第54讲抛物线
一、课程标准
1、了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;
2、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
二、基础知识回顾
1、、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
2 、抛物线的标准方程与几何性质
3 、与焦点弦有关的常用结论
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). (1)y 1y 2=-p 2,x 1x 2=
p 24
. (2)|AB |=x 1+x 2+p =2p
sin 2θ(θ为AB 的倾斜角).
(3)1|AF |+1|BF |为定值2p
. (4)以AB 为直径的圆与准线相切. (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切. 三、自主热身、归纳总结
1、抛物线y 2=4x 的准线方程为( )
A. x =1
B. x =-1
C. y =1
D. y =-1 【答案】 B
【解析】 由题意得抛物线的焦点在x 轴上,且2p =4,即p =2,所以抛物线的准线方程为直线x =-p
2=-
1.
2、 设抛物线y 2=8x 上的一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12 【答案】 B
【解析】 如图所示,抛物线的准线l 的方程为x =-2,F 是抛物线的焦点,过点P 作PA ⊥y 轴,垂足为A ,延长PA 交直线l 于点B ,则AB =2.因为点P 到y 轴的距离为4,所以点P 到准线l 的距离PB =4+2=6,所以点P 到焦点的距离PF =PB =6.故选B.
3、过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6,则|PQ |=( )
A .9
B .8
C .7
D .6
【答案】B
【解析】抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),准线方程为x =-1.根据题意可得,|PQ |=|PF |+|QF |=x 1+1+x 2+
1=x 1+x 2+2=8.
4、拋物线y =2ax 2(a ≠0)的焦点是( )
A.????a 2,0
B.????a 2,0或????
-a 2,0
C.????0,18a
D.????0,18a 或????0,-1
8a 【答案】C
【解析】抛物线的方程化成标准形式为x 2=1
2a y (a ≠0),其焦点在y 轴上,所以焦点坐标为????0,18a .故选C. 5、已知抛物线C 与双曲线x 2-y 2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C 的方程为________. 【答案】y 2=±4 2x
【解析】:由已知可知双曲线的焦点为(-2,0),(2,0).设抛物线方程为y 2=±2px (p >0),则p
2=2,所
以p =2 2,所以抛物线方程为y 2=±4 2x .
6、设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是________. 【答案】[-1,1]
【解析】:Q (-2,0),当直线l 的斜率不存在时,不满足题意,故设直线l 的方程为y =k (x +2),代入抛物线方程,消去y 整理得k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0,当k =0时,l 与抛物线有公共点;当k ≠0时,Δ=64(1-k 2)≥0得-1≤k <0或0 四、例题选讲 考点一 抛物线的定义及其应用 例1 (1)已知抛物线定点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线x -y +2=0上,则抛物线方程为____. (2)动圆过点(1,0),且与直线x =-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为____. 【答案】(1)y 2=-8x 或x 2=8y (2)y 2=4x 【解析】 (1)直线x -y +2=0与坐标轴的交点分别为(-2,0)和(0,2),当焦点为(-2,0)时,抛物线焦点在x 轴负半轴上,且p =4,则抛物线方程为y 2=-8x ;当焦点为(0,2)时,抛物线焦点在y 轴正半轴上且p =4,则抛物线方程为x 2=8y ;故抛物线方程为y 2=-8x 或x 2=8y. (2)设动圆的圆心坐标为(x ,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x =-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2=4x. 变式1、(1)若抛物线y 2=4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2,O 为坐标原点,则△OFP 的面积为( ) A.1 2 B .1 C.32 D .2 (2)设P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点,若B (3,2),则|PB |+|PF |的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)4 【解析】 (1)设P (x P ,y P ),由题可得抛物线焦点为F (1,0),准线方程为x =-1. 又点P 到焦点F 的距离为2, ∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P +1=2,∴x P =1. 代入抛物线方程得|y P |=2, ∴△OFP 的面积为S =12·|OF |·|y P |=1 2 ×1×2=1. (2)如图,过点B 作BQ 垂直准线于点Q ,交抛物线于点P 1,则|P 1Q |=|P 1F |.则有|PB |+|PF |≥|P 1B |+|P 1Q |=|BQ |=4,即|PB |+|PF |的最小值为4. 变式2、(1)定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=2x 上移动,M 为AB 的中点,则点M 到y 轴的最短距离为( ) A.1 2 B .1 C.3 2 D .2 (2)设P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点,F 为抛物线的焦点,若B (3,2),则|PB |+|PF |的最小值为__________. 【答案】(1)B (2)4 【解析】 (1)如图所示,抛物线y 2=2x 的准线为l :x =-1 2,过A ,B ,M 分别作AA ′,BB ′,MM ′垂直于 l ,垂足分别为A ′,B ′,M ′.由抛物线定义知|AA ′|=|FA |,|BB ′|=|FB |.又M 为AB 中点,由梯形中位线定理得|MM ′|=12(|AA ′|+|BB ′|)=12(|FA |+|FB |)≥12|AB |=12×3=32,则M 到y 轴的距离d ≥32-12=1(当且仅当AB 过抛物线的焦点时,等号成立),所以d min =1,即点M 到y 轴的最短距离为1. (2)如图,过点B 作BQ 垂直准线于点Q ,交抛物线于点P 1,则|P 1Q |=|P 1F |,则|PB |+|PF |≥|P 1B |+|P 1Q |=|BQ |=4.故|PB |+|PF |的最小值为4. 方法总结:与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关,实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化. (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解. (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 考点二 抛物线的标准方程及其几何性质 例2 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ,过F 的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,且|AF|=4|FB|,O 为坐标原点,若△AOB 的面积为5 8 ,求p 的值. 【解析】 易知抛物线y 2=2px 的焦点F 的坐标为????p 2,0,准线为x =-p 2 , 不妨设点A 在x 轴上方,如图,过A 、B 作准线的垂线AA′,BB′,垂足分别为A′,B′,过点B 作BH ⊥AA′,交AA′于H ,则|BB′|=|A′H|,设|FB|=t ,则|AF|=|AA′|=4t ,∴|AH|=|AA′|-|A′H|=3t ,又|AB|=5t , ∴在Rt △ABH 中,cos ∠HAB =3 5, ∴tan ∠HAB =4 3 , 则可得直线AB 的方程为y =43 ????x -p 2.由?????y =43????x -p 2,y 2=2px ,得8x 2-17px +2p 2=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则|AB|=x 1+x 2+p =178p +p =25 8 p , 易知点O 到直线AB 的距离为d =2 5 p. ∴S △AOB =12×258p×25p =5p 28=5 8 ,∴p 2=1,又p >0,∴p =1. 变式1、已知点F 1,F 2分别是双曲线3x 2-y 2=3a 2(a >0)的左、右焦点,点P 是抛物线y 2=8ax 与双曲线的一个交点,若||PF 1+||PF 2=12,则抛物线的准线方程为__________. 【答案】x =-2 【解析】 将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2-y 23a 2=1,抛物线的准线为x =-2a ,联立????? x 2 a 2-y 2 3a 2=1,y 2=8ax ?x =3a ,即点P 的横坐标为3a .而由???? ? |PF 1|+|PF 2|=12,|PF 1|-|PF 2|=2a ?|PF 2|=6-a ,又因为双曲线的右焦点与抛物线的焦 点相同,所以|PF 2|=3a +2a =6-a ,解得a =1,所以抛物线的准线方程为x =-2. 变式2、(黑龙江省鹤岗一中2019届模拟)顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P (-4,-2)的抛物线的标准方程是( ) A .y 2=-x B.x 2=-8y C .y 2=-8x 或x 2=-y D .y 2=-x 或x 2=-8y 【答案】D 【解析】设抛物线为y 2=mx ,代入点P (-4,-2),解得m =-1,则抛物线方程为y 2=-x ;设抛物线为x 2=ny ,代入点P (-4,-2),解得n =-8,则抛物线方程为x 2=-8y .故抛物线方程为y 2=-x 或x 2=-8y . 变式3、(山西省临汾一中2019届模拟)直线l 过抛物线y 2=-2px (p >0)的焦点,且与该抛物线交于A ,B 两点,若线段AB 的长是8,AB 的中点到y 轴的距离是2,则此抛物线的方程是( ) A .y 2=-12x B .y 2=-8x C .y 2=-6x D .y 2=-4x 【答案】B 【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),根据抛物线的定义可知|AB |=-(x 1+x 2)+p =8.又AB 的中点到y 轴的距离为2,∴-x 1+x 2 2=2,∴x 1+x 2=-4,∴p =4,∴所求抛物线的方程为y 2=-8x .故选B. 方法总结:1.求抛物线标准方程的方法 (1)定义法:若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p ),那么只需求出p 即可. (2)待定系数法:若题目未给出抛物线的方程,对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2=ax (a ≠0),a 的正负由题设来定;焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2=ay (a ≠0),这样就减少了不必 要的讨论. 2.抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程. (2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算 考点三 综合考查直线与抛物线的问题 例3、如图,已知抛物线关于y 轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(2,1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)均 在抛物线上. (1)求抛物线的方程; (2)若∠APB 的平分线垂直于y 轴,求证:直线AB 的斜率为定值. 【解析】 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为x 2=2py(p>0).∵点P(2,1)在抛物线上,∴22=2p×1,解得p =2.故所求抛物线的方程为x 2=4y. (2)由题意知k AP +k BP =0,∴ y 1-1x 1-2+y 2-1 x 2-2 =0, ∴x 214-1x 1-2+x 224-1x 2-2 =0,∴x 1+24+x 2+24=0, ∴x 1+x 2=-4,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=x 214- x 2 24x 1-x 2 =x 1+x 2 4=-1,∴直线AB 的斜率为定值-1. 变式1、如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A(8,-4),P(2,t)(t<0)在抛物线y 2=2px(p>0)上. (1)求p ,t 的值; (2)过点P 作PM 垂直于x 轴,M 为垂足,直线AM 与抛物线的另一交点为B ,点C 在直线AM 上,若PA ,PB ,PC 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,且k 1+k 2=2k 3,求点C 的坐标. 【解析】 (1)将点A(8,-4)代入y 2=2px ,得p =1.将点P(2,t)代入y 2=2x ,得t =±2.∵t<0,∴t =-2. (2)由题意知,点M 的坐标为(2,0),直线AM 的方程为y =-23x +43 .联立?????y =-23x +43,y 2=2x ,解得B ????12,1,∴k 1=-13,k 2=-2,代入k 1+k 2=2k 3,得k 3=-76,故直线PC 的方程为y =-76x +13 ,联立 ??? y =-23x +43 , y =-76x +13 ,解得C ? ???-2,83. 变式2、过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,若|AF |=2|BF |,则|AB |等于( ) A .4 B.9 2 C .5 D .6 【答案】 B 【解析】易知直线l 的斜率存在,设为k ,则其方程为y =k (x -1). 由? ???? y =k x -1 , y 2 =4x 得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0, 得x A ·x B =1,① 因为|AF |=2|BF |,由抛物线的定义得 x A +1=2(x B +1), 即x A =2x B +1,② 由①②解得x A =2,x B =1 2, 所以|AB |=|AF |+|BF |=x A +x B +p =9 2 . [应用结论] 法一:由对称性不妨设点A 在x 轴的上方,如图,设A ,B 在准线上的射影分别为D ,C ,作BE ⊥AD 于E , 设|BF |=m ,直线l 的倾斜角为θ,则|AB |=3m , 由抛物线的定义知 |AD |=|AF |=2m ,|BC |=|BF |=m , 所以cos θ=|AE ||AB |=13,所以tan θ=22,则sin 2θ=8cos 2θ,所以sin 2θ=8 9.又y 2=4x ,知2p =4,故利用 弦长公式|AB |=2p sin 2θ=9 2 . 法二:因为|AF |=2|BF |,1|AF |+1|BF |=12|BF |+1|BF |=32|BF |=2p =1,解得|BF |=3 2 ,|AF |=3, 故|AB |=|AF |+|BF |=9 2 . 方法总结:(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式||AB =x 1+x 2+p ;若不过焦点,则必须用弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. 五、优化提升与真题演练 1、(2020年高考全国Ⅰ卷理数)已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p =( ) A .2 B .3 C .6 D .9 【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ,由抛物线的定义知||122 A p AF x =+=,即1292p =+,解得6p . 故选:C . 2、(2020年高考全国Ⅰ卷理数)设O 为坐标原点,直线2x =与抛物线C :22(0) y px p =>交于D ,E 两点,若OD OE ⊥,则C 的焦点坐标为( ) A . 1 ,04?? ??? B . 1,02?? ??? C . (1,0) D . (2,0) 【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线2 2(0)y px p =>交于,E D 两点,且OD OE ⊥, 根据抛物线的对称性可以确定4 DOx EOx π ∠=∠= ,所以()2,2D , 代入抛物线方程44p =,求得1p =,所以其焦点坐标为1 (,0)2 , 故选:B . 3、(2020年高考北京)设抛物线的顶点为O ,焦点为F ,准线为l .P 是抛物线上异于O 的一点,过P 作 PQ l ⊥于Q ,则线段FQ 的垂直平分线( ) A . 经过点O B . 经过点P C . 平行于直线OP D . 垂直于直线OP 【答案】B 【解析】如图所示: . 因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等,又点P 在抛物线上,根据定义可知,PQ PF =,所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选:B . 4、(2019·全国高考)若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y p p + =的一个焦点,则p =( ) A .2 B .3 C .4 D .8 【答案】D 【解析】因为抛物线2 2(0)y px p =>的焦点(,0)2 p 是椭圆 2231x y p p +=的一个焦点,所以23()2 p p p -=,解得8p =,故选D . 5、(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为2 3的直线与C 交于M ,N 两点, 则FM →·FN → =( ) A .5 B .6 C .7 D .8 【答案】D 【解析】由题意知直线MN 的方程为y =23 (x +2).联立????? y =23x +2,y 2=4x ,消去y 并整理,得x 2-5x +4 =0.解得x N =1,x M =4.所以y N =2,y M =4.又抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),所以FM →=(3,4),FN → =(0,2).所以FM →·FN → =3×0+2×4=8.故选D. 6、(2017·全国高考)过抛物线2 :4C y x =的焦点F ,3的直线交C 于点M (在x 轴上方), l 为C 的准线,点N 在l 上且MN l ⊥,则点M 到直线NF 的距离为( ) A.3 B.335 D.22【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ,与直线MN 相交于点Q ,(1,0)F , 设||||MN MF m ==,因为||2,30PF NQM =∠=,所以||4,||2QF QM m ==, 所以42m m +=,解得:4m =,设00(,)M x y ,由焦半径公式得:014x +=, 所以03x =,023y =, 所以233 sin sin NP MNF NFP NF ∠=∠= == , 所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ?∠== 7、(2018·全国卷Ⅰ)已知点M (-1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k =________. 【答案】2 【解析】解法一:由题意可知C 的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k 的直线方程为x =y k +1, 设A ????y 1k +1,y 1,B ??? ?y 2 k +1,y 2, 将直线方程与抛物线方程联立得????? x =y k +1, y 2=4x , 整理得y 2-4 k y -4=0, 从而得y 1+y 2=4 k ,y 1·y 2=-4. ∵M (-1,1),∠AMB =90°, ∴MA →·MB → =0, 即????y 1k +2·????y 2k +2+(y 1-1)(y 2-1)=0, 即k 2-4k +4=0,解得k =2. 解法二:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则????? y 21=4x 1,①y 22=4x 2 ,② ②-①得y 22-y 2 1=4(x 2-x 1), 从而k =y 2-y 1x 2-x 1=4y 1+y 2 . 设AB 的中点为M ′,如图,连接MM ′. ∵直线AB 过抛物线y 2=4x 的焦点, ∴以线段AB 为直径的⊙M ′与准线l :x =-1相切. ∵M (-1,1),∠AMB =90°, ∴点M 在准线l :x =-1上,同时在⊙M ′上, ∴准线l 是⊙M ′的切线,切点为M ,且M ′M ⊥l , 即MM ′与x 轴平行, ∴点M ′的纵坐标为1, 即 y 1+y 2 2 =1?y 1+y 2=2, 故k =4y 1+y 2=4 2 =2. 8、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知P 是抛物线2 4y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,点 A 的坐标为()2,3,则PA PM +的最小值是__________. 1 【解析】设抛物线的焦点是()1,0F , 根据抛物线的定义可知1PM PF =- 1PA PM PA PF ∴+=+-, PA PF AF +≥, 当,,A P F 三点共线时,等号成立, PA PM ∴+的最小值是1AF , AF = = PA PM ∴+ 1. 1 9、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知抛物线()2 20y px p =>的焦点为F (4,0),过F 作直线l 交抛 物线于M ,N 两点,则p =_______, 4 9 NF MF - 的最小值为______. 【答案】8p = 1 3 【解析】∵ 抛物线()2 20y px p =>的焦点为F(4,0), ∴ 8p =, ∴ 抛物线的方程为2 16y x =, 设直线l 的方程为4x my =+,设()11,M x y ,()22,N x y , 由2164 y x x my ?=?=+?得216640y my --=, ∴1216y y m +=,1264y y =-, 由抛物线的定义得 11MF NF +1211 44x x =+++()()21124444x x x x +++=++()()211244888my my my my ++++=++()()122121216864 m y y m y y m y y ++=++ + 2 221616 6412864m m m +=-++()() 22161 641 m m +=+14=, ∴ 49 NF MF - 11494NF NF ??=-- ? ??? 419NF NF =+ -1≥1 3=, 当且仅当 4 9 NF NF = 即6NF =时,等号成立, 故答案为:13 .