7.4 简单的线性规划
一、例题精讲
例1.解下列线性规划问题:求2z x y =+的最大值和最小值,使式中的x 、y 满足约束条件
11y x x y y ≤??
+≤??≥-?
例2.解线性规划问题:求3z x y =+的最大值,使式中的x 、y 满足约束条件
232476
00
x y x y y x y +≤??-≤??
≤??≥?≥??
例3.若x 、y 满足条件2120321004100x y x y x y +-≤??
-+≥??-+≤?
,求2z x y =+的最大值和最小值．
例 4.某糖果厂生产A 、B 两种糖果,A 种糖果每箱获利润40元,B 种糖果每箱获利润50元,
其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序,下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间
:
每种糖果的生产过程中混合的设备至多能用1 2机器小时,烹
调的设备至多只能用机器30机器小时,包装的设备只能用机器 15机器小时,试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润．
例6.甲、乙、丙三种食物的维生素
、含量及成本如下表:
某食物营养研究所想用x 千克甲种食物,y 千克乙种食物,z 千克丙种食物配成100千克
的混合
食物,并使混合食物至少含56000单位维生素A 和63000单位维生素B ．（1）用x 、y 表
示混合物成本C ．（2）确定x 、y 、z 的值,使成本最低．
二、随堂练习
1．求725z x y =+
的最小值,使式中的x 、y 满足约束条件
25
1551000
x y x y x y +≥??+≥??≥??≥?
2．求1015z x y =+的最大值,使式中x 、y 满足约束条件
2243236010011
x y x y x y +≤??+≤?
?
≤≤??≤≤?
三、总结提炼
四、习题精选 一、填空题
1．点P 到直线4310x y -+=的距离等于4,且在不等式230x y +-<表示的平面区域内,则点P 的坐标为＿＿。
2．满足线性约束条件202305350y x x y x y -≤??
++>??+-
的可行域共有_______个整数点。
3．设M 为平面内以(4,1),(1,6),(3,2)A B C ---三点为顶点的三角形区域(包括边界),当(,)x y 在上变动时,的最小值是____________。
二、解答题
1．设z x y =-,式中变量,x y 满足1442380x y x y x y +≥??
-≤??-+≥?
求z 的最大值和最小值。
2．有一批钢管,长度都是400mm,要截成500mm 和600mm 两种毛坯,且这两种毛坯数量比大于
1
3
配套,怎样截最合理？ 3．某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个和55个,所用原料为A 、B 两种规格金属板每张面积分别为22m 和23m ,用A 种规格金属板可造甲种产品3个,乙种产品5个,用B 种规格金属板可造甲、乙品种各6个,问两种规格金属板各取多少张才能完成计划,并能使总的用料面积最省？
参考答案
一、填空题
1．(3,3)- 2．4 3．18-
二、解答题
1．max min 1,3z z =-=-
2．设500mm 的x 根,600mm 的y 根,约束条件为5006004000x y +≤,1
3
x y >,0x ≥,0y ≥,目标函数为z x y =+,画图可求出最优整数解为2,5x y ==
3．设A 、B 两种规格金属板各取,x y 张,用料面积为z ,则约束条件为
3645x y +≥,5655x y +≥, 0x ≥,0y ≥,目标函数为23z x y =+,用图解法可求出最优解5x y ==
简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，
如对你有帮助，请购买下载打赏，谢谢！ 7.3简单的线性规划 考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域 1.(2013北京,14,5分)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足 =λ+μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为. 答案 3 2.(2013山东,14,4分)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是. 答案 3.(2013安徽,12,5分)若非负变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为. 答案 4 考点二线性规划问题 4.(2013课标全国Ⅱ,3,5分)设x,y满足约束条件则z=2x-3y的最小值是( ) A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 答案 B 5.(2013天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为( ) A.-7 B.-4 C.1 D.2 答案 A 6.(2013福建,6,5分)若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值和最小值分别为( ) A.4和3 B.4和2 C.3和2 D.2和0 答案 B 7.(2013陕西,7,5分)若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值是( ) A.-6 B.-2 C.0 D.2 答案 A 8.(2013四川,8,5分)若变量x,y满足约束条件且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是( ) A.48 B.30 C.24 D.16 答案 C 9.(2013湖北,9,5分)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元 答案 C 10.(2013课标全国Ⅰ,14,5分)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为. 答案 3 11.(2013湖南,13,5分)若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为. 答案 6 12.(2013北京,12,5分)设D为不等式组表示的平面区域.区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为. 答案 13.(2013广东,13,5分)已知变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是. 答案 5 14.(2013浙江,15,4分)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k= . 答案 2
线性规划教案 1.若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 2.不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为 （） A、4 B、1 C、5 D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面 积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 3.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥ ? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 4.已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值 为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函 数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产
7．4 简单的线性规划第二课时学案 一、知识点： 1、二元一次方程表示平面区域： 2、目标函数、可行域、可行解、最优解、线性规划问题： 3、解线性规划问题的基本步骤： 二、应用： 例1：(1)已知,x y满足不等式组 22 21 0,0 x y x y x y +≥ ? ? +≥ ? ?≥≥ ? ，求3 z x y =+的最小值. (2) 已知,x y满足不等式组 270 43120 230 x y x y x y -+≥ ? ? --≤ ? ?+-≥ ? ,求 ①43 z x y =-的最大值与最小值; ②22 z x y =+的最大值与最小值; ③y z x =的取值范围.
(3) 已知,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤? , 求①23z x y =-的最值; ②22222z x y x y =++-+的最小值; ③12 y z x +=+的最大值; ④24z x y =+-的最大值. 例2:给出平面区域如图所示,若使目标函数()0z ax y a =+> 取到最大值的最优解有无穷多个,则a 的值为( ). A. 14 B. 35 C. 4 D.53 变式: 给出平面区域如图所示,若使目标函数()0z ax y a =+> 取到最大值的最优解只在C 处,则a 的范围为 . 例3：已知()2,f x ax c =-且()()411,125f f -≤≤--≤≤，求()3f 的取值范围.
7．4 简单的线性规划第三课时学案 一、知识点： 1、目标函数、可行域、可行解、最优解、线性规划问题： 2、实际问题： 3、整点问题： 二、应用： 例1：某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B 种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元, 每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过363t.问甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？
高二数学简单线性规划知识点 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《高二数学简单线性规划知识点》的内容，具体内容：数学这一学科知识积累的越多，掌握的就会越熟练，下面是我给大家带来的，希望对你有帮助。归纳1.在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-... 数学这一学科知识积累的越多，掌握的就会越熟练，下面是我给大家带来的，希望对你有帮助。 归纳 1.在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7xYo简单线性规划(1)-可行域 上的最优解2y 问题1：x 有无最大(小)值? 问题2：y 有无最大(小)值? 问题3：2x+y 有无最大(小)值? 2.作出下列不等式组的所表示的平面区域3二.提出问题 把上面两个问题综合起来: 设z=2x+y,求满足 时,求z的最大值和最小值.4y 直线L越往右平移,t随之增大. 以经过点A(5,2)的直线所对应的t值最大;经过点B(1,1)的直线所对应的t值最小.
可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。 思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数的最大、最小值?5线性规划问题：设z=2x+y，式中变量满足 下列条件： 求z的最大值与最小值。 目标函数 (线性目标函数)线性约束条件 象这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件 Z=2x+y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数6线性规划 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解; 可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域; 最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)7 线性目标函数 线性约束条件 线性规划问题 任何一个满足不等式组的(x,y)可行解可行域所有的最优解 目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。8线性规划
《简单的线性规划问题》教学设计 （人教A版高中课标教材数学必修5第三章第3.3.2节） 祁东二中谭雪峰 一、内容与内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中第3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 本课内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法． 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.本节内容是在学习了不等式和直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出.简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想. 通过这一部分的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力. 二、教学目标 一）、知识目标 1.了解线性规划的意义、了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 2.理解线性规划问题的图解法 3. 会用图解法求线性目标函数的最优解. 二）、能力目标 1.在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力. 2.在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力.
3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想. 三)、情感目标 1.让学生体验数学来源于生活，服务于生活，品尝学习数学的乐趣. 2.让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神. 三、教学重点、难点 重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解. 难点：借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y 轴上的截距与z最值之间的关系. 四、学习者特征分析 1. 已经掌握用平面区域表示二元一次不等式（组） 2. 初步学会分析简单的实际应用问题 3. 能根据实际数据假设变量，并从中抽象出不等的线性约束条件并用相应的平面区域进行表示 本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难： 1.将实际问题抽象成线性规划问题； 2.用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？ 3.数形结合思想的深入理解. 五、教学与学法分析 本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法.课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等. 1.设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望； 2.提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.
简单的线性规划练习 附答案详解 一、选择题 1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(0,1) 2.若2m ＋2n <4，则点(m ，n )必在( ) A ．直线x ＋y －2＝0的左下方 B ．直线x ＋y －2＝0的右上方 C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方 D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 3．不等式组???? ? x ≥0x ＋3y ≥4 3x ＋y ≤4 所表示的平面区域的面积等于( ) A.32 B.23 C.43 D.3 4 4.不等式组???? ? x ＋y ≥22x －y ≤4 x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2 B ．6 2 C ．6 D ．3 5.设变量x ，y 满足约束条件???? ? y ≤x x ＋y ≥2 y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 6.已知A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值及最小值分别是( ) A ．－1，－3 B ．1，－3 C ．3，－1 D ．3,1 7.在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝0,2x ＋3y ＝30，则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )A ．95 B ．91
C ．88 D ．75 8.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元 9.已知实数x ，y 满足???? ? x －y ＋6≥0x ＋y ≥0 x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥1 B ．a ≤－1 C ．－1≤a ≤1 D ．a ≥1或a ≤－1 10.已知变量x ，y 满足约束条件???? ? x ＋4y －13≥02y －x ＋1≥0 x ＋y －4≤0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数 z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 11.当点M (x ，y )在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,1) 12.已知x 、y 满足不等式组???? ? y ≥x x ＋y ≤2 x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝( )
7.4 简单的线性规划 ?知识梳理 1?二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中，已知直线 Ax+By+C=O ,坐标平面内的点 P (x o ，y °). B >0时，①Ax o +By o + C >0，则点P (x o , y o )在直线的上方；② Ax o +By o +C V 0,则点P (x o , y o ) 在直线的下方? 对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C >o (或V 0),无论B 为正值还是负值，我们都可 以把y 项的系数变形为正数? 当B >o 时，①Ax+By+C >0表示直线 Ax+By+C=O 上方的区域；② Ax+By+C V 0表示直 线Ax+ By+C=0下方的区域. 2. 线性规划 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 ? 满足线性约束条件的解(x , y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类 似函数的定义域)；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解 ?生产实际中有许多 问题都可以归结为线性规划问题 ? 线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： (1) 根据题意，设出变量 x 、y ; (2) 找出线性约束条件； (3) 确定线性目标函数 z=f ( x , y )； (4) 画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域) ； (5) 利用线性目标函数作平行直线系 f (x , y ) =t (t 为参 数)； (6) 观察图形，找到直线 f (x , y ) =t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最 优解，给出答案? ?点击双基 答案：D 2x — y+1 > 0, J 1.下列命题中正确的是 A.点(0, 0)在区域x+y > 0内 B ?点(0, 0)在区域x+y+1<0内 C.点(1, 0)在区域y>2x 内 D ?点(0, 1)在区域x — y+1>0内 解析：将(0, 0)代入x+y > 0，成立? 答案：A 2?(2005年海淀区期末练习题)设动点坐标( x , y )满足 (x — y+1) (x+y — 4)> 0, 则x 2+y 2的最小值为 .10 汕 2 L x> 3 ， A. ?- 5 B. D.10 解析：数形结合可知当
线性规划 基础知识： 一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=0 2. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<0 3. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>0 2.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域: ①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不． 包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界; 注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。 方法二：利用规律： 1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）， 当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）; 2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下） 当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。 四、线性规划的有关概念： ①线性约束条件： ②线性目标函数： ③线性规划问题： ④可行解、可行域和最优解： 典型例题一--------画区域 1. 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域． 分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。 解：直线AB 的斜率为：1) 3(104=---=AB k ，其方程为3+=x y ． 可求得直线BC 的方程为62--=x y ．直线AC 的方程为22+=x y ． ABC ?的内部在不等式03>+-y x 所表示平面区域内，同时在不等式062>++y x 所表示的平面区域内，同时又在不等式022<+-y x 所表示的平面区域内（如图）． 所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组?? ???<+->++>+-022, 062,03y x y x y x 表示． 说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线． 2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ． 解：原不等式等价于???≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求??? ??? ?≤->∈∈>>.3, 32, ,,0,0y x y z y z x y x ．
简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ， 当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，
可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题 例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 . 知 识 梳 理 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 2.点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)位于直线Ax ＋By ＋C ＝0的两侧的充要条件是(Ax 1＋ By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0；位于直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0. 3.线性规划的有关概念 [微点提醒]
1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证. 2.判定二元一次不等式表示的区域 (1)若B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方. (2)若B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( ) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( ) (4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( ) 解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是z b . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(必修5P86T3改编)不等式组???x －3y ＋6≥0， x －y ＋2<0 表示的平面区域是( )
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 一、考点、热点回顾 1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． (2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． 2．线性规划相关概念 名称意义 约束条件由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数关于x，y的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解 可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 3．重要结论 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线． (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证． 知识拓展 1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 (1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方； (2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方． 2．最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 二、典型例题 例1、（1）分别画出不等式x+2y-4＞0和y≥x+3所表示的平面区域；
简单的线性规划教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
简单的线性规划【教学目标】 1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课题导入 [复习提问] 1、二元一次不等式0 +C Ax在平面直角坐标系中表示什么图形？ By + > 2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域应注意哪些事项 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 2.讲授新课 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组： 2841641200 x y x y x y +≤??≤?? ≤??≥?≥?? (1) （2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答： 设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为： 当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？ 把z=2x+3y 变形为233z y x =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3z 的直线。 当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，
§3.3.1二元一次不等式（组）与 平面区域（1） 1．了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力. 一、课前准备 复习1：一元二次不等式的定义_______________二元一次不等式定义________________________二元一次不等式组的定义_____________________ 复习2：解下列不等式： （1）210x -+>； （2）22320 41590 x x x x ?+-≥??-+>?? . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，30 40x x +>??-
并思考： 当点A 与点P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？_______________ 根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式6x y -<有什么关系？______________ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？ 在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线x-y=6的_____；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式6x y -<. 因此，在平面直角坐标系中，不等式6x y -<表示直线x-y=6左上 方的平面区域；如图: 类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图: 直线叫做这两个区域的边界 结论： 1. 二元一次不等式0Ax By c ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2. 不等式中仅>或<不包括 ；但含“≤”“≥”包括 ； 同侧同号，异侧异号. ※ 典型例题 例1画出不等式44x y +<表示的平面区域. 分析：先画 ___________（用 线表示），再取 _______判断区域，即可画出． 归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点. 变式：画出不等式240x y -+-≤表示的平面区域. 例2用平面区域表示不等式组312 2y x x y <-+??
课题：7.4简单的线性规划（一） 教学目的： 1 ?使学生了解二元一次不等式表示平面区域； 2?了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念； 3?了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题- 4 ?培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力- 5.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新- 教学重点：二元一次不等式表示平面区域. 教学难点：把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答. 授课类型：新授课- 课时安排：1课时- 教具：多媒体、实物投影仪- 一、复习引入： 通过前几节的学习，我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程 x y 1 0的解为坐标的点的集合｛（x,y）| x y 1 0｝是经过点（0, 1）和（1, 0）的一条直线I，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数最高次数都是 1的不等式）的解为坐标的点的集合｛（x,y）I x y 1 0｝是什么图形呢？ 二、讲解新课： 在平面直角坐标系中，所有的点被直线x y 1 0分成三类： (1)在直线x y 1 0 上; (2)在直线x y 1 0的左下方的平面区域内; (3)在直线x y 1 0的右上方的平面区域内 即：对于任意一个点（x, y），把它的坐标代入x y 1,可得到一个实数, 或等于0，或大于0,或小于0.若x+y-1=0，则点（x,y）在直线I上. 我们猜想：对直线I右上方的点（x, y）, x y 1 0成立;
对直线I左下方的点（x,y）, x y 1v 0成立. 我们的猜想是否正确呢？下面我们来讨论一下 不妨，在直线x y 1=0上任取一点P（x0, y0），过点P作平行于x轴的直线 y=y。,在此直线上点P右侧的任意一点（x, y），都有 x > X。, y = y o,所以，x+y> X o + y°, x y 1 > X o + y o-i=o, 即x y 1> 0. 再过点P作平行于y轴的直线x=x o,在此直线上点P上侧的任意一点（x, y）, 都有x=x°,y> y°.所以，x+y > X o+y°, x y 1> x°+ y o-1=O, 即x y 1 > 0. 因为点P （x0, y0）是直线x y 1 =0上的任意点，所以对于直线 x y 1=0右上方的任意点（x,y）, x y 1 > 0都成立. 同理，对于直线x y 1 =0左下方的任意点 （x, y）, x y 1 v 0 都成立. 如图所示： 所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 x y 1 > 0的解为坐标的点的集合｛（x, y ）| x y 1 > 0｝是在直线x y 1 =0右上方的平面区 域-如图所示： 那么，在平面直角坐标系中，以二元一次不 等式x y 1 v 0的解为坐标的点的集合 ｛（x, y）| x y 1 v 0｝是在直线x y 1 =0 左 下方的平面区域. 总之，二元一次不等式Ax+By+C> 0在平面直 角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组x ty-1=0
一、选择题 1．(文)(2011·浙江文，3)若实数x ，y 满足不等式组???? ? x ＋2y －5≥02x ＋y －7≥0 x ≥0，y ≥0 ，则3x ＋4y 的最小值 是( ) A ．13 B ．15 C ．20 D ．28 [答案] A [解析] 本题考查了线性规划问题． 如上图所示， 令z ＝3x ＋4y ∴y ＝－34x ＋z 4 求z 的最小值，即求直线y ＝－34x ＋z 4 截距的最小值． 经讨论之，点M 为最优解，即为直线x ＋2y －5＝0与2x ＋y －7＝0的交点，解之得M (3,1)． ∴z min ＝9＋4＝13. (理)(2011·浙江理，5)设实数x 、y 满足不等式组???? ? x ＋2y －5>02x ＋y －7>0 x ≥0，y ≥0 ，若x 、y 为整数，则3x ＋ 4y 的最小值为( ) A ．14 B ．16 C ．17 D ．19 [答案] B
[解析] 本题主要考查简单线性规则问题等基础知识，如上图，作出不等式组表示的平面区域 ，作直线 l 0：3x ＋4y ＝0平移l 0 与平面区域有交点，由于x ，y 为整数，结合图形可知当x ＝4，y ＝1时，3x ＋4y 取最小值为16，选B. 2．(2011·广东理，5)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组??? 0≤x ≤2 y ≤2 x ≤2y 给定， 若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA → 的最大值为( ) A ．4 2 B ．3 2 C ．4 D ．3 [答案] C [解析] 本题考查线性规划、数量积的坐标运算． ∵OM →·OA → ＝(x ，y )·(2，1)＝2x ＋y ，作直线l 0：2x ＋y ＝0，将l 0向右上方平移，当l 0过 区域D 中点(2，2)时，OM →·OA → ＝2x ＋y 取最大值2×2＋2＝4.选C. 3．给出平面区域如下图所示，若使目标函数Z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )
简单的线性规划问题 【知识概述】 线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题. 解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点 1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题； 2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节 （1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）； （2）求目标函数的最值. （3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型： ①0 b>时，截距最大（小），z的值最大（小）； ②0 b>时，截距最大（小），z的值最小（大）； 【学前诊断】 1.[难度] 易 满足线性约束条件 23, 23, 0, x y x y x y +≤ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? 的目标函数z x y =+的最大值是（） A.1 B.3 2 C.2 D.3 2.[难度] 易 设变量,x y满足约束条件 0, 0, 220, x x y x y ≥ ? ? -≥ ? ?--≤ ? 则32 z x y =-的最大值为( ) A.0 B.2 C.4 D.6
3. [难度] 中 设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥??≤??+≤? 下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取 值范围为（ ） A ．(1,1 B ．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 【经典例题】 例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =+的最大值为( ) A.5 B.4 C.1 D.8 例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =-的最大值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥??--≤??≥≥? ，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小 值为8，则a b +的最小值为____________. 例4. 在约束条件下0,0,,24, x y x y s x y ≥??≥??+≤??+≤?当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )