2013学年余姚中学自主招生模拟试卷（数学卷）2013.11
题号 一
二
三
总分
得分
一、选择题（共7题，每题5分，共35分）
1．二次函数2
y ax bx c =++的图像如右图所示，则化简二次根式
22()()a c b c ++-的结果是（ ）
A ．a+b
B ．-a-b
C ．a-b+2c
D ．-a+b-2c
2.有4支队伍进行4项比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、2、1分。 每队的4项比赛得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且其中一队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
3．已知a 是方程3
310x x +-=的一个实数根，则直线1y ax a =+-不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．有一种长方体集装箱，其内空长为5米，高4.5米，宽3.4米，用这样的集装箱运长为 5米，横截面的外圆直径为0.8米的圆柱形钢管，最多能运（ ）根。
A ．20根
B ．21根
C ．24根
D ．25根
5．将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概 率是（ ） A ．
328 B ． 528 C ． 356 D ． 556
6．用[x]表示不大于x 的最大整数，则方程[]2
230x x --=的解的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7.对每个x ，y 是x y 21=,122
3
,232+-=+=x y x y 三个值中的最小值，则当x 变化时，函数y 的最大值是（ ）
A ． 4
B ． 6
C ． 8
D ． 487
二、填空题（共7题，每题5分，共35分） 8. 已知
()2
1()()4
b c a b c a -=--，且a ≠0,则b c a += 。 9．G 是△ABC 的重心，过G 的直线交AB 于M ，交AC 于N ， 则
BM CN
AM AN
+= 。
10. 已知a 、b 、c 都是实数，且满足a>b>c,a+b+c=0.那么，
c
a
的取值范围是 。 11.在△ABC 中，AB=AC ，且过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形， 则各内角的度数为 。 12．对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程2
2
(2)20x n x n -+-=的两个根记 作,n n a b (n ≥2),则
223311
(2)(2)(2)(2)a b a b ++----…200720071(2)(2)
a b +--= 。
13. 设抛物线2
5
(21)2(4
y x a x a a =++++
为常数）
的图象与x 轴只有一个交点， 则18
6
323a a -+= 。
14.如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ．
三、解答题（本题有4小题，共60分）
15. （10分）试求实数k （ k ≠±1），使得方程 2
2
(1)6(31)720k x k x ---+=
的两根都是正整数。
16.（12分）如图1, 矩形铁片ABCD 的长为a 2, 宽为a ; 为了要让铁片能穿过直径为
a 10
89
的圆孔, 需对铁片进行处理 (规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔);
(1)如图2, M 、N 、P 、Q 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点, 若将矩形铁片的四个角去掉,
只余下四边形MNPQ, 则此时铁片的形状是_______________, 给出证明, 并通过计 算说明此时铁片都能穿过圆孔;
(2)如图3, 过矩形铁片ABCD 的中心作一条直线分别交边BC 、AD 于点E 、F(不与端点重合),
沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片;
①当
BE=DF=
a 5
1
时, 判断直角梯形铁片EBAF 能否穿过圆孔, 并说明理由;
②为了能使直角梯形铁片EBAF 顺利穿过圆孔, 请直接写出线段BE 的长度的取值范围
17.（14分）喜欢钻研的小亮对75°角的三角函数发生了兴趣，他想：75度虽然不是特殊角，
但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求75°的正弦值呢？经研 究，他发现：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°,于是他大胆
猜想：sin(+)=sin cos +cos sin αβαβαβ（αβ和为锐角）。将图1（a ）等积变形为 图1（b ）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图2（a ）和图2（b ）。 如图,锐角为α的直角三角形斜边为m ，锐角为β的直角三角形斜边为n ，请你借助 图2（a ）和图2（b ）证明上述结论能成立。
图2 图1
图3 D C B A
Q P
N M D C B A F E Q
D C
B A
18.（14分）已知菱形ABCD 的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF 两边分别交边DC 、CB 于点E 、F ．
（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点．求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 交点O 即为等边△AEF 的外心；
（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动．记等边△AEF 的外心为点P ． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点M ，交边
DC 的延长线于点N ，试判断DN DM 11
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说
明理由．
自主招生模拟答卷（数学卷）
班级姓名学号一、选择题（每小题5分，共35分）
二、填空题（每小题6分，共35分）
8． 9． 10．
11． 12． 13．
14．
三、解答题（第15题10分，第16题12分，第17、18每题14分，共50分）15．