不等式的概念
1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
2
52,314,10,10,0,35
a x a x a a
-<-+>-++≤+>≥≠等都是不等式．
2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．
注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．
3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向
改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”。
【例1】用不等式表示数量的不等关系．
（1）a是正数
（2）a是非负数
（3）a的相反数不大于1
（4）x与y的差是负数
（5）m的4倍不小于8
（6）q的相反数与q的一半的差不是正数
（7）x的3倍不大于x的1 3
（8）a不比0大【巩固】用不等式表示：
⑴x的1
5
与6的差大于2；⑵y的
2
3
与4的和小于x；
⑶a的3倍与b的1
2
的差是非负数；⑷x与5的和的30%不大于2
-．
【巩固】用不等式表示：不等式（组）的概念、性质及解法
知识讲解
⑴a 是非负数； ⑵y 的3倍小于2； ⑶x 与1的和大于0；⑷x 与4的和大于1
不等式基本性质
基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．
如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么32(1)x a x +≥-
基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a b c c >) 如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或
a b c c
<) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或
a b c c
<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)
不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >．
不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．
易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
②在计算的时候符号方向容易忘记改变．
【例2】 ⑴如果a b >，则2a a b >+，是根据；
⑵如果a b >，则33a b >，是根据； ⑶如果a b >，则a b -<-，是根据； ⑷如果1a >，则2a a >，是根据； ⑸如果1a <-，则2a a >-，是根据．
【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．
⑴若a b <，则2a _______2b ；⑵若a b >，则4a -______4b -； ⑶若3
62
x ->，则x ______4-；⑷若a b >，0c >，则ac ______bc ；
⑸若0x <，0y >，0z <，则()x y z -_______0．
【巩固】若a b <，用“>”或“<”填空
⑴2_____2a b ++；⑵2_____2a b -- ⑶11
______33
a b ；⑷____a b --
【巩固】若a b <，则下列各式中不正确的是（）
A.88a b -<+
B.11
88
a b < C. 1212a b -<- D.22a b -<-
【例3】 已知a b >，要使bm am -<-成立，则m 必须满足( )
A ．0m >
B ．0m =
C ．0m <
D ．m 为任意数
【巩固】如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，那么a 的取值范围是（）
A.0a >
B.0a <
C.1a >-
D.1a <-
【巩固】若0a b <<，则下列不等式成立的是( )
A ．
11
a b
< B ．2ab b < C ．2a ab > D ．||||a b < 【巩固】如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立( )
A ．a b ->-
B ．
11
a b
< C ．2a b b +> D ．2a ab > 【巩固】如果2x >，那么下列四个式子中：①22x x >②2xy y >③2x x >④
11
2
x <正确的式子的个数共有 ( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【巩固】根据a b >，则下面哪个不等式不一定成立( )
A ．22a c b c +>+
B ．22a c b c ->-
C ．22ac bc >
D ．
2
2
11
a b
c c >++
不等式的解集
1.不等式的解：
使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．
2.不等式的解集：
能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．
不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解． 不等式的解集可以用数轴来表示．
不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．
在数轴上表示不等式的解集(示意图)：
【例4】 下列说法中错误的是（）
A.不等式28x -<的解集是4x >-；
B.40-是不等式28x <-的一个解
C.不等式6x <的正整数解有无数多个
D.不等式6x <整数解有无限个
【例5】 在数轴上表示下列不等式的解集：
⑴1x <；⑵2x ≥-；⑶2x <-或1x ≥；⑷21x -≤<
不等式的解集
在数轴上表示的示意图
不等式的解集
在数轴上表示的示意图
x a >
x a ≥
x a <
x a ≤
x
a x
a x
a a x
【巩固】在12-、1-、2-、0、3-、12、3
2
-中，能使不等式32x +<成立的有（）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【巩固】下列不等式：①76->-；②a a >-；③1a a +>；④0a >；⑤210a +>，其中一定成立的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
一元一次不等式的解法
1.一元一次不等式：
经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b <或ax b >的形式，其中x 是未知数，,a b 是已知数，并且0a ≠，这样的不等式叫一元一次不等式．
ax b <或ax b >(0a ≠)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解一元一次不等式：
去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax b <或ax b >形式)→系数化一(化成b x a >或b
x a
<的形式)
【例6】 求不等式3(1)5
182
x x x +-+>-
的解集．
【巩固】解不等式：5192311
236
x x x +--+≤
【巩固】解不等式
2110155364
x x x ++--≥，并把它的解集在数轴上表示出来．
【巩固】解不等式2(1)34(1)5
x x x
+->++
【巩固】当x为何值时，代数式21
1
3
x+
-的值不小于
35
4
x
+
的值？
【例7】求不等式45
12
x-
＜1的正整数解．
【巩固】不等式
1
3
2
x x
+>的负整数解是_______．
【巩固】不等式
111
326
y y y
+--
-≥的正整数解为__________．
【巩固】求不等式
121
23
x x
+-
≥的非负整数解．
一元一次不等式组的解法
1.一元一次不等式组和它的解法
一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集
2.解一元一次不等式组的一般步骤：
①求出这个不等式组中各个不等式的解集：
②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集 注意：
①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点； ②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解 3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：
不等式组（a b <）
图示 解集 口诀
x a
x b ≥??≥?
x b ≥ 同大取大
x a
x b ≤??≤?
x a ≤
同小取小
x a
b b ≥??≤?
a x
b ≤≤ 大小，小大中间找
x a
x b ≤??≥?
空集 小小，大大找不到
【例8】 解不等式组314
22x x x ->-??<+?
，并把它的解集表示在数轴上．
【巩固】求不等式组2(2)43251x x x x -≤-??--?
＜①
②的整数解．
【例9】 解不等式：32122
x
--<≤；
b
a a b
a b
a b
【巩固】解不等式：231
21 42
x
x
-
≤≤+
【例10】解不等式组：
11
14
1010
37
2
x
x x
x
x
?
-+>+
??--
?
?+>+
??
；
【巩固】解不等式组：
323(1)
12
1
23
x x
x x
x +≥--
?
?
-+
?
->-??
【例11】解不等式组：
2(20)203(34)25 216
23
x x x x x
-+≥-+
?
?
-+
?
<
??
【巩固】解不等式组：
734
34 25
5
5(4)2(4) 3
x x
x x x
-+
?
-≥-??
?
?+-≤-??
【例12】 解不等式组()1211236
21[41]43
x x x x x x x --+?->-????---??①≥②。
【巩固】如果2m 、m 、1m -这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，求m 的取值范围．
1.如果a b >，可知下面哪个不等式成立( )
A ．a b ->-
B ．11
a b
< C ．2a b b +> D ．2a ab >
2.比较下列各对代数式的值的大小：
⑴已知x y <，则11
1______122
x y --；
⑵已知2323x y ->-，则_____x y 。
3.解不等式：31
1(21)(12)272
x x x --≥-+
4.解不等式组：1
1323(2)82x x x x x +-?≥-?
??-+>?
同步练习
5.求同时满足
5
647
7
x x
+>+和83450
x x
+<+的整数解
一、填空
1．不等式 3.8
x>-的负整数解为
2．不等式213
x-<的非负整数解是
3．不等式230
x+>的最小整数解是
4．不等式721
x
->的正整数解是
5．关于x的方程210
x k
+-=的根是正数，则k的取值范围是
6．不等式组
12
36
x
x
+≥
?
?
<
?
的解集是
7．不等式组
12
731
x
x
+>
?
?
+>
?
的解集是
课后练习
8．不等式组
240
1
(8)20
2
x
x
+<
?
?
?
+->
??
的解集是，这个不等式组的整数解是
9．不等式组
4(2)10
21
1
5
x x
x
x
--≥
?
?
-
?
<+
??
的解集是
10．不等式组
52(1)
12
33
x
x x
>-
?
?
?
-≤-
??
的整数解的和是
二、解答题
1．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
⑴
238
1
11
2
x
x
-≤
?
?
?
-<
??
⑵
211
841
x x
x x
-≥+
?
?
+<-
?
⑶
250
2(1)0
x
x x
-<
?
?
-+<
?
⑷
2(2)5
3628
x x
x x
+>-
?
?
->-
?
⑸
315
2(1)6
x x
x x
+>-
?
?
+-<
?
⑹
2(1)4
3(1)57
x x
x x
-≤-
?
?
+<+
?
⑺
3
(21)4
2
13
21
2
x x
x
x
?
--≤
??
?
-
?>-
??
⑻
1
12
2
(1)(3)(3)
x
x
x x x x
+
?
-≤+
?
?
?->+-
?
【新教材】等式性质与不等式性质 教学设计（人教A版） 等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫. 课程目标 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。 数学学科素养 1.数学抽象：不等式的基本性质； 2.逻辑推理：不等式的证明； 3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用； 4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）； 5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。 重点：掌握不等式性质及其应用．
难点：不等式性质的应用． 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是 2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些 3.重要不等式是 4.等式的基本性质 5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1、两个实数比较大小的方法 作差法{a?a>0?a>a a?a=0?a=a a?a<0?a 第五讲 不等式的解法、性质与证明 一、不等式的性质： ⑴(对称性或反身性⑵(传递性)a b b c a c >>?>，; ⑶(可加性)a b a >?;(同向可相加)a b c d a c b d ?>>+>+， ⑷(可乘性)0a b c ac bc ?>>>，； 0a b c ac bc ?><<，. (正数同向可相乘)00a b c d ac bd ?>>>>>， ⑸(乘方法则)00n n a b n N a b >>∈?>>（）⑹(开方法则)0,20n n a b n N n a b >>∈>（≥） ⑺(倒数法则)11 0a b ab a b ? >><， 1、判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若a>b ，则ac 2>bc 2 ； （2）若 a c 2>b c 2 ，则a>b ； （3）若a>b ，且ab ≠0，则1a <1b ； （4）若a>b ，c>d ，则ac>bd ； （5）若a>b ，且k ∈N +，则a k >b k ； （6）若a>b>0，则a a >a b ；（7）若a>b>0，则b 2 +1a 2 +1 > b 2a 2 2、比较下列各组数的大小，其中x ∈R 。（1）x 2+3与3x ；（2）x 6+1与x 4+x 2 ；3）11+x 与1-x 。 3、已知a,b 为正数，试比较a b +b a 与 a +b 的大小。 4、已知a>b ，则不等式(1)a 2>b 2,(2)1a < 1b ,(3)1a -b >1 a 中不能成立的个数是（ D ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 5、已知12 不等式的基本性质知识点 1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b ⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。 ⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，禾U用不等式的性质，判断不等式能否成立。 ⑵利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 ⑶利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日 期： 第7章 第1节 一、选择题 1．(文)(20XX·深圳市深圳中学)不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x|x>1} B ．{x|x≥1} C ．{x|x≥1且x ＝－2} D ．{x|x≥1或x ＝－2} [答案] D [解析] 不等式化为????? x －1≥0x ＋2≥0或x ＋2＝0， ∴x≥1或x ＝－2，故选D. (理)(20XX·天津文，7)设集合A ＝{x|x －a|＜1，x ∈R}，B ＝{x|1＜x ＜5，x ∈R}，若A∩B ＝?，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a|0≤a≤6} B ．{a|≤2，或a≥4} C ．{a|a≤0，或a≥6} D ．{a|2≤a≤4} [答案] C [解析] |x －a|<1?a －1 函数，函数y ＝f ′(x)的图象如图所示．若实数a 满足f(2a ＋1)<1，则a 的取值范围是( ) x －2 0 4 f(x) 1 －1 1 A.????0，32 B.??? ?－12，32 C.????12，72D.??? ?－32，32 [答案] D [解析] 由f ′(x)的图象知，f(x)在[－2,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又由表知若f(2a ＋ 1)<1，则－2<2a ＋1<4，∴－32 2.1等式性质与不等式性质 (一) 1.数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数 大. 2.实数的运算性质与大小顺序之间的关系(教材中方框内的三个等价关系). 3.差值比较法比较两个实数的大小. (二) 1.掌握差值比较法. 2.会用差值比较法比较两个实数的大小. (三) 1.培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 2.培养学生数形结合的数学思想和灵活应变的解题能力. 3.培养学生分类讨论的数学思想和思考问题严谨周密的习惯. ●教学重点 理解在两个实数a、b之间具有以下性质：a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a －b＜0.这是不等式这一章内容的理论基础，是不等式性质证明、证明不等式和解不等式的主要依据. ●教学难点 比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号(注意是指差的符号，至于值是多少，在这里无关紧要).差值比较法是比较实数大小的 基本方法，通常的步骤是：作差→变形→判断差值的符号. ●教学方法 ●教具准备 投影片两张. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 在客观世界中，不等关系具有普遍性、绝对性，是表述和研究数量取值范围的重要工具.研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式.实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系. Ⅱ. (一)打出投影片§6.1.1 A ［师］数轴的三要素是什么? ［生］原点、正方向、单位长度. ［师］把下列各数在数轴上表示出来，并从小到大排列： 213-,5-,0,-4,2 3 ［生］ ∴213-＜-4＜0＜2 3＜｜－５｜. ［师生共析］在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. (二)请同学们预习课本，(教师打出投影片§6.1.1 A ，§６.1.1 B)，在解决了投影片 §６.1.1 A 问题基础上解决下列问题： ［师］若a ＞b ，则a －b 0；若a ＝b ，则a －b 0；若a ＜b ，则a －b 0. ［生］若a ＞b ，则a －b ＞0；若a ＝b ，则a －b ＝0；若a ＜b ，则a －b ＜0，反之亦然. ［师］“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价吗? ［生］显然，“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价. ［师生共析］ 此等价关系提供了比较实数大小的方法：即要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了. (三) ［例1］比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小. ［师］比较两个实数a 与b 的大小，可归纳为判断它们的差a －b 的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要).由此，把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题. 本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4） ＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８） ＝－７＜0 ∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4） ［例2］已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小. ［师］同例1方法类似，学生在理解基础上作答. 本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1） ＝（x 4＋2x 2＋1）－（x 4＋x 2＋1） ＝x 4＋2x 2＋1－x 4－x 2－1 ＝x 2 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法 一、选择题 1．（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1 科 目数学授课 日期 课 时 4 教学 内容 1.1不等式的性质与解集班级 授 课 方 式 讲授法、练习法课型新授课 教学目的1、理解实数的大小与比较,会用数轴上的点表示实数 并比较大小 2、理解不等式的性质,并学会应用性质比较大小 3、理解集合的概念,掌握集合的表示方法,并学会表 示不等式的解集 教 具 多媒体 重点1、用数轴上的点表示实数并比较大 小 2、应用不等式性质比较大小 3、不等式解集的表示 难 点 应用不等式性质比较大小 课后 分析 说 明 审阅签名：年月日 教学环节教师活动学生活动设计意图及资源准备 组织教学10分钟1、师生互相问候 2、检查学生出勤 1、师生互相问 候 2、向教师报告 出勤情况 设计意图： 营造课堂气氛 资料准备： 多媒体课件 新课导入10分钟日常生活中,我们在考察事物的时候经常要进行大 小、轻重、长短的比较。在数学中常应用不等式 知识来研究这类问题。不等式是进一步学习数学 和其他科学的基础，在本章中,我们将学习不等式 的性质及其解法。 对问题进行思考 以及回答 设计意图： 导入本节课内容。 资料准备： 多媒体课件 讲授新课60分钟一、实数的大小 我们知道,实数与数轴上的点之间可以建立一一对 应关系 例如,点A与数2对应,点B与-3对应等,可以 看到,当数轴上一点P从左向右移动时,它对应的 实数就从小到大变化 数轴上的任意两点中,右边的点对应的实数比左边 的点对应 的实数大 例如,点A位于点B的右边,则点A对应的实数2 比点B 对应的实数-3大,即2>-3 在数轴上,如果点A在点B的右边,点A对应的实 数为a 点B对应的实数为b,则有a>b或b0?a>b a-b=0?a=b a-b<0?ab,那么a+m>b+m 如果a 初二下册第二章一元一次不等式及不等式组 一元一次不等式的解法（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 2.能够熟练解一元一次不等式； 3.掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 【要点梳理】 要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如， 2 x50 是一个一元一次不等式． 3 要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式( 单项式或多项式 ) ； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为 1. (2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜” 、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等 号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不 等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x a （或 x a ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1) 去分母； (2) 去括号； (3) 移项； (4) 化为ax b（或ax b）的形式（其中a 0）； (5) 两边同除以未知数的系数，得到不等式的 解集 . 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个负数时，不等号的方向要改变． 要点三、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释： 不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义： 不等式的概念和基本性质 重点：不等式的基本性质 难点：不等式基本性质的应用 主要内容： １．不等式的基本性质 （１）a>b bb,b>c a>c （３）a+b （３）若a 1.了解不等式的意义，理解不等式解集的含义，会在数轴上表示解集； 2.理解不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式. 重点：不等式的定义、列不等式和不等式的性质； 难点：不等式的解、解集的表示方法以及不等式性质的运用. 第12讲不等式定义及其性质 不等式的定义 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式. 例如：2 ≤≥等都是不等式．-<-+>-+++>≠ 52,314,10,10,0,35 a x a x a a 2.常见的不等号有5种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 注意：不等式32 ≥成立． =成立，所以不等式33≥成立；而不等式33 ≥也成立，因为33 3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”. 例1.下列式子＜y+5； 1＞2； 3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2中，不等式有（）个． A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【解析】＜y+5；1＞2；3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2都是不等式. 练习1.下列数学表达式中，①﹣8＜0；②4a+3b＞0；③a=3；④a+2＞b+3，不等式有（） A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】①②④都是表示不等关系，③表示相等关系. 练习2.在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】﹣3＜0，x≥2，x≠3，x+1＞y都是表示不等关系的式子. 利用不等式的定义，表示不等关系的式子叫不等式. 列不等式 1.根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系. 2.步骤：①正确列出代数式；②正确使用不等号 一．选择题（共27小题） 1．已知a＞b，则在下列结论中，正确的是（） A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣2a＜﹣2b C．|a|＞|b|D．a2＞b2 2．若x+a＜y+a，ax＞ay，则（） A．x＞y，a＞0 B．x＞y，a＜0 C．x＜y，a＞0 D．x＜y，a＜0 3．若a＜b，则下列各式中一定正确的是（） A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D．﹣a＞﹣b 4．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（） A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b 5．当x＜a＜0时，x2与ax的大小关系是（） A．x2＞ax B．x2≥ax C．x2＜ax D．x2≤ax 6．实数a，b，c满足a＜b＜0＜c，则下列式子中正确的是（）A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a＜﹣b＜﹣c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c 7．如果c为有理数，且c≠0，下列不等式中正确的是（） A．3c＞2c B．C．3+c＞2+c D．﹣3c＜﹣2c 8．如果0＜x＜1，则下列不等式成立的是（） A．B．C．D． 9．若a＜b＜0，则下列各式错误的是（） A．a﹣2＜b﹣2 B．C．D．2a﹣1＜2b﹣1 10．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．a2＜ab B．ab＜b2C．D．7a﹣7b＜0 11．若0＜x＜1，则下列不等式成立的是（） A．x2＞＞x B．＞x2＞x C．x＞＞x2D．＞x＞x2 12．如果a＜b＜0，那么下列不等式中成立的是（） A．﹣3a＜﹣3b B．a3＜b3C．a2＜b2D．c﹣a＜c﹣b 13．已知﹣4x＞3，则下列不等式中，错误的是（） A．﹣4x+1＞4 B．﹣4x﹣3＞0 C．x＞﹣D．﹣x＞1 不等式的性质及解法 知识要点： 不等式与等式有许多不同，主要包括： 1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号， 即a b ac bc c ac bc c ac bc c >?>>>=<?->?< 这个性质等式中也存在，即a b b a =?=， 对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：a b ab a b R +≥∈2(,) 这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许多变式。 （2） 传递性 a b b c a c >>?>, 这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。 （3） 移项法则 a b a c b c >?+>+ 如：x x +>?>-321,相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。 3、运算性质： （1）加法运算：a b c d a c b d >>?+>+, （2）减法运算：统一成加法运算 a b c d a b d c a d b c >>?>->-?->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>?>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算 a b c d a b d c a d b c >>>>?>>>>?>>0001100,, （由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c >>?>>011 0） （5）乘方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) （6）开方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) 不等式的性质及其解法 第一部分：基础回顾 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0,；bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 0>? 0=? 0a ）的图象 ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式 学习 目标核心素养 1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养． 2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养. 1．不等关系 不等关系常用不等式来表示． 2．实数a，b的比较大小 文字语言数学语言等价条件 a－b是正数a－b＞0a＞b a－b等于零a－b＝0a＝b a－b是负数a－b＜0a＜b 一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab， 当且仅当a＝b时，等号成立． 1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为() A ．T <40 B ．T >40 C ．T ≤40 D ．T ≥40 C [限重就是不超过，可以直接建立不等式T ≤40.] 2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v 的最大值为120 km/h ，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示为( ) A ．v ≤120 km/h 且d ≥10 m B ．v ≤120 km/h 或d ≥10 m C ．v ≤120 km/h D ．d ≥10 m A [v 的最大值为120 km /h ，即v ≤120 km /h ，车间距d 不得小于10 m ，即d ≥10 m ，故选A.] 3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________． 4．5t <28 000 [由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000.] 4．设M ＝a 2，N ＝－a －1，则M 、N 的大小关系为________． M ＞N [M －N ＝a 2 ＋a ＋1＝? ? ? ??a ＋122＋34＞0， ∴M ＞N .] 用不等式(组)表示不等关系 【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350 km /h 的速度，这个速度的2倍再加上100 km /h ，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系． [解] 设复兴号列车速度为v 1， 民航飞机速度为v 2， 姓名学科韦日辉 数学 学生姓名 年级年级 填写时间 教材版本 2014-- 北师大版 阶段观察期□：第（）周维护期□本人课时统计第（）次课共（）课时 课题名称 课时计划 共（）课时 （全程或具体时间） 上课时间:00-:00同步教学知识内容 教学目标 个性化学习问题解决 教学重点 教学难点 不等式的概念、性质及解法中考要求 内容 不等式(组) 不等式的性质 基本要求 能根据具体问题中的大小 关系了解不等式的意义． 理解不等式的基本性质． 了解一元一次不等式(组) 略高要求 能根据具体问题中的数量关系列 出不等式(组)． 会利用不等式的性质比较两个实 数的大小． 会解一元一次不等式和由两个一 较高要求 能根据具体问题中的数量关系列 解一元一次不 等式(组) 的解的意义，会在数轴上表元一次不等式组成的不等式组，并出一元一次不等式解决简单问 示(确定)其解集． 例题精讲 会根据条件求整数解．题． ⑴ x 的 与 6 的差大于 2 ； ⑵ y 的 与 4 的和小于 x ； > ) < ) 板块一、不等式的概念和性质 ?不等式的概念 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： -5 < -2, a + 3 > -1 + 4, x + 1 ≤ 0, a 2 + 1 > 0, x ≥ 0,3 a ≠ 5a 等都是不等式． 2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立． 3.不等号“ > ”和“< ”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其 相反的方向，如：“ > ”改变方向后，就变成了“ < ”。 【例1】用不等式表示数量的不等关系． （1） a 是正数 （2） a 是非负数 （3） a 的相反数不大于 1 （4） x 与 y 的差是负数 （5） m 的 4 倍不小于 8 （6） q 的相反数与 q 的一半的差不是正数 （7） x 的 3 倍不大于 x 的 1 3 （8） a 不比 0 大 【巩固】用不等式表示： 1 2 5 3 ⑶ a 的 3 倍与 b 的 1 2 的差是非负数； ⑷ x 与 5 的和的 30% 不大于 -2 ． 【巩固】用不等式表示： ⑴ a 是非负数； ⑵ y 的 3 倍小于 2 ； ⑶ x 与1 的和大于 0 ；⑷ x 与 4 的和大于1 ?不等式的性质 不等式基本性质： 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果 a > b ，那么 a ± c > b ± c 如果 a < b ，那么 3x + 2 ≥ a( x - 1) 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果 a > b ，并且 c > 0 ，那么 ac > bc (或 如果 a < b ，并且 c > 0 ，那么 ac < bc (或 a b c c a b c c 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 《不等式及其解集》教案 秭归县新滩中学 郑少琼 教学目标： 一、知识与能力： 了解不等式概念； 理解不等式的解集； 能用数轴表示不等式的解集； 二、过程与方法： 经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想； 三、情感、态度与价值观： 通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识；让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域． 教学重点： 正确理解不等式及不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上． 教学难点： 正确理解不等式解集的意义. 教具： 课件 教学过程： 一、创设情景，导入新课 1、很多人在自己的童年生活中，都做过跷跷板的游戏，当一个大人和一个小孩同时坐上等臂长的跷跷板的两边时会发生什么现象呢？这是什么原因呢？ 2、一辆匀速行驶的汽车在11：20时距离A 地50千米，要在12：00到达A 地，车速应该具备什么条件？如果要在12：00之前驶过A 车速又应该满足什么条件？ 问题一：汽车能在12：00准时到达A 地 问题二：汽车能在12：00之前到达A 地 （意图：从实际问题引入不等式，同时从等式自然的过度到不等式） 50x 3 2或32x 50==32x 50?50x 3 2? 二、探究新知 (一)不等式的概念 上面的两组式子有什么不同点. 在学生对比的基础，师生共同归纳得出，用不等符号连接表示不等关系的式子叫不等式 练习1：下列式子是否是不等式？ （1）-2＜5 （2）x +3＞2x （3）4x -2y ＜0 （4）a -2b （5）x 2 -2x +1＜0 （6）a +b ≠c （7）5m +3=8 （8）x ≤-4 练习2：用不等式表示： （1）a 与1的和是正数； （2）a 是非负数； （3）a 与b 的和不小于7； （4）a 与2的差大于-1； （5）a 的4倍不大于8； （6）a 的一半小于3. (二)不等式的解、不等式的解集 x +3>7中x =5满足不等式吗？ 我们把x =5带入不等式发现，左边=8右边=7 8>7成立，所以5是不等式x +3>7的解，不等式x +3>7还有其它的解吗？ 什么是不等式的解？ 学生总结： 1、不等式的解就是能使不等式成立的未知数的值； 2、不等式的解不止一个； 师生归纳： 一般的，一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫解不等式 练习 3.下列说法正确的是（ ） A.x =3是2x >1的解 B.x =3是2x >1的唯一解 C.x =3不是2x >1的解 D.x =3是2x >1的解集 4.下列数值哪些是不等式x +3>6的解？你能确定它的解集吗？ -4， -2.5， 0， 1， 2.5， 3， 3.2， 4.8， 8， 12 50x 3 2或3250==x 32x 50?50x 3 2? 不等式的基本性质及其解集 一、不等式的性质 1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变． c a b a +?> c a b a c b +?<+, c b + 2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若：0,>>c b a ，可得ac bc ． 3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 若ac c b a ?<>0, bc ． 二．不等式的解集 1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集. 2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。如1-≤x 或x <-1等。 x < ②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） 4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需 要变号。 典型例题 例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7 （2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围. 例3．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。 A 、x ＞－1 B 、x ＜－1 C 、x ＜－2 D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围． 思考题．设c b a ,,均为正数，若a c b c b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小． y k 2x (第3题图)不等式解法性质与证明
不等式的基本性质知识点
{高中试卷}高三数学一轮复习：不等式性质及解法练习题3[仅供参考]
2.1 等式性质与不等式性质
人教A版新课标高中数学必修一教案-《等式性质与不等式性质》
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精练)(原卷版)
1.1不等式的性质与解集
一元一次不等式的解法(教师版).doc
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