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教 学 内 容二次函数与幂函数1． 二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如： f(x)＝ ax 2＋ bx ＋c_(a ≠ 0)的函数叫作二次函数． (2)二次函数解析式的三种形式①一般式： f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c_(a ≠ 0)． ②顶点式： f(x)＝ a(x － m)2＋ n(a ≠0) ． ③零点式： f(x)＝ a(x － x 1 )(x － x 2)_(a ≠ 0)．2． 二次函数的图像和性质f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ cf(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c解析式( a>0) (a<0)图像定义域 (－∞，＋∞ )(－∞，＋∞ )22值域4ac －b ，＋∞ －∞， 4ac － b4a4a在 x ∈ －∞，－b上单调递减；在 x ∈ －∞，－b上单调递增；单调性2a2a在 x ∈ － b，＋∞－ b，＋∞上单调递增在 x ∈ 上单调递减2a2a 奇偶性 当 b ＝0 时为偶函数，b ≠0 时为非奇非偶函数 顶点b4ac －b 2－ 2a ，4a对称性图像关于直线 x ＝－ b成轴对称图形2a3. 幂函数形如 y ＝ x α(α∈ R )的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， α是常数．4． 幂函数的图像及性质(1)幂函数的图像比较(2)幂函数 的性质比较y ＝ x2y ＝ x31y ＝x y ＝ x 2定义域R R R [0，＋∞)值域R [0，＋∞ ) R [0，＋∞ )非奇非偶函－ 1y ＝ x{ x|x ∈ R 且x ≠ 0}{ y|y ∈ R 且y ≠ 0}奇偶性奇函数偶函数奇函数数奇函数x ∈ [0，＋∞ )x ∈ (0，＋∞ )单调性增时，增；x ∈ (－ 增增时，减；x ∈(－∞， 0]时，减∞， 0)时，减[ 难点正本 疑点清源 ]1． 二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．( 2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 (小 )值有关时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2． 幂函数的图像(1)在 (0,1)上，幂函数中指数 越大，函数图像越靠近 x 轴，在 (1，＋ ∞ )上幂函数中指数越大，函数图像越远离 x 轴．(2)函数 y ＝x ，y ＝ x 2， y ＝ x 3， y ＝ x12， y ＝ x － 1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表．1．已知函数 f(x)＝ x2＋2(a－ 1)x＋ 2 在区间 (－∞， 3]上是减函数，则实数 a 的取值范围为 ____________．答案(－∞，－ 2]解析f(x)的图像的对称轴为x＝ 1－ a 且开口向上，∴1－a≥ 3，即 a≤ － 2.2． (课本改编题 )已知函数 y＝ x2－ 2x＋ 3 在闭区间 [0，m]上有最大值3，最小值 2，则 m 的取值范围为 ________．答案[1,2]解析y＝ x2－ 2x＋ 3 的对称轴为 x＝ 1.当m<1 时， y＝ f(x)在 [0，m]上为减函数．∴y max＝ f(0)＝ 3， y min＝f(m)＝ m2－ 2m＋ 3＝ 2.∴m＝ 1，无解．当1≤m≤2 时， y min＝f(1)＝ 12－ 2× 1＋ 3＝ 2，y max＝ f(0)＝ 3.当m>2 时， y max＝ f(m)＝ m2－2m＋3＝ 3，∴ m＝ 0，m＝ 2，无解．∴ 1≤ m≤ 2.3．若幂函数 y＝ (m2－3m＋ 3)xm2－ m－ 2 的图像不经过原点，则实数m 的值为 ________．答案 1 或 2m2－ 3m＋ 3＝ 1解析由，解得 m＝ 1 或 2.m2－ m－2≤ 0经检验 m＝ 1 或 2 都适合．4． (人教 A 版教材例题改编 )如图中曲线是幂函数y＝ x n在第一象限的图1C1，C2， C3， C4的 n 值依次为像．已知 n 取±2，± 四个值，则相应于曲线2____________．答案2，1，－1，－ 2 22解析可以根据函数图像是否过原点判断n 的符号，然后根据函数凸凹性确定n 的值．5．函数 f(x)＝ x2＋ mx＋ 1的图像关于直线x＝ 1 对称的充要条件是() A． m＝－ 2B． m＝2C． m＝－ 1 D ． m＝ 1答案A解析函数 f(x)＝ x2m m1，即 m＝－ 2.＋ mx＋ 1 的图像的对称轴为x＝－2，且只有一条对称轴，所以－ 2＝题型一求二次函数的解析式例 1已知二次函数f(x)满足 f(2)＝－ 1， f(－ 1)＝－ 1，且 f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．解方法一设 f( x)＝ ax2＋ bx＋ c (a≠ 0)，4a＋ 2b＋ c＝－ 1，a＝－ 4，a－b＋ c＝－ 1，解之，得b＝ 4，依题意有4ac－ b2c＝7，4a＝ 8，∴ 所求二次函数解析式为f(x)＝－ 4x2＋4x＋ 7.方法二设 f(x)＝ a(x－ m)2＋ n，a≠ 0.∵ f(2)＝ f( －1)，2＋－111∴ 抛物线对称轴为x＝2＝2.∴ m＝2.又根据题意函数有最大值为n＝ 8，∴y＝ f(x)＝ a x－122＋8.∵f(2)＝－ 1，∴ a 2－12＋8＝－ 1，解之，得 a＝－ 4. 2∴f(x)＝－ 4 x－122＋8＝－ 4x2＋ 4x＋ 7.方法三依题意知， f(x) ＋1＝ 0 的两根为x1＝ 2， x2＝－ 1，故可设f( x)＋ 1＝ a(x－ 2)(x＋1) ，a≠ 0.即f(x)＝ ax2－ ax－ 2a－ 1.4a － 2a－ 1 －a2又函数有最大值y max＝ 8，即＝ 8，4a解之，得a＝－ 4 或 a＝0(舍去 )．∴函数解析式为f( x)＝－ 4x2＋ 4x＋ 7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1 ＋x)＝ f(1－ x)；(2)f( x)的最大值为 15；(3)f( x)＝ 0 的两根平方和等于 17.求 f(x)的解析式．解依条件，设f( x)＝ a(x－ 1)2＋ 15 (a<0) ，即f(x)＝ ax2－ 2ax＋ a＋ 15.令f(x)＝ 0，即 ax2－ 2ax＋ a＋ 15＝ 0，15∴x1＋ x2＝ 2， x1x2＝ 1＋a .222－ 2x1 21＋x2＝(x1＋x2x)x1530＝4－2 1＋a＝ 2－a＝17，∴a＝－ 2，∴f(x)＝－ 2x2＋ 4x＋13.题型二二次函数的图像与性质例2 已知函数 f(x)＝ x2＋2ax＋ 3， x∈[－ 4,6] ．(1)当 a＝－ 2 时，求 f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使 y＝ f(x)在区间 [ －4,6] 上是单调函数；(3)当 a＝ 1 时，求 f(|x|)的单调区间．思维启迪：对于 (1)和 (2) 可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解(1) 当 a＝－ 2 时， f(x)＝ x2－ 4x＋3＝ (x－ 2)2－ 1，由于 x∈ [－ 4,6] ，∴ f(x)在 [ － 4,2] 上单调递减，在 [2,6] 上单调递增，∴ f(x)的最小值是 f(2)＝－ 1，又 f(－ 4)＝ 35， f(6)＝ 15，故 f(x)的最大值是 35.(2)由于函数 f( x)的图像开口向上，对称轴是x＝－ a，所以要使f(x)在[ － 4,6] 上是单调函数，应有－a≤－ 4或－ a≥ 6，即 a≤ － 6 或 a≥ 4.(3)当 a＝ 1 时， f(x) ＝ x2＋ 2x＋ 3，∴ f(|x|)＝x2＋2|x|＋ 3，此时定义域为x∈ [ －6,6] ，x2＋ 2x＋ 3， x∈ 0， 6]且 f(x)＝，x2－ 2x＋3， x∈ [－ 6，0]∴ f(|x|)的单调递增区间是(0,6] ，单调递减区间是[－ 6,0] ．探究提高 (1) 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论； (2) 二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．若函数 f(x) ＝2x2＋ mx－ 1 在区间 [ － 1，＋∞ )上递增，则f(－ 1)的取值范围是____________．答案(－∞，－ 3]m解析∵抛物线开口向上，对称轴为x＝－4，又f(－ 1)＝ 1－m≤ －3，∴ f(－ 1)∈ (－∞，－ 3]．题型三二次函数的综合应用例 3若二次函数f(x)＝ ax2＋ bx＋ c (a≠0) 满足 f( x＋1)－ f(x)＝ 2x，且 f(0) ＝ 1.(1)求 f(x)的解析式；(2)若在区间 [ －1 ,1]上，不等式f(x)>2 x＋ m 恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：对于 (1) ，由 f(0)＝ 1 可得 c，利用 f(x＋ 1)－ f(x)＝ 2x 恒成立，可求出a， b，进而确定f(x)的解析式．对于 (2) ，可利用函数思想求得．解(1) 由 f(0)＝ 1，得 c＝ 1.∴ f(x)＝ ax2＋ bx＋ 1.又f(x＋ 1)－ f(x)＝2x，∴a(x＋ 1)2＋ b(x＋1) ＋ 1－ (ax2＋ bx＋ 1)＝ 2x，2a＝ 2，a＝ 1，即 2ax＋ a＋ b＝2x，∴∴a＋ b＝ 0，b＝－ 1.因此， f(x)＝ x2－ x＋ 1.(2)f( x)>2 x＋ m 等价于 x2－ x＋ 1>2x＋m，即 x2－ 3x＋ 1－m>0，要使此不等式在 [－ 1,1] 上恒成立，只需使函数g(x)＝ x2－ 3x＋ 1－ m 在[－ 1,1] 上的最小值大于0 即可．∵g(x)＝ x2－ 3x＋1－ m 在 [－ 1,1]上单调递减，∴g(x)min＝ g(1)＝－ m－ 1，由－ m－ 1>0 得， m<－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－ 1)．探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图像是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立 )问题是高考命题的热点．已知函数f(x)＝ x2＋ mx＋n 的图像过点 (1,3)，且 f(－1＋ x)＝ f( －1－ x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与 y＝f(x)的图像关于原点对称．(1)求 f(x)与 g(x)的解析式；(2)若 F(x)＝ g(x)－λf(x)在(－1,1] 上是增函数，求实数λ的取值范围．解(1) ∵ f(x)＝ x2＋ mx＋n，∴f(－ 1＋ x)＝ (－ 1＋ x) 2＋m(－ 1＋ x)＋ n＝x2－ 2x＋ 1＋ mx＋ n－ m＝x2＋ (m－ 2)x＋ n－ m＋ 1，f(－ 1－ x)＝ (－ 1－x)2＋ m(－ 1－ x)＋ n＝x2＋ 2x＋ 1－ mx－ m＋ n＝x2＋ (2－ m)x＋ n－ m＋ 1.又f(－ 1＋ x)＝ f(－ 1－ x)，∴m－ 2＝ 2－ m，即 m＝ 2.又f(x)的图像过点 (1,3) ，∴3＝12＋ m＋ n，即 m＋ n＝2，∴n＝0，∴ f(x)＝ x2＋2x，又y＝g(x) 与 y＝ f(x)的图像关于原点对称，∴ －g( x)＝ (－ x)2＋ 2× (－x)，∴g(x)＝－ x2＋ 2x.2(2)∵ F(x)＝ g(x)－λf(x)＝－ (1＋λ)x ＋ (2－ 2λ)x，2－ 2λ 1－λ当λ＋ 1≠ 0 时， F(x)的对称轴为 x＝＝，2 1＋λλ＋ 1又∵F(x)在 (－ 1,1]上是增函数．1＋λ<01＋λ>0∴1－λ或1－λ.≤－ 1≥ 11＋λ1＋λ∴ λ<－ 1 或－ 1<λ≤ 0.当λ＋ 1＝ 0，即λ＝－ 1 时， F(x)＝ 4x 显然在 (－ 1,1] 上是增函数．综上所述，λ的取值范围为 (－∞，0] ．题型四幂函数的图像和性质例 4已知幂函数f(x) ＝ xm2－ 2m－ 3(m∈N* )的图像关于y 轴对称，且在 (0，＋∞ )上是减函数，求满足(a＋ 1)－m m的 a的取值范围．3<(3－ 2a)－3思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m2－ 2m－3<0 ，再结合 m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．解 ∵ 函数在 (0，＋ ∞ )上递减，∴ m 2－ 2m － 3<0，解得－ 1<m<3.∵ m ∈ N * ， ∴ m ＝ 1,2.又函数的图像关于y 轴对称， ∴ m 2－ 2m － 3 是偶数，而 22－ 2× 2－ 3＝－ 3 为奇数， 12－ 2×1－ 3＝－ 4 为偶数，∴ m ＝ 1.而 f(x)＝ x －13在( －∞ ， 0)， (0，＋ ∞ )上均为减函数，11∴ (a ＋ 1)－3<(3－ 2a)－ 3等价于 a ＋ 1>3－ 2a>0 或 0>a ＋1>3 － 2a 或 a ＋ 1<0<3－ 2a.2 3解得 a<－ 1 或 3<a<2.23故 a 的取值范围为 a|a<－ 1或 3<a<2 .探究提高(1) 幂函数解析式一定要设为y ＝ x α( α为常数的形式 )；(2)可以借助幂函数的图像理解函数的对称性、单调性．方法与技巧1． 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图像数形结合来解，一般从 ① 开口方向； ②对称轴位置； ③ 判别式； ④ 端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图像、性质求解．2． 与二次函数有关的不等式恒成立问题a>0(1)ax 2＋ bx ＋ c>0 ，a ≠ 0 恒成立的充要条件是.b 2－ 4ac<0a<0(2)ax 2＋ bx ＋ c<0 ，a ≠ 0 恒成立的充要条件是.b 2－ 4ac<0αα∈ R )，其中 α为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量，指数 α为常数．3． 幂函数 y ＝ x (失误与防范1． 对于函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠ 0，当题目条件中未说明 a ≠ 0 时，就要讨论 a ＝0 和 a ≠0 两种情况 .2． 幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点 .A 组 专项基础训练(时间： 35 分钟，满分： 57 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 )－x ， x ≤ 0，()1． (2011 浙·江 )设函数 f(x)＝ x 2，若 f(α)＝ 4，则实数 α等于x>0，A ．－ 4 或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2答案 B解析当 α≤ 0 时， f(α)＝－ α＝ 4，得 α＝－ 4；2当 α>0 时， f(α)＝ α＝ 4，得 α＝ 2.∴ α＝－ 4 或 α＝2.2． 已知函数 f(x)＝ x2－2x ＋ 2 的定义域和值域均为 [1， b] ，则 b 等于()A ． 3B ．2或 3C ． 2D ．1或 2答案 C解析函数 f(x)＝ x 2－ 2x ＋ 2 在[1 ，b] 上递增，f 1 ＝1，b 2－ 3b ＋ 2＝0， 由已知条件 f b ＝b ， 即解得 b ＝ 2.b>1.b>1，3． 设 abc>0，二次函数 f(x) ＝ax 2＋bx ＋ c 的图像可能是( )答案D解析由 A ， C ， D 知， f(0)＝ c<0.b∵ abc>0 ， ∴ ab<0， ∴ 对称轴 x ＝－ 2a >0 ，知 A，C 错误， D 符合要求．b由 B 知 f(0)＝ c>0，∴ ab>0，∴ x＝－2a<0， B 错误．4．设二次函数f(x)＝ ax2－ 2ax＋ c 在区间 [0,1] 上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是()A． (－∞， 0]B． [2，＋∞ )C． (－∞， 0]∪ [2，＋∞ )D． [0,2]答案D解析二次函数 f( x)＝ ax2－ 2ax＋ c 在区间 [0,1] 上单调递减，则a≠ 0， f′ (x)＝ 2a(x－ 1)<0 ， x∈[0,1] ，所以 a>0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x＝ 1.所以 f(0)＝ f(2) ，则当 f(m)≤ f(0) 时，有 0≤ m≤ 2.二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分)5．二次函数的图像过点 (0,1)，对称轴为 x＝2，最小值为－ 1，则它的解析式为 ____________．答案12－ 1 y＝ (x－ 2)26．已知函数 f(x)＝ x2＋2(a－ 1)x＋ 2 在区间 (－∞， 3]上是减函数，则实数 a 的取值范围为 ____________．答案(－∞，－ 2]解析f(x)的图像的对称轴为x＝ 1－ a 且开口向上，∴1－a≥ 3，即 a≤ － 2.7．当α∈ － 1，1，1， 3 时，幂函数 y＝ xα的图像不可能经过第 ________象限．2答案二、四α1α解析当α＝－ 1、1、 3 时， y＝ x 的图像经过第一、三象限；当α＝2时， y＝ x 的图像经过第一象限．三、解答题 (共 22 分 )8． (10 分 )已知二次函数f( x)的二次项系数为 a，且 f( x)>－ 2x 的解集为 { x|1<x<3} ，方程 f(x)＋ 6a＝0 有两相等实根，求 f(x)的解析式．解设 f(x)＋ 2x＝ a(x－ 1)(x－3) ( a<0) ，则f(x)＝ ax2－ 4ax＋ 3a－ 2x，f(x)＋6a＝ ax2－ (4a＋ 2)x＋ 9a，＝[ － (4a＋ 2)]2－ 36a2＝ 0，即 (5a＋ 1)(a－ 1)＝ 0，1解得 a＝－5或 a＝ 1(舍去 )．1因此 f(x)的解析式为f( x)＝－5(x－1)( x－3) ．9． (12 分 )是否存在实数a，使函数 f(x)＝ x2－ 2ax＋ a 的定义域为 [－ 1,1] 时，值域为 [－ 2,2] ？若存在，求 a 的值；若不存在，说明理由．解f(x)＝ (x－ a)2＋ a－ a2.当a<－ 1 时， f(x)在 [ － 1,1] 上为增函数，f－ 1 ＝ 1＋3a＝－ 2，∴? a＝－ 1(舍去 )；f 1 ＝ 1－ a＝ 2f a ＝ a－ a2＝－ 2，当－ 1≤ a≤ 0 时，? a＝－ 1；f 1 ＝ 1－ a＝ 2f a ＝ a－ a2＝－ 2，当 0<a≤ 1 时，? a 不存在；f－ 1 ＝ 1＋ 3a＝2当a>1 时， f(x)在[ －1,1] 上为减函数，f－ 1 ＝ 1＋3a＝ 2，∴? a 不存在．f 1 ＝ 1－ a＝－ 2综上可得a＝－ 1.B 组专项能力提升(时间： 25 分钟，满分：43 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 )α21．已知幂函数f(x)＝ x的图像经过点2，2，则 f(4) 的值等于()1A． 16 B. 161C． 2 D. 2答案D2α21解析将点2，2代入得： 2 ＝ 2 ，所以α＝－2，1故 f(4) ＝2.2．已知函数 f(x)＝ 2mx2－ 2(4－ m)x＋1，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f( x)与 g(x) 的值至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是()A． (0,2)B． (0,8)C． (2,8) D ． (－∞， 0)答案B4－m解析当 m≤ 0 时，显然不合题意；当m>0 时， f(0)＝ 1>0 ，① 若对称轴2m≥ 0，即 0<m≤ 4，结论显然成立； 4－m 2② 若对称轴2m <0，即 m>4 ，只要 ＝ 4(4－ m) － 8m ＝ 4(m － 8)(m － 2)<0 即可，即 4<m<8，综上， 0<m<8，选 B.3． 已知二次函数 y ＝ x 2－ 2ax ＋ 1 在区间 (2,3)内是单调函数，则实数 a 的取值范围是 ( )A ． a ≤ 2 或 a ≥ 3B ． 2≤a ≤ 3C ． a ≤－ 3 或 a ≥－ 2D ．－ 3≤ a ≤－ 2 答案 A 解析 由函数图像知， (2,3) 在对称轴 x ＝a 的左侧或右侧， ∴ a ≥ 3 或 a ≤ 2.二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 )4． 已知二次函数 y ＝ f(x)的顶点坐标 为 －3，49 ，且方程 f(x)＝ 0 的两个实根之差等于 7，则此二次函数的解2析式是 ______________． 答案 f(x)＝－ 4x 2－ 12x ＋ 40 3 2 3 2解析 设二次函数的解析式为 f(x)＝ a x ＋ 2 ＋ 49 (a<0) ，方程 a(x ＋ 2) ＋ 49＝ 0 的两个根分别为 x 1，x 2， 49 则 |x 1－ x 2|＝ 2 － a ＝ 7，∴ a ＝－ 4，故 f(x)＝－ 4x 2－ 12x ＋ 40.5． 若方程 x 2－ 11x ＋ 30＋a ＝ 0 的两根均大于 5，则实数 a 的取值范围是 ________．1答案 0<a ≤解析 令 f(x)＝ x 2－11x ＋30＋ a ，结合图像有Δ≥ 0 图像与 x 轴有交点 ，f 5 >0 图像与 x 轴交点在 x ＝ 5的右侧 ，11无需考虑对称轴，因为对称轴方程 x ＝ 2 >5 .1∴ 0<a ≤ 4.16． 已知函数 f(x)＝ x 2，给出下列命题：①若 x>1，则 f(x)>1；②若 0<x 1<x 2，则 f(x 2)－ f(x 1)>x 2－ x 1；③若 0<x 1<x 2，则 x 2f(x 1)<x 1f(x 2)；④若 0<x 1<x 2 ，则 f x 1 ＋f x 2 <fx 1＋ x 2 .2 2则所有正确命题的序号是 ________．答案 ①④1解析 对于 ①， f(x)＝ x2 是增函数， f(1)＝ 1，当 x>1 时， f(x)>1， ① 正确；f x 2 － f x 1 >1 ，可举例 (1,1)， (4,2) ，故 ② 错；对于 ②，x 2－ x 1f x 1 － 0 f x 2－ 0x 1 ，x 2 到原点连线的斜率越来越大，由图像可知，③错； 对于 ③， < ，说明图像上两点 1－ 0 x 2－ 0xf x 1＋ f x 2 x 1＋ x 2 ，根据图像可判断出 ④ 正确． 对于 ④， 2 <f2三、解答题7． (13 分 )已知函数 f(x)＝－ x 2＋ 2ax ＋ 1－a 在 x ∈ [0,1] 时有最大值 2，求 a 的值．解 f(x)＝－ (x － a)2＋ a 2－ a ＋1，当 a ≥1 时， y max ＝ f(1) ＝ a ；当 0<a<1 时， y max ＝ f(a)＝a 2－ a ＋1；当 a ≤0 时， y max ＝ f(0) ＝ 1－ a.a ≥ 1， 0<a<1， a ≤ 0根据已知条件： 或 或a ＝ 2 2 － a ＋1＝ 2 1－ a ＝ 2，a解得 a ＝ 2 或 a ＝－ 1.。
幂函数与二次函数讲义一、知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝x α的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域值域单调性对称性函数的图象关于x＝－b2a对称(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数． 2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.二、基础检验题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) (4)函数y ＝212x 是幂函数．( )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) 题组二：教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点)22,21(，则k ＋α等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3题组三：易错自纠 4．幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )6．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为_____．三、典型例题1．幂函数y＝f(x)经过点(3，3)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数2．若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c3．若12(21)m >122(1)m m＋－，则实数m的取值范围是思维升华：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二：二次函数的解析式典例(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.思维升华：求二次函数解析式的方法跟踪训练(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.题型三：二次函数的图象和性质命题点1：二次函数的图象典例：对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()命题点2：二次函数的单调性典例 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 命题点3：二次函数的最值典例 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 命题点4：二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是____． (2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 思维升华：解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域． 跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．四、反馈练习1．幂函数y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x－＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．23．若命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜0或a ≥3 B ．a ≤0或a ≥3 C ．a ＜0或a ＞3D ．0＜a ＜34．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)6．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是____________． 7．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是__________． 8．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 9．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈]212[--，时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．11．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[2,3]D ．[1,2]12．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 13．若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象： (1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．。
§2.6二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线)定义域R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1212x 是幂函数．( × )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( √ ) (3)二次函数y ＝a (x －1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (4)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × ) 教材改编题1．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫5，15，则f (8)的值等于( ) A.14 B ．4 C ．8 D.18 答案 D解析 设幂函数f (x )＝x α，因为幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫5，15，所以f (5)＝5α＝15， 解得α＝－1，所以f (x )＝x －1，则f (8)＝8－1＝18.2．已知函数f (x )＝－x 2－4x ＋5，则函数y ＝f (x )的单调递增区间为( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，2] C ．[－2，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析 f (x )＝－x 2－4x ＋5＝－(x ＋2)2＋9，故函数f (x )的对称轴为x ＝－2， 又函数f (x )的图象开口向下，故函数的单调递增区间为(－∞，－2]． 3．函数f (x )＝－2x 2＋4x ，x ∈[－1,2]的值域为( )A ．[－6,2]B ．[－6,1]C ．[0,2]D ．[0,1]答案 A解析 函数f (x )＝－2x 2＋4x 的对称轴为x ＝1， 则f (x )在[－1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )min ＝f (－1)＝－2－4＝－6， 即f (x )的值域为[－6,2].题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)若幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则( )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1，0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1答案 B解析 由图象知，y ＝x m 在(0，＋∞)上单调递增， 所以m >0，又y ＝x m 的图象增长得越来越慢， 所以m <1，y ＝x n 在(0，＋∞)上单调递减， 所以n <0，又当x >1时，y ＝x n 的图象在y ＝x －1的下方， 所以n <－1.综上，n <－1，0<m <1.(2)(2023·德州模拟)幂函数f (x )＝(m 2＋m －5)225m m x ＋－在区间(0，＋∞)上单调递增，则f (3)等于( )A ．27B ．9 C.19 D.127答案 A解析 由题意，得m 2＋m －5＝1， 即m 2＋m －6＝0，解得m ＝2或m ＝－3， 当m ＝2时，可得函数f (x )＝x 3，此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当m ＝－3时，可得f (x )＝x －2，此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意， 即幂函数f (x )＝x 3，则f (3)＝27.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 跟踪训练1 (1)已知幂函数3py x ＝(p ∈Z )的图象关于y 轴对称，如图所示，则( )A ．p 为奇数，且p >0B ．p 为奇数，且p <0C ．p 为偶数，且p >0D ．p 为偶数，且p <0 答案 D解析 因为函数3p y x ＝的图象关于y 轴对称， 所以函数3p y x ＝为偶函数，即p 为偶数， 又函数3p y x ＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 且在(0，＋∞)上单调递减，所以p3<0，即p <0.(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知函数y ＝254m m x －＋(m ∈Z )为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值可以为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 BC解析 因为函数在区间(0，＋∞)上单调递减， 所以m 2－5m ＋4<0，解得1<m <4， 因为m ∈Z ， 所以m ＝2或3，当m ＝2时，函数y ＝x －2为偶函数，符合题意； 当m ＝3时，函数y ＝x －2为偶函数，符合题意， 综上，m ＝2或m ＝3. 题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解 方法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为 f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8， 所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1， 解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8.解得a ＝－4.故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 思维升华 求二次函数解析式的三个策略： (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2 已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x 轴的距离等于2，则二次函数的解析式为________．答案 y ＝12x 2＋x －32或y ＝－12x 2－x ＋32解析 因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)， 所以可设二次函数为y ＝a (x ＋3)(x －1)(a ≠0)，展开得，y ＝ax 2＋2ax －3a ， 顶点的纵坐标为－12a 2－4a 24a ＝－4a ，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离为2， 所以|－4a |＝2，即a ＝±12，所以二次函数的解析式为y ＝12x 2＋x －32或y ＝－12x 2－x ＋32.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象例3 设abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，b >0，c <0，不符合题意； D 中，a >0，b <0，c <0，符合题意． 命题点2 二次函数的单调性与最值例4 (2023·福州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋2a －1. (1)若f (x )在区间[1,2]上单调递减，求a 的取值范围；(2)若a >0，设函数f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式． 解 (1)当a >0时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1的图象开口向上，对称轴方程为x ＝12a，所以f (x )在区间[1,2]上单调递减需满足12a ≥2，a >0，解得0<a ≤14.当a <0时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1的图象开口向下，对称轴方程为x ＝12a <0，所以f (x )在区间[1,2]上单调递减需满足a <0， 综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤0，14. (2)①当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上单调递增， 此时g (a )＝f (1)＝3a －2. ②当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1，12a 上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12a ，2上单调递增， 此时g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝2a －14a －1. ③当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上单调递减， 此时g (a )＝f (2)＝6a －3，综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3，a ∈⎝⎛⎭⎫0，14，2a －14a －1，a ∈⎣⎡⎦⎤14，12，3a －2，a ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3 (1)(多选)(2022·茂名模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A．2a＋b＝0B．4a＋2b＋c<0C．9a＋3b＋c<0D．abc<0答案ACD解析由二次函数图象开口向下知，a<0，对称轴为x＝－b＝1，即2a＋b＝0，故b>0.2a又因为f(0)＝c>0，所以abc<0.f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.(2)(2022·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是____．答案[2,4]解析解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2，由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2]．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2；若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]，所以b－a的最大值为4.所以b－a的取值范围是[2,4]．课时精练1．已知p：f(x)是幂函数，q：f(x)的图象过点(0,0)，则p是q的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析f(x)＝x－2是幂函数，但其图象不过点(0,0)，故充分性不成立；f(x)＝2x－1的图象过点(0,0)，但其不是幂函数，故必要性不成立．所以p是q的既不充分也不必要条件．2．(2023·保定检测)已知a＝432，b＝233，c＝1225，则()A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案 A解析由题意得b＝224333342=＝a，a＝432＝234<4<5＝1225＝c，所以b<a<c.3．(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是()答案 C解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；对于选项B ，由直线可知a >0，b >0，从而－b 2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B.4．已知函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋a ，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有f (x 1)≠f (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0,3]C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 二次函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝a －1，∵对于任意x 1，x 2∈[－1,2]且x 1≠x 2，都有f (x 1)≠f (x 2)，即f (x )在区间[－1,2]上是单调函数，∴a －1≤－1或a －1≥2，∴a ≤0或a ≥3，即实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．5．(多选)幂函数f (x )＝()22657m m m x －－＋在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是()A ．m ＝3B ．函数f (x )在(－∞，0)上单调递增C ．函数f (x )是偶函数D ．函数f (x )的图象关于原点对称答案 ABD解析 因为幂函数f (x )＝()22657m m m x －－＋在(0，＋∞)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－5m ＋7＝1，m 2－6>0，解得m ＝3， 所以f (x )＝x 3，所以f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，故f (x )＝x 3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f (x )在(－∞，0)上单调递增．6．(多选)若二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 等于( )A ．－13 B.13 C ．－5 D ．5答案 BC解析 显然a ≠0，有f (x )＝a (x ＋1)2－a ＋1，当a >0时，f (x )在[－2,3]上的最大值为f (3)＝15a ＋1，由15a ＋1＝6，解得a ＝13，符合题意； 当a <0时，f (x )在[－2,3]上的最大值为f (－1)＝1－a ，由1－a ＝6，解得a ＝－5，符合题意，所以a 的值为13或－5. 7．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立，∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3，设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.8．(2022·人大附中质检)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[1，＋∞)，则1a ＋4c的最小值为________．答案 3解析 因为二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[1，＋∞)，则a >0，所以f (x )min ＝4ac －44a ＝ac －1a＝1，即ac －1＝a ，可得a ＝1c －1>0，则c >1， 所以1a ＋4c ＝c ＋4c －1≥2c ·4c－1＝3， 当且仅当c ＝2时，等号成立，因此1a ＋4c的最小值为3. 9．已知幂函数f (x )＝(2m 2－m －2)242m x －(m ∈R )为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－2(a －1)x ＋1在区间[0,4]上的最大值为9，求实数a 的值．解 (1)由幂函数可知2m 2－m －2＝1，解得m ＝－1或m ＝32， 当m ＝－1时，f (x )＝x 2，函数为偶函数，符合题意； 当m ＝32时，f (x )＝x 7，函数为奇函数，不符合题意， 故f (x )的解析式为f (x )＝x 2.(2)由(1)得，g (x )＝f (x )－2(a －1)x ＋1＝x 2－2(a －1)x ＋1.函数的对称轴为x ＝a －1，开口向上，f (0)＝1，f (4)＝17－8(a －1)，由题意得，在区间[0,4]上，f (x )max ＝f (4)＝17－8(a －1)＝9，解得a ＝2，经检验a ＝2符合题意， 所以实数a 的值为2.10．设二次函数f (x )满足：①当x ∈R 时，总有f (－1＋x )＝f (－1－x )；②函数f (x )的图象与x轴的两个交点为A ，B ，且|AB |＝4；③f (0)＝－34. (1)求f (x )的解析式；(2)若存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ](m >1)，就有f (x ＋t )≤x －1成立，求满足条件的实数m 的最大值．解 (1)由题意知，函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且方程f (x )＝0的两根为－3和1， 设f (x )＝a (x ＋3)(x －1)，又f (0)＝－34，则f (0)＝－3a ＝－34，解得a ＝14. 故f (x )＝14x 2＋12x －34. (2)只要x ∈[1，m ](m >1)，就有f (x ＋t )≤x －1，即x 2＋2(t －1)x ＋(t ＋1)2≤0，取x ＝1，t 2＋4t ≤0，－4≤t ≤0；取x ＝m ，[m ＋(t －1)]2≤－4t ，即1－t －2－t ≤m ≤1－t ＋2－t ， 由－4≤t ≤0得0≤－t ≤4,1－t ＋2－t ≤1＋4＋2×4＝9，故当t ＝－4时，m ≤9；当m ＝9时，存在t ＝－4，只要x ∈[1,9]，就有f (x －4)－(x －1)＝14(x －1)(x －9)≤0成立，满足题意． 故满足条件的实数m 的最大值为9.11.已知幂函数y ＝x a 与y ＝x b 的部分图象如图所示，直线x ＝m 2，x ＝m (0<m <1)与y ＝x a ，y ＝x b 的图象分别交于A ，B ，C ，D 四点，且|AB |＝|CD |，则m a ＋m b 等于( )A.12B ．1 C. 2D ．2答案 B解析 由题意，|AB |＝|(m 2)a －(m 2)b |，|CD |＝|m a －m b |，根据图象可知b >1>a >0，当0<m <1时，(m 2)a >(m 2)b ，m a >m b ，因为|AB |＝|CD |，所以m 2a －m 2b ＝(m a ＋m b )(m a －m b )＝m a －m b ，因为m a －m b >0，所以m a ＋m b ＝1.12．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0(m ∈R )的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案 7 解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14， 且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.13．已知函数f (x )＝2ax 2－2 022x －2 023，对任意t ∈R ，在区间[t －1，t ＋1]上存在两个实数x 1，x 2，使|f (x 1)－f (x 2)|≥1成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－1,1]C ．(－∞，－1]∪{0}∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪{0}∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 答案 D解析 存在两个实数x 1，x 2，使|f (x 1)－f (x 2)|≥1⇔f (x )max －f (x )min ≥1，当a ＝0时，f (x )＝－2 022x －2 023，f (t －1)－f (t ＋1)＝2×2 022>1，显然符合；当a ≠0时，f (x )＝2ax 2－2 022x －2 023与y ＝2ax 2的图象完全“全等”，即可以通过平移完全重合．因为t －1≤x ≤t ＋1且t ∈R ，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象， 使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于等于1，因此取纵坐标之差最小的状态为f (x )＝2ax 2(－1≤x ≤1)，当a >0时，此时f (x )max －f (x )min ＝2a －0≥1，故a ≥12； 当a <0时，此时f (x )max －f (x )min ＝0－2a ≥1，故a ≤－12， 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪{0}∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.14．已知函数f(x)＝x2－4x＋1，设1≤x1<x2<x3<…<x n≤4，若|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(x n－1)－f(x n)|≤M，则M的最小值为()A．3 B．4 C．5 D．6答案 C解析函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增．由绝对值的几何意义，∴|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(x n－1)－f(x n)|表示将函数f(x)在(x1，x n)上分成n－1段，取每段两端点函数值差的绝对值总和．又根据f(x)的单调性知原式最大值为|f(1)－f(2)|＋|f(2)－f(4)|＝f(1)－f(2)＋f(4)－f(2)＝5，∴M≥5，则M的最小值为5.。
第五节 二次函数与幂函数时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)的值为( )A ．16 B.116 C.12D ．2解析 由已知，得22＝2α，即2α＝2－12，∴α＝－12.∴f (x )＝x －12.∴f (4)＝4－12＝12.答案 C2．函数y ＝x13的图象是( )A. B.C. D.解析 由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A 、D ；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C ，从而选B.答案 B3．(2013·重庆卷)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.322解析(3－a )(a ＋6)＝－a 2－3a ＋18＝－(a ＋32)2＋814，当a ＝－32时，(3－a )(a ＋6)取得最大值92. 答案 B4．(2014·陕西榆林期末)设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52D.－1＋52解析 由b >0，排除图象①②；若a >0，则－b2a <0，排除图象④；由图象③得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－1＝0，即a ＝－1.故选B.答案 B5．(2014·江南十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0的图象如图．知f (x )在R 上为增函数． 故f (2－a 2)＞f (a )，即2－a 2＞a . 解得－2＜a ＜1. 答案 C6．(2013·安徽卷)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由二次函数的图象和性质知f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增只需f (x )的图象在(0，＋∞)上与x 轴无交点，即a ＝0或1a <0，整理得a ≤0，而当a ≤0时结合图象可知f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故a ≤0是f (x )在(0，＋∞)上单调递增的充要条件．故选C.答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2014·西城模拟)若二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (a )≤f (0)<f (1)，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知，抛物线f (x )开口向下，对称轴为x ＝2，又f (0)＝f (4)，∴a ≤0或a ≥4.答案 (－∞，0]∪[4，＋∞)8．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－2,0)，B (4，0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________．解析 设y ＝a (x ＋2)(x －4)，对称轴为x ＝1， 当x ＝1时，y max ＝－9a ＝9，∴a ＝－1， ∴y ＝－(x ＋2)(x －4)＝－x 2＋2x ＋8. 答案 y ＝－x 2＋2x ＋89．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析 设P (t ，1t )，其中t >0，P A 2＝(t －a )2＋(1t －a )2＝t 2＋1t 2－2a (t ＋1t )＋2a 2，即P A 2＝(t ＋1t )2－2a (t ＋1t )＋2a 2－2，令m ＝t ＋1t ≥2，所以P A 2＝m 2－2am ＋2a 2－2＝(m －a )2＋a 2－2，当P A 取得最小值时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，22－4a ＋2a 2－2＝(22)2，或⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a 2－2＝(22)2，解得a ＝－1或a ＝10.答案 －1 10三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．(2014·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3， (1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f (－32)＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为[－214，15]． (2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知a ＝－13或－1.11．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)c 为何值时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立．解 由题意，得x ＝－3和x ＝2是函数f (x )的零点，且a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝a ×(－3)2＋(b －8)×(－3)－a －ab ，0＝a ×22＋(b －8)×2－a －ab .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(1)由图象知，函数在[0,1]内单调递减， ∴当x ＝0时，y ＝18；当x ＝1时，y ＝12. ∴f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]． (2)令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c .∵g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞上单调递减，要使g (x )≤0在[1,4]上恒成立，则需要g (1)≤0.即－3＋5＋c ≤0，解得c ≤－2.∴当c ≤－2时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立． 12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (x ＞0)，－f (x ) (x ＜0).求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1. 解得a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝(x ＋1)2，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2(x ＞0)，－(x ＋1)2(x ＜0). ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.。
