第1节 气体的等温变化
1．知道什么是等温变化。
2．知道玻意耳定律是实验定律，掌握玻意耳定律的内容、表达式及适用条件。 3．理解气体等温变化的p -V 图象、p -1V 图象的物理意义。
一、气体的状态参量及封闭气体压强的计算
1．气体的状态参量：描述气体的状态参量一般有□
01压强、□02体积、□
03温度。
2．实验探究
二、玻意耳定律
1．内容：一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，□01压强p与□02体积V成反比。
2．公式：pV＝恒量(C)或p1V1＝□03p2V2。
3．条件：气体的□04质量一定，温度□05不变。
三、两种等温变化图象
1．气体等温变化的p-V图象
一定质量的气体发生等温变化时的p-V图象如图甲所示。图线的形状为□01双曲线。
由于它描述的是温度不变时的p-V关系，因此称它为□02等温线。一定质量的气体，不同温度下的等温线是□03不同的。
2．p -1V 图象：一定质量的理想气体的p -1V 图象为过原点的□
04倾斜直线，如图乙所示。
判一判
(1)被封闭气体的质量发生变化不影响实验结果。( )
(2)一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，压强与体积成正比。( ) 提示：(1)× (2)×
课堂任务
封闭气体的压强的计算
1．系统处于平衡状态时，求封闭气体的压强
(1)连通器原理：在连通器中，同种液体(中间液体不间断)的同一水平液面上的压强是相等的。
(2)在考虑与气体接触的液柱所产生的附加压强p ＝ρg h 时，应特别注意h 是表示液面间竖直高度，不一定是液柱长度。
(3)求由液体封闭的气体压强，一般选择最低液面列平衡方程。
(4)求由固体封闭(如汽缸或活塞封闭)的气体压强，一般对此固体(如汽缸或活塞)进行受力分析，列出力的平衡方程。
2．容器加速运动时封闭气体的压强的求解 容器加速运动时，封闭气体压强的计算步骤如下：
(1)取封闭气体接触的液体(或活塞、汽缸)为研究对象(并不是以气体为研究对象)。
(2)对研究对象进行受力分析。(气体对研究对象的作用力写成F ＝pS 形式) (3)对研究对象建立直角坐标系并进行受力分析。 (4)分别在x 轴和y 轴上列牛顿第二定律方程。 (5)解方程。
例1如图所示，竖直放置的U形管，左端开口，右端封闭，管内有a、b 两段水银柱，将A、B两段空气柱封闭在管内。已知水银柱a长为10 cm，水银柱b两个液面间的高度差为5 cm，大气压强为75 cmHg，求空气柱A、B产生的压强。
[规范解答]分别取两段水银柱a、b为研究对象，由受力平衡，求得A、B 的压强。
设气柱A、B产生的压强分别为p A、p B，管横截面积为S，取a水银柱为研究对象(如图甲)，得p A S＋m a g＝p0S，而p a S＝ρgh1S＝m a g，故p A S＋p a S＝p0S，所以p A＝p0－p a＝75 cmHg－10 cmHg＝65 cmHg。
取水银柱b为研究对象(如图乙)，同理可得p B S＋m b g＝p A S，所以p B＝p A－p b ＝65 cmHg－5 cmHg＝60 cmHg。
[完美答案]65 cmHg60 cmHg
封闭气体的压强的求解方法
(1)容器静止或匀速运动时封闭气体压强的计算：
①取等压面法。
根据同种液体在同一水平液面处压强相等，在连通器内灵活选取等压面。由两侧压强相等列方程求解压强。
例如，图1中同一液面C 、D 处压强相等，则p A ＝p 0＋p h 。 ②力平衡法。
选与封闭气体接触的液柱(或活塞、汽缸)为研究对象进行受力分析，由F 合
＝0列式求气体压强。
(2)容器加速运动时封闭气体压强的计算：
当容器加速运动时，通常选与气体相关联的液柱、汽缸或活塞为研究对象，并对其进行受力分析，然后由牛顿第二定律列方程，求出封闭气体的压强。
如图2所示，当竖直放置的玻璃管向上加速运动时，对液柱受力分析有：pS －p 0S －mg ＝ma ，得p ＝p 0＋m (g ＋a )
S 。
[变式训练1－1] 如图所示，竖直向上放置的横截面积为S 的汽缸内，有两个质量分别为m 1和m 2的圆柱形光滑活塞，封闭着两部分气体A 与B ，若外界大
气压强为p 0，试求气体A 的压强p A 。
答案 见解析
解析 用关联物整体法：将质量分别为m 1和m 2的两个活塞和气柱B 看做一个整体，此时气柱B 对上、下活塞的压力成为内力，可不必考虑，而气柱B 的重力可以忽略，于是等效于将气柱B 抽去，而将活塞m 1、m 2视为一个整体，由该整体受力平衡即可得出：p A S ＝p 0S ＋(m 1＋m 2)g ，解得p A ＝p 0＋(m 1＋m 2)g
S
。
[变式训练1－2] 如图所示，上端封闭底部相连的A 、B 、C 三管中水银面相平，三管横截面积的关系是S A >S B >S C 。管内水银上方的空气柱长度为L A A ．A 管中水银面最高 B ． C 管中水银面最高 C ．一样高 D ．条件不足，无法确定 答案 A 解析 未打开阀门前，A 、B 、C 三管中水银面相平，所以三管中封闭气体的压强相同，记作p 0。假设打开阀门K 流出少量水银后，三管中水银面都降低了相同的高度h ，三管中水银面仍然相平，对管中封闭气体应用玻意耳定律有：p 0L ＝ p(L＋h)。解得末压强：p＝ p 0L L＋ h ＝ p0 1＋ h L 。此式表明p与空气柱原长L有关。因为 L A 水银 gh C′。 因为p A′ h B′>h C′。可见，哪个管内原来空气柱较短，后来该管水银面就较高，与管的横截面积无关。故本题应选A。 课堂任务玻意耳定律 利用玻意耳定律解题的基本思路 1．明确研究对象：根据题意，确定所研究的气体。 2．明确初、末状态：找出气体变化前后的初、末状态，并确定初、末状态的p、V值。 3．列方程求解：因为是比例式，计算中只需使同一物理量的单位统一即可，不一定用国际单位制中的单位。 4．检验结果：有时列方程求解会得到两个结果，应通过合理性的检验决定取舍。 (1)公式pV＝C中的常量C不是一个普适常量，它与气体所 处的温度高低有关，温度越高，常量C越大。 (2)应用玻意耳定律解决等温变化的问题时，一定要先确定好两个状态的体积和压强。 例2如图所示，在温度不变的情况下，把一根长为100 cm，上端封闭的玻璃管竖直插入水银槽中，插入后管口到槽内水银面的距离是管长的一半，若大气压为75 cmHg，求水银进入管内的长度。 [规范解答] 研究玻璃管内被封闭的空气柱。 初态：玻璃管未插入水银槽之前，p 1＝p 0＝75 cmHg ； V 1＝LS ＝100·S cm 3， 末态：玻璃管插入水银槽后，设管内外水银面高度差为h ，则p 2＝p 0＋p h ＝(75＋h ) cmHg ， V 2＝?????? L －? ????L 2－h S ＝(50＋h )S cm 3， 根据玻意耳定律p 1V 1＝p 2V 2得 75×100S ＝(75＋h )(50＋h )S ， 即h 2＋125h －3750＝0， 解得h ＝25 cm(h ＝－150 cm 舍去)， 所以，水银进入管内的长度为 L 2－h ＝ ? ???? 1002－25 cm ＝25 cm 。 [完美答案] 25 cm 变质量问题分析 解析变质量问题时，可以通过巧妙地选择合适的研究对象，使这类问题转化为一定质量的气体问题，用气体定律方程求解。 (1)打气问题 向球、轮胎中充气是一个典型的变质量的气体问题。只要选择球内原有气体和即将打入的气体作为研究对象，就可把充气过程中的气体质量变化的问题转化为定质量气体的状态变化问题。 (2)抽气问题 从容器内抽气的过程中，容器内的气体质量不断减小，这属于变质量问题。我们可以将每次抽气过程中抽出的气体和剩余气体作为研究对象，质量不变，故抽气过程看做是等温膨胀过程。 (3)灌气问题 将一个大容器里的气体分装到多个小容器中的问题也是一个典型的变质量问题。解决这类问题时，可以把大容器中的气体和多个小容器中的气体看做整体来作为研究对象，可将变质量问题转化为定质量问题。 (4)漏气问题 容器漏气过程中气体的质量不断发生变化，属于变质量问题。如果选容器内剩余气体和漏出的气体为研究对象，便可使问题变成一定质量的气体状态变化，可用气体定律方程求解。 [变式训练2－1]输液时，不小心将2立方厘米气体注入血液，在血液中气体的体积多大？(气体按等温变化处理，且人的血压按120 mmHg，大气压按760 mmHg进行计算) 答案 1.7 cm3 解析由于人的皮肤破了，血液向外流，故人体内的压强肯定大于大气压。人的血压值是其压强的绝对值减去大气压强之后的数值，所以空气进入体内后受的压强变大，p2＝120 mmHg＋760 mmHg＝880 mmHg， 由p1V1＝p2V2， 又p1＝760 mmHg，V1＝2 cm3， 解出V2＝1.7 cm3。 [变式训练2－2]如图所示，某压缩式喷雾器的贮液桶的容量是5.7×10－3 m3，往桶内倒入4.2×10－3 m3的药液后开始打气，打气过程中药液不会向外喷出。如果每次能打进2.5×10－4 m3的空气，要使喷雾器内空气的压强达到 4.0×105 Pa，应打几次气？这个压强能否使喷雾器内的药液全部喷完？(设大气压强为1.0×105 Pa) 答案18次能 解析设大气压强为p0，每次打入的气体在大气压下的 体积为ΔV，贮液桶中空气体积为V，要使其压强达到4.0×105Pa＝4p0，需 打n 次气。根据玻意耳定律可得： p 0V ＋p 0n ΔV ＝4p 0V 。 式中p 0＝1.0×105 Pa ，ΔV ＝2.5×10－4 m 3， V ＝(5.7－4.2)×10－3 m 3。 将数据代入上式中，解得n ＝18次。 当打开喷液口时，如果药液能全部喷出，则空气充满整个桶，这时桶内空气压强为p ，则：4p 0V ＝p ×5.7×10－3。 代入V 值，解得p ＝1.053p 0。 可见，由于p >p 0，因此药液可以全部喷出。 课堂任务 p -V 图象与 p -1 V 图象的应用 p -V 图象及p -1 V 图象上等温线的物理意义 1．一定质量的气体，其等温线是双曲线，双曲线上的每一个点均表示一定质量的气体在该温度下的一个状态，而且同一条等温线上每个点对应的p 、V 坐标的乘积都是相等的，如图甲所示。 2．玻意耳定律pV ＝C (常量)，其中常量C 不是一个普适常量，它随气体温度的升高而增大，温度越高，常量C 越大，等温线离坐标轴越远。如图乙所示，4条等温线的关系为T 4＞T 3＞T 2＞T 1。 3．一定质量气体的等温变化过程，也可以用p -1 V 图象来表示，如图丙所示。等温线是一条延长线通过原点的直线，由于气体的体积不能无穷大，所以靠近原点附近处应用虚线表示，该直线的斜率k ＝p 1V ＝pV ＝C ，即斜率越大，气体的温度 越高。 例3 (多选)如图所示是一定质量气体的两条等温线，则下列关于各状态温度的说法中正确的是(A 、B 、C 、D 为四种状态) ( ) A ．t A ＝t B B ．t B ＝t C C ．t C >t D D ．t D >t A [规范解答] 根据p -V 图象的变化规律可知t C ＝t D >t A ＝t B 。故正确答案为A 、 D 。 [完美答案] AD [变式训练3] (多选)如图所示为一定质量的气体在不同温度下的两条p -1V 图 线。由图可知( ) A ．一定质量的气体在发生等温变化时，其压强与体积成正比 B ．一定质量的气体在发生等温变化时，其p -1 V 图线的延长线经过坐标原点 C ．T 1>T 2 D ．T 1 解析 由图线可知A 错误，B 正确。p -1 V 图线斜率越大，气体的温度越高，C 错误，D 正确。 A 组：合格性水平训练 1．(气体的等温变化)(多选)一定质量的气体，在等温变化过程中，下列物理量中发生改变的有( ) A ．分子的平均速率 B ．单位体积内的分子数 C ．气体的压强 D ．分子总数 E ．气体的体积 答案 BCE 解析 等温变化过程中，温度不变，则分子的平均动能不变，所以分子的平均速率不变，p 、V 发生相应的变化，单位体积内的分子数也随之发生相应变化，但分子总数不变，故B 、C 、E 正确。 2. (压强的计算)如图所示，活塞的质量为m ，缸套的质量为M 。通过弹簧吊在天花板上，汽缸内封有一定质量的气体。缸套和活塞间无摩擦，活塞面积为S ，大气压强为p 0。则封闭气体的压强为( ) A ．p 0＋mg S B ．p 0＋(M ＋m )g S C ．p 0－Mg S D.mg S 答案 C 解析 对汽缸缸套进行受力分析，如图所示。由平衡条件可得：p 0S ＝Mg ＋pS ，所以p ＝p 0－Mg S ，故C 正确。 3．(玻意耳定律)一定质量的气体在温度保持不变时，压强增大到原来的4倍，则气体的体积变为原来的 ( ) A ．4倍 B ．2倍 C.12 D.14 答案 D 解析 根据玻意耳定律p 1V 1＝p 2V 2得V 2V 1 ＝p 1p 2 ＝14，即气体的体积变为原来的1 4。 4. (玻意耳定律)如图所示，某种自动洗衣机进水时，与洗衣缸相连的细管中会封闭一定质量的空气，通过压力传感器感知管中的空气压力，从而控制进水量。设温度不变，洗衣缸内水位升高，则细管中被封闭的空气( ) A ．体积不变，压强变小 B ．体积变小，压强变大 C ．体积不变，压强变大 D ．体积变小，压强变小 答案 B 解析 水位升高，压强变大，由玻意耳定律pV ＝C 可知封闭气体体积减小，B 正确。 5. (玻意耳定律)如图，玻璃管内封闭了一段气体，气柱长度为l ，管内外水银面高度差为h 。若温度保持不变，把玻璃管稍向上提起一段距离，则( ) A．h、l均变大 B．h、l均变小 C．h变大l变小 D．h变小l变大 答案 A 解析开始时，玻璃管中的封闭气体的压强p1＝p0－ρgh，上提玻璃管，假设h不变，则l变长，由玻意耳定律得，p1l·S＝p2(l＋Δl)·S，所以气体内部压强小了，大气压p0必然推着液柱上升，假设不成立，h必然变大一些。最后稳定时，封闭气体的压强p2＝p0－ρg(h＋Δh)减小，再根据玻意耳定律，p1l1·S＝p2l2·S，l2>l1，l 变大，故A正确。 6. (p-V图象分析)(多选)如图所示，为一定质量的气体在不同温度下的两条等温线，则下列说法正确的是() A．一定质量的气体在发生等温变化时，其压强与体积成反比 B．一定质量的气体，在不同温度下的等温线是不同的 C．由图可知T1＞T2 D．由图可知T1＜T2 答案ABD 解析根据等温图线的物理意义可知A、B正确，气体的温度越高时，等温图线的位置就越远离原点，所以C错误，D正确。 7. (玻意耳定律)如图所示，封闭端有一段长40 cm的空气柱，左右两边水银柱的高度差是19 cm，大气压强为76 cmHg，要使两边管中的水银面一样高，需 要再注入______cm 长的水银柱。 答案 39 解析 封闭气体做等温变化，由于初态p 1＝p 0－p h ＝(76－19) cmHg ＝57 cmHg ，l 1＝40 cm ， 末态p 2＝p 0＝76 cmHg ， 由玻意耳定律得：p 1l 1S ＝p 2l 2S ，解得l 2＝30 cm ， 需再注入的水银柱长：l ＝h ＋2(l 1－l 2)＝39 cm 。 8．(探究气体等温变化的规律)用DIS 研究一定质量气体在温度不变时，压强与体积关系的实验装置如图甲所示，实验步骤如下： ①把注射器活塞移至注射器中间位置，将注射器与压强传感器、数据采集器、计算机逐一连接； ②移动活塞，记录注射器的刻度值V ，同时记录对应的由计算机显示的气体压强值p ； ③用V -1p 图象处理实验数据，得出如图乙所示的图线。 (1)为了保持封闭气体的质量不变，实验中采取的主要措施是______________________________； (2)为了保持封闭气体的温度不变，实验中采取的主要措施是__________________和__________________； (3)如果实验操作规范、正确，但如图乙所示的V -1 p 图线不过原点，则V 0代表 ___________________________________________________________。 答案 (1)在注射器活塞上涂润滑油 (2)移动活塞要缓慢 不能用手握住注射器封闭气体部分 (3)注射器与压强传感器连接部位的气体体积 解析 (1)通过涂润滑油可使注射器不漏气，从而保持其质量不变。 (2)缓慢移动活塞是为了有足够的时间使封闭气体与外界进行热交换，不用手握住注射器也是为了不使手上的热量传递给封闭气体，从而保持气体温度不变。 (3)注射器与压强传感器连接部位有气体，从而使图线不过原点。 9. (玻意耳定律)如图为一种减震垫，上面布满了圆柱状薄膜气泡，每个气泡内充满体积为V 0，压强为p 0的气体，当平板状物品平放在气泡上时，气泡被压缩。若气泡内气体温度保持不变，当体积压缩到V 时气泡与物品接触面的面积为S ，求此时每个气泡内气体对接触面处薄膜的压力。 答案 V 0 V p 0S 解析 设压力为F ，压缩后气体压强为p 。 由p 0V 0＝pV 和F ＝pS 得F ＝V 0 V p 0S 。 B 组：等级性水平训练 10．(玻意耳定律) (多选)如图所示，在一端封闭的玻璃管中，用一段水银将管内气体与外界隔绝，管口向下放置，若将管倾斜，则呈现的物理现象是( ) A．封闭端内气体的压强增大 B．封闭端内气体的压强减小 C．封闭端内气体的压强不变 D．封闭端内气体的体积减小 答案AD 解析被封闭气体的压强p＝p0－ρ水银gh，其中h为水银柱的竖直高度，故当管倾斜时h将减小，压强p增大，又由于气体做等温变化，由玻意耳定律知，压强增大，体积减小。故A、D正确。 11．(玻意耳定律) (多选)如图所示，一根一端封闭的玻璃管开口向下插入水银槽中，内封一定质量的气体，管内水银面低于管外，在温度不变时，将玻璃管稍向下插一些，下列说法中正确的是() A．玻璃管内气体体积减小 B．玻璃管内气体体积增大 C．管内外水银面高度差减小 D．管内外水银面高度差增大 答案AD 解析假设玻璃管向下插入一些后，气体的体积不变，则其液面的高度差h 增大，气体的压强增大，由玻意耳定律知体积减小。故A、D正确。 12．(变质量问题)用活塞气筒向一个容积为V的容器内打气，每次把体积为V0、压强为p0的空气打入容器内，若容器内原有空气的压强为p，打气过程中温度不变，则打了n次气后容器内气体的压强为() A．n p0V0 V B．p＋np0 C．p＋n p0V0 V D．p＋? ? ? ? ? V0 V n p0 答案 C 解析以容器内原有的气体和打进的气体为研究对象，初态是pV＋np0V0， 末态是p′V，由玻意耳定律pV＋np0V0＝p′V，所以p′＝p＋np0V0 V，即C正确。 13．(p-V图象分析)如图所示是一定质量的某种气体状态变化的p-V图象，气体由状态A变化到状态B的过程中，气体分子平均速率的变化情况是() A．一直保持不变 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 答案 D 解析由图象可知，p A V A＝p B V B，所以A、B两状态的温度相等，在同一等温线上。可在p-V图上作出几条等温线，如图所示。由于离原点越远的等温线温度越高，所以从状态A到状态B温度应先升高后降低，分子平均速率先增大后减小。 14. (玻意耳定律)气压式保温瓶内密封空气的体积为V，瓶内水面与出水口的高度差为h，如图所示。设水的密度为ρ，大气压强为p0，欲使水从出水口流出，瓶内空气压缩量ΔV至少应为________。 答案 ρghV p 0＋ρgh 解析 开始时瓶内气压为p 0，水恰好流出时，气压为p 0＋ρgh ，根据玻意耳定律，p 0V ＝(p 0＋ρgh )(V －ΔV )，解得ΔV ＝ρghV p 0＋ρgh 。 15．(玻意耳定律)自行车轮胎的容积是3 L ，所装气体的压强为4×105 Pa 。如果温度保持不变，把自行车轮胎的气阀打开以后，气体慢慢跑到大气中，请问轮胎里剩下的气体是原来的百分之几？设大气压是1.0×105 Pa 。 答案 25% 解析 以容器原装气体为研究对象。 初始状态：p 1＝4×105 Pa ，V 1＝3 L ， 末状态：p 2＝1.0×105 Pa ，体积为V 2， 由于温度不变，根据玻意耳定律p 1V 1＝p 2V 2， V 2＝p 1V 1p 2＝4×105×31.0×105 L ＝12 L ， 所以3 L 12 L ×100%＝25%， 即剩下的气体为原来的25%。
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