矩阵的可对角化及其应用
摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，本文通过利用高等代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，并讨论了化矩阵为对角形的具体求解方法，同时给出了可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用.
关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换
Matrix diagonolization and its application
Abstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory of matrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of solving method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc.
Key words:The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation
一、预备知识：
定义1
1⎡⎤⎣⎦：设V是P上的线性空间，σ是V上的一个变换，如果对任意α,β∈V和
k ∈P
都有()()()()()k k σα+β=σα+σβ,σα=σα，则称σ为V 的一个线性变换．
定义2：设σ是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果存在P 中的一个数λ和V 中非零元素α使得()σα=λα，则称λ为σ的一个特征值，而称α为σ的属于特征值λ的一个特征向量，由σ的属于特征值λ的全部特征向量再添上零元素构成的集合{()},λν=α|σα=λαα∈ν构成V 的一个子空间，称为σ的一个特征子空间．
定义3：标准形的主对角线上非零元素()()()12,,,r d d d λλλ 称为()A λ的不变因子．
定义[]24：把矩阵A （或线性变换τ）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A （或线性变换τ）的初等因子．
定义5：设A 是数域P 上的n 级矩阵，如果数域P 上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A 为根，在以A 为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A 的最小多项式．
定义[]3
6:设A,B 为数域P 上的两个n 级矩阵，如果存在数域P 上的n 级可逆矩阵
X 使得B=1X AX -，则称A 相似于B ，记为A ~B ，并称由A 变到B 的变换为相似变换，称X 为相似变换矩阵．
矩阵可对角化问题是矩阵理论中最基本的问题，下面先给出矩阵可对角化的几种判定定理.
定理1：矩阵A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量．
推论1：如果在n 维线性空间V 中，线性变换σ的特征多项式在数域P 中有n 个不同的根，那么在某组基下的矩阵是对角形的．
推论2：在复数域上的线性空间中，如果线性变换σ的特征多项式没有重根,那
么σ在某组基下的矩阵是对角形的． 例1：已知σ在一组基下的矩阵为3452A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，试问A 是否可对角化？
解：
由于()()
34725
2
λ--λE -A =
=λ-λ+-λ-所以特征值为
122λ=7,λ=-。由σ
的特征值为7，-2互异，故A 可对角化．
定理[]42：设线性空间V 上的n 维线性变换σ的全部不同特征值是12i λ,λ⋯λ，则
σ可对角化的充分与必要条件为V=1
2
t
V V V λλλ⊕⊕⊕ ．
证明：必要性，设σ所对应的矩阵可对角化，即存在V 的一组基
12n α,α,⋯α，使σ在这组基下的矩阵为1
1t r t r E E λ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
λ⎝
⎭
。1
2t
λ
,λ⋯λ互不相同，
显然12r α,α,⋯α1
V λ
∈，⋯，1
2t t t n r n r n V -+-+λα
,α⋯α∈，对于任一向量V α∈，则
11111112t t r r n r n r n n t -+-+α=χα++χα++χα++χα=ξ+ξ++ξ 这
里11111r r V ξ=χα++χα∈ ，⋯，
11t t t n r n r n n V
-+-+ξ=χα++χα∈ 于
是
1
t
V V V λλ=
++
．下证1
1,r α⋯α就是1
V λ的一组基，显然只需证每个与特征根1λ相
应的特征向量都可由1
1,r α⋯α线性表出，先将α分解，即12t
α=ξ+ξ++ξ ，
12t α-ξ=ξ++ξ 如果10α-ξ=，那么α是σ的属于特征根1λ的特征向量，并且
2,t ξξ 不能全为零。设其中只有1,k i i ξξ 0
=，1
k
i i
是{}2,3,t ⋯中的k 个元素，
那么1
1k
i i α-ξ=ξ++ξ ，这显然矛盾，故10α-ξ=即1
1
111r r α=ξ=χα++χα ．同理可证与2λ相应的一组基向量2
2
2
1,r r r ++α⋯α是2
V λ的一组基，⋯，与t
V λ相对应的
一组基向量1,t
n r n -+αα 是V 的一组基，故V=1
2
t
V V V λλλ⊕⊕⊕ ．
充分性，取(1,2,)i
V
i t λ=⋯的一组基1,
1
11
r α,⋯α且σ在这组基下的矩阵为
1i
r E λ，则1,
1
11r α,⋯α1
,r t
t t ,⋯,α,⋯α为V 的一组基，从而σ在此基下的矩阵
