σσ （1） 03234d ))
34
((d d d 2002=-?=-=h h h h h h h h W h 0)338(0=-h h h ，h = 0（舍去），09
8
h h =
代入（1）：4
92.0)
812(643
81)3
84()98(1
)9834()98(2002
030
=-??=
-=
?-=
h h h h k
3－7 工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受M z = 20 kN ·m 一个内力分量，I z = 11.3×106mm 4
，其他尺寸如图所示。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x 方向的合力。
解：?
??-+-==21 2
N d d d A z
z A z z A x x A y I M
A y I M A F σ
??
?
??
??+
?-
=?
?
y y y y I M z z d 088.0d 006.0080
.007
.007
.00
习题3-8图
'
O y 2θ-?
?
d 2θ
O
2
θ
x
x
σx
σy
σ
(a)
习题3-9图
9222
10)7080(218870216-???
????-?+??-=z z I M ()
)7080(447031010
3.11102022296
3-?+????-
=--
143101433-=?-=kN 2||*N z c x M
y F =?
mm 70m 0699.0143
220
*==?=
c y 即上半部分布力系合力大小为143 kN （压力），作用位置离中心轴y = 70mm 处，即位于腹板与翼缘交界处。
3－8 图示矩形截面（b ·h ）直梁，在弯矩M z 作用的Oxy 平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围，假定在梁的纵截面上有y 方向正应力y σ存在，且沿梁长均匀分布。试： 1．导出)(y y y σσ=的表达式； 2．证明：max max 4x y h
σρ
σ-
≈，ρ为中性面的曲率半径。 解：1．先求)(y y σ表达式： 0=∑y F
?
?
--
=??+????=
∑y
h x y y y y F 2
2
2
0d 12
sin
2
cos d 1θ
σ??ρσθ
θ
即 0d 2
sin 2
2
sin
22
=-+?
-y y I M y
h z z y y θ
θ
ρσ，
（y I M z z x -=σ） 即 0)4
(212sin 22sin 22
2=-?-h y I M z z y y θθ
ρσ
∴ )4(222
y h I M z y z y --=ρσ
（a ）
2．由（a ）式，令
0d d =y
y σ，得y = 0，则
max 2max ,442
48x z z y z z y z y z y h
W M h h I M h I M h σρ
ρρρσ-≈?-=?-=-=
（b ） 3－9 图示钢管和铝管牢固地粘成复合材料管，在两端力偶M z 作用下发生平面弯曲，试： 1．导出管横截面上正应力与M z 、D 1、D 2、D 3和钢的E s 、铝的E a 之间的关系式；
2．已知D 1 = 20mm ，D 2 = 36mm ，D 3 = 44mm ；M z = 800N ·m ；E s = 210GPa ，E a = 70GPa 。求钢管和铝和铝管横截面上的最大正应力max σ。
解：静力平衡： z M M M =+s a （1）
变形谐调：s a ρρ=得
s
s s
a a a I E M I E M =
（2） 64)(π4243a D D I -=，64)
(π4142s D D I -=
（3） 由（2）s s
s a a a M I E I
E M =
（4）
代入（1），得 z M M I E I E =+s s
s a
a )1( a
a s s s s s I E I E M I E M z
+=
（5） ∴ z M I E I E I E M a
a s s a
a a +=
（6）
-2θ
2θ
习题3-10图
习题3-11图
C
h t
εt
σC σC
ε
(a)
h t
1． )]()([ π644243a 4142s s a a s s s s s s D D E D D E y
M E y I E I E M E y I M z z -+--=+-=-=σ，（2221D y D ≤≤） )]
()([ π644243a 4142s a a a s s a a a a D D E D D E y
M E y I E I E M E y I M z z -+--=+-=-=
σ，（2232D y D ≤≤） 2． 13310)]3644(70)2036(210[π10188002106412
44443
max s =?-?+-?????=--σMPa
1.5410)]3644(70)2036(210[π1022800706412
44443
max a =?-?+-?????=
--σMPa
3－10 由塑料制成的直梁，在横截面上只有M z 作用，如图所示。已知塑料受拉和受压时的弹性模量分别为E t 和E c ，且已知E c = 2E t ；M z = 600N ·m 。试求： 1．梁内最大拉、压正应力； 2．中性轴的位置。
解：根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化 ∵ E c = 2E t ，εσE =
∴ σ沿截面高度直线的斜率不同 ∴中性轴不过截面形心。 1．确定中性轴位置。设拉压区高度分别为h t 、h c
由0=∑x F ，得：02121t max t c max c =??+??-b h b h σσ 即 c c
c t max t max c h h h h h -==σσ （1） 又∵
t
c max t max c max t t max c c max t max c 22h h
E E ===εεεεσσ （2）
由（1）、（2），得
c
c t c c c 22h h h h h h h h -=
=- 即 2
c 2c 2)(h h h =- ??
?
??=-=∴=-=∴mm 6.58)22(mm 4.41)12(t c h h h h （中性轴的位置）
2．?
?
?
?
?
?
?+
=
+
=
+
=
c
t
c
t
c
t
d 2d d d d d c t t t c c t t c t A A A A A A z A E y A yE A yE A yE A y A y M εεεεσσ
)2(d 2
d d 2d c t t t c t t c
t
c t
I I E
A y
y A y
y E A y A y E A A A A +=?????
??
+?
=???
?
?
?
+
=?
?
?
?
ρρρ
εε 其中)246(332323
3c 3t c t -=?+=
+bh bh bh I I ∴ )
2(1
c t t I I E M z +=ρ
∴ c c
t c c t t c c c
max c 222h I I M h I I M E E h E z
z +=+=
=ρ
σ
69.810)246(3
10050104.41600212
3
3=?-????=
--MPa （压）
∴ 15.6)246(103
1005010100)22(6002123
3
t c t t t
max t =-????-?=+=
=
--h I I M h E z ρσMPa （拉）
3－11 试求图a 、b 中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。 解：（a ）为拉弯组合
2P 2
P P a 346
)2
3(423a F a a a F a a F ?=?
+?=
σ （b ）为单向拉伸
2
P b a F
=σ
习题3-12图
习题3-13图
习题3-14图 ∴
3
4
b a =σσ 3－12 桥墩受力如图所示，试确定下列载荷作用下图示截面ABC 上A 、B 两点的正应力： 1．在点1、2、3处均有40 kN 的压缩载荷； 2．仅在1、2两点处各承受40 kN 的压缩载荷； 3．仅在点1或点3处承受40 kN 的压缩载荷。
解：67.2107520010406
3
N =???=-A F x Mpa
40106
10075125
.010409
2
3=????=-W M z MPa
1． 875
2001040333
N -=???=-==A F x B A σσMPa 2． 3.156
200
752125
10807520010402223
3
N -=???-???-=--=W M A F z x A σMPa 3．在点1加载：
67.126
2007512510407520010402
33N -=???-??-=--=W M A F z x A
σMPa
33.76
20075125
10407520010402
33N =???+??-=+-=W M A F z x B σMPa
由对称性，得
在3点加载：33.7=A σMPa ，67.12-=B σMPa
3－13 图示侧面开有空洞的正方形截面管，管壁厚δ= 5mm ，管在两端承受轴向载荷F P 。已知开孔处截面的形心为C ，形心主惯性矩610177.0-?=z I m 4
，F p = 25kN 。试求：
1．开孔处横截面上点F 处的正应力； 2．最大正应力。 解：25P N ==F F x kN
75.16010)57.1825(3p =?-?=-F M z N ·m 661070010)5402550(--?=??+??=A m 2
1． 85.181057.183N -=??==z
z x F I M
A F σMPa
2． A F x
N =
max σ 310)57.1850(-?-?=z
z I M
26.64=MPa （在y 正向最大位置）
3－14 图示矩形截面杆在自由端承受位于纵向对称面内的纵向载荷F P ，已知F P = 60kN 。试求： 1．横截面上点A 的正应力取最小值时的截面高度h ； 2．在上述h 值下点A 的正应力值。
解：6
40)
2(402
P P N h d h
F h F W M A F z z x A -+=+=σ )32(202
P h d
h F -= （1）
1．令0=??h A σ，0264
2=-h h hd
∴ h = 3d = 75mm （2） 2．由（1）、（2）式得：
习题3-15图
A B z O y
(a) 795
.0526
.14y (b)
A
z
M y A
B 14.43MPa
+16.55MPa
O C C z z
(d) O y A B C O 12.6mm 14.1mm z 13.73MP a
+15.32MPa -C
z (c) O B
40)7525
3752(2010602
3=?-??=
A σMPa 3－15 图中所示为承受纵向载荷的人骨受力简图，假定实心骨骼为圆截面。试：
1．确定截面B －B 上的应力分布；
2．假定骨骼中心部分（其直径为骨骼外径的一半）由海绵状骨质所组成，且忽略海绵状承受应力的能力，确定截面B －B 上的应力分布；
3．确定1、2两种情况下，骨骼在截面B －B 上最大压应力之比。
解：1．795.04
7.26π104452
61N 1
N -=??=-=A F x σMPa
526.141032
7.26π10614459
3
31max
M =????==--z z W M σMPa ∴ 73.13795.0526.14max =-=+
σMPa 32.15795.0526.14max -=--=-σMPa
沿y 方向应力分布如图（c ）所示，中性轴为z c 。
2． 4
)27.26(7.26(π104452262
2-?-==
A F x N N σ)
411(7.26π10445426
-???-=
06.134795.0-=?-=MPa 494.1515
16
526.14)
)2
1(1(412max 2=?=-==z z z z M W M W M σMPa
43.1406.1494.15max =-=+
σMpan
55.1606.1494.15max
-=--=-
σMPa z C 为中性轴，沿y 轴应力分布如图（d ）
3． 08.132
.1555
.1612==
--
σσ，或926.055.1632.1521==--σσ 3－16 正方形截面杆一端固定，另一端自由，中间部分开有切槽。杆自由端受有平行于杆轴线的纵向
力F P 。若已知F P =1kN ，杆各部分尺寸示于图中。试求杆内横截面上的最大正应力，并指出其作用位置。 解：66105010105--?=??=A m 2
6921012
1
106105---?=??=
y W m 3
习题3-17图
习题3-18图
A
D
C
B
h
P
F z
K
)
.(P P z y )
.(z y F
6921024
1
106510--?=??=
z W m 3 F Nx = 1 kN
510510003=??=-y M N ·m 5.2105.210003=??=-z M N ·m z
z
y y x W M W M A F +
+=
N max σ 140102415.2121550
10006=??
????? ?
?++=
MPa 最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点A ，如图（a ）所示。
3－17 钢制立柱上承受纵向载荷F P 如图所示。现在A 、B 、D 三处测得x 方向的正应变610300)(-?-=A x ε，
610900)(-?-=B x ε，610100)(-?-=D x ε。若已知钢的弹性模量E = 200GPa 。试求：
1．力F P 的大小；
2．加力点在Oyz 坐标中的坐标值。 解：361061060100--?=??=A m 2
692
1010010610060--?=??=
z W m 3 692
1060106
60100---?=??=
y W m 3 P N F F x -=
y F M z ?=P y F M y P -= 6P P P N 10)60
1006000(?-+--=+-=
z
F y F F W M W M A F y y z z x A σ （1） 6P P P 10)601006000(
?-++-=z
F y F F B σ （2） 6P P P 10)60
1006000(?++-=z
F y F F D σ （3）
εσE = （4）
由（1）、（4），)10300(1020010)6010060001
(
69P 6P P -?-??=??---F z y 即 60)60
10060001
(P P P -=---F z y （5） 由（2）、（4），180)60
10060001
(P P -=-+-F z y （6） 由（3）、（4），20)60
10060001
(P P P -=++-F z y （7） 解（5）、（6）、（7）：20m 02.0P ==z mm
25m 025.0P -=-=y mm F P = 240 kN
3－18 矩形截面柱受力如图所示，试证明： 1．当铅垂力F P 作用在下面方程所描述的直线上的任意点时，点A 的正应力等于零：
16
6P P =+h y
b z
2．为了使横截面的所有点上都不产生拉应力，其作用点必须位于由类似上述方程所描述的直线围成的区域内（图中虚直线围成的区域）。
解：1．写出K 点压弯组合变形下的正应力（图a ）。
n
n
y
z
C
ot
y ot
z P
F
(b)
C z
21
12
z 2P F P1
F
(c)
z
y
A 123
2B F
1P F 2
P F 3P F 3
(d)
12
)(12
)(3
P P 3P P P bh y
y F hb z z F A F ?-
??--
=σ ?
??
??? ?
?++-=y h
y z b z hb F 121212P 2P P
（1） 将)2
,2(b
h A --代入（1）式，并使正应力为零，得
F P 所作用的直线方程
0661P P =--h y
b z
整理得：16
6P P =+h y
b z
2．若FP 作用点确定，令（1）式等于零，得截面的中性轴方程（图b ）：
0121212P 2
P =++y h y z b z （2）
中性轴n －n 的截距：???
?
???
-=-=P t 0P t
066z h
z y h y （3）
说明中性轴n －n ，与力F P 作用点位于形心C 的异侧，
说明n －n 划分为F P 作用下的区域为压应力区，另一区
域是拉应力区（见图b ）。 如果将（2）改写为112
12P 2P 2-=+y h y z b z
（4） 并且把中心轴上一点（y, z ）固定，即中性轴可绕
该点顺时针转动（从1―1转到2―2）
由（4）式，F P 作用必沿直线移动。由（3）式，2
－2直线的截距值大于1－1直线的。所以，当中性轴1－1顺时针转向中性轴2－2时，F P 作用点F P1、F P2沿直线，并绕形心也顺时针转向。
如果中性轴绕A 点从1―1顺时针转动至3―3（中性轴始终在截
面外周旋转），则截面内就不产生拉应力，将A 坐标代入（4）式：16
6P
P =+h
y b z ，即F P 沿该直线移动。从F P1→F P2→F P3，反之铅垂力F P 从F P1→F P2→F P3直线移动，截面不产生拉应力，同理过B 、F 、D 分别找另三条F P 移动的直线。这四条直线所围区域为截面核心。铅垂压力在截面核心内作用，则横截面上不会有拉应力。
3－19 矩形截面悬臂梁受力如图所示，其中力F P 的作用线通过截面形心。试： 1．已知F P 、b 、h 、l 和β，求图中虚线所示截面上点a 的正应力；
2．求使点a 处正应力为零时的角度β值。
解：βsin P l F M y =，6
2
hb W y =
βcos P l F M z =，6
2
bh W z =
)sin cos (62
2P ββσh b h b lF
W M W M y y z z a -=-
=
习题3-20图
习题3-21图
习题3-22图
d
C
z
z
M y
M 令0=a σ，则h b =
βtan ，h
b 1tan -=β 3－20 矩形截面柱受力如图所示。试：
1．已知β= 5°，求图示横截面上a 、b 、c 三点的正应力。 2．求使横截面上点b 正应力为零时的角度β值。 解：βcos P N F F x =
04.0sin )(P ?=βF a M y
)(2)(a M b M y y =，)(3)(a M c M y y =
1．6
04.01.0sin 04.004.01.0cos 2
P P N ?-
?=-=
β
βσF F W M A F y y x a )5sin 65(cos 004
.01060)sin 6(cos 04
.01.03?-??=-?=ββP
F
10.7=MPa
745.0)5sin 125(cos 004
.01060)(23
N -=?-??=-=y y x b W a M A F σMPa
59.8)(3N -=-=y
y x c W a M A F σMPa 2． 0)sin 12(cos N =-=
ββσA F x
b 12
1
tan =β，β= 4.76°
3－21 交通信号灯柱上受力如图所示。灯柱为管形截面，其外径D = 200mm ，内径d = 180mm 。若已知截面A 以上灯柱的重为4kN 。试求横截面上点H 和K 处的正应力。
解：8
.725
.3tan =θ，θ=22.62°
6700)cos 1950900400(N -=++-=θy F N
35101.2900)6.08.7(sin 1950=?--?=θz M N ·m
12.1)18.02.0(4
π6700
22N -=--==
A F x H σMPa 87.11)9.01(2.032
π3510
12.14
3N =-?+-=+=z z y K W M A F σMPa
3－22 No. 25a 普通热轧工字钢制成的立柱受力如图所示。试求图示横截面上a 、b 、c 、d 四点处的正应力。
解：4105.48-?=A m 2
61088.401-?=z W m 3
610283.48-?=y W m 3
100N -=x F kN
33310255.01025125.010100?=??+??=z M N ·m 33106.96.010)28(?=???=y M N ·m 6.62=z
z
W M MPa
199=y
y W M MPa ∴ 6.20N -==A
F x
c σMPa
A B
Z
q q
A
C
B
y
M m
342N ?y
q
(b)
A
B
y
q y
q A
B
C
(N.m)
z M 939.7N.m
2
=y q y
q
(a)
习题3-23图
习题3-24图
C
D
Z
R
α
C
y B
A
y
C
(c) 6.41N =+=z
z
x a W M A F σMPa 240N =++=y y
z z x b W M W M A F σMPa 116N =+-=
y
y
z z x d W M W M A F σMpa
3－23 承受集度为q = 2.0kN/m 均布载荷的木制简支梁，其截面为直径d = 160mm 的半圆形。梁斜置如图所示。试求梁内的最大拉应力与最大压应力。
解：?=20cos q q y ，?=20sin q q z ，π
32d
y c =
m N 94020cos 21
212
1
11max ?=?==?
?-?=q q q q M y y y z
34220sin 21
max =?=q M y N ·m
612
44101.1664
10160π2164π21--?=??=?
=d I y m 4 62
24104956.4)π
32(8π64π21-?=?-=
d d d I z m 4 2
max
d I M y I M
y y c z z ?+?=+
σ 66
610)08.010
1.16342
π316.02104956.4940(
---???+???= 80.8=MPa （左下角A 点）
最大压应力点应在CD 弧间，设为-σ
???
?
?????+--=-y y z c z I R M I y R M αασcos )sin (max max （1）
0d d =-ασ，得：834.9342
104956.4101.16940tan 66max max =????==--y z y z M I I M α ?=19.84α代回（1）式，
71.91010
1.161019.84cos 80342104956.410)π3160219.84sin 80(94066363max
-=??????
?
??????+???-?-=------σMPa 3－24 简支梁的横截面尺寸及梁的受力均如图所示。试求N －Ｎ截面上a 、b 、c 三点的正应力及最大拉应力。
解：30=-N N M kN ·m
mm 38.652
8.1226.19218221620
180********
2018021020160=??+????+?=??+????+??=
c y
4
6423
23
10725.3333725128))38.6590(1802012
18020(2)
38.552016012
20160(m mm -?==-??+?+??+?=z I 3.4905538.010
725.3310306
3=???=
-c σMPa （压应力）
y C
习题3-28图
8.3010)8038.65180(10
725.333000036
=?--??=--b σMPa （拉应力）
4.6610)4038.65180(10
725.33103036
3=?--???=
--a σMPa （拉应力）
10210)38.65180(10
725.33103036
3
max =?-???=
=--d σσMPa （拉应力）
3－25 根据杆件横截面正应力分析过程，中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析下列答案中哪一个是正确的。
（A ）M y = 0或M z = 0，0N ≠x F ； （B ）M y = M z = 0，0N ≠x F ； （C ）M y = 0，M z = 0，0N ≠x F ； （D ）0≠y M 或0≠z M ，0N =x F 。
正确答案是 D 。
解：正如教科书P168第2行所说，只要0N ≠x F ，则其中性轴一定不通过截面形心，所以本题答案选（D ）。
3－26 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。 （A ）中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心； （B ）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心； （C ）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心；
（D ）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。 正确答案是 D 。
解：本题解答理由可参见原书P167倒数第1行，直至P168页第2行止，所以选（D ）。 3－27 关于斜弯曲的主要特征有四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A ）0≠y M ，0≠z M ，0N ≠x F ，中性轴与截面形心主轴不一致，且不通过截面形心； （B ）0≠y M ，0≠z M ，0N =x F ，中性轴与截面形心主轴不一致，但通过截面形心； （C ）0≠y M ，0≠z M ，0N =x F ，中性轴与截面形心主轴平行，但不通过截面形心； （D ）0≠y M 或0≠z M ，0N ≠x F ，中性轴与截面形心主轴平行，但不通过截面形心。
正确答案是 B 。
解：本题解答理由参见原书P167第2-3行。
3－28 承受相同弯矩M z 的三根直梁，其截面组成方式如图a 、b 、c 所示。图a 中的截面为一整体；图b 中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图c 中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为)a (max σ、)b (max σ、)c (max σ。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A ）)a (max σ＜)b (max σ＜)c (max σ； （B ）)a (max σ＝)b (max σ＜)c (max σ； （C ）)a (max σ＜)b (max σ＝)c (max σ； （D ）)a (max σ＝)b (max σ＝)c (max σ。 正确答案是 B 。
解：33max 66)(d M
d M a z z ==σ
33max 621222)(d M
d d d M b z z
=??=σ
33max 12412
)2(2)(d M d d d M c z z
=?=
σ ∴选（B ）。
第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析
4－1 扭转切应力公式p /)(I M x ρρτ=的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。
（A ）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B ）等截面圆轴；
（C ）等截面圆轴与椭圆轴；
（D ）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 正确答案是 A 。
解：p )(I M x ρρτ=在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。
4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为max 1τ和max 2τ，切变模量分别为G 1和G 2。试判断下列结论的正确性。 （A ）max 1τ＞max 2τ； （B ）max 1τ＜max 2τ；
（C ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＞max 2τ； （D ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＜max 2τ。
正确答案是 C 。 解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即γγγ==21由剪切胡克定律γτG =知21G G >时，max 2max 1ττ>。
4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为d 2、)/(222D d D =α的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W 1/W 2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A ）234)1(α-； （B ）)1()1(2234αα--； （C ）)1)(1(24αα--； （D ）)1/()1(2324αα--。 正确答案是 D 。 解：由max 2max 1ττ=得
)
1(π16π1643
231α-=d M d M x
x 即 31
42
1)1(α-=D d
（1） )
1(22
22
12121α-==D d A A W W （2）
（1）代入（2），得 2
3
24211)1(αα--=
W W
4－4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外
层材料的切变模量分别为G 1和G 2，且G 1 = 2G 2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。
正确答案是 C 。
解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等21γγ=，因212G G =，由剪切胡克定律得交界面上：212ττ=。
4－5 等截面圆轴材料的切应力－切应变关系如图中所示。圆轴受扭后，已知横截面上点)4/(d a a =ρ的切应变s γγ=a ，若扭转时截面依然保持平面，则根据图示的γτ-关系，可以推知横截面上的切应力分布。试判断图中所示的四种切应力分布哪一种是正确的。
正确答案是 A
。 习题8-4图
习题4-5图
实验一、测定金属材料拉伸时的力学性能 一、实验目的 1、测定低碳钢的屈服极限s σ，强度极限b σ，延伸率δ和面积收缩率ψ。 2、测定铸铁的强度极限b σ。 3、观察拉伸过程中的各种现象，并绘制拉伸图（l F ?-曲线）。 二、仪器设备 1、液压式万能试验机。 2、游标卡尺。 三、实验原理简要 材料的力学性质s σ、b σ、δ和ψ是由拉伸破坏试验来确定的。试验时，利用试验机自动绘出低碳钢拉伸图和铸铁拉伸图。对于低碳材料，确定屈服载荷s F 时，必须缓慢而均匀地使试件产生变形，同时还需要注意观察。测力回转后所指示的最小载荷即为屈服载荷s F ，继续加载，测得最大载荷b F 。试件在达到最大载荷前，伸长变形在标距范围内均匀分布。从最大载荷开始，产生局部伸长和颈缩。颈缩出现后，截面面积迅速减小，继续拉伸所需的载荷也变小了，直至断裂。 铸铁试件在极小变形时，就达到最大载荷，而突然发生断裂。没有流动和颈缩现象，其强度极限远低于碳钢的强度极限。 四、实验过程和步骤 1、用游标卡尺在试件的标距范围内测量三个截面的直径，取其平均值，填入记录表内。取三处中最小值作为计算试件横截面积的直径。 2、 按要求装夹试样（先选其中一根），并保持上下对中。 3、 按要求选择“试验方案”→“新建实验”→“金属圆棒拉伸实验”进行试验，详细操 作要求见万能试验机使用说明。 4、 试样拉断后拆下试样，根据试验机使用说明把试样的l F ?-曲线显示在微机显示屏 上。从低碳钢的l F ?-曲线上读取s F 、b F 值，从铸铁的l F ?-曲线上读取b F 值。 5、 测量低碳钢（铸铁）拉断后的断口最小直径及横截面面积。 6、 根据低碳钢（铸铁）断口的位置选择直接测量或移位方法测量标距段长度1l 。 7、 比较低碳钢和铸铁的断口特征。
第一章 绪论 1. 材料力学基本任务 ? 强度（抵抗破坏） ? 刚度（抵抗变形） ? 稳定性（维持平衡） 2. 变形固体的基本假设 ? 连续性 ? 均匀性 ? 各向同性 3. 外力及其分类 ? 表面力（分布力 集中力） ? 体积力 ? 静载 ? 动载（交变、周期、冲击） 4. 内力、变形与应变 线应变 切应变（角应变） 1Pa=1N/m 2 MPa 应力 5. 杆件变形基本形式 ? 拉伸与压缩 ? 剪切 ? 扭转 ? 弯曲 第二章 拉伸、压缩与剪切 1. 轴力、轴力图 拉伸为正 压缩为负 2. 圣维南原理 离端界面约截面尺寸范围受影响 3. 直杆拉伸或压缩时斜截面上的应力 α=0时，σαmax =σ α=45°，ταmax =σ/2 4. 低碳钢的拉伸性能 （铸铁、球墨铸铁） ? 弹性阶段（塑形变形、弹性变形 比例极限 弹性极限 胡克定律） ? 屈服阶段 ? 强化阶段 ? 紧缩阶段（局部变形阶段） 塑性指标：伸长率δ（工程上的划分：>5%塑形材料 <5%脆性材料）、断面收缩率ψ 卸载定律：应力应变按直线规律变化 冷作硬化：第二次加载时比例极限得到提高，但塑性变形和伸长率有所降低（利用：起重钢索、建筑钢筋常用冷拔工艺提高强度；某些零件喷丸处理使其表面塑形变形形成冷硬层提高表面强度 克服：冷作硬化使材料变硬变脆难于加工易产生表面裂纹，工序之间安排退火） 碳素钢随含碳量的增加，屈服极限和强度极限相应提高，但伸长率降低。 铸铁拉伸因没有屈服现象，强度极限成为唯一强度指标。 材料力学性能主要指标：比例极限、屈服极限、强度极限、弹性模量、伸长率、断面收缩率 作用方式 时间变化
材料力学电子教材 淮阴工学院建筑工程系 2006.12
主要符号表 符号 A D、d E F F cr F d F N F Q G I y、I z I P I yz i y、i z k d M、M y、M z M x M e M s M u N n n r n st p P q R、r r S y、S z T t V c Vε v d v v vε W 含义 面积直径 弹性模量 集中力临 界力动荷 载轴力 剪力切变 模量惯性 矩极惯性 矩惯性积 惯性半径 动荷因素 弯矩 扭矩外力偶矩 屈服弯矩极限弯 矩循环次数安 全因素，转速疲 劳安全因素稳定 安全因素总应 力，压强功率 均布荷载集度半 径 循环特征面积 矩，静矩扭转 外力偶矩时间 余应变能应变能形状 改变能密度体积改变 能密度应变能密度重 力，外力功，弯曲截 面系数 符号 W c W P w θ φ γ Δ Δl ε εu λ μ ν σ σb σbs σcr σ d σ e σp σr σs σu σ-1 [σ] τ [τ] 含义 余功扭转截面 系数挠度 梁横截面转角，单位长度 相对扭转角，体积应变 相对扭转角，折减因数 切应变 位移伸长（缩短） 变形线应变 极限应变 柔度长度 系数泊松 比正应力 强度极限 挤压应力 临界应力 动应力弹 性极限比 例极限 相当应力，疲劳极限 屈服极限 极限应力对称循环 疲劳极限容许正应 力 切应力容许 切应力
第一章绪论·基本概念§1-1 材料力学的任务 §1-2 变形固体的概念及其基本假设 §1-3 杆件及其变形形式 §1-4 应力 §1-5 位移和应变 §1-6 材料力学的特点思考题 思考题 习题 第二章轴向拉伸和压缩§2-1 概述 §2-2 拉压杆件横截面上的正应力 §2-3 应力集中的概念 §2-4 拉压杆件的变形 §2-5 拉伸和压缩时材料的力学性质 §2-6 几种新材料的力学性质简介 §2-7 拉压杆件的强度计算 §2-8 拉压超静定问题
材料力学教程单祖辉答案
材料力学教程单祖辉答案 【篇一：寒旱所考试科目参考书】 s=txt>2006年招收硕士学位研究生考试科目参考书 中国科学院寒区旱区环境与工程研究所2006年招收硕士学位研究生考试科目参考书 【篇二：上海交大考博参考书目】 txt>010船舶海洋与建筑工程学院 2201流体力学《水动力学基础》，刘岳元等，上海交大出版社2202声学理论《声学基础理论》，何祚庸，国防工业出版社 2203高等工程力学（理力、材力、流力、数学物理方法）（四部分任选二部分做）《理论力学》，刘延柱等，高等教育出版社；《材料力学》，单祖辉，北京航空航天大学出版社；《流体力学》，吴望一，北京大学出版社；《数学物理方法》，梁昆淼，高等教育出版社2204结构力学《结构力学教程》，龙驭球，高等教育出版社 3301船舶原理《船舶静力学》，盛振邦，上海交大出版社；《船舶推进》，王国强等，上海交大出版社；《船舶耐波性》，陶尧森，上海交大出版社；《船舶阻力》，邵世明，上海交大出版社 3302振动理论（i）《机械振动与噪声学》，赵玫等，科技出版社2004 3303海洋、河口、海岸动力学《河口海岸动力学》，赵公声等，人民交通出版社2000 3304高等流体力学《流体力学》，吴望一，北京大学出版社
2208电子科学与技术概论《电子科学与技术导论》，李哲英，2006 2209信息处理与控制系统设计《线性系统理论》，郑大钟，清华大学出版社2002；或《数字图像 处理》(第二版)《digital image processing》second edition (英文版)，r. c. gonzalez, r. e. woods，电子工业出版社2002（从“线性系统理论”或“图像处理”中选考其一）2210计算机科学与技术方法论《数理逻辑与集合论》，石纯一，清华大学出版社2000；《图论与代数结构》，戴一奇，清华大学出版社1995；《组合数学》，richard a. brualdi著，卢开澄等译，机械工业出版社2001 2211数字信号处理（i）《数字信号处理（上）》，邹理和；《数字信号处理（下）》，吴兆熊，国防工业出版社 2212电力系统分析与电力电子技术《电力电子技术基础》，金如麟，机械工业出版社，或《电力系统分析（上册）》，诸骏伟，中国电力出版社1995；《电力系统分析（下册）》，夏道止，中国电力出版社1995 3316网络与通信《数字通信》（第四版），proakis，电子出版社（必考，占30％）：另按照专业加考70％：无线通信方向、信息安全方向，《数字通信》（第四版），proakis，电子出版社；或光通信方向，《光纤通信系统》（第3版）, govind p.agrawal，国外大学优秀教材-通信系列（影印版）；或数据通信网络方向，《computer networks》（fourth edition），pearson education andrew s.tanenbaum，vrije universiteit，amsterdam，the netherlands，翻译版：潘爱民译，书号7302089779，清华大学出版社2004 3317信号与信息处理信号处理方向：《discrete-time signal processing》(second edition)，alan v. oppenheim, prentice-hall，1998；《现代信号处理》（第二版），张贤达，清华大学出版社2002；或图像处理方向：《数字图像处理》，余松煜等，上海交通大学出版社2007
§1-1 材料力学的任务 1．几个术语 ·构件与杆件：组成机械的零部件或工程结构中的构件统称为构件。如图1-1a 所示桥式起重机的主梁、吊钩、钢丝绳；图1-2所示悬臂吊车架的横梁AB， 斜杆CD都是构件。实际构件有各种不同的形状，所以根据形状的不同将构件 分为：杆件、板和壳、块体. 杆件：长度远大于横向尺寸的构件，其几何要素是横截面和轴线，如图1-3a 所示，其中横截面是与轴线垂直的截面；轴线是横截面形心的连线。 按横截面和轴线两个因素可将杆件分为：等截面直杆，如图1-3a、b；变截面直杆，如图1-3c；等截面曲杆和变截面曲杆如图1-3b。 板和壳：构件一个方向的尺寸（厚度）远小于其它两个方向的尺寸，如图1-4a 和b所示。 块体：三个方向（长、宽、高）的尺寸相差不多的构件， 如图1-4c所示。在本教程中，如未作说明，构件即认为是 指杆件。 ·变形与小变形：在载荷作用下，构件的形状及尺寸发生变化称为变形，如图1-2所示悬臂吊车架的横梁AB，受力后将由原来的位置弯曲到AB′位置，即产生了变形。 小变形：绝大多数工程构件的变形都极其微小，比构件本身尺寸要小得多，以至在分析构件所受外力（写出静力平衡方程）时，通常不考虑变形的影响，而仍可以用变形前的尺寸，此即所谓“原始尺寸原理”。如图1-1a所示桥式起重机主架，变形后简图如图1-1b所示，截面最大垂直位移f一般仅为跨度l 的l/1500～1/700，B支撑的水平位移Δ则更微小，在求解支承反力R A、R B时，不考虑这些微小变形的影响。 2．对构件的三项基本要求 强度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗断裂破坏的能力。例如储气罐不应爆破；机器中的齿轮轴不应断裂等。 刚度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗变形的能力。如机床主轴不应变形过大，否则影响加工精度。 稳定性：某些构件在特定外载，如压力作用下，具有足够的保持其原有平衡状态的能力。例如千斤顶的螺杆，内燃机的挺杆等。
第二章 杆件的内力 2.1 杆件内力的一般描述·截面法 杆件在外力作用下，任一横截面的内力如第一章1.3节中图1.3所示。不失一般性地讨论，横截面上的内力应为空间力系。由理论力学静力学知识，无论杆件横截面上的内力分布如何复杂， 主矢和内力主矩。图2.1在图2.1仅引起一种基本变形。图2.1x M 、y M 、z M 方向上的分量。其中： x F 与轴线重合，称之为轴力y F 、z F x M 的扭转变形。 y M 、z M 作用平面与横截面垂直，称之为弯矩，二者均使杆件产生弯曲变形。 下面的讨论将首先基于仅引起一种基本变形的外载所对应的内力及其力学行为（第三章、第四章），并在此基础上讨论引起两种或两种以上基本变形（又称组合变形）的外载对应的力学行为（第六章）。 在绪论中已介绍了内力的概念和截面法（1.3节），内力的计算是强度计算的基础，计算杆件内力的基本方法是截面法，该法可归纳为以下三个步骤： (1)在欲求内力的截面处用一平面假想地把构件分成两部分,任取一部分作为研究对象,将
工程中有许多杆件，例如液压传动机构中的活塞杆（图2.2a），桁架结构中的拉杆或压
N23 1.5kN F F =-=- （c ） 以横坐标x 表示横截面的位置，纵坐标表示相应截面上轴力N F ，于是便可用图线表示沿杆件轴线轴力的变化情况（图e ），这就是轴力图。在轴力图中拉力绘在x 轴的上侧，压力绘在下侧。 由（a ）、（b ）、（c ）三式可知，横截面上的轴力等于该截面一侧的所有轴向外力的代数和。当外力为拉力时，在该截面引起正的轴力；当外力为压力时，在该截面引起负的轴力。 例2.2 如图a 所示。已知50kN F =解：设混凝土柱AB N150kN F F =-=-，N23F F =-若考虑混凝土柱的自重，截面面积为1A ， BC 何，请读者考虑。 2.3 机械中的传动轴（图2.5a ）、水轮发电机的主轴（图2.6a ）均以扭转为其主要变形。它们可简化为图2.5b 、图2.6b 中的计算简图，其特点是在杆件两端作用大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转 的功率等于力偶矩e M 与角速度ω的乘积，即
2-1 试求图示各杆1-1和2-2截面上的轴力。 2-2 试画下列杆件的轴力图。 2-5 在图示结构中，所有各杆都是钢制的，横截面面积均等于0.003m2，力F等于100KN。试求各杆的应力。（注意：假设内力时必须设拉力） 2-8 图示结构中，杆①和杆②均为圆截面钢杆，其直径分别为d1=16mm，d2=20mm，已知F=40KN，钢材的许用应力[σ]=160MPa，试分别校核二杆的强度。（杆①σ=103MPa；杆②σ=93.2MPa）
2-9 图示为钢杆组成的桁架，已知F=20KN，钢材的许用应力[σ]=160MPa。试求CD所需的横截面面积。（A=125mm2） 2-10 图示结构中，AB和BC均为直径d=20mm的钢杆，钢材许用应力[σ]=160MPa。试求该结构的许用荷载[F]。（[F]=35.5KN） 2-13 图示钢杆的横截面面积为200mm2，钢的弹性模量E=200GPa。试求各段杆的应变、伸长及全杆的总伸长。 3-3 图示铆接接头中，已知F=60KN，t=12mm，b=80mm，铆钉直径d=16mm，铆钉 ]=300MPa，板的许用拉应力材料的许用切应力[τ]=140MPa，许用挤压应力[σ bs [σ]=160MPa。试分别校核铆钉和板的强度。
3-5 图示一正方形截面的混凝土柱，浇注在混凝土基础上。基础分两层，每层厚为t。已知F=200KN，假定地基对混凝土板的反力均匀分布，混凝土的许用切应力[τ]=1.5MPa。试计算为使基础不被破坏，所需的厚度t值。（t=95.5mm） 3-8 试画下列各杆的扭矩图。 3-13 图示受扭圆杆中，d=100mm，材料的许用切应力[τ]=40MPa。试校核该杆的强度。（τmax=35.7MPa） 3-15 圆杆受力如图所示，已知材料的许用切应力[τ]=40MPa，切变模量G=8×104MPa，单位长度杆的许用扭转角[θ]=1.2°/m。试求杆所需的直径。（d=91.4mm） 4-1 试用截面法求下列梁中n-n截面上的剪力和弯矩。
材料力学课B 程教学设计 一、基本描述 课程名称：材料力学B 课程英文译名：Mechanics of Materials B 课程学时：84 适用专业：机械类各专业 开课教研室：机械学院力学系 课程类型：学科基础必修课 课程要求：必修课 开课时间：第四学期 先修课程：工程图学、金属工艺学、理论力学 教材：《材料力学》陈塑寰聂毓琴孟广伟编著 吉林科学技术出版社，2000 主要参考书：1．《材料力学》刘鸿文主编高等教育出版社第三版，1992 2．《Mechnics of Materials》S.Timoshemke J.Gere. Van Nostrand Reinhold Compangy,1978 3．《材料力学》范钦珊主编高等教育出版社，2000 4．《材料力学》初日德，聂毓琴主编 吉林科学技术出版社，1995 二、课程的性质、研究对象及任务 材料力学课程是一门用以培养学生在机械设计中有关力学方面设计计 算能力的技术基础课，是机械类硕士研究生入学考试的一门专业基础课。 在教学过程中要综合运用先修课程中所学到的有关知识与技能，结合各种 实践教学环节，进行机械工程技术人员所需的基本训练，为学生进一步学 习有关专业课程和日后从事机械设计工作打下基础，因此材料力学课程在 机械类专业的教学计划中占有重要的地位和作用，是高等工科院校中机械 类专业一门主干课程。 本课程主要研究工程结构中构件的承载能力问题,即研究构件的受力—变形—破坏的规律，确定其强度、刚度和稳定性设计计算的基本理论和 基本方法。 本课程的主要任务是培养学生：
1．树立正确的设计思想，理论联系实际，解决好经济与安全的矛盾，具备创新精神； 2．全面系统地了解构件的受力变形、破坏的规律； 3．掌握有关构件设计计算的基本概念、基本理论、基本方法及其在工程中的应用； 4．能将一般构件抽象出力学简图，进行外力分析、内力分析、应力分析、应变分析，应力~应变分析； 5．掌握材料的力学性能试验的原理和方法,具有进行试验研究的初步能力； 6．在满足强度、强度、稳定性的前提下，以最经济的代价为构件选择适宜的材料，设计合理的截面形状和尺寸，为设计提供计算依据； 7．了解材料力学的新理论，新方法及发展趋向。 三、教材的选择和分析 目前，国内、外有关材料力学的教材很多，其中较有代表性的名著有： 铁摩辛柯与盖尔合著的材料力学、刘鸿文主编的材料力学、单辉祖编著的 材料力学、孙训方等编材料力学、苏翼林主编材料力学，范钦珊主编的材 料力学为面向21世纪课程教材。我校曾选用过苏翼林、刘鸿文的教材。另 自行编著了两套材料力学教材，各种教材都具有不同的特点。下面对选用 的主要参考书和教材进行分析。 1．刘鸿文主编的《材料力学》教材：这本教材的第一版是1979年浙 江大学等九院校合编的《材料力学》。现已出至第三版，最近第四版修订工 作已经完成，列入了“面向21世纪系列教程”高教出版社出版计划。内容 包括“教学基本要求”提到的全部传统内容，各章都有相当的深度、广度 和权威性，文字严谨、精练、风格统一，是本学科教师应很好钻研的一本 好书。但作为学生用教材，由于教材内容涉及面太宽，有四章部分节次都 超出教学大纲的要求，故有相当篇幅不讲，利用率受影响，另外有些陈旧 的算法没有更新，想必这些在新版本中得到满意。 2．铁摩辛柯与盖尔于1972年合著的《材料力学》是铁摩辛柯1930 年第一版，1941年第二版，1955年第三版《材料力学》基础上的新著。该 书集中反映了60年代在力学上取得的一些伟大成果。该书编排系统以及阐 述具有深入浅出等特点，是一本很好的参考书。但随着科技的发展，已进 入信息时代，对新的教材思想、新的教学内容与方法的探讨，更要结合我 国实际。 3．范钦珊主编的《材料力学》是面向21世纪课程教材。该书内容新、 体系新，引入新材料，新方法，与传统的材料力学相比，体系变化大，梯 度大，是当今国内最新的好参考书。 4．初日德、聂毓琴主编的《材料力学》是原吉林工业大学力学系的
第3章扭转 思考题 3-1何谓扭矩？扭矩的正负号如何规定的？如何计算扭矩？ 答轴在外力偶矩作用下，由截面法求出的横截面上分布内力向截面形心简化的合力（力偶矩）称为扭矩。 对扭矩T的正负规定为：若按右手螺旋法则把T表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线n的方向一致时，T为正；反之为负。 用截面法计算扭矩，注意截面位置应偏离外力偶矩作用面。 3-2薄壁圆筒、圆轴扭转切应力公式分别是如何建立的？假设是什么？公式的应用条件是什么？ 答等厚薄壁圆筒在两端垂直于轴线的平面内作用大小相等而转向相反的外力偶Me所做试验结果现象表明，当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有切应力I ,因为筒壁的厚度丁“很小，可以假设沿薄壁圆筒筒壁厚度切应力不变。又因在同一圆周上各点情况完全相同，应力也就相同，从而建立薄壁圆筒扭转切应力计算公式； 在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的外力偶。从实验中观察到的现象，假设轴变形后，横截面仍保持平面，其形状、大小与横截面间的距离均不改变，而且半径仍为直线（圆轴扭转平面假设），连同胡克定律和静力平衡条件推出圆轴扭转切应力计算公式。 公式应用条件为线弹性材料、小变形、等截面（锥度不大的变截面可近似用）。 3-3试述纯剪切和薄壁圆筒扭转变形之间的差异及相互关系。 答单兀体4个互相垂直的面上只作用切应力的状态称为纯剪切；薄壁圆筒扭转变形时（忽略厚度影响）筒壁各点的应力状态为纯剪切。 3-4试述剪切胡克定律与拉伸（压缩）胡克定律之间的异同点及3个弹性常量E,G, f之间关系。 答剪切胡克定律丨=G? （反映角度的变化）与拉伸（压缩）胡克定律f = ￡1 （反映长度的变化）皆为应力与应变成正比关系。3个弹性常量E,G, ｛之间关系为G=。 3-5圆轴扭转时如何确定危险截面、危险点及强度条件？ 答等截面圆轴扭转时的危险截面为扭矩最大的横截面，变截面圆轴扭转时的危险截面在其扭矩与扭转截面系数比值最大的横截面；其危险点在该横截面的外边缘。强度条件为 爲=隘5[1 ] 3-6金属材料圆轴扭转破坏有几种形式？ 答塑性金属材料和脆性金属材料扭转破坏形式不完全相同。塑性材料试件在外力偶作用下，先出现屈服，最后沿横截面被剪断，如图a所示；脆性材料试件受扭时，变形很小，最后沿与轴线约45。方向的螺旋面断裂，如图b所示。
材料力学答案(1)
2-1 （a ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N 211=- 02222=+-=-F F N （2）作轴力图 F F F F N =+-=-2233 轴力图如图所示。 （b ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N =-11 F F a a F F F qa F N 22222-=+?--=+--=- （2）作轴力图 中间段的轴力方程为： x a F F x N ?- =)( ]0,(a x ∈ 轴力图如图所示。 [习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。荷载 kN F 1000=，材料的密度3/35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： g Al F G F N ρ--=+-=)(
) (942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--= 8.935.210)114.323(10002????+?--= )(942.3104kN -= 墩身底面积：)(14.9)114.323(22m A =?+?= 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042 -≈-=-== σ [习题2-5] 图示拉杆承受轴向拉力kN F 10=，杆的横截面面积2100mm A =。如以α表示斜截面与横截面的夹角，试求当o o o o o 90,60,45,30,0=α时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。 解：斜截面上的正应力与切应力的公式为： ασσα20cos = αστα2sin 2 = 式中，MPa mm N A N 100100100002 0===σ，把α的数值代入以上二式得： 轴向拉/压杆斜截面上的应力计算 题目 编号 习题2-5 10000 100 0 100 100.0 0.0 10000 100 30 100 75.0 43.3 10000 100 45 100 50.0 50.0 10000 100 60 100 25.0 43.3 10000 100 90 100 0.0 0.0 [习题2-6] 一木桩受力如图所示。柱的横。截面为边长200mm 的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量GPa E 10=。如不计柱的自重，试求： )(0MPa σ)(MPa ασ)(MPa ατ)(o α) (N N ) (2mm A
6.1. 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l =4 m ， b / h =2/3，q =10 kN/m ，[σ]=10 MPa ，试确 定此梁横截面的尺寸。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知： 2max 2 ql M = (2) 计算抗弯截面系数 32 323669 h bh h W === (3) 强度计算 2 2max max 33912[]29 416 277ql M ql h W h h mm b mm σσ= ==?≤∴≥==≥ 6.2. 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若[σ]=160 MPa ，试求许可载荷。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知： No20a x ql 2 x
max 23 P M = (2) 查表得抗弯截面系数 6323710W m -=? (3) 强度计算 max max 66 223[] 33[]3237101601056.8822 P M P W W W W P kN σσσ-===?≤????∴≤== 取许可载荷 []57P kN = 6.3. 图示圆轴的外伸部分系空心轴。试作轴弯矩图，并求轴内最大正应力。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知：可能危险截面是C 和B 截面 (2) 计算危险截面上的最大正应力值 C 截面： 3max 33 32 1.341063.20.0632 C C C C C M M MPa d W σππ??====? B 截面： 3max 34 3444 0.91062.10.060.045(1)(1)32320.06B B B B B B B M M MPa D d W D σππ?====?-- (3) 轴内的最大正应力值 MPa C 2.63max max ==σσ x
第一章 绪论 1. 材料力学基本任务 ? 强度（抵抗破坏） ? 刚度（抵抗变形） ? 稳定性（维持平衡） 2. 变形固体的基本假设 ? 连续性 ? 均匀性 ? 各向同性 3. 外力及其分类 ? 表面力（分布力 ? 体积力 ? 静载 ? 动载4. 内力、变形与应变 线应变 切应变（角应变） 1Pa=1N/m 2 MPa 应力 5. 杆件变形基本形式 ? 拉伸与压缩 ? 剪切 ? 扭转 ? 弯曲 第二章 拉伸、压缩与剪切 1. 轴力、轴力图 拉伸为正 压缩为负 2. 圣维南原理 离端界面约截面尺寸范围受影响 3. 直杆拉伸或压缩时斜截面上的应力 α=0时，σαmax =σ α=45°，ταmax =σ/2 4. 低碳钢的拉伸性能 （铸铁、球墨铸铁） ? 弹性阶段（塑形变形、弹性变形 比例极限 弹性极限 胡克定律） ? 屈服阶段 ? 强化阶段 ? 紧缩阶段（局部变形阶段） 塑性指标：伸长率δ（工程上的划分：>5%塑形材料 <5%脆性材料）、断面收缩率ψ 卸载定律：应力应变按直线规律变化 冷作硬化：第二次加载时比例极限得到提高，但塑性变形和伸长率有所降低（利用：起重钢索、建筑钢筋常用冷拔工艺提高强度；某些零件喷丸处理使其表面塑形变形形成冷硬层提高表面强度 克服：冷作硬化使材料变硬变脆难于加工易产生表面裂纹，工序之间安排退火） 碳素钢随含碳量的增加，屈服极限和强度极限相应提高，但伸长率降低。 铸铁拉伸因没有屈服现象，强度极限成为唯一强度指标。 材料力学性能主要指标：比例极限、屈服极限、强度极限、弹性模量、伸长率、断面收缩
率 5.温度和时间对材料力学性能的影响 ?低温脆性 ?高温蠕变（松弛） 6.强度设计 ?失效（强度不足、刚度不足、稳定性不足高温、腐蚀等环境加载方式） ?许用应力强度校核、截面设计、许可载荷强度计算 ?安全因素选取的考虑因素（载荷、材料、重要性、计算精度、经济性……）拉伸时横向缩短轴向伸长泊松比 固体在外力作用下因变形而储存的能量应变能（功能关系） 7.拉伸、压缩超静定问题 力学静力平衡方程+几何变形协调方程 温度应力、装配应力 8.应力集中 几何外形突然变化引起局部应力集中增大（圆弧过渡） 理论应力集中系数（塑形材料静载条件下可以不考虑脆性材料较敏感灰铸铁：内部缺 陷和不均匀性） 周期性载荷和冲击载荷应力集中非常危险