二维拉普拉斯方程的边值问题 PPT
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9
urr
1 r
ur
1 r2
u
0
(0 r
r0 ),
u |rr0 f ( ).
设方程(39)的解为
u(r,) R(r)(), 代入方程(39)得
1
1
R'' R' R'' 0
分离变量则有
r
r2
r 2R''rR' ''
(35)
将 n 代入方程(35)可得
其通解为
Y ''( y) ( n )2Y ( y) 0,
a
n y
n y
Y ( y) Cne a Dne a
(n 1, 2,).
4
这样我们就可以得到方程(30)满足齐次边界
条件(32)的一系列特解
n y
un ( x, y) (ane a
(39)
u |rr0 f ( ).
(40)
练习：验证拉普拉斯方程 uxx u yy 0 在极坐标
系下的形式为
urr
1 r
ur
1 r2
u
0
提示：作极坐标变换
x r cos, y r sin,
r x2 y2 , u r
x
arctan y .
y
x
u x ur rx u x
r 2 Rrr rRr n2 R 0, (n 1, 2,)
解 作变换 r et
t ln r
则有
1
Rr
Rt
, r
Rrr
(Rtt
1) 1 rr
Rt
(
1 r2
)
1 r2
Rtt
1 r2
Rt ,
代入原方程有
Rtt Rt Rt n 2 R 0
Rtt n 2 R 0
2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题
对于某些特殊区域上的拉普拉斯方程边值问题， 也可以应用分离变量法来求解。
一、矩形域上拉普拉斯方程的边值问题 考察一矩形薄板稳恒状态时的温度分布问题。
设薄板上下两面绝热，板的两边 (x 0, x a) 始终保持0度，另外两边 (y 0, y b) 的温度分别 为 f (x) 和 g(x).
的非0解。
(1)当 0 时，问题(36)没有非平凡解。
(2)当 0 时，问题(36)也没有非平凡解。
3
(3)当 0 时，问题(36)有非平凡解。
此时 对应的
n
( n
a
)2,
X
n
(x)
Bn
sin
nx
a
(n 1, 2,).
接着考虑方程 Y ''( y) Y ( y) 0,
X (x) Y (y)
X ''(x) X (x) 0, (34) Y ''( y) Y ( y) 0, (35)
由齐次边界条件 u(0, y) 0, u(a, y) 0
(32)
X (0) X (a) 0,
下面求解常微分方程边值问题 X ''(x) X (x) 0, X (0) X (a) 0, (36)
u y ur ry u y
u xx (urr rx ur x ) rx ur rxx (u r rx u x ) x u xx
u yy (urr ry ur y ) ry ur ryy (u r ry u y ) y u yy
(30) (31) (32)
应用分离变量法，设 u(x, y) X (x)Y (y),
(33)
将(33)代入方程(30),分离变量得
X ''( x) Y ''( y)
X(x) Y( y)
其中 是常数。 因此我们得到两个常微分方程
2
X ''(x) Y ''( y)
(31)
5
则有关系式
n
(an bn )sin
n1
a
x f ( x),
nHale Waihona Puke Baidub
(ane a
n1
bne
n a
b
)
sin
n
a
x
g( x),
利用傅里叶系数公式得
an
bn
2 a
a
n
f ( x)sin
0
a
xdx,
(n 1, 2,).
n b
ane a
n b
Rn Cnent Dnent . 再将 t ln r 代入还原得
原方程通解为
Rn (r ) Cnr n Dnr n .
(n 1, 2,)
7
二、圆域上拉普拉斯方程的边值问题
考察一半径为 r0 的圆形模板稳恒状态下的温度
分布问题，设板的上下两面绝热，圆周边界上的 温度已知为 f () (0 2 ), 且 f (0) f (2 ).
试求稳恒状态下的温度分布规律。 由于稳恒状态下的温度满足拉普拉斯， 并且区 域是圆形的，为了应用分离变量法，拉普拉斯方程 采用极坐标形式更方便。 我们用u(r, )来表示圆形薄板内 (r, )点处的温度 则所述问题可以表示成下列定解问题：
8
urr
1 r
ur
1 r2
u
0
(0 r r0 ),
n y
bne a
)sin n
a
x
(n 1, 2,),
由于方程(30)和边界条件(32)是齐次的，因此
u( x, y)
n y
(ane a
n1
n y
bne a
)sin n
a
x
仍然满足方程和齐次边界条件(32).
(37)
再应用非齐次边界条件 u(x,0) f (x), u(x,b) g(x),
求板内稳恒状态下的温度分布规律。 我们用 u(x, y) 来表示板上点 (x, y) 处的温度，即
1
解下列定解问题：
uxx u yy 0 (0 x a, 0 y b), u(x,0) f (x), u(x,b) g(x), u(0, y) 0, u(a, y) 0.
bne a
2 a
a
n
g( x)sin
0
a
xdx,
由上式解出 an , bn , 代回(37)式即得问题(30)-(32) 的解。
6
补充知识点： 欧拉(Euler)方程的一般形式
x n y(n) P1 x n1 y(n1) Pn1 xy' Pn y f ( x).
其中 P1 Pn 是常数， f (x) 是已知函数。 问题：求满足如下欧拉(Euler)方程的函数 R(r)
urr
1 r
ur
1 r2
u
0
(0 r
r0 ),
u |rr0 f ( ).
设方程(39)的解为
u(r,) R(r)(), 代入方程(39)得
1
1
R'' R' R'' 0
分离变量则有
r
r2
r 2R''rR' ''
(35)
将 n 代入方程(35)可得
其通解为
Y ''( y) ( n )2Y ( y) 0,
a
n y
n y
Y ( y) Cne a Dne a
(n 1, 2,).
4
这样我们就可以得到方程(30)满足齐次边界
条件(32)的一系列特解
n y
un ( x, y) (ane a
(39)
u |rr0 f ( ).
(40)
练习：验证拉普拉斯方程 uxx u yy 0 在极坐标
系下的形式为
urr
1 r
ur
1 r2
u
0
提示：作极坐标变换
x r cos, y r sin,
r x2 y2 , u r
x
arctan y .
y
x
u x ur rx u x
r 2 Rrr rRr n2 R 0, (n 1, 2,)
解 作变换 r et
t ln r
则有
1
Rr
Rt
, r
Rrr
(Rtt
1) 1 rr
Rt
(
1 r2
)
1 r2
Rtt
1 r2
Rt ,
代入原方程有
Rtt Rt Rt n 2 R 0
Rtt n 2 R 0
2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题
对于某些特殊区域上的拉普拉斯方程边值问题， 也可以应用分离变量法来求解。
一、矩形域上拉普拉斯方程的边值问题 考察一矩形薄板稳恒状态时的温度分布问题。
设薄板上下两面绝热，板的两边 (x 0, x a) 始终保持0度，另外两边 (y 0, y b) 的温度分别 为 f (x) 和 g(x).
的非0解。
(1)当 0 时，问题(36)没有非平凡解。
(2)当 0 时，问题(36)也没有非平凡解。
3
(3)当 0 时，问题(36)有非平凡解。
此时 对应的
n
( n
a
)2,
X
n
(x)
Bn
sin
nx
a
(n 1, 2,).
接着考虑方程 Y ''( y) Y ( y) 0,
X (x) Y (y)
X ''(x) X (x) 0, (34) Y ''( y) Y ( y) 0, (35)
由齐次边界条件 u(0, y) 0, u(a, y) 0
(32)
X (0) X (a) 0,
下面求解常微分方程边值问题 X ''(x) X (x) 0, X (0) X (a) 0, (36)
u y ur ry u y
u xx (urr rx ur x ) rx ur rxx (u r rx u x ) x u xx
u yy (urr ry ur y ) ry ur ryy (u r ry u y ) y u yy
(30) (31) (32)
应用分离变量法，设 u(x, y) X (x)Y (y),
(33)
将(33)代入方程(30),分离变量得
X ''( x) Y ''( y)
X(x) Y( y)
其中 是常数。 因此我们得到两个常微分方程
2
X ''(x) Y ''( y)
(31)
5
则有关系式
n
(an bn )sin
n1
a
x f ( x),
nHale Waihona Puke Baidub
(ane a
n1
bne
n a
b
)
sin
n
a
x
g( x),
利用傅里叶系数公式得
an
bn
2 a
a
n
f ( x)sin
0
a
xdx,
(n 1, 2,).
n b
ane a
n b
Rn Cnent Dnent . 再将 t ln r 代入还原得
原方程通解为
Rn (r ) Cnr n Dnr n .
(n 1, 2,)
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二、圆域上拉普拉斯方程的边值问题
考察一半径为 r0 的圆形模板稳恒状态下的温度
分布问题，设板的上下两面绝热，圆周边界上的 温度已知为 f () (0 2 ), 且 f (0) f (2 ).
试求稳恒状态下的温度分布规律。 由于稳恒状态下的温度满足拉普拉斯， 并且区 域是圆形的，为了应用分离变量法，拉普拉斯方程 采用极坐标形式更方便。 我们用u(r, )来表示圆形薄板内 (r, )点处的温度 则所述问题可以表示成下列定解问题：
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urr
1 r
ur
1 r2
u
0
(0 r r0 ),
n y
bne a
)sin n
a
x
(n 1, 2,),
由于方程(30)和边界条件(32)是齐次的，因此
u( x, y)
n y
(ane a
n1
n y
bne a
)sin n
a
x
仍然满足方程和齐次边界条件(32).
(37)
再应用非齐次边界条件 u(x,0) f (x), u(x,b) g(x),
求板内稳恒状态下的温度分布规律。 我们用 u(x, y) 来表示板上点 (x, y) 处的温度，即
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解下列定解问题：
uxx u yy 0 (0 x a, 0 y b), u(x,0) f (x), u(x,b) g(x), u(0, y) 0, u(a, y) 0.
bne a
2 a
a
n
g( x)sin
0
a
xdx,
由上式解出 an , bn , 代回(37)式即得问题(30)-(32) 的解。
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补充知识点： 欧拉(Euler)方程的一般形式
x n y(n) P1 x n1 y(n1) Pn1 xy' Pn y f ( x).
其中 P1 Pn 是常数， f (x) 是已知函数。 问题：求满足如下欧拉(Euler)方程的函数 R(r)