上海培佳双语学校数学三角形解答题单元测试卷（word版，含解析）
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）∠ABC＋∠ADC＝°；
（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；
（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝1
4
∠CDN，∠CBE
＝1
4
∠CBM），试求∠E的度数．
【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450
【解析】
【分析】
（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；
（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=1
2
∠ADC，∠CBF=
1
2
∠CBM，
然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；
（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
【详解】
（1）解：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；
故答案为180°；
（2）解：延长DE交BF于G，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=1
2
∠ADC，∠CBF=
1
2
∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF，
即DE⊥BF；
（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠CDE+∠CBE=1
4
×180°=45°，
延长DC交BE于H，
由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，
∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，
∴∠E=90°-45°=45°
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．
2．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点
B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，
∠BG1C=70°，求∠A的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°．
【解析】
【分析】
（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，
∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；
②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出∠DCE的度数；
③由②得∠BG1C=
1
10
（∠ABD+∠ACD）+∠A，设∠A为x°，即可列得
1
10
（133-x）+x=70，
求出x的值即可.
【详解】
（1）如图（1），连接AD并延长至点F，
根据外角的性质，可得
∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，
又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
∵∠A=40°，∠BXC=90°，
∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；
②由（1），可得
∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，
∴1
2
（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴
1
2
ADC ADB
∠=∠，
1
2
AEC AEB
∠=∠，
∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,
=1
2
（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,
=45°+40°, =85°；
③由②得∠BG1C=
1
10
（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG 1C=70°， ∴设∠A 为x°， ∵∠ABD+∠ACD=133°-x° ∴
1
10
（133-x ）+x=70， ∴13.3-
1
10
x+x=70， 解得x=63， 即∠A 的度数为63°. 【点睛】
此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.
3．如图，在△ABC 中，已知AD BC ⊥于点D ，AE 平分()BAC C B ∠∠>∠ （1）试探究EAD ∠与C B ∠∠、的关系；
（2）若F 是AE 上一动点，当F 移动到AE 之间的位置时，FD BD ⊥,如图2所示，此时
EFD C B ∠∠∠与、的关系如何？
（3）若F 是AE 上一动点，当F 继续移动到AE 的延长线上时，如图3，FD BC ⊥，①中的结论是否还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.
【答案】（1）∠EAD=1
2
（∠C-∠B ），理由见解析； （2）∠EFD=1
2
（∠C-∠B ），理由见解析； （3）∠AFD=1
2
（∠C-∠B ）成立，理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）由图不难发现∠EAD=∠EAC-∠DAC ，再根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义分别用结论中出现的角替换∠EAC 和∠DAC ；
（2）作AG BC ⊥于G 转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决； （3）作AH BC ⊥于H 转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决． 【详解】
解：（1）∠EAD=
1
2
（∠C-∠B ）.理由如下：
∵AE 平分∠BAC ， ∴∠BAE=∠CAE=
1
2
∠BAC ∵∠BAC=180°-（∠B+∠C ）
∴∠EAC=
1
2
[180°-（∠B+∠C ）] ∵AD ⊥BC ， ∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C ， ∵∠EAD=∠EAC-∠DAC ∴∠EAD=
12 [180°-（∠B+∠C ）]-（90°-∠C ）=1
2（∠C-∠B ）． （2）∠EFD=
1
2
（∠C-∠B ）.理由如下：
作AG BC ⊥于G
由（1）可知∠EAG=
1
2
（∠C-∠B ） ∵FD BD ，AG BC ⊥ ∴FD ∥AG
∴∠EAG=∠EFD
∴∠EFD=
1
2（∠C-∠B ） （3）∠AFD=1
2
（∠C-∠B ）．理由如下：
作AH BC ⊥于H
由（1）可知∠EAH=1
2
（∠C-∠B ） ∵FD BD ⊥，AH BC ⊥ ∴FD ∥AH
∴∠EAH=∠AFD
∴∠AFD=1
2
（∠C-∠B ） 【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的定义和三角形内角和定理是解答此题的关键．
4．数学活动课上，老师提出了一个问题：
我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系？ （1）独立思考，请你完成老师提出的问题：
如图所示，已知∠DBC 和∠BCE 分别为△ABC 的两个外角，试探究∠A 和∠DBC ，∠BCE 之间的数量关系.
解：
⑵合作交流，“创新小组”受此问题的启发：分别作外角∠CBD 和∠BCE 的平分线BF 和CF ，交于点F （如图所示），那么∠A 与∠F 之间有何数量关系？请写出解答过程.
【答案】（1）∠DBC+∠BCE－∠A=180o（2）1
2
∠A+∠F=90o
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形内角和定理计算即可.（2）根据角平分线可知∠FBC+∠FCB=1
2
（∠DBC+∠BCE，）再根据三角形内角和定理，结合（1）即可解答.
【详解】
⑴∠DBC+∠BCE－∠A=180o.
∠DBC+∠BCE
=∠ABC+∠A+∠ACB+∠A
=180°+∠A
即∠DBC+∠BCE－∠A=180o.
（2）1
2
∠A+∠F=90°
∵BF和CF分别平分∠CBD和∠BCE，
∴∠CBF=1
2
∠CBD，∠BCF=
1
2
∠BCE.
∴∠CBF+∠BCF=1
2
(∠CBD+∠BCE).
∵∠CBF+∠BCF=180o－∠F，∠DBC+∠BCE=180o+∠A.
∴180o－∠F =1
2
（∠CBD+∠BCE）=
1
2
(180o+∠A)
∴1
2
∠A+∠F=90o.
【点睛】
本题考查了三角形外角性质及三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键. 5．(1)如图①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；
(2)如图②，设x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，运用(1)中的结论填空．
x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；
(3)如图③，一个六角星，其中∠BOD＝70°，则
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.
【答案】（1）证明见解析. (2)180；180；180；(3)140
【解析】
【分析】
（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根据∠BDC=∠A+∠B，判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．
（2）a、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据
∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．
b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据
∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．
c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得
∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得
x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．
（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．
【详解】
(1)证明：如图，延长BO交AC于点D，则∠BOC＝∠BDC＋∠C，
又∵∠BDC＝∠A＋∠B，
∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.
(2)180；180；180
(3)140
【点睛】
（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
6．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D点．
(1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由；
(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由．
①②
【答案】(1)∠EFD＝1
2
∠C－
1
2
∠B.（）成立，理由见解析.
【解析】【分析】
先根据AE平分∠BAC推出∠BAE=1
2
∠BAC=
1
2
[180°-（∠B+∠C）]，再根据外角的定义
求出∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性质求出∠EFD=90°-∠FED．【详解】
解：(1)∠EFD＝1
2
∠C－
1
2
∠B.
理由如下：由AE是∠BAC的平分线知∠BAE＝1
2
∠BAC.
由三角形外角的性质知∠FED＝∠B＋1
2
∠BAC，
故∠B＋1
2
∠BAC＋∠EFD＝90°①.
在△ABC中，由三角形内角和定理得∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，
即1
2
∠C＋
1
2
∠B＋
1
2
∠BAC＝90°②.
②－①，得∠EFD＝1
2
∠C－
1
2
∠B.
(2)成立．
理由如下：由对顶角相等和三角形的外角性质知：∠FED＝∠AEC＝∠B＋1
2
∠BAC，
故∠B＋1
2
∠BAC＋∠EFD＝90°①.
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即1
2
∠B＋
1
2
∠BAC＋
1
2
∠C＝90°②.②－①，得
∠EFD＝1
2
∠C－
1
2
∠B.
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．
7．已知△ABC，（1）如图1，若D点是△ABC内任一点、求证：
∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．
（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式．（不需要证明）
（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°；（3）
∠D+∠ACD=∠A+∠ABD，证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）由∠BDC=∠2+∠CED，∠CED=∠A+∠1，可以得出∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）由∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，
∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+DCB=180°，可以得出∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．（3）根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知∠AED=∠1+∠A，∠AED=∠D+∠2，所以可知∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．试题解析：（1）证明：延长BD交AC于点E．
∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC=∠2+∠CED，
∵∠CED是△ABE的外角，∴∠CED=∠A+∠1．
∴∠BDC=∠A+∠1+∠2．即∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．
（2）∵∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，
∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．
（3）证明：令BD、AC交于点E，
∵∠AED是△ABE的外角，
∴∠AED=∠1+∠A，
∵∠AED 是△CDE 的外角， ∴∠AED=∠D+∠2．
∴∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．
点睛：本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
8．已知，在ABC 中，∠A =60°，
（1）如图①，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC= ； （2）如图②，∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2，则
2_________BO C ∠=；
（3）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -（内部有
1n -个点），则1-∠=n BO C ；
（4）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -，若
190-∠=?n BO C ，求n 的值．
【答案】（1）120°；（2）100°；（3）60120+??
? ???
n n ；（4）n=4 【解析】 【分析】
（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据角平分线的定义即可求出∠OBC ＋∠OCB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据三等分线的定义即可求出∠O 2BC ＋∠O 2CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据n 等分线的定义即可求出∠O n －1BC ＋∠O n －1CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论； （4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论． 【详解】
解：（1）∵在ABC 中，∠A =60°， ∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120° ∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ， ∴∠OBC=
12∠ABC ，∠OCB=1
2
∠ACB
∴∠OBC ＋∠OCB=12∠ABC ＋1
2
∠ACB =
1
2（∠ABC ＋∠ACB ） =60°
∴∠BOC=180°－（∠OBC ＋∠OCB ）=120° 故答案为：120°．
（2）∵在ABC 中，∠A =60°， ∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°
∵∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2， ∴∠O 2BC=
23∠ABC ，∠O 2CB=2
3
∠ACB ∴∠O 2BC ＋∠O 2CB=23∠ABC ＋2
3
∠ACB =
2
3（∠ABC ＋∠ACB ） =80°
∴2∠=BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=100° 故答案为：100°．
（3）∵在ABC 中，∠A =60°， ∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°
∵∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O - ∴∠O n －1BC=
1n n -∠ABC ，∠O n －1CB=1
n n
-∠ACB ∴∠O n －1BC ＋∠O n －1CB=1n n -∠ABC ＋1
n n
-∠ACB =
1
n n
-（∠ABC ＋∠ACB ） =120120-??
???
n n ° ∴1-∠=n BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=60120+??
? ???
n n 故答案为：60120+??
?
???
n n （4）由（3）知：1-∠=n BO C 60120+??? ???
n n ∴
60120
90+=n n 解得：n=4
经检验：n=4是原方程的解．
【点睛】
本题考查了n等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n等分线的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
9．已知，如图甲，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC 于D．
（1）试说明：∠EFD=（∠C﹣∠B）；
（2）当F在AE的延长线上时，如图乙，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）成立，证明见详解.
【解析】
【分析】
(1) 根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到
∠BAE=1
2
∠BAC=
1
2
（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣1
2
（∠B+∠C），然后根据三角形的外角的
性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求得结论；
(2)根据(1)可以得到∠AEC=90°+1
2
（∠B﹣∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利
用直角三角形的两个锐角互余即可求解.【详解】
解：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=1
2
∠BAC=
1
2
（180°﹣∠B﹣∠C）
=90°﹣1
2
（∠B+∠C），
∵∠FEC=∠B+∠BAE，
则∠FEC=∠B+90°﹣1
2
（∠B+∠C）
=90°+1
2
（∠B﹣∠C），
∴∠EFD=90°﹣∠FEC ， 则∠EFD=90°﹣[90°+1
2
（∠B ﹣∠C ）] =
1
2
（∠C ﹣∠B ）； （2）成立．
证明：同（1）可证：∠AEC=90°+1
2
（∠B ﹣∠C ）， ∴∠DEF=∠AEC=90°+1
2
（∠B ﹣∠C ）， ∴∠EFD=90°﹣[90°+1
2
（∠B ﹣∠C ）] =
1
2
（∠C ﹣∠B ）． 【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．
10．如图，90CDE CED ∠+∠=?，EM 平分CED ∠，并与CD 边交于点M ．DN 平分
CDE ∠，
并与EM 交于点N ．
（1）依题意补全图形，并猜想EDN NED ∠+∠的度数等于 ； （2）证明以上结论．
证明：∵ DN 平分CDE ∠，EM 平分CED ∠， ∴ 1
2
EDN CDE ∠=
∠， NED ∠＝ ． （理由： ） ∵ 90CDE CED ∠+∠=?，
∴EDN NED ∠+∠＝ ×（∠ ＋∠ ）＝ ×90°＝ °．
【答案】（1）45度； （2）
1,2CED ∠ 角平分线的定义， 12 ，CDE,CED, 1
2
, 45．
试题分析：
（1）按要求画∠CDE 的角平分线交ME 于点N ，根据题意易得∠EDN+∠NED=45°； （2）根据已有的证明过程添上相应空缺的部分即可； 试题解析：
（1）补充画图如下：猜想：∠EDN+∠NED 的度数=45°； （2）将证明过程补充完整如下：
证明：∵ DN 平分CDE ∠，EM 平分CED ∠， ∴ 12EDN CDE ∠=
∠，NED ∠＝1
2
∠CED ．（理由：角平分线的定义） ∵ 90CDE CED ∠+∠=?，
∴EDN NED ∠+∠＝
12×（∠CDE+∠CED ）＝ 1
2×90°＝45°． 故原空格处依次应填上：12∠CED 、角平分线的定义、CDE 、CED 、1
2
和45.