第2讲古典概型
[最新考纲]
1．理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
知识梳理
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．3．古典概型的概率公式
P(A)＝A包含的基本事件的个数
基本事件的总数
.
辨析感悟
1．古典概型的意义
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(×)
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(×)
(3)(教材习题改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为1
3.(√)
2．古典概型的计算
(4)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集
合I，则事件A的概率为card(A) card(I)
.(√)
(5)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点
间的距离为
2
2的概率是0.2.(×)
(6)(·新课标全国Ⅱ卷改编)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(√)
[感悟·提升]
1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型，(1)、(2)不符合定义．
2．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含
m个元素的子集，故P(A)＝card(A)
card(I)
＝
m
n，如(4)；根据古典概型概率公式计算，如
(5)、(6)．
考点一简单古典概型的概率
【例1】现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解从6道题中任取2道有n＝C26＝15(种)取法．
(1)记“所取的2道题都是甲类题”为事件A，则A发生共有m＝C24＝6种结果．
∴所求事件概率P(A)＝m
n＝
6
15＝
2
5.
(2)记“所取的2道题不是同一类题”事件为B，事件B包含的基本事件有C14C12＝
8(种)，则事件B的概率为P(B)＝8 15.
规律方法有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正
确使用.
【训练1】袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解(1)从5张卡片中任取两张，共有n＝C25＝10种方法．
记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件A，则A包含基本事件m＝C12 C12－1＝3个．
由古典概型概率公式，P(A)＝m
n＝
3
10.
(2)从6张卡片中任取两张，共有n＝C26＝15个基本事件，
记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件B，则事件B包含基本事件总数m＝C11(C12＋C13)＋(C12C12－1)＝8，
∴所求事件的概率P(B)＝m
n＝
8
15.
考点二复杂的古典概型的概率
【例2】将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
(1)两数中至少有一个奇数的概率；
(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率．
解由题意，先后掷2次，向上的点数(x，y)共有n＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型．
(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为B.
∵事件B包含的基本事件数m＝C13C13＝9.
∴P(B)＝9
36＝
1
4，则P(B)＝1－P(B)＝
3
4，
因此，两数中至少有一个奇数的概率为3 4.
(2)点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的内部记为事件C ，则C 表示“点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15上或圆的外部”．
又事件C 包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8个．
∴P (C )＝836＝29，从而P (C )＝1－P (C )＝1－29＝7
9. ∴点(x ，y )在圆x 2
＋y 2
＝15上或圆外部的概率为7
9.
规律方法 (1)一是本题易把(2,4)和(4,2)，(1,2)和(2,1)看成同一个基本事件，造成计算错误．二是当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事件求解．
(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式P (A )＝1－P (A )求解．
【训练2】 某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
(1) 1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
解 (1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个． 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3个． 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为 P ＝36＝12.
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共
10个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P＝3
10.
考点三古典概型与统计的综合问题
【例3】(·广东卷)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
(1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
审题路线(1)阅读茎叶图得出样本数据，利用平均数公式计算出样本均值．(2)根据样本算出优秀工人的比例，再估计12人中优秀工人的个数．(3)用组合数公式求出所有可能的组合的个数和符合条件的组合的个数，利用古典概型概率公式计算．
解(1)由茎叶图可知：样本数据为17,19,20,21,25,30.则x＝1
6(17＋19＋20＋21
＋25＋30)＝22，
故样本均值为22.
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，
故优秀工人的频率为2
6＝
1
3.
该车间12名工人中优秀工人大约有12×1
3＝4(名)，
故该车间约有4名优秀工人．
(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A，其包含的基本事件总数为C14C18＝32，所有基本事件的总数为C212＝66.
由古典概型概率公式，得P(A)＝32
66＝
16
33.
所以恰有1名优秀工人的概率为16
33.
规律方法 (1)本题求解的关键在于从茎叶图准确提炼数据信息，进行统计与概率的正确计算．
(2)一是题目考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体的思想方法，以及数据处理能力．二是求解时要设出所求事件，进行必要的说明，规范表达，这 都是得分的重点．
【训练3】 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
(1)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．
解 (1)由题意知苹果的样本总数n ＝50，在[90,95)的频数是20，∴苹果的重量在[90,95)的频率是20
50＝0.4.
(2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x 个，则从重量在[95,100)的苹果中抽取(4－x )个．
∵表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5,15， ∴5∶15＝x ∶(4－x )，解得x ＝1. 即重量在[80,85)的有1个．
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，重量在[80,85)中有1个，记为a ，重量在[95,100)有3个，记为b 1，b 2，b 3.
任取2个，有ab 1，ab 2，ab 3，b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3共6种不同方法，记基本事件总数为n ，则n ＝6.
其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件记为A ，事件A 包含的基本事件为ab 1，ab 2，ab 3，共3个，
由古典概型的概率计算公式得P (A )＝36＝1
2.
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个． 2．确定基本事件的方法
(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)利用计数原理、排列与组合求基本事件的个数．
3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．
易错辨析10——基本事件计数不正确致误
【典例】 (·江西卷，文)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图所示)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋． (1)写出数量积X 的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． [错解] (1)数量积X 的所有可能取值为－1,0,1. (2)X ＝0时，有OA 1→·OA 3→，OA 4→·OA 6→，共2种情况；
X ＝1时，有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种情况； X ＝－1时，有OA 1→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，共2种情况， ∴所有基本事件总数n ＝2＋4＋2＝8.
因此，小波去下棋的概率p 1＝28＝1
4，
小波唱歌的概率p 2＝24＝12，从而不去唱歌的概率p ＝1－p 2＝1
2.
[错因] (1)没能准确计算出X 的所有可能值，由数量积的运算知X 可能取－2，－1,0,1，忽视OA 2→·OA 5→
＝－2.
(2)基本事件列举不全面，思维定势，如X ＝－1，盲目认为向量共线，遗漏向量夹角为3
4π的4种情形．
[正解] (1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1. (2)数量积为－2的有OA 2→·OA 5→
，共1种，
数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，OA 3→·OA 5→，共6种．
数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→·OA 6→，共4种情形． 数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种情形． 故所有可能的情况共有15种． 所以小波去下棋的概率为p 1＝715； 因为去唱歌的概率为p 2＝4
15，
所以小波不去唱歌的概率p ＝1－p 2＝1－415＝11
15.
[防范措施] (1)准确理解题意，向量数量积由向量的模、夹角共同确定，要考虑各种情形，注意分类求解．
(2)计算基本事件总数时，画出几何图形、树形图、分类列举法、坐标网格法是克服此类错误的有效手段． 【自主体验】
1．(·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )．
A.2
3
B.25
C.35
D.910
解析 设事件“甲或乙被录用”为事件A ，则A 表示甲、乙都没被录用，由古典概型，P (A )＝1C 35
＝110，∴P (A )＝1－110＝9
10.
答案 D
2．(·江苏卷)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．
解析 因1≤m ≤7,1≤n ≤9且m ，n ∈N *，∴m 为正奇数有4种情形，n 为正奇
数有5种，因此所求事件的概率P ＝C 14C 1
5C 17C 19
＝20
63.
答案 2063
对应学生用书P367
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一个坛子里有编号为1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )． A.122 B.111 C.322 D.211
解析 基本事件总数为C 212，事件包含的基本事件数为C 26－C 2
3，故所求的概率为P ＝C 26－C 2
3
C 212
＝211.
答案 D
2．一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x ＋y ＝8上的概率为( )．
A.16
B.112
C.536
D.19
解析 依题意，以(x ，y )为坐标的点共6×6＝36个，其中落在直线2x ＋y ＝8上的点有(1,6)，(2,4)，(3,2)，共3个，故所求事件的概率P ＝336＝1
12. 答案 B
3．(·杭州模拟)从个位数字与十位数字之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )．
A.49
B.13
C.29
D.19
解析 (1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．
因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝1
9. 答案 D
4．甲、乙两人一起到阿里山参观旅游，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是( )． A.136 B.19 C.536 D.16
解析 甲、乙两人任选4个景点游览，共有A 4
6·A 46种游览方案，又甲、乙最后1
小时在同一景点有C 16·A 35·
A 3
5种可能．∴所求事件的概率P ＝C 16·A 35·A 3
5A 46·A 46
＝16. 答案 D
5．(·济南质检)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是( )． A.23 B.29 C.13 D.7
9
解析 三位同学每人选择三项中的两项有C 23C 23C 2
3＝3×3×3＝27种选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C 23C 23C 12＝3×3×2＝18(种)选法．∴所求概率
为P ＝1827＝23.
答案 A
二、填空题
6．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
解析从5个球中任取2个球有C25＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有C13C12
＝6(种)．故所求事件的概率P＝6
10＝3 5.
答案3 5
7．在集合{x|x＝nπ
6，n＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程
cos x＝1
2的概率是________．
解析基本事件总数为10，满足方程cos x＝1
2的基本事件数为2，故所求概率为
P＝2
10＝1 5.
答案1 5
8．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线x2
a2－
y2
b2＝1的离心
率e>5的概率是________．
解析由e＝1＋b2
a2>5，得b>2a，当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，
b)共有36种结果．∴所求事件的概率P＝6
36＝
1
6.
答案1 6
三、解答题
9．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率．
解(1)从甲、乙两校报名的教师中各选1名，共有n＝C13×C13＝9种选法．
记“2名教师性别相同”为事件A，则事件A包含基本事件总数m＝C12·1＋C12·1
＝4，∴P(A)＝m
n＝
4
9.
(2)从报名的6人中任选2名，有n＝C26＝15种选法．
记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B，则事件B包含基本事件总数m＝2C23＝6.
∴选出2名教师来自同一学校的概率P(B)＝6
15＝
2
5.
10．(·郑州质检)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽到小学、中学各一所的概率．
解(1)由分层抽样定义知，
从小学中抽取的学校数目为6×
21
21＋14＋7
＝3；
从中学中抽取的学校数目为6×
14
21＋14＋7
＝2；
从大学中抽取的学校数目为6×
7
21＋14＋7
＝1.
故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)记“抽到小学、中学各一所”为事件A，
则事件A共有基本事件m＝C13·C12＝6(种)抽法，
又从6所学校任抽取2所有n＝C26＝15种抽法．
因此，所求事件的概率P＝m
n＝
6
15＝
2
5.
能力提升题组(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－
1)的夹角为θ.则θ∈? ?
???0，π2的概率是( )．
A.512
B.12
C.712
D.5
6 解析 ∵cos θ＝
m －n m 2＋n 2·2
，θ∈? ?
???0，π2， ∴m ≥n 满足条件，m ＝n 的概率为636＝1
6. m >n 的概率为12×56＝5
12. ∴θ∈? ?
???0，π2的概率为16＋512＝712.
答案 C
2．(·合肥模拟)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )．
A.15
B.25
C.35
D.45
解析 第一步先排语文书有A 2
2＝2(种)排法．第二步排物理书，分成两类．一类
是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排
列，有A 24＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本
数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．因此同一科目的书都不
相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有A 55＝120(种)，
所以同一科目的书都不相邻的概率是48120＝25. 答案 B 二、填空题
3．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．
解析 法一 6节课的全排列为A 66种，相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法是：先排三节文化课，再利用插空法排艺术课，即为(A 33C 23A 22A 22＋2A 33A 33)
种，由古典概型概率公式得P (A )＝A 33C 23A 22A 22＋2A 33A 33A 66
＝1
5.
法二 6节课的全排列为A 6
6种，先排三节艺术课有A 33种不同方法，同时产生四个空，再利用插空法排文化课共有A 34种不同方法，故由古典概型概率公式得P (A )＝A 33A 34A 66
＝15.
答案 15 三、解答题
4．现有8名年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求A 1被选中的概率；
(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．
解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成
的基本事件共有C 13C 13C 1
2＝18个，
由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
记“A 1恰被选中”为事件M ，则M 发生共有C 13C 12＝6个基本事件．
因而P (M )＝618＝13.
(2)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N 包含(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)3个结果，事件N 有3个基本事件组成，所以P (N )＝318＝1
6，由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝5
6.