八年级数学最短路径问题
欧阳光明（2021.03.07）
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．
【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【十二个基本问题】
【问题1】作法图形原理
在直线l上求一点P，使
PA+PB值最小．连AB，与l交点即为
P．
两点之间线段最短．
PA+PB最小值为AB．
*欧阳光明*创编 2021.03.07
【问题2】“将军饮马”
作法
图形
原理
在直线l 上求一点P ，使
PA+PB 值最小． 作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点
即为P ．
两点之间线段最短． PA+PB 最小值为A
B ＇． 【问题3】
作法
图形 原理
上分别求、在直线点M 、N ，使△PMN 的
周长最小． 分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线
交点即为M ，N ．
两点之间线段最短． PM+MN+PN 的最小值为 线段P ＇P ＇＇的长． 【问题4】 作法
图形 原理
上分别求
、在直线点M 、N ，使四边形
PQMN 的周长最小． 分别作点Q 、P 关于直＇Q 的对称点、线和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．
两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的
长．
【问题5】“造桥选址” 作法 图形
原理
、
，在∥直线、
M ，上分别求点，且
MN ⊥，使N AM+MN+BN 的值最
小．
将点A 向下平移MN 的长度单位得A ＇，连，过N 于点，交B ＇A ．M 于NM ⊥作N
两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小值
为
A ＇B+MN ．
【问题6】 作法
图形
原理
N 、M 上求两点在直线（M 在左），使
，并使
AM+MN+NB 的值最
小．
个长向右平移A 将点度单位得A ＇，作A ＇ ＇＇，A 的对称点关于，交直线B ＇＇A 连 于点N ，将N 点向左平
．
M 个单位得移
两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小值
为
A ＇＇B+MN ．
【问题7】
作法 图形
原理
上，在A 上求点在求点B ，使PA+AB 值最
小．
的对称点关于P 作点于
B ⊥＇P ＇，作P ．
A 于，交B
点到直线，垂线段最
短．
PA+AB 的最小值为线段
P ＇B 的长．
【问题8】
作法
图形
原理
为B 上一定点，为A 上求上一定点，在，N 上求点，在M 点使AM+MN+NB 的值最小．
的对称点
关于A 作点的
关于B ＇，作点A 对称点B ＇，连A ＇B ＇．
N 于，交M 于交
两点之间线段最短． AM+MN+NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．
【问题9】 作法 图形
原理
在直线l 上求一点P ，使
的值最小．
连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．
垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．
＝0． 【问题10】
作法
图形
原理
在直线l 上求一点P ，使
的值最大．
作直线AB ，与直线l 的
交点即为P ．
三角形任意两边之差小
于第三边．≤AB ．
l P
B'A
B
l 1
l 2N M
P''
P'P
l 1
l 2
N
M
P'
Q'Q P
l 1
l 2P Q
m n M N
A'
B
A l a A
B
M N m
n
A
B
M N l
A''
A'
B
A
M N
l 1l 2
A B
P'
P
l 2l 1
A
B
N
M l 2
l 1
M N A'B'
A
B
l
P
B
A
l
A
B
*欧阳光明*创编 2021.03.07
的最大值＝
AB ． 【问题11】
作法
图形
原理
在直线l 上求一点P ，使的值最大．
作B 关于l 的对称点
B ＇作直线A B ＇，与l
交点即为P ．
三角形任意两边之差小
于第三
边．≤AB ＇．
最大值＝AB ＇．
【问题12】“费马点” 作法
图形
原理
△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA+PB+PC
值最小．
所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P
即为所求．
两点之间线段最短． PA+PB+PC 最小值＝
CD ．
【精品练习】
1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的
和最小，则这个最小值为（ ） A ．
B ．
C ．3
D ．
2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC′、AD′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．
C ．
D ．4
3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）
A ．120°
B ．130°
C ．110°
D ．140°
l
B
P
A
B'
P
E
D
C
B
A
A
D E
P B C
A
B
M
N
*欧阳光明*创编 2021.03.07
4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，∠BAC ＝45°，∠BAC 的
平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是．
5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在
AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．
6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有
）
7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B(
，0)．
OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．
8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在轴上，D 在轴上，则四边
形ABCD 的周长最小值为，
此时 C 、D 两点的坐标分别为． 9．已知A （1，1）、B （4，2）．
（1）P 为轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P 点的坐标； （2）P 为轴上一动点，求的值最大时P 点的坐标； （3）CD 为轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当
AC+CD+DB 的最小值和此时C 点的坐标；
y
x
B
O
A
C
D
y
x
B
O
A
y x
B
O
A D
A M
y
x
B
A
O
10．点C为∠AOB内一点．
（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．
11．（1）如图①，△ABD和△ACE均为等边三角形，BE、CE交于F，连AF ，求证：AF+BF+CF＝CD；
（2）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C 均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由．
12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B 处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？
*欧阳光明*创编 2021.03.07