高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版
（理）
【本讲教育信息】
一、教学内容：
选修2—1 空间向量及其运算
二、教学目标：
1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。
3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。
三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）
b a
+=+=
b a
-=-=
)(R a OP ∈=λλ
运算律：
（1）加法交换律：a b b a
+=+
（2）加法结合律：)()(c b a c b a
++=++
（3）数乘分配律：b a b a
λλλ+=+)(
3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b
的充要条件是存在实
数λ，使a
＝λb .
4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是
存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。
5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角
定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作>≤≤
特别地，如果0,>==
90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
7．数量积
（1）设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量>
．
（3）空间向量数量积的性质：
①||cos ,a e a a e ?=<>． ②0a b a b ⊥??=． ③2
||a a a =?．
（4）空间向量数量积运算律： ①()()()a b a b a b λλλ?=?=?． ②a b b a ?=?（交换律）．
③()a b c a b a c ?+=?+?（分配律）． 8．空间向量的直角坐标运算律
（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，
112233(,,)a b a b a b a b -=---，
123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 0b a b a b a 0b a b a 332211=++?=??⊥
（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（3）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则2
2
2
123||a a a a a a =
?=++2
2
2
123||b b b b b b =?=++
（4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-
（5）设A （a 1，a 2，a 3），B （b 1，b 2，b 3），则AB 的中点坐标为)2
,2,2(3
32211b a b a b a +++
【典型例题】
例1. 已知A （3，1，3），B （1，5，0），求：
（1）线段AB 的中点坐标和长度；
（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件
解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)2
3
,3,2()(21=+=
． ∴AB 的中点坐标是)2
3
,3,2(，
)3,4,2(AB --=
29)3(4)2(||222=-++-=AB ．
（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，
则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x ， 化简得：07684=++-z y x ，
所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ．
点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=，发现与)3,4,2(--=共线。
例2. 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角
线BD ，AE 上，且13BM BD =
，1
3
AN AE =．求证：//MN 平面CDE ． 分析：要证明//MN 平面CDE ，只需证明向量NM 可以用平面CDE 内的两个不共线的向量DE 和DC 线性表示．
证明：如图，因为M 在BD 上，且1
3
BM BD =，
所以111
333MB DB DA AB ==+．
同理11
33
AN AD DE =+，又CD BA AB ==-，
所以MN MB BA AN =++
1111
()()3333DA AB BA AD DE =++++ 2133BA DE =+21
33CD DE =+． 又CD 与DE 不共线，
根据共面向量定理，可知MN ，CD ，DE 共面． 由于MN 不在平面CDE 内， 所以//MN 平面CDE ．
例3. 已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积。
分析：可用公式1
||||sin 2
S AB AC A =??来求面积
解：∵(1,2,2)AB =-，(2,0,3)AC =--，
∴222||12(2)3AB =++-=，22||(2)0(3)13AC =-++-=，
(1,2,2)(2,0,3)264AB AC ?=-?--=-+=，
∴413cos cos ,||||313
AB AC A AB AC AB AC ?=<>=
==
??，
213101sin sin ,1cos ,A AB AC AB AC ?=<>=-<>=
∴所以，1101
||||sin 2ABC S AB AC A ?=??=
．
例4. 如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，
45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值。
解：∵BC AC AB =-， ∴OA BC OA AC OA AB ?=?-?
||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =??<>-??<>
84cos13586cos12024162=??-??=-∴24162322
cos ,||||
OA BC OA BC OA BC ?--<>===
? 所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为
322
5
-． 说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=易错写成
,45OA AC <>=，
例5.
的余弦值。 解：
7||1=→AC ∴
7||31=→
AC ∵）（
→
→+→+→=BC B B 2|BC ||B B |1221·
∴AC 1与B 1C 所成的角的余弦值为798
15
本讲涉及的数学思想、方法
1、向量的夹角公式、模长公式和向量平行、垂直的条件，是用向量解决几何问题的主要工具；应用向量知识解决几何问题时，一方面要选择恰当的基向量，另一方面要熟练地进行向量运算。
2、用向量坐标运算证明线线或线面垂直是向量的一个重要应用，要熟练掌握，关键是建系，求点的坐标，其中建系的恰当与否决定解题的繁简程度。
预习导学案
（立体几何中的向量方法）
（一）预习前知
1、怎样用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直？
2、怎样求两条异面直线所成的角？
（二）预习导学
探究反思
探究反思的任务：直线的方向向量，平面的法向量，三垂线定理与逆定理，异面直线的夹角，线面角，面面角 1．直线的方向向量及其应用
（1）直线的方向向量
直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量________（或共线）的向量，显然这条直线的方向向量可以有_________个。
（2）直线方向向量的应用
利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面。 2．平面的法向量
（1）所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也是________个，它们是________向量。
（2）在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a
为法向量且经过点A 的平面是_____________。
3、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用，直线1l 的方向向量为()1111,,c b a u = ，直线2l 的方向向量为()2222,,c b a u =
. 如果1l ∥2l ，那么1u ∥2u ?________________
如果21l l ⊥，那么21u u
⊥?________________
直线l 的方向向量为()111,,c b a u = ，平面α的法向量为()222,,c b a n =
.
若l ∥α，那么?=??⊥0n u n u
________________
若α⊥l ，那么u ∥?=?n k u n
________________
平面1α的法向量为()1111,,c b a u = ，平面2α的法向量为()2222,,c b a u =
.
若1α∥2α，那么1u ∥?=?212u k u u
________________
若21αα⊥，那么?=??⊥02121u u u u
________________
4、三垂线定理与逆定理
（1）三垂线定理
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在一个平面内的射影垂直，则它也和
___________垂直。
（2）三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和________________垂直。 5、求两异面直线所成的角 6、求直线与平面所成的角
设直线l 的方向向量为→
a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ=__________。 7、求二面角的大小
【模拟试题】（答题时间：90分钟）
一、选择题
1. 设A （3，3，1）、B （1，0，5）、C （0，1，0），则AB 的中点M 到C 点的距离为（ ） A.
B.
C.
D.
2. 已知向量a 的横坐标为0，则向量a （ ） A. 与xOy 平面平行 B. 与xOz 平面平行 C. 与x 轴平行 D. 与x 轴垂直
3. 已知)4,10,3(),8,3,1(-=-=b a ，则b a +为（ ） A. （4，7，4）
B. （2，13，12）
C. （－2，10，-12）
D. （4，-7，－4）
4. 已知平面α内的三个点A （2，0，0）、B （0，2，0）、C （0，0，2），则平面α的一
个法向量是（ ） A. （1，1，1）
B. （－1，1，1）
C. （－1，－1，1）
D. （1，1，－1） 5. 共线，则λ与μ的值分别为（ ）
A. 0，0
B. 0，1
C.1，0
D. –1，-1
*6.
的终点的坐标为，则，，→-a )214(（ ）
A. （2，1，1）
B. （7，1，1）
C. （1，7，1）
D. （1，1，7）
二. 填空题
7. 已知则向量a ＋b 与a －b 的夹角是_____________。
8. 已知，其中是一个单位正交基底，}1,0,0{e },0,1,0{e },0,0,1{e 321-=-=-=，则a 与b 夹角的余弦值为_____________。
*9. 已知:||32,||4,,a b m a b ===+n a b λ=+， 135b ,a >=<，m n ⊥，则λ的值为_____________.
三. 计算题
10. 已知△ABC 的顶点A （1，0，1）、B （2，2，2）、C （0，2，3），试求△ABC 的面积。 11.
*12. 已知平行四边形
ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量
OD k OH ,OC k OG ,OB k OF ,OA k OE ====。求证：
（1）四点,,,E F G H 共面； （2）平面AC //平面EG ．
【试题答案】
1. C
2. D
解析：设a ＝（0，y ，z ），取x 轴的一个方向向量为（1，0，0） ∵（0，y ，z ）·（1，0，0）＝0， ∴a 与x 轴垂直 3. A
解：)4,7,4(=+ 4. A 解析：
由（1，1，1）·（－2，2，0）＝0， （1，1，1）·（－2，0，2）＝0 知：（1，1，1）是α的一个法向量。 5. 选A
解：→
=→∈AC k AB R k 使存在∵
332-=--μ且 0=μ∴ 6. B 解：
∴B（7，1，1） 7. 90°
解析：∵|a|＝|b|， ∴（a ＋b ）·（a －b ）＝ ∴a＋b 与a －b 垂直 8.
解析：a ＝（4，3，－1），b ＝（5，－4，2），a·b＝6 ∴ 9. 2
3
-
解：由m n ⊥得()()0a b a b λ+?+=
16135cos 423135cos 423180
b b a b a a 2
2
=+???+???+∴=+?+?+→→λλλλ
∴460λ+= 3
2
λ=-.
10. 解：∵
∴ 11. 解：
12. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+， ∵EG OG OE =-，
()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE
EF EH
=?-?=-==+=-+-=-+-=+
∴四点,,,E F G H 共面；
（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=?，又∵EG k AC =?， ∴//,//EF AB EG AC 所以，平面//AC 平面EG ．