2013学年余姚中学自主招生模拟试卷(数学卷)2013.11
题号 一
二
三
总分
得分
一、选择题(共7题,每题5分,共35分)
1.二次函数2
y ax bx c =++的图像如右图所示,则化简二次根式
22()()a c b c ++-的结果是( )
A .a+b
B .-a-b
C .a-b+2c
D .-a+b-2c
2.有4支队伍进行4项比赛,每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、2、1分。 每队的4项比赛得分之和算作总分,如果已知各队的总分不相同,并且其中一队获得了三项比赛的第一名,问总分最少的队伍最多得多少分?( )
A .7
B .8
C .9
D .10
3.已知a 是方程3
310x x +-=的一个实数根,则直线1y ax a =+-不经过( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 4.有一种长方体集装箱,其内空长为5米,高4.5米,宽3.4米,用这样的集装箱运长为 5米,横截面的外圆直径为0.8米的圆柱形钢管,最多能运( )根。
A .20根
B .21根
C .24根
D .25根
5.将5个相同的球放入位于一排的8个格子中,每格至多放一个球,则3个空格相连的概 率是( ) A .
328 B . 528 C . 356 D . 556
6.用[x]表示不大于x 的最大整数,则方程[]2
230x x --=的解的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 7.对每个x ,y 是x y 21=,122
3
,232+-=+=x y x y 三个值中的最小值,则当x 变化时,函数y 的最大值是( )
A . 4
B . 6
C . 8
D . 487
二、填空题(共7题,每题5分,共35分) 8. 已知
()2
1()()4
b c a b c a -=--,且a ≠0,则b c a += 。 9.G 是△ABC 的重心,过G 的直线交AB 于M ,交AC 于N , 则
BM CN
AM AN
+= 。
10. 已知a 、b 、c 都是实数,且满足a>b>c,a+b+c=0.那么,
c
a
的取值范围是 。 11.在△ABC 中,AB=AC ,且过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形, 则各内角的度数为 。 12.对于一切不小于2的自然数n ,关于x 的一元二次方程2
2
(2)20x n x n -+-=的两个根记 作,n n a b (n ≥2),则
223311
(2)(2)(2)(2)a b a b ++----…200720071(2)(2)
a b +--= 。
13. 设抛物线2
5
(21)2(4
y x a x a a =++++
为常数)
的图象与x 轴只有一个交点, 则18
6
323a a -+= 。
14.如图,E ,F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点,满足AE=DF .连接CF 交BD 于点G ,连接BE 交AG 于点H .若正方形的边长为2,则线段DH 长度的最小值是 .
三、解答题(本题有4小题,共60分)
15. (10分)试求实数k ( k ≠±1),使得方程 2
2
(1)6(31)720k x k x ---+=
的两根都是正整数。
16.(12分)如图1, 矩形铁片ABCD 的长为a 2, 宽为a ; 为了要让铁片能穿过直径为
a 10
89
的圆孔, 需对铁片进行处理 (规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔);
(1)如图2, M 、N 、P 、Q 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点, 若将矩形铁片的四个角去掉,
只余下四边形MNPQ, 则此时铁片的形状是_______________, 给出证明, 并通过计 算说明此时铁片都能穿过圆孔;
(2)如图3, 过矩形铁片ABCD 的中心作一条直线分别交边BC 、AD 于点E 、F(不与端点重合),
沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片;
①当
BE=DF=
a 5
1
时, 判断直角梯形铁片EBAF 能否穿过圆孔, 并说明理由;
②为了能使直角梯形铁片EBAF 顺利穿过圆孔, 请直接写出线段BE 的长度的取值范围
17.(14分)喜欢钻研的小亮对75°角的三角函数发生了兴趣,他想:75度虽然不是特殊角,
但和特殊角有着密切的关系,能否通过特殊角的三角函数值求75°的正弦值呢?经研 究,他发现:sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°,于是他大胆
猜想:sin(+)=sin cos +cos sin αβαβαβ(αβ和为锐角)。将图1(a )等积变形为 图1(b )可用于勾股定理的证明,现将这两幅图分别“压扁”成图2(a )和图2(b )。 如图,锐角为α的直角三角形斜边为m ,锐角为β的直角三角形斜边为n ,请你借助 图2(a )和图2(b )证明上述结论能成立。
图2 图1
图3 D C B A
Q P
N M D C B A F E Q
D C
B A
18.(14分)已知菱形ABCD 的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF 两边分别交边DC 、CB 于点E 、F .
(1)特殊发现:如图1,若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点.求证:菱形ABCD 对角线AC 、BD 交点O 即为等边△AEF 的外心;
(2)若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动.记等边△AEF 的外心为点P . ①猜想验证:如图2.猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上,并加以证明;
②拓展运用:如图3,当△AEF 面积最小时,过点P 任作一直线分别交边DA 于点M ,交边
DC 的延长线于点N ,试判断DN DM 11
是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说
明理由.
自主招生模拟答卷(数学卷)
班级姓名学号一、选择题(每小题5分,共35分)
二、填空题(每小题6分,共35分)
8. 9. 10.
11. 12. 13.
14.
三、解答题(第15题10分,第16题12分,第17、18每题14分,共50分)15.