高中立体几何证明题
1、已知正方体
1111
ABCD A B C D
-，O是底ABCD对角线的交点.
求证：(１) C1O∥面
11
AB D；(2)
1
AC⊥面
11
AB D．
2、正方体''''
ABCD A B C D
-中，
求证：（1）''
AC B D DB
⊥平面；（2）''
BD ACB
⊥平面.
3、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．
D1
O
D
B
A
C1
B1
A1
C
A1B1
C1
D1
D
G
E
F
N
M
P
C
B
A
4、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2
2
EF AC =
， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD
5、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB
上的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；
6、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .
7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .
8、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，
4PA AD ==，E 为BC 的中点．
求证：DE ⊥平面PAE ；
9、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；
10、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：
1
AO ⊥平面MBD ．
11、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．
∵AC BC
=，∴CF AB
⊥．
∵AD BD
⊥．
=，∴DF AB
又CF DF F
=，∴AB⊥平面CDF．
∵CD?平面CDF，∴CD AB
⊥．
?=，
又CD BE
⊥，BE AB B
11
A B 1
D C
B
∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．
∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E ?=，
∴ AH ⊥平面BCD ．
考点：线面垂直的判定
12、证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D
证明：连结AC
BD AC ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影
∴⊥⊥?
??
?⊥BD A C
A C BC A C BC D
11111同理可证平面
考点：线面垂直的判定，三垂线定理
13、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．
证明∵SB=SA=SC ，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取BC 的中点O ，连AO 、SO ，则AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，
∴∠AOS 为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a ，又∠BSC=90°，∴
BC=2a ，SO=22
a ，
AO 2=AC 2－OC 2=a 2－21a 2=21
a 2，∴SA 2=AO 2+OS 2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC ⊥平面BSC ．
考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）
高三数学立体几何证明题训练
1、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，a AB 2=，E 、F 分别为11C D 、
11D A 的中点． （Ⅰ）求证：⊥DE 平面BCE ； （Ⅱ）求证：//AF 平面BDE ．
2、如图，已知棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，且⊥1AA 面ABCD ， 60=∠DAB ，1AA AD =，F 为棱1AA 的中点，M 为线段1BD 的中点，
（1）求证：//MF 面ABCD ； （2）求证：⊥MF 面11B BDD ；
3、如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AC ⊥CD ，∠DAC=60°，AB=BC=AC ，E 是PD 的中点，F 为ED 的中点。 （I ）求证：平面PAC ⊥平面PCD ；（II ）求证：CF 1111D C B A ABCD -//1BD DE C 1BC D D 1-
5、如图所示，四棱锥P-ABCD 底面是直角梯形，,,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥ 底面
ABCD ，E 为PC 的中点。PA ＝AD ＝AB ＝1。
（1）证明：//PAD EB 平面；（2）证明：BE PDC ⊥平面；（3）求三棱锥B-PDC 的体积V 。
A
B
C
D
A
B
C D
F M
C
1
C
A
B
D
1A
1
B 1
D E
F E 1
D 1C
1
B 1
A C
D B
A
6、如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45?，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC = ∠BAD = 90?，PA = BC = 1
2 AD ． (Ⅰ)求证：平面PAC ⊥平面PCD ；
(Ⅱ)在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面PAB 若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．
7、已知ABCD 是矩形，4,2AD AB ==，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点，PA ⊥面ABCD .
(1) 证明：PF ⊥FD ； (2) 在PA 上找一点G ，使得EG ∥平面PFD .
8、如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF
所在的平面互相垂直,2AB =,1AF =,M 是线段EF 的中点。 (Ⅰ)求三棱锥A BDF -的体积；
(Ⅱ)求
证:AM BDE ABCD ABE AD 平面⊥2===BC EB AE F CE ACE BF 平面⊥BCE
AE 平面⊥BFD AE 平面//BGF C -
A D
E
P
C
B
C D
B A P E
F F
M E C
D
B
A
10、如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PC 中点．
(I) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ； (II) 求证：BE//平面PAD ．
11、如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱EF ∥BC 且EF=2
1BC ．（1）证明FO//平面CDE ； （2）设BC=
3
CD ，证明EO ⊥
平面CDF ．
12、如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA=45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点． （Ⅰ）求证：AF ∥平面PCE ；
（Ⅱ）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求三棱锥C －BEP 的体积．
A
B
C
D E
P
A
B C
D
F E
O
13、如图，在矩形ABCD 中，沿对角线BD 把△BCD 折起，使C 移到C ′，且BC ′⊥AC ′
（Ⅰ）求证：平面AC ′D ⊥平面ABC ′；
（Ⅱ）若AB=2
14、如图,在四棱锥a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，
且2
PA PD AD ==
，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点。 (Ⅰ) EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证:平面PDC ⊥平面