应力应变关系
应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。
在力学上由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的关系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的连系。所以平衡方程与几何方程是两类完全相互独立的方程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应力和应变之间的关系。有了可变形材料应力和应变之间关系和力学参数及运动学参数即可分析具体的力学问题。由平衡方程和几何方程加上一组反映材料应力和应变之间关系的方程就可求解具体的力学问题。这样的一组方程即所谓的本构方程。讨论应力和应变之间的关系即可变为一定的材料建立合适的本构方程。
一．典型应力-应变关系
图1-1 典型应力-应变曲线
1）弹性阶段（OC段）
该弹性阶段为初始弹性阶段OC（严格讲应该为CA’）,包括：线性弹性分阶段OA段，非线性弹性阶段AB段和初始屈服阶段BC段。该阶段应力和应变满
足线性关系，比例常数即弹性模量或杨氏模量，记作：εσE =，即在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。
2）塑性阶段（CDEF 段）
CDE 段为强化阶段，在此阶段如图1中所示，应力超过屈服极限，应变超过比例极限后，要使应变再增加，所需的应力必须在超出比例极限后继续增加，这一现象称为应变硬化。CDE 段的强化阶段在E 点达到应力的最高点，荷载达到最大值，相应的应力值称为材料的强度极限 （ultimate strength ），并用σb 表示。超过强度极限后应变变大应力却下降，直到最后试件断裂。这一阶段试件截面积的减小不是在整个试件长度范围发生，而是试件的一个局部区域截面积急剧减小。这一现象称为“颈缩”（necking ）。此时，由于颈缩现象的出现，在E 点以后荷载开始下降，直至在颈缩部位试件断裂破坏。这种应力降低而应变增加的现象称为应变软化（简称为软化）。
该阶段应力和应变的关系：)(ε?σ=。
3）卸载规律
如果应力没有超过屈服应力，即在弹性阶段OC 上卸载，应力和应变遵循原来的加载规律，沿CBO 卸载。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任一点D 处卸载，应力与应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ′变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用
OD ′表示总应变ε，O ′D ′表示可以恢复的弹性应变εe ，OO ′表示不能恢复的塑性应变εp ，则有
p e εεε+= (1-1)
即总应变等于弹性应变加上塑性应变。
该阶段应力和应变的关系满足εσ?=?E 。
4）卸载后重新加载
DO ′段若在卸载后重新加载，则σ—ε曲线基本上仍沿直线O ′D 变化，直至应力超过D 点的应力之后，才会产生新的塑性变形。由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化（简称为硬化）现象。为了与初始屈服相区别，我们把继续发生新的塑性变形时材料的再度屈服称为后继
屈服，相应的屈服点D 称为后继屈服点，相应的应力称为后继屈服应力，并σS ′用表示。显然，由于硬化作用，σS ′＞σS ，而且与σS 不同，σS ′不是材料常数，它的大小与塑性变形的大小和历史有关。
5）卸载全部载荷后反向加载
如果在完全卸载后施加相反方向的荷载，譬如由拉伸改为压缩，则σ—ε曲线上弹性阶段OC 段沿曲线OA ′变化，有()()-+=s s σσ。DO ′D ′段沿DO '的延长线下降，开始是呈直线关系，但到达D ″点后又开始进入屈服，此时()()-
+≥'
's s σσ，即出现反方向的屈服应力降低的现象，这种现象称为Bauschinger 效应。这个效应说明材料在某一个方向的硬化将引起反方向的软化。这样，即使是初始各向同性的材料，在出现塑性变形之后，就变为各向异性。虽然在多数情况下为了简化而忽略Bauschinger 效应，但对有反复加载和卸载的情形，必须予以考虑。
二． 线性弹性体
1. 线性弹性体本构方程的一般形式
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系很简单，即x x E σε=，即胡克定律。如果在三维应力状态下，应力应变之间仍然满足类似的一一对应的关系，则称这类弹性体为线弹性体。对线弹性体，把单向应力状态下得胡克定律推广到三维应力状态下。其一般形式为：
111213141516x x y z xy yz zx C C C C C C σεεεγγγ=+++++
212223242526y x y z xy yz zx C C C C C C σεεεγγγ=+++++
313233343536z x y z xy yz zx C C C C C C σεεεγγγ=+++++
414243444546xy x y z xy yz zx C C C C C C τεεεγγγ=+++++
515253545556yz x y z xy yz zx C C C C C C τεεεγγγ=+++++
616263646566zx x y z xy yz zx C C C C C C τεεεγγγ=+++++ (2-1)
式（2-1）可简写为
ij ijkl kl C σε= （2-2）
由于应力张量和应变张量的对称性，弹性张量具有对称性：=ijkl ijlk C C 、=ijkl jikl C C ，从弹性应变能密度函数的概念出发，可以证明上述36个常数中，实际上独立的弹性常数只有21个，即=ijkl klij C C 。
满足广义胡克定律的线弹性体称为各向异性弹性体，各向异性弹性体是线弹性体的最一般情况。
2. 各向同性弹性体的本构方程
各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足：
111213x x y z C C C σεεε=++
212223y x y z C C C σεεε=++
313233z x y z C C C σεεε=++ （2-3）
x ε对x σ的影响与y ε对y σ以及z ε对z σ的影响是相同的，即有112233==C C C ；
y ε和z ε对x σ的影响相同，即1213=C C ，同理有2123=C C 和3132=C C 等 ，则可统一写为：
112233==C C C a =
122113312332=====C C C C C C b = （2-4）
所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。
3. 弹性应变能密度函数
弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同时外力的势能也要产生变化。根据热力学的观点，外力所做的功，一部分将转化为弹性体的动能，一部分将转化为内能；同时，在物体变形过程中，它的温度也将发生变化，或者从外界吸收热量，或者向外界发散热量。分析弹性体内任一有限部分∑的外力功和内能的变化关系，设弹性体内取出部分Σ的闭合表面为S ，它所包围的体积为V 。以δW 表示外力由于微小位移增量在取出部分Σ上所作的功，δU 表示在该微小变形过程中取出部分Σ的内能增量，δK 表示动能增量，δQ 表示热量的变化（表示为功的单位），根据热力学第一定律，则有
δW ＝δK ＋δU －δQ （2-5）
假设弹性体的变形过程是绝热的，即假设在变形过程中系统没有热量的得失。再假设弹性体在外力作用下的变形过程是一个缓慢的过程，在这个过程中，荷载施加得足够慢，弹性体随时处于平衡状态，而且动能变化可以忽略不计（这样的加载过程称为准静态加载过程），则根据上式表示的热力学第一定律，外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能储存在弹性体内部。这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，称之为弹性变形能或弹性应变能。由于弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，所以，卸载后，弹性应变能将全部释放出来。
以X ，Y ，Z 表示单位体积的外力，X ，Y ，Z 表示作用在弹性体内取出部分Σ表面上单位面积的内力。对上述的准静态加载过程，认为弹性体在外力作用下始终处于平衡状态。外力所做的功W 包含两个部分：一部分是体力X ，Y ，Z 所做的功1W ；另一部分是面力X ，Y ，Z 所做的功2W ，它们分别为
1()i i V V
W X u dV Xu Yv Zw dV ==++?????? （2-6）
2()i i S S
W X u dS Xu Yv Zw dS ==++????乙
（2-7） 则：
12()()V S
W W W Xu Yv Zw dV Xu Yv Zw dS =+=+++++?????ò （2-8）
外力由于微小位移增量在取出部分Σ上所做的功W δ表示为：
12i i i i V S W W W X u dV X u dS
δδδδδ=+=+?????ò （2-9）
将平衡微分方程和静力边界条件代入上式，利用散度定理可得：
,()()ij j i ij i j V S
W u dV u l dS δσδσδ=-+?????ò
,,()(),ij j i ij i j ij i j V S V
u dV u dV u dV σδσδσδ=-+=????????ò （2-10） 因为,,,1()2
ij ij ij i j j i ij i j u u u σδεσδσδ=+= 所以内能增量U δ为：
,ij i j ij ij V V
U W u dV dV δδσδσδε===?????? （2-11）
定义函数0()ij U ε，使之满足
0()
ij ij ij
U εσε?=? （2-12）
把它代入（2-11）有： 000ij ij ij ij V V V V
U U dV dV U dV U dV δσδεδεδδε?====????????????? （2-13） 0()ij U ε表示单位体积的弹性应变能，称之为弹性应变能密度函数（或弹性应变比能函），简称应变能。
对（2-12）取积分，得
0()
00000()(0)ij ij
U ij ij ij dU d U U εεσεε==-?? （2-14） 假如0()ij U ε的具体函数形式能够确定的话，弹性体的应力与应变之间的关系也就完全确定了。这可表明，弹性应变能密度函数是弹性材料本构关系的另一种表达形式。
假设0()ij U ε对ij ε有二阶以上的连续偏导数，有式（2-12）可得
ij
kl kl
ij
σσεε??=?? （2-15） 式（2-15）为广义格林公式。
将式（2-2）代入广义格林公式得： ij
kl klij ijkl kl ij
C C σσεε??===?? （2-16） 即各向异性弹性体独立的弹性常数只有21个。
三．屈服条件
研究材料的塑性特性时，首先要弄清楚材料什么时候进入塑性变形阶段，即什么时候达到屈服。固体在载荷作用下，最初处于弹性状态，随着载荷逐步增加至一定程度使固体内应力较大的部位出现塑性变形，固体由初始弹性状态进入塑性状态的过程就是初始屈服。需要找到确定材料初始弹性状态的界限的准则，这个准则就称为初始屈服条件，简称屈服条件。
1.屈服函数与屈服曲面
在简单应力状态下，如前面所述的应力应变关系曲线可知，当固体内部应力达到初始屈服极限时将产生初始屈服。在复杂应力状态下，一般屈服条件可以表示为应力分量、应变分量、时间t 和温度T 的函数，它可写成：
(,,,)0ij ij f t T σε= （3-1）
不考虑时间效应和接近常温的情况下，时间t 和温度T 对塑性状态没什么影响，在初始屈服之前，应力和应变之间具有一一对应关系，所以应变分量ij ε可以用应力分量ij σ表示，因此屈服条件就仅仅是应力分量的函数了，它可表示为：
()0ij f σ= （3-2）
以应力张量的六个分量为坐标轴，就建立起一个六维应力空间，屈服函数()0ij f σ=表示应力空间中的一个曲面，即屈服曲面（简称屈服面）。当应力点ij σ位于该曲面之内时（即()0ij f σ<），材料处于弹性状态；当应力点位于此曲面上时（即()0ij f σ=），材料由初始弹性开始屈服；如果应力进一步增加，材料进入塑性状态。
假设：
1)材料是初始各向同性的。
屈服函数与坐标的选取无关，它可写成应力张量不变量的函数
123(,,)0f I I I = （3-3）
或写成主应力的函数
123(,,)0f σσσ= （3-4）
2)平均应力（静水应力）不影响塑性状态。
屈服函数只应与应力偏量的不变量有关，即
''23(,)0f J J = （3-5）
或者写成只是应力偏量主值的函数
123(,,)0f S S S = （3-6）
这个假设对金属材料成立，但对于一些非金属材料，如混凝土、岩石等则不成立。
通过第一个假设，屈服面由六维空间中的一个超曲面简化为三维主应力空间中的一个曲面；通过第二个假设，屈服面简化为一条曲线。
在主应力空间中，固体一点的应力状态可以用一个矢量OP 来描述（图3-5），矢量OP 可写为：
123OP i j k σσσ=++ （3-7）
分解成为偏量部分与球量部分有：
123()m m m OP S i S j S k i j k OQ ON σσσ=+++++=+ （3-8）
有上述第二个假定，ON 与材料的塑性状态无关。从几何上看ON 与123
,,σσσ轴的夹角相等，且正交于过原点的一个平面，这个平面的方程为：
1230σσσ++= （3-9）
这个平面平均应力等于0，习惯称之为π平面。
根据第二个假定，在主应力空间中，屈服面必定是一个垂直与π平面的等截面的柱面，它的母线与矢量ON 平行。屈服面是一个等截面的柱面，它在任意垂直与ON 的平面上的投影曲线都是一样的，研究这个柱面的特征，只要研究它在π平面上的投影曲线即可，这条投影曲线称为屈服曲线。
2.常用屈服条件
（1）Tresca 屈服条件
1864年，法国人Tresca 做了一系列的金属挤压试验来研究屈服条件。根据实验，他提出假设：当最大剪应力达到某一极限值时，材料发生屈服。这个条件称为Tresca 屈服条件，也称为最大剪应力条件。
max k τ= （3-10）
k 是和屈服有关的材料常数，可由单向拉伸实验或纯剪切实验确定。
（2）Mises 屈服条件
Tresca 屈服条件在π平面上的几何图形是一个正六边形，它的六个顶点是由试验得到的，但是连接这六个点得直线却是假设的，而且Tresca 正六边形的角点也给问题的数学处理带来了不便。在1913年，Mises 提出采用一个圆来连接Tresca 正六边形的六个顶点可能更加合理，它可以避免由于屈服曲线不光滑而造成的数学困难。Mises 提出的屈服条件为：
2J C = （3-11）
其中，C 也是和材料性质有关的一个常数。它可通过实验确定。若做简单拉伸实验，则材料屈服时有21231,0,3
s s J C σσσσσ=====，所以： 213
s C σ= （3-12） 若做纯剪实验，则材料屈服时有21232,0,s s J C σστστ=-====，所以
2s C τ= （3-13）
对大多数材料，实验证明Mises 屈服条件比Tresca 屈服条件更接近实验结果。
四． 加载条件 加载和卸载准则
1．理想塑性材料加载和卸载
由于理想塑性材料的加载面和屈服面总是保持一致，所以，加载函数和屈服函数可以统一表示为
它们均与塑性变形的大小和加载历史无关。于是，在荷载改变的过程中，如果应力点保持在屈服面上，即df=0，此时塑性变形可以任意增长，就称为加载。当应力点从屈服面上退回屈服面内，即df<0，就表示变形状态从塑性变为弹性，此时不产生新的塑性变形，称为卸载。理想塑性材料的上述加载和卸载准则，可以用数学形式表示为
2.强化材料加载、卸载
五．塑性本构关系
各种描述塑性变形规律的理论大致可以分为两大类，即增量理论和全量理论。增量理论建立了塑性状态下塑性应变增量与应力及应力增量之间的关系，属于这类理论的主要有：Levy-Mises 理论和Prandtl-Reuss 理论。全量理论则建立了塑性状态下应力全量与应变全量之间的关系，属于这类理论的主要有：1924年Hencky 提出的不考虑弹性变形和材料强化的理论；1938年Nadai 提出的考虑有限变形和材料强化，但总变形中仍不计弹性变形的理论；1943年依留申提出的考虑弹性变形和材料强化的理论。
1.增量理论
两个常用的增量理论：Levy-Mises 理论和Prandtl-Reuss 理论。
a. Levy-Mises 理论：
Levy 在1871年提出假设，即应变张量各分量与相应的应力偏量各分量成比例（V on Mises 在1913年又独立地提出）。数学形式表示为：
x x d d S ελ= xy xy d d ελτ=
y y d d S ελ= yz yz d d ελτ=
z z d d S ελ= zx zx d d ελτ= （4-1）
式中的比例系数d λ取决于质点位置和载荷水平。
最后可推得
32m i ii ij i d d d s ε=εε=σ （4-2）
其中i d ε为应变增量强度，
12
2222223()()()()2i x y y z z x xy yz yz d d d d d d d d d d εεεεεεεγγγ?==-+-+-+++??? （4-3）
适用于理想刚塑性材料，即不考虑弹性变形
b. Prandtl-Reuss 理论：
1924年，Prandtl 将Levy-Mises 关系式推广应用于塑性平面应变的问题，他
考虑了塑性状态的总应变中的弹性应变部分，认为弹性应变服从广义胡克定律，并假定塑性应变增量张量和应力偏量张量相似且同轴线。1930年，Reuss 又把Prandtl 应用在平面应变上的这一假设推广到一般三维问题。根据这一假设建立关系：
p x x d d S ελ= p xy xy d d ελτ=
p y y d d S ελ= p yz yz d d ελτ=
p z z d d S ελ= p zx zx d d ελτ= （4-4）
或简写成：
p ij ij d d S ελ= (0)d λ≥ （4-5）
式中的比例系数d λ取决于质点位置和载荷水平。
可推得：
3122m m
i ij ij ij i d kd d de s ds G σ=εε=+σ （4-6）
适用于弹塑性材料。
2.全量理论
依留申在1943年提出了一个强化材料在弹塑性小变形情况下得全量型塑性本构关系，它与各向同性弹塑性体的广义胡克定律相似。对照广义胡克定律，依留申假定，在小变形的情况下，材料服从如下塑性变形规律：
1） 体积变化是弹性的，即应变球张量和应力球张量成正比，有 12ii ii E υεσ-=
（4-7） 2） 应变偏张量和应力偏张量成比例，即
ij ij e S ψ= （4-8）
这里的比例系数ψ不是一个常数，而与质点的位置以及载荷水平有关。
2ij ij ij ij e e S S ψ= （4-9）
12222222223()()()()332i ij ij x y y z z x xy yz yz e e εεεεεεεγγγ??==-+-+-+++???? （4-10） i ε为应变强度（或等效应变）
将应变强度和应力强度的表达式代入式（4-7）可得：
32i i
εψσ=
（4-11） 所以 32i ii ij i S εεσ=
（4-12） 3） 应力强度i σ是应变强度i ε的确定函数，即
()i i σφε= （4-13）
综上所述，依留申提出的全量型本构方程可以表示为：
（4-14）
全量理论特点：简单加载下应力应变意义对应关系
全量理论适用范围：硬化材料在小变形和简单加载条件下，与实验结果接近。