含字母系数的二元一次方程组专题训练
1.关于x , y 方程组??
?=++=+m
y x m y x 232253 满足x-y=4，求22y x -的立方根。
2.满足方程组?
??=++=+m y x m y x 32253 的x , y 的值的和等于2，在平面内有一点A(x , y)且AB//Y 轴，AB=5，求B 点坐标。
3.已知方程组734521
x y x y m +=??
-=-?的解能使等式437x y -=成立，求m 的值．
4.关于x ，y 的二元一次方程组?
??=+=+6325y x k y x 的解也是二元一次方程k y x 9=- 的解，求k 的值．
5.已知关于x,y 的方程组 ???-=+=-6
5222a y x a y x 的解x,y 互为相反数,求a 的值
6.求满足方程组??
?=-=--20
314042y x m y x 中的y 值是x 值的3倍的m 的值，并求y x xy + 的值。
7.定义已知关于x 、y 的二元一次方程组???=-=+m y x m y x 22362的解满足二元一次方程453=-y x ，
求m 的值。
8.若方程组?
??=+=+5231y x y x 的解也是方程3x+ky=10的一个解，求k.
9.已知 ???-==???==3
221y x y x 和都是方程y=kx+b 的解，求k 、b.
10.已知y=x 2＋px ＋q ，当x=1时，y 的值为2；当x=－2时，y 的值为2。求x=－3时y 的值。
11.已知?
?
?==23y x 是关于x ，y 的方程|ax+by －8|+|ay+bx+7|=0的一个解，求 a 、b 的值
12.使x +4y =|a |成立的x 、y 的值，满足(2x +y -1)2+|3y -x |=0，又|a |+a =0，求a 的值；
13.若243724953=+--++n m n m y x
是关于y x ,的二元一次方程,则m n 的值
14.在解方程组2,78ax by cx y +=??-=?时，哥哥正确地解得3,2.
x y =??=-?，弟弟因把c 写错而解得
2,2.x y =-??=?
，求a+b+c 的值．
15.甲、乙两人同时求7=-by ax 的整数解.甲求出一组解为?
??==43y x ，而乙把7=-by ax 中的7错看成1，求得一组解为??
?==2
1y x ，求a 、b 的值.
16.甲、乙两人共同解方程组??-=-2
4by x ,由于甲看错了方程①中的a ,得到方程组的解为
???-=-=1
3y x ；乙看错了方程②中的b ,得到方程组的解为???==45y x 。试计算20052004101??? ??-+b a 的值.
17.已知方程组??
?=+=+4535y ax y x 与???=+=-1552by x y x 有相同的解，求a 、b 的值。
18.已知关于x y 、的方程组354522x y ax by -=??+=-?与234080
x y ax by -+=??--=?有相同的解，求a b 、的
值。
19.当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y －2ax=a+2（关于x ，y 的方程）?有相同的解，求a 的值．
20.关于y x 、的方程3623-=+k y kx ，对于任何k 的值都有相同的解，试求它的解。
21.已知关于x 的方程5x 122x 3b 3x 2a +=-++)()(有无数个解，求b a ,的解。
22.已知等式 (2A -7B ) x +(3A -8B )=8x +10对一切实数x 都成立，求A 、B 的值.
23.当a 为何整数值时，方程组??
=-0
2y x 有正整数解。
24.当a 取何值时，关于x 、y 的方程组???-=-+=+a y x a y x 2325有正整数解?
25.“*”：)1)(1(++++=
*B A Y B A X B A .已知321=*，432=*，求43*的值．
26.如果关于x y 、的二元一次方程组316215
x ay x by -=??+=?的解是71x y =??=?，那么关于x y 、的二元
一次方程组3()()162()()15x y a x y x y b x y +--=??
++-=?
的解是 ．
27.已知方程组???=+=-9.30531332b a b a 的解为???==2.13.8b a ，则方程组?
??=-++=--+9.30)1(5)2(313)1(3)2(2y x y x 的解是多少？
实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案） 类型一：列二元一次方程组解决——行程问题 【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得： (2.5+2)x+2.5y=36 3x+(3+2)y=36 解得：x=6，y=3.6 答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。 解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有： 20（x-y）=280 14（x+y）=280 解得：x=17，y=3 答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时， 类型二：列二元一次方程组解决——工程问题 【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 解：
类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题 【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得： ①x+y=10 ②2000x+1500y=18000 解得：x=6，y=4 答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩 类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题 【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%） 解：设2000的存款利率是X，则1000的存款利率是3.24%-X,则有: 2000*X*(1-20%)+1000*(3.24%-X)*(1-20%)=43.92 即：1600X+25.92-800X=43.92 800X=18 X=2.25% 3.24%-2.25%=0.99% 所以,2000的存款利率是2.25%,1000的存款的利息率是0.99%. 法二：也可用二元一次方程组解。 【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
分式方程二 一：知识回顾 1、解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③验根。 2、增根产生的原因：将分式方程变形为整式方程（去分母）时， 使得未知数的取值范围可能扩大了，所以使得方程产生增根（即：使得分母为零的解）。 3、分式方程应用题的解题步骤：①理解题意，把题意分成两部分；②设未知数x ，并用x 把另一个量表示出来；③列方程；④解分式方程，并验根。（多留意题目中的相等，比什么多或少，是什么的几倍，提前或晚到等） 二：小试牛刀 1、（2008年?南宁市）方程32 21+= x x 的解是 2、（2008年南京市）函数1x y x -=中，自变量x 的取值范围是． 3、（2008年南京市）方程22011 x x x -=+-有增根，则x 的取值为________。 4、分式 )1(6522-- y x 和 2 )1)(1(43 +-z y x 的最简公分母是_____________ 5、若关于x 的方程31--x x =9 32 -x m 有增根，则m 的值是____________． 三：例题讲解 1、如表：方程1、 2、3…是按照一定规律排列的一列方程。(1)、若方程 11=--b x x a )(b a >的解是10,621==x x ，求a 、b 的值，该方程是不是表中所给 方程系列中的一个，如果是，它是第几个方程？ (2)、请写出这列方程中第n 个方程和它的解． 2．当a 为何值时，关于x 的方程3-x x ＝2＋3 -x a 会产生增根？ 3、若方程 1 11+=-+-x x x k x x 无解，则ｋ的值是多少？
4、a 为何值时，分式方程3 4 9332+= -+-x x ax x 有增根 点评：解分式方程时，一般要将分式方程变形为整式方程（去分母）．由于这种变形可能扩 大了未知数的取值范围，所以使得方程产生增根。利用分式方程的增根求待定字母的值，一般是先把分式方程化为整式方程，再把所有可能的未知数（增根）的值代人整式方程，从而求出待定字母系数的值． 5、已知关于x 的方程 233 x m x x -= --有一个正数解，求m 的取值范围 6、已知： 23(1)(2)12 x A B x x x x -=+-+-+，求A 、B 的值 7、(2008年西宁市)5·12汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米 ①理解题意：本题告诉我们的相关量____________ ②设原计划每天修______米,则现在每天修______米 ③列分式方程： 8、(2008年·东莞市)在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从
帮你解含字母系数的方程组 在解与二元一次方程组有关问题时,经常会遇到含字母系数的方程组,解此类题的一般思路是根据条件采用代入求值的方法求得最后结果.常见的有以下几种类型: 一、代入求值型 例1.已知关于x 、y 的二元一次方程组{ 35ax by ax by +=-=， 的解是 { 21x y ==， .求a b +的 值。 解析：由二元一次方程组解的定义，将 { 21x y ==， 代入方程组得 { 2325a b a b +=-=，，再解关于a 和b 的二元一次方程组，得{ 21a b ==-， 。所以a b +＝ 1. 二、添加（赋予）条件型 例 2.若关于x 、y 的二元一次方程组 { 2527x y k x y k +=-=，① ，②的解满足方程 1 253 x y -=，那么k 的值为 。 解析:观察方程组发现可利用加减消元法把其中的一个字母消去， 由①＋②得，412x k =，即3x k =③；由①－②得，22y k =-，即y k =-④，将③④ 分别代入方程1253x y -=，得132()53k k ?-?-=，解得5 3 k =。 例3.如果方程组{ 35223x y k x y k +==＋，① ＋②的解x ，y 的和为2，求k 的值及方程 组的解。 解析:由①－②得22x y +=③， 将2x y +=与③联立方程组 { 2, 22x y x y +=+=，
解得 { 2,0x y ==， 将x ，y 的值代入②得k ＝4. 解此类题首先要观察方程组的特征，采取加减或代入的方法进行消元，使之变形为二元一次方程组，从而求得最后结果。 三、同解型 例4.已知关于x 、 y 的二元一次方程组{ 5, 27ax by ax by +=+=与方程组 { 237324 x y x y +=-=，的解相同，求a 和b 的值。 解析：观察第二个方程组可发现能直接解得x 、y 的值，解得 { 2, 1x y ==，将其 代入第一个方程组得 { 25, 47a b a b +=+=，解得 { 1,3a b ==。 例5. 已知关于x 、y 的二元一次方程组{ 3, 5x y mx ny +=-=与方程组{ 8,1nx my x y -=-=同 解，求m n +的值。 解析：因为两个方程组的解相同，所以可构造新的方程组 { 3, 1x y x y +=-=，解得 { 2, 1x y ==，代入 { 4,5mx ny nx my -=-=得 { 6, 7m n ==故m n +＝13.
二元一次方程组试题及答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
第八章二元一次方程组单元知识检测题 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．方程2x－1 y =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x2－x+1=0中，二元一次方程的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．二元一次方程组 323 25 x y x y -= ? ? += ? 的解是（） A． 32 17 ... 23 01 22 x x x x B C D y y y y = ?? == = ?? ?? ????==- = ?? ?? = ?? 3．关于x，y的二元一次方程组 5 9 x y k x y k += ? ? -= ? 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是（? ） A．k=－3 4 B．k= 3 4 C．k= 4 3 D．k=－ 4 3 4．如果方程组 1 x y ax by c += ? ? += ? 有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（） A．a=1，c=1 B．a≠b C．a=b=1，c≠1 D．a=1，c≠1 5．方程3x+y=7的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6．已知x，y满足方程组 4 5 x m y m += ? ? -= ? ，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（） A．x+y=1 B．x+y=－1 C．x+y=9 D．x+y=9 7．如果│x+y－1│和2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（） A． 1122 ... 2211 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????==-=-=-???? 8．若 2,1 17 x ax by y bx by =-+= ?? ?? =+= ?? 是方程组的解，则（a+b）·（a－b）的值为（） A．－35 3 B． 35 3 C．－16 D．16 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．若2x2a－5b+y a－3b=0是二元一次方程，则a=______，b=______． 10．若 1 2 a b = ? ? =- ? 是关于a，b的二元一次方程ax+ay－b=7的一个解，则代数式x2+2xy+y2－1?的值是 _________． 11．写出一个解为 1 2 x y =- ? ? = ? 的二元一次方程组__________． 3
含字母系数的方程和分式方程 编制人：何刚强 审核：刘 云 吕 敏 组名： 姓名： 学习目标:(1)会解简单的字母系数的分式方程。 (2) 能应用分式方程的解法进行简单的公式变形。 学习重点:建立数学模型，会解含官母系数的分式方程。 学习难点: 明确解含哪一个字母（未知数）的分式方程。 一．自主学习： (一)、文本解读 阅读课本P30面例4，并尝试完成课本P33面第6题。 （二）、独立尝试： 从龟兔赛跑中，我们再一次感受了一类重要的关系式：路程= ，这类关系式在 生活中应用非常广泛。 问题1： 自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服 气，于是它给乌龟下了一封战书。 乌龟先生： 我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距12米的大柳树下，比赛枪声响 后，先到者是冠军。 -----蚂蚁 但比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的1.2倍，提前一分钟跑到终点，请你 算算它们各自的速度。 解：设蚂蚁的速度为x 米/分，则乌龟的速度为 ,根据题意列方程为： 问题2：从2004年5月起某列车平均提速v 千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s 千米，提速后比提速前多行驶80千米，提速后列车的平均速度为多少？ 分析：本题的基本关系是： ，根据关系式： 来列方程。 思考：解含有字母已知数的一元一次方程要注意哪些问题？ （1） （2） （3） 二、学以致用： 1. 若)0(≠n ，在弧长公式里,用l ，n 表示R 的式子是（ ） A ．180l n R π= B ．l n R π180= C ．πn l R 180= D ．l l n R 180π= 2、已知R N V I -= ，则N = ． 3、一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u ，像距v 和凸透镜的焦距f 满足: 111 u v f +=,若f=6厘米，v=8厘米，则物距u= 4、已知关于x 的方程mx+n=m(2x+n)(m ≠0)则x= 5、在梯形面积公式S=(a+b)h 中， (S ，a ，h 都是正数)，则b 等于 6、已知公式： 12 111 R R R =+（其中R 1、R 2为正数）用R 1、R 2表示R. 7、(1)公式x h 2=x a a -中，（a>0,h>0），求x. （2）已知公式12(0).1S S U u t t -=≠-，求 三、拓展提升： 解方程（1）2a x x b b a +--= （2） 2(3)33x m m x x =-≠-- 四、小结反思： 这课你学到了什么？还有什么疑惑？ 五、学案整理：
第八章二元一次方程组单元知识检测题 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．方程2x－1 y =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x2－x+1=0中，二元一次方程的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．二元一次方程组 323 25 x y x y -= ? ? += ? 的解是（） A． 32 17 ... 23 01 22 x x x x B C D y y y y = ?? == = ?? ?? ????==- = ?? ?? = ?? 3．关于x，y的二元一次方程组 5 9 x y k x y k += ? ? -= ? 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是（? ） A．k=－3 4 B．k= 3 4 C．k= 4 3 D．k=－ 4 3 4．如果方程组 1 x y ax by c += ? ? += ? 有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（） A．a=1，c=1 B．a≠b C．a=b=1，c≠1 D．a=1，c≠1 5．方程3x+y=7的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6．已知x，y满足方程组 4 5 x m y m += ? ? -= ? ，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（） A．x+y=1 B．x+y=－1 C．x+y=9 D．x+y=9 7．如果│x+y－1│和2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（） A． 1122 ... 2211 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????==-=-=-???? 8．若 2,1 17 x ax by y bx by =-+= ?? ?? =+= ?? 是方程组的解，则（a+b）·（a－b）的值为（） A．－35 3 B． 35 3 C．－16 D．16 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．若2x2a－5b+y a－3b=0是二元一次方程，则a=______，b=______． 10．若 1 2 a b = ? ? =- ? 是关于a，b的二元一次方程ax+ay－b=7的一个解，则代数式x2+2xy+y2－1?的值是 _________．
含字母系数的方程（组）的解法 ? 知识梳理 说明：本讲内容如果没有特别说明，在含有字母系数的方程（组）或不等式（组）中，一般用a 、b 、c 等表示已知数，用x 、y 、z 表示未知数。 回顾上次课的预习思考内容 ? 形如ax b =的方程的解的情况讨论： ◆ 当0a ≠时，方程有唯一解，为b x a =（等式基本性质） ◆ 当0,0a b ==时，即00x ?=，方程有无数个解，即解为一切数 ◆ 当0,0a b =≠时，方程无解 ? 二元一次方程组111222 a x b y c a x b y c +=??+=?的解的可能性： ◆ 当1112 a b b b ≠时，方程组有唯一的解； ◆ 当111122 a b c b b c =≠，方程组无解； ◆ 当 111122a b c b b c ==时，方程组有无数多个解 练习： 1．关于x 的方程53ax x =-无解，则a ＝ ； 2．关于x 的方程2354mx x n -=-无解，则m ，n ； 3．已知二元一次方程组3221ax y x y +=??-=? 无解，则a 的值是（ ） A ．a ＝－2 B ．a ＝6 C ．a ＝2 D ．a ＝－6 参考答案：1、5； 2、5324 m n =≠、； 3、D ? 题型分析 例题1：解关于x 的方程(1)32m x x -=+ 教法说明：首先回顾下等式的基本性质：等式的两边同乘以（除以）同一个不为零的数，等
式的性质不变 参考答案： 试一试：解关于x 的方程23ax b x -=- 例题2：解关于x 、y 的二元一次方程组 2(1)(20)3(2)mx y n m n nx y m +=?+≠?-=? 教法说明：解关于字母系数的二元一次方程组通常用加减消元比较简便 参考答案： 试一试：解关于x 、y 的方程组：1(0,0)2ax by a b bx ay -=?≠≠? +=? 参考答案： 例题3：若方程组223 x y m x y +=-??-=?的解x 与y 均为正数，求m 的取值范围． 教法说明：要求学生会解简单的含字母系数的二元一次方程组，将本方程组中字母m 的看成是常数 参考答案： 解：解方程组得1383m x m y +?=???-?=?? 因为x 与y 均为正数，即00x y >??>? 所以103803 m m +?>???-?>??. 解不等式组得， 8m > 所以m 的取值范围是8m >． 试一试：已知关于x y 、的二元一次方程组26322x y m x y m +=??-=?的解满足二元一次方程 435 x y -=，求m 的值。 参考答案： 解：解方程组得22x m y m =??=?
二元一次方程组 （时间：45分钟 满分：100分） 姓名 一、选择题（每小题5分，共20分） 1． 下列不是二元一次方程组的是（ ） A ．1 4 1 y x x y ?+=???-=? B ．43624x y x y +=??+=? C ．44x y x y +=??-=? D ．3525 1025 x y x y +=??+=? 2．由 132 x y -=，可以得到用x 表示y 的式子是（ ） A ．223x y -= B ．21 33x y =- C ．223x y =- D ．223 x y =- 3．方程组327 413x y x y +=??-=? 的解是（ ） A ．13x y =-?? =? B ．3 1 x y =??=-? C ．31x y =-?? =-? D ．1 3x y =-??=-? 4．方程组1 25 x y x y -=?? +=?的解是（ ） A ．12x y =-?? =? B ．2 1x y =??=-? C ．1 2x y =??=? D ．21x y =??=? 二、填空题（每小题6分，共24分） 5．在349x y +=中，如果2y = 6，那么x =。 6．已知18x y =??=-? 是方程31mx y -=-的解，则m =。 7．若方程m x + n y = 6的两个解是1 1 x y =??=?，2 1x y =??=-? ，则m = ，n = 。 8．如果2150x y x y -+=+-=，那么x =，y =。 三、解下列方程组（每小题8分，共16分） 9．1323 334 m n m n ?+=????-=?? 10．()()344 126x y x y x y x y ?+--=??+-+=? ? 四、综合运用（每小题10分，共40分）
含字母系数的方程和分式方程 例1、解关于x 的方程：a x x a a =++--)2()3)(1( 例2、如果b a 、为定值，关于x 的方程 6232bk x a kx -+=+，无论k 为何值，它的解 总是的值、求b a x ,1=。 例3、m 为何值时，关于x 的方程2 34222+=-+-x x mx x 会产生增根？ 例4、解分式方程：1 5315106752116104223223++-++=+++++x x x x x x x x x x 例5、解方程组： ???????-=--+-=-++12155310y x y x y x y x 例6、一条河流的水在B 点处流入一个静止的湖中，游泳健将杰西从河中A 点顺水游到B 点 再穿过湖游到C 点，共用了1小时。由C 到B 再回到A ，共用了2小时。如果湖水 顺河水流动方向流动，从B 流向C 的速度与河水速度相同，那么杰西从由A 到B 再回到C ，共需50分钟，这时，他从C 经B 再回到A 共需多少时间？ 例7、一个蓄水池装有甲乙丙三个进水管，甲乙两管一起开放，1小时可以注满全池的21 乙丙两管一起开放，1小时可以注满全池的3 2，丙甲两管一起开放，1小时12分可 以注满全池，如果三管一起开放，几分钟可以注满全池的3 1？ 练习题： 一、选择题： 1、a 是任意实数，下列判断结论正确的个数是( ). (1)、方程02=x a 的解是1=x . (2)、方程0=-a ax 的解是1=x . (3)、方程01=+ax 的解是a x 1-=. (4)、方程a x a =的解是1±=x 。
二、填空题： 1、关于x 的方程125)23()23(+=-++x x b x a 有无数个解，则 =a ；=b 。 三、解下列方程 2233()(2)12(,0).b b ax a x b b a a b a +-+=-≠≠、 2 222.24336612z z z z z z z +-=-+--、 113,.ax bx ab ab an bm mx nx mn -++=+≠、其中 221124.x x a a b a b a b +-+=+--、 111119995.(1)(2)(2)(3)(99)(100)1002000x x x x x x x ++++=+++++++ 、 610796.5968x x x x x x x x +++++=+++++、 四、解方程组： 2533232192532324x y x y x y x y ?+=?+-???-=?+-?、
含字母系数的一元一次方程 教学目标 1．使学生正确认识含有字母系数的一元一次方程． 2．使学生掌握含有字母系数的一元一次方程的解法． 3．使学生会进行简单的公式变形． 4．培养学生由特殊到一般、由一般到特殊的逻辑思维能力．5．通过公式变形例题，培养学生解决实际问题的能力，激发学生的求知欲望和学习兴趣． 教学重点： (1)含有字母系数的一元一次方程的解法． (2)公式变形． 教学难点： (1)对字母函数的理解，并能准确区分字母系数与数字系数的区别与联系． (2)在公式中会准确区分未知数与字母系数，并进行正确的公式变形． 教学方法 启发式教学和讨论式教学相结合 教学手段 多媒体 教学过程 (一)复习提问
提出问题： 1．什么是一元一次方程？ 在学生答的基础上强调：(1)“一元”——一个未知数；“一次”——未知数的次数是1． 2．解一元一次方程的步骤是什么？ 答：(1)去分母、去括号． (2)移项——未知项移到等号一边常数项移到等号另一边． 注意：移项要变号． (3)合并同类项——提未知数． (4)未知项系数化为1——方程两边同除以未知项系数，从而解得方程． (二)引入新课 提出问题：一个数的a倍(a≠0)等于b，求这个数． 引导学生列出方程：ax=b(a≠0)． 让学生讨论： (1)这个方程中的未知数是什么？已知数是什么？(a、b是已知数，x是未知数) (2)这个方程是不是一元一次方程？它与我们以前所见过的一元一次方程有什么区别与联系？(这个方程满足一元一次方程的定义，所以它是一元一次方程．) 强调指出：ax=b(a≠0)这个一元一次方程与我们以
前所见过的一元一次方程最大的区别在于已知数是a、b(字母)．a是x的系数，b是常数项． (三)新课 1．含有字母系数的一元一次方程的定义 ax=b(a≠0)中对于未知数x来说a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程，今天我们就主要研究这样的方程． 2．含有字母系数的一元一次方程的解法 教师提问：ax=b(a≠0)是一元一次方程，而a、b是已知数，就可以当成数看，就像解一般的一元一次方程一样，如下解出方程： ax=b(a≠0)． 由学生讨论这个解法的思路对不对，解的过程对不对？ 在学生讨论的基础上，教师归纳总结出含有字母函数的一元一次方程和过去学过的一元一次方程的解法的区别和联系． 含有字母系数的一元一次方程的解法和学过的含有数字系数的一元一次方程的解法相同．(即仍需要采用去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等步骤．)
二元一次方程组专题训练 1、???=-=+33651643y x y x 2、???=+=-6251023x y x y 3、 ???=-=+15 725 32y x y x 4、???=+-=18435276t s t s 5、 ???=-=+574973p q q p 6、???=-=+4 26 34y x y x 7、???-=-=+22223n m n m 8、???=--=-495336y x y x 9、? ??=-=+195420 23b a b a 10、???=-=-y x y x 23532 11、???=-=+124532n m n m 12、???=+=+10 2325 56y x y x 13、???=+=+2.54.22.35.12y x y x 14、?????=-+-= +6 )(3)1(26 132y x x y x 15、?? ???=+--=-+-042 3513042 3512y x y x 16、?????=--= +-4 323122y x y x y x 17、?? ? ??-=-++=-+52251230223x y x y x
二元一次方程组练习题 一、选择题： 1．下列方程中，是二元一次方程的是（） A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．1 x +4y=6 D．4x= 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． 2 2 8 423119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y += +=-=?? = ?? ????+=-==-=???? 3．二元一次方程5a－11b=21 （） A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（） A． 3333 ... 2422 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????===-=-???? 5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（） A．－1 B．－2 C．－3 D．3 2 6．方程组 43 235 x y k x y -= ? ? += ? 的解与x与y的值相等，则k等于（） 7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（） ①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1 x +y=5；④x=y；⑤x2－y2=2 ⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x A．1 B．2 C．3 D．4 8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（） A． 246246216246 ... 22222222 x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+= ???? ????=-=+=+=+???? 二、填空题 9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x为：x=________． 10．在二元一次方程－1 2 x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______． 11．若x3m－3－2y n－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______． 12．已知 2, 3 x y =- ? ? = ? 是方程x－ky=1的解，那么k=_______． 13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____． 14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________． 15．以 5 7 x y = ? ? = ? 为解的一个二元一次方程是_________． 16．已知 23 16 x mx y y x ny =-= ?? ?? =--= ?? 是方程组的解，则m=_______，n=______． 三、解答题 17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）?有相同的解， 求a的值． 18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？
二元一次方程组习题及答案100道+9y=81 3x+y=34 +4y=35 8x+3y=30 +2y=52 7x+4y=62 +6y=54 9x+2y=87 +y=7 2x+5y=19 +2y=21 3x+5y=56 +7y=52 5x+2y=22 +5y=65 7x+7y=203 +4y=56 x+4y=21
5x+8y=44 +5y=54 3x+4y=38 +8y=15 4x+y=29 +6y=24 9x+5y=46 +2y=62 4x+3y=36 +4y=46 7x+4y=42 +7y=135 4x+y=41 +8y=51 x+6y=27 +3y=99 4x+7y=95 +2y=38
+5y=45 7x+9y=69 +2y=28 7x+8y=62 +6y=14 3x+3y=27 +4y=67 2x+8y=26 +4y=52 7x+6y=74 +y=9 4x+6y=16 +6y=48 6x+3y=42 +2y=16 7x+y=11 +9y=77 8x+6y=94
7x+6y=66 +2y=22 7x+2y=47 1) 66x+17y=3967 25x+y=1200 答案：x=48 y=47 (2) 18x+23y=2303 74x-y=1998 答案：x=27 y=79 (3) 44x+90y=7796 44x+y=3476 答案：x=79 y=48 (4) 76x-66y=4082 30x-y=2940 答案：x=98 y=51 (5) 67x+54y=8546 71x-y=5680 答案：x=80 y=59
(6) 42x-95y=-1410 21x-y=1575 答案：x=75 y=48 (7) 47x-40y=853 34x-y=2006 答案：x=59 y=48 (8) 19x-32y=-1786 75x+y=4950 答案：x=66 y=95 (9) 97x+24y=7202 58x-y=2900 答案：x=50 y=98 (10) 42x+85y=6362 63x-y=1638 答案：x=26 y=62 (11) 85x-92y=-2518 27x-y=486 答案：x=18 y=44 (12) 79x+40y=2419
15.3.1含字母参数的分式方程专题导学案 班级：姓名： 解方程：{ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT | 增根的定义： 1、____________________ 2、____________________ 类型一：分式方程有增根 例1：若关于的方程有增根，求的值。 方法归纳： （1）化分式方程为____________________； （2）根据________________,确定增根的 值； （3）解含参数方程方法： ①___________________________； ②___________________________。 练习1：如果关于的方程有增根，则的值为_________ 练习2：若方程有增根，则增根为_______，k的值_______ 练习3：若关于的方程有增根，求增根和的值。 类型二：分式方程无解 例2:若关于的方程无解，求的值
练习4：如果关于的分式方程无解，求的值 类型三：分式方程的解为正数或者为负数（其他的限制条件） 例3：如果关于的方程的解为正数，则m的 取值范围？提示：不要忘记保证____________（即 ________________）这个隐含条件。 方法归纳： （1）__________________________； （2）__________________________； （3）__________________________。 练习5：如果关于的方程的解为正数，则a的取值范围____________。 练习6：当的值为何值时，关于的方程的解为负数？
典型例题一 例01．关于x 的方程b ax =在下列条件下写出解的情况： ①当0≠a 时，解的情况___________. ②当0=a 时，? ??≠=_______. 0._______ 0方程解情况方程解情况b b 分析 对于方程b ax =. ①当0≠a 时，方程有惟一一个解，解为a b x = ； ②当0=a 时，00,0=?=x b . 有无数个解，x 可为任意实数； 当0=a ，0≠b 时，方程无解. 说明 本题是很重要的基础知识. 典型例题二 例02．由22)(b a x b a -=+得b a x -=的条件是______. 分析 因))(()(b a b a x b a -+=+，当0≠+b a 时，.b a x -= 解答 0≠+b a . 说明 0≠+b a 是解本题的关键. 典型例题三 例03．已知d n a a n )1(1-+=，则=n ______. 分析 因d n a a n )1(1-+=，d n a a n )1(1-=-，d a a n n 1 1-=-. 故.11 +-= d a a n n 说明 公式变形实质上就是解含字母已知数的方程. 典型例题四 例04．方程 a b x b a x -=-（b a ≠）的解______. 分析 移项，得 a b b x a x -=-，
.) (a b ab a b x -=- 故 当b a =时，00=?x ，x 可为任何数； 当b a ≠时，0≠-a b ，故.ab x = 解答 .ab x = 说明 解含有字母系数的一元一次方程时，一定要注意用含有字母的式子去乘或除方程的两边时，这个式子不能为零. 因此必须讨论. 典型例题五 例05．已知关于x 的方程1)32(=-x a 的根为负数，则a 的取值范围是_____. 分析 1)32(=-x a ，因为方程有根，所以032≠-a ，a x 321 -= . 又因0
关于含有字母系数方程的解法 知识总结归纳： 含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。 公式变形实质上是解含有字母系数的方程 对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程ax b =型，讨论如下： （1）当a ≠0时，此时方程ax b =为关于x 的一元一次方程，解为：x b a = （2）当a =0时，分以下两种情况： <1>若b =0，原方程变为00x =，为恒等时，此时x 可取任意数，故原方程有无数个解； <2>若b ≠0，原方程变为00x b b =≠()，这是个矛盾等式，故原方程无解。 含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。 下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程 1. 求含有字母系数的一元一次方程的解 例1. 解关于x 的方程236 2ax b bx ac a b -=+≠c () 分析：将x 以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。 解：去分母得：1226ax bc bx ac -=+ 移项，得1262ax bx bc ac -=+ 2. 求含字母系数的分式方程的解 例2. 解关于x 的方程a ax b b bx a x -++=2 分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。 解：若a 、b 全不为0，去分母整理，得 对b a 22-是否为0分类讨论： （1）当b a 220-=，即a b =±时，有02?=-x ab ，方程无解。 （2）当b a 220-≠，即a b ≠±时，解之，得x ab a b = -2 若a 、b 有一个为0，方程为12x x =，无解 若a 、b 全为0，分母为0，方程无意义 检验：当x ab a b =-2时，公分母()()ax b bx a -+≠0，所以当ab a b ≠≠±0，时，x ab a b =-2是原方程的解。 说明：这种字母没给出条件的方程，首先讨论方程存在的隐含条件，这里a 、b 全不为0时，方程存在，然后在方程存在的情况下，去分母、化为一元一次方程的最简形式，再对未知数的字母系数分类讨论求解。当a 、b 中只有一个为0时，方程也存在，但无解；当a 、b 全为0时，方程不存在。最后对字母条件归纳，得出方程的解。 3. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件 例3. 如果关于x 的方程 a x a b x b +=+11有唯一解，确定a 、b 应满足的条件。 分析：显然方程存在的条件是：a ≠0且b ≠0
二元一次方程组单元测试题 一、选择题：（每题3分，共36分） 1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．3x －2y=4z B ．6xy+9=0 C ．1x +4y=6 D ．4x=2 4 y - 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A ．22 8 4 23119...23754624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=??=??? ? ? ?+=-==-=???? 3．二元一次方程5a －11b=21 （ ） A ．有且只有一解 B ．有无数解 C ．无解 D ．有且只有两解 4．方程y=1－x 与3x+2y=5的公共解是（ ） A ．3 333 ...2422x x x x B C D y y y y ==-==-????? ? ? ?===-=-???? 5．若│x －2│+（y+3）2=0，则 x+y 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．3 2 方程组43235x y k x y -=??+=? 的解，x 与y 的值相等，则k 等于（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．1 7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ①xy+2x －y=7； ②4x+1=x －y ； ③1 x +y=5； ④x=y ； ⑤x 2－y 2=2 ⑥6x －2y ⑦x+y+z=1 ⑧y （y －1）=2y 2－y 2+x A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．七年级学生共有246人，其中男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（ ） A ．246246216246 (22222222) x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+=????? ? ? ? =-=+=+=+???? 9.方程2x+y=9在正整数范围内的解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 10.若是m y x 25与2214-++n m n y x 同类项，则n m -2的值为 （ ） A 、1 B 、－1 C 、－3 D 、以上答案都不对 ?? ?-==12y x
分式方程增根 1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值 解答此类问题必须明确增根的意义： （1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。 （2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。 利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。 例1. （2000年潜江市） 使关于x 的方程a x x a x 2 2 24222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 与a 无关 解：去分母并整理，得： () a x 2 240 1--=<> 因为原方程的增根为x =2，把x =2代入<1>，得a 2=4 所以a =±2 故应选C 。 例2. （1997年山东省） 若解分式方程2111 2x x m x x x x +-++= +产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2 解：去分母并整理，得： x x m 2220 1---=<> 又原方程的增根是x =0或x =-1，把x =0或x =－1分别代入<1>式，得： m =2或m =1 故应选C 。 例3. （2001年重庆市） 若关于x 的方程ax x +--=1 110有增根，则a 的值为__________。 解：原方程可化为：()a x -+=<>120 1 又原方程的增根是x =1，把x =1代入<1>，得： a =-1 故应填“-1”。 例4. （2001年鄂州市）
关于x 的方程 x x k x -=+ -323 会产生增根，求k 的值。 解：原方程可化为：()x x k =-+<>231 又原方程的增根为x =3，把x =3代入<1>，得： k=3 例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程：()()()115 111 2x x k x x k x x -+-+=--只有增根 x =1。 解：原方程可化为： ()()()()x k x k x ++--=-<>151112 把x =1代入<1>，得k=3 所以当k=3时，解已知方程只有增根x =1。 评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是： （1）将所给方程化为整式方程； （2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）； （3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。 2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围 例6. （2002年荆门市） 当k 的值为_________（填出一个值即可）时，方程x x k x x x -=--122 只有一个实数根。 解：原方程可化为：x x k 220 1+-=<> 要原方程只有一个实数根，有下面两种情况： （1）当方程<1>有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由 ?=+=440k 得k=－1。当k=－1时，方程<1>的根为x x 121==-，符合题意。 （2）方程<1>有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由?=+>440k ，得k>－1。又原方程的增根为x =0或x =1，把x =0或x =1分别代入<1>得k=0，或k=3，均符合题意。 综上所述：可填“－1、0、3”中的任何一个即可。 例7. （2002年孝感市） 当m 为何值时，关于x 的方程211 1 2x x m x x x ---=+ -无实根？ 解：原方程可化为： x x m 220 1-+-=<> 要原方程无实根，有下面两种情况：