专题抽象函数的导数问题
基础知识 (2)
【类型一根据条件确定函数的单调性】 (3)
练习1 (3)
【类型二构造积函数】 (3)
【类型三构造商函数】 (4)
【类型四构造和差函数】 (5)
【类型五与奇偶性结合构造函数】 (5)
命题方式与解题规律总结 (5)
构造型的抽象函数导数问题解题要领 (6)
练习2 (6)
练习题解答 (9)
基础知识
1、求导的四则运算
法则1 '[()()]'()'()f x g x f x g x ±=±. （可推广到多个函数） 法则2 [()()]''()()'()()f x g x f x g x g x f x =+g .
法则3 2
()'()()()'()
[
]()()
f x f x
g x f x g x g x g x -'=. 2、比较重要的导数：1
(ln )'x x
=，()'x x e e =，1()'n n x nx -= 3、单调性的逆用：
()f x 单调递增，则1212()()f x f x x x >?>； ()f x 单调递减，则1212()()f x f x x x >?<；
4、奇偶性
两个奇函数的乘积、商是偶函数； 两个奇函数的和、差是奇函数； 两个偶函数的乘积、商是偶函数； 两个偶函数的和、差是偶函数
1根据条件确定函数的单调性
例 （2006江西卷）对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)'()0x f x -≥，则必有（ ） A.(0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D . (0)(2)2(1)f f f +>
总结：根据导数确定原函数的单调性，关键是确定导数的符号变化规律，要注意题目条件是否提供了与此有关的信息。
练习1
1、定义在R 上的函数()f x ，满足(4)()f x f x -=，且(2)'()0x f x -<，若12x x <，且
124x x +>，则有（ ）
A. 12()()f x f x <
B. 12()()f x f x >
C.12()()f x f x =
D.以上都不对 2、设定义在R 上的函数()f x ，函数(1)'()y x f x =-的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A 、函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f
B 、函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f
C 、函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -
D 、函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f
2类型二 构造积函数
【典型构造】
若条件是'()()'()()0f x g x g x f x +≥形式的，可构造()()()F x f x g x =，则()F x 单调递增；
在实际问题中，出题人往往会隐藏部分结构，如：
因为
[()]'()'()[()'()]x x x x
f x e e f x f x e e f x f x =+=+
g 所以，题目可能会只出现'()()0f x f x +≥，可构造()()x F x e f x =，则()F x 单调递增；
类似的还有：
（1） 若条件是'()()0xf x f x +≥，可构造()()F x xf x =，则()F x 单调递增； 原型：()'[()]''()()F x xf x xf x f x ==+
（2） 若条件是'()()0xf x nf x +≥，可构造
()()n
F x x f x =，则()F x 单调递增； 原型：1
'()['()()]0n F x x
xf x nf x -=+≥，（此类型要注意1
n x -的符号）
例 设(),()
f x
g x 分别是定义在R 上的可导函数，'()()'()()0f x g x g x f x +>，且(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集
解：构造函数()()()()()F x f x g x g x f x =+，易知()F x 单调递增，而(3)0F -=，则
()()0f x g x <的解集为3x <-
例 设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x >，2
1
(0)1,(2)f f e ==，求(1)f 的值 分析：构造()()x
F x e f x =，则'()('()())0x
F x e f x f x =+≥
，所以()F x 单调递增或为常
函数，而0
(0)(0)1F e f ==，2
(2)(2)1F e f ==，所以()1F x =，故1
(1)(1)1F e f ==，得1(1)f e
=
【类型三 构造商函数】
【典型构造】 若条件是
'()()()f x g x f x g x -≥，则构造
()
()[
]()
f x F x
g x =，则
2
'()()()'()
'()0()
f x
g x f x g x F x g x -=≥，说明()F x 单调递增
若条件是'()()0f x f x -≥，可构造()
()x
f x F x e =，则()F x 单调递增；
例 1 （07陕西理）()f x 是定义在(0
)+∞，上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '-≤．对任意正数a b ，，若a b <，则必有（ ）
A ．()()af b bf a ≤
B ．()()bf a af b ≤
C ．()()af a bf b ≤
D ．()()bf b af a ≤
例2 定义在(0,)2
π
上的函数()f x ，导数为'()f x ，且()'()tan f x f x x <，则下式恒成立
的是（ ）
A. ()()43ππ>
B. (1)2()sin16f f π
<
C.
()()64
f ππ
> D. ()()63
f ππ
<
【类型四 构造和差函数】
此类型相对简单，见练习2第2题
【类型五 与奇偶性结合构造函数】
例 (2014.11呼市阶段考文12) 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，有
()()xf x f x '>-恒成立，则满足3(3)(21)(21)f x f x >--的实数x 的取值范围是（ ）
A ．1
(1,)2- B ．(1,2)- C ．1(,2)2
D ．(2,1)-
命题方法总结
此类题型一般命题方式是，给出一个函数的导数或者导数的一部分（例如，在R 上导数小于0），然后考察：
（1） 解一个不等式，需要我们构造出左右形式相同的代数式，一定是这样的不等式：
12()()f x f x >，当然，要写成什么形式的，要参考构造的函数的形式，对于选填
题，问题的结构可能会给我们这方面的暗示，然后根据单调性解出12x x >（若函数单调递增）；如1，10，12
（2） 根据函数的单调性，判断一个命题“()()f a f b >（,a b 是两个确定的实数）否成
立，如2，5，6，7，11，15
（3） 给出一个函数值，然后解与此有关的不等式，如：函数在R 上单调递增，(1)0f =，
求()0f x >的解集。如3,4，13，14。
打个比方，假设“人的身高随年龄增大而增大”，即身高是年龄的增函数，那么上述三
种题型就是这三个意思：
（1） 甲比乙高，谁的年龄大？
（2） 甲的年龄比乙大，是甲高还是乙高？
（3） 甲高1.7米，16岁，乙比甲高，问乙的年龄的范围？
构造型的抽象函数导数问题解题要领
（1）一方面要认真观察已知条件中含有()f x '的式子，关注表达式的结构特征，联想相关求导公式，这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式，迅速确定构造函数的类型（是和差还是乘积还是商？）；
（2）由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗示，所以务必要结合问题的，猜想函数的结构，尝试验证；
（3）将已知条件中含有()f x '的式子都移到左边化为0>的形式，左边的表达式一定是某个函数的导数或者导数的一部分
练习2
1、已知函数()f x 满足2
()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上，'()f x x >，则不等式(2)()22f a f a a
--≥-的解集为（ ） A. [1,)+∞ B. (,1]-∞ C. (,2]-∞ D. [2,)+∞
2、设(),()f x g x 在[,]a b 上可导，且'()'()f x g x >，则当a x b <<时，有（ ）
.()()A f x g x > .()()B f x g x <
.()()()()C f x g a g x f a +>+ .()()
()
(D f x g b g x f b
+>+ 3、
（2011高考辽宁）函数的定义域为R ,(1)2f -=，对任意x R ∈，'()2f x >，则()24f x x >+的解集为（ ）
A. (1,1)-
B.(1,)-+∞
C. (,1)-∞-
D. (,)-∞+∞ 4、已知函数()f x 满足(1)1f =，导函数1
'()2
f x <
，则不等式2()1f x x <+的解集为（ ） A. (1,1)- B. (,1)-∞- C. (,1)
(1,)-∞-+∞ D. (1,)+∞
5、()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()0xf x f x '+>．对任意正数a b ，，若a b >，则必有（ ）
A ．()()af b bf a >
B ．()()af a bf b >
C ．()()af a bf b <
D ．()()af b bf a <
6. (2009天津) 设()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且2
2()()f x x f x x
'+>，则下面的不等
式在R 上恒成立的有（ ） A ．()0f x >
B ．()0f x <
C ．
()f x x >
D ． ()f x x <
7、()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且'()()f x f x >，且0a >，则下面的不等式成立的有（ ）
A ．()(0)a f a e f >
B ．()(0)a
f a e f < C ．()(0)f a f > D ． ()(0)f a f < 8、函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意的实数x ，都有2'()()f x f x >成立，则（ ） A ．2(2ln 2)3(2ln3)f f > B ．3(2ln 2)2(2ln3)f f > C ．2(2ln 2)3(2ln3)f f <
D ．3(2ln 2)2(2ln3)f f <
9、（2013辽宁理） 函数()f x 满足()()2
2x e x f x xf x x '+=，()228
e f =，则当0x >时，
()f x
（ ）
A ．有极大值,无极小值
B ．有极小值,无极大值
C ．既有极大值又有极小值
D ．既无极大值也无极小值
10、（2014唐山一模16） 定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，当0x <时，
'()f x x <，则不等式1
()(1)2
f x f x x +
≥-+的解集为 . 11、()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足2()2()ln20x x f x f x '->，则下列不等式成立的是（ ）
A ．2(2)(1)f f -<-
B ．2(1)(2)f f >
C ．4(2)(0)f f ->
D ．2(0)(1)f f >
12、()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，且()'()f x x f x <-，则不等式
2(1)(1)(1)f x x f x +>--的解集是（ ）
A. (0,1)
B. (1,)+∞
C. (1,2)
D. (2,)+∞ 13、()f x 是定义在R 上的可导函数，且()'()1f x f x +>，(0)2015f =，则不等式
()2014x x e f x e >+的解集是（ ）
A. (2014,)+∞
B. (,0)
(2014,)-∞+∞ C. (,0)(0,)-∞+∞ D. (0,)+∞
14、()f x 是定义在R 上的可导函数，且'()()f x f x <，(4)1f =，且(2)f x +为偶函数，则不等式()x
f x e <的解集是（ ）
A. (2,)-+∞
B. (0,)+∞
C. (1,)+∞
D. (4,)+∞
15、()f x 是定义在R 上的可导函数，且'()()xf x f x <，,αβ为锐角三角形内两个不等的内角，则( )
A. cos (sin )sin (cos )f f βααβ=
B. cos (sin )sin (cos )f f βααβ<
C. cos (sin )sin (cos )f f βααβ>
D. cos (sin )sin (cos )f f βααβ≥ 16、()f x 是定义在R 上的可导函数，且(1)['()()]0x f x f x -->，22(2)()x
f x f x e --=，
则下列一定正确的是（ ）
A ．(1)(0)f f <
B ．(2)(0)f ef >
C ．3
(3)(0)f e f >
D ．4
(4)(0)f e f <
导数专题 抽象函数的导数问题
练习题解答
练习1答案
1、B 解析：由题设中条件(4)()f x f x -=可得出函数关于2x =对称，
由(2)'()0x f x -<可得出2x >时，'()0f x <，2x <时'()0f x >，即函数在(,2)-∞上是增函数，在(2,)+∞上是减函数
又12x x <，且124x x +>，可知二者中至少有一个大于2等于，下进行讨论: 若122x x <<，显然有12()()f x f x >；
若122x x <<，则因为124x x +>可得124x x >-，故有122()(4)()f x f x f x >-=， 综上讨论知，在所给的题设条件下总有12()()f x f x >，故选B （本题画图定性判断亦可） 2、D 根据图像判断，当2x <-时，得'()0f x >；当21x -<<时，得'()0f x <； 当12x <<，得'()0f x <；当2x >，得'()0f x >，
∴()f x 在(,2)-∞-上是增函数，在(2,1)-上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，∴函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f ．
练习2解答
1、 构造21g()()2x f x x =-
，则2211
g()()()()()022
x g x f x x f x x -+=---+-=，故g()x 为奇函数，且在(0,)+∞上，'()'()0g x f x x =->，故g()x 是增函数，
而2211
(2)()22(2)(2)[()]22
f a f a a f a a f a a ---+=-----g(2)()a
g a =--，故只需2a a -≥，得1a ≤，选B
2、解析：构造函数()()()F x f x g x =-，则易知()F x 单调递增，于是()()()F a F x F b <<，
()()()()f x g x f a g a ->-，选C
3、解答：构造函数()()24F x f x x =--，则'()'()2220F x f x =->-=
，所以()F x 在
R 上单调递增，又因为(1)(1)2F f -=----=，则
()24()24f x x f x x F x >+?-->?>，于是的1x >-，选B
4.构造函数()2()1F x f x x =--，则1
'()2'()12102
F x f x
=-<-=，所以函数()F x 单
调递减，而(1)0F =，2()1f x x <+等价于()0F x <，得1x >，选D; 5.()()F x xf x =，可知()F x 递增，故选B ；
6、构造函数2()()F x x f x =，则'()[2()'()]F x x f x xf x =+， 当0x =时，由22()()f x xf x x '+>，得(0)0f >；
当0x >时，22()()f x xf x x '+>，得2'()[2()'()]0F x x f x xf x x x =+>>，于是()F x 在(0,)+∞上单调递增，故2()()(0)0F x x f x F =>=，则()0f x >；
当0x <时，2
2()()f x xf x x '+>，得2
'()[2()'()]0F x x f x xf x x x
=+<<，则()F x 在
(0,)+∞上单调递减，故2()()0F x x f x =>，则()0f x >；
综上可知()0f x > 7、解析：构造()()x f x F x e =
，
2'()()
'()0x
f x f x F x e -=>，则()F x 单调递增，则0()(0)
()(0)a f a f F a F e e
>?>，即()(0)a f a e f >，故选A
8、选B 解析：构造12
()()x f x F x e =，1
12
2
11
222
1
'()()2'()()2'()0()2x x x x
f x e f x e f x f x F x e e --==>， 则()F x 单调递增，则(2ln2)(2ln3)F F <， 即
ln 2ln 3
(2ln 2)(2ln 3)(2ln 2)(2ln 3)
3(2ln 2)2(2ln 3)23
f f f f f f e e
解析：由已知得()23
2()'x e x f x f x x
-=，设2
()2()x g x e x f x =-， 求导得22'()2'()4()e (2)
x x x x
e e g x e x
f x xf x x x x
=--=-=-，易得()g(2)0g x >=在0x >且2x ≠恒成立，因此()23
2()
'0x e x f x f x x
->=在0x >且2x ≠恒成立，而'(2)0f =，说明
()f x 在0x >时没有极大值也没有极小值
10．1(,]2
-∞ 解析：构造方式与第一题类似，好像原题是自主招生试题 11、答案A
选 A 解析：构造()()2x f x F x =，2'()2()(2)'
'()02
x x x
f x f x F x -=>，又2()
2()l n x x
f x f x '->，则'()0F x >，于是()F x 单调递增，则(1)(2)F F ->-，即
2(2)(1)f f -<-，故选A
12、答案 D
构造函数[()]'()'()0xf x f x xf x =+<，于是该函数递减，2(1)(1)(1)f x x f x +>--变
形为22(1)(1)(1)(1)x f x x f x ++>--，于是2210
1011x x x x +>??
->??+<-?
，得2x >，选D
13、答案 D
()()x x g x e f x e =-，'()()e '()[()'()1]0x x x x g x e f x f x e e f x f x =+-=+->，故()g x 单调递增，()2014x x e f x e >+，即()2014g x >，又00(0)(0)2014g e f e =-=，于是
()(0)g x g >，故0x >，选D
14、答案 B 构造()()x f x F x e =
，'()()
'()0x
f x f x F x e -==<，则()F x 单调递减，又(0)(4)1f f ==，0(0)(0)1f
g e ==，即()
()1x f x g x e =<的解集为(0,)+∞，故选B
15. B
2()'()()
()'()0f x xf x f x g x g x x x
-=
?=<，cos sin βα<，故选B
16、选C 构造函数()
()x f x F x e =
，则
(1)['()()]0(1)'()0x f x f x x F x -->?->，
则易知函数在单调递增，在单调递减，