解析几何中的定点定值问题
考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。 一、
定点问题
解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、已知A 、B 是抛物线y 2
=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=
4
π
时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。 解析： 设A （
121
,2y p y ），B （222
,2y p
y
）
，则 2
1
2tan ,
2tan y p
y p
=
=βα，代入1)tan(=+βα 得221214)(2p y y y y p -=+ （1） 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则
022222
=+-????=+=pb py ky px
y b
kx y ∴k
p
y y k
pb
y y 2,22121=
+=
，代入（1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点（-)2,2p p
说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。
例2．已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的
圆与直线0x y -=相切． ⑴求椭圆C 的方程；
⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；
⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．
解析：
⑴由题意知c e a ==，所以2222
2234c a b e a a -===
，即224a b =
，又因为1b ==，所以2
2
4,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2
214
x y +=．
⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22
(4)14
y k x x y =-???+=??消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ?=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意，
所以直线PN
的斜率的取值范围是0k <<
或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为21
2221
()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-
+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()
8
x x x x x x x -+=+-． ②
由得①2212122232644
,4141
k k x x x x k k -+==
++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．
【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M
到点()
1,0F
，)
2
,0F 的距离之和是4，点M 的轨
迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；
⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．
解：⑴∵点M
到(
),0
，)
,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x
轴上焦中为的椭圆，其方程为2
214
x y +=．
⑵将y kx b =+，代入曲线C
的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y
，则12x x +=，122
4
14x x k
=+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ?=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所
以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．
将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6
5b k =．经检验，
都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ?
?=+=+ ??
?．
显然，此时直线l 经过定点6,05??
- ???点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点
6,05??
- ???
点． 【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15
92
2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、
),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
（1）设动点P 满足42
2
=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设3
1
,221=
=x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。
解：（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。 由42
2
=-PB PF ，得2222(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得9
2
x =。 故所求点P 的轨迹为直线92
x =。 （2）将31,221=
=x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，209
-） 直线MTA 方程为：03
52303
y x -+=
+-，即113y x =+， 直线NTB 方程为：03
2010393
y x --=
---，即5562y x =-。 联立方程组，解得：7103x y =??
?=??
，
所以点T 的坐标为10(7,
)3
。 （3）点T 的坐标为(9,)m
直线MTA 方程为：
03093y x m -+=-+，即(3)12m
y x =+， 直线NTB 方程为：03093y x m --=--，即(3)6
m
y x =-。 分别与椭圆1592
2=+y x 联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠， 解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、
222
3(20)20(,)2020m m
N m m --++。 （方法一）当12x x ≠时，直线MN 方程为：222
22
2222
203(20)
202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。此时必过点D （1，0）；
当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）。 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。
（方法二）若12x x =，则由2222
24033608020m m m m --=++及0m >
，得m =
此时直线MN 的方程为1x =，过点D （1，0）。
若12x x ≠
，则m ≠MD 的斜率222
2
4010802403401
80MD
m
m m k m m
m +==---+， 直线ND 的斜率222
2
201020360401
20ND
m
m m k m m m -+==
---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过D 点。 因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）。
【针对性练习3】已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2
，短轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．
解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则
22222,
2,
c b a b c =??=??=+?
解得
2,
a b =???
=?? ∴ 椭圆C 的标准方程为 22
143
x y +=． …… 4分 （Ⅱ）由方程组22
143x y y kx m
??
+=??=+? 消去y ，得
()
222
3484120k x kmx m +++-=． …… 6分
由题意△()(
)()2
2
2
84344120km k
m
=-+->，
整理得：2
2
340k m +-> ① ………7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则
122834km x x k +=-+， 2122
412
34m x x k
-=+ ． ……… 8分 由已知，AM AN ⊥， 且椭圆的右顶点为A (2,0)， ∴
()()1212220x x y y --+=．
…… 10分
即 ()
()()22
12121240k x x km x x m ++-+++=，
也即 ()()22
2
22
412812403434m km k km m k k
--+?+-?++=++， 整理得22
71640m mk k ++=． 解得2m k =- 或 27
k
m =-
，均满足① ……… 11分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去；
当27k m =-
时，直线l 的方程为 27y k x ?
?=- ??
?，过定点2(,0)7， 故直线l 过定点，且定点的坐标为2
(,0)7
． ………… 13分
例3、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2
4x y =
的焦点，离心率e =椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。 （I ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；
（Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N 三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。
解法一：（I）设椭圆方程为
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>，由题意知1
b=
25
a
=?=故椭圆方程为
2
21
5
x
y
+=
（Ⅱ）由（I）得(2,0)
F，所以02
m
≤≤，设l的方程为(2)
y k x
=-（0
k≠）
代入
2
21
5
x
y
+=，得2222
(51)202050
k x k x k
+-+-=设
1122
(,),(,),
A x y
B x y
则
22
1212
22
20205
,
5151
k k
x x x x
k k
-
+==
++
,
12121212
(4),()
y y k x x y y k x x
∴+=+--=-
112212122121
(,)(,)(2,),(,)
∴+=-+-=+-+=--
MA MB x m y x m y x x m y y AB x x y y
12212112
(),()0,(2)()()()0 +⊥∴+?=∴+--+-+= MA MB AB MA MB AB x x m x x y y y y
22
2
22
204
20,(85)0
5151
∴--=∴--=
++
k k
m m k m
k k
由2
8
0,0
855
m
k m
m
=>∴<<
-
，
∴当
8
5
m
<<时，有()
MA MB AB
+⊥成立。
（Ⅲ）在x轴上存在定点
5
(,0)
2
N，使得C、B、N三点共线。依题意知
11
(,)
C x y
-，直线BC的方
程为21
11
21
()
y y
y y x x
x x
+
+=-
-
，令0
y=，则1211221
1
2121
()
y x x y x y x
x x
y y y y
-+
=+=
++
l的方程为(2),
y k x A
=-、B在直线l上，
12211212 1122
1212
(1)(1)22()
(2),(2)
()4()4
-+--+
∴=-=-∴==
+-+-
k x x k x x kx x k x x
y k x y k x x
k x x k k x x k
22
22
2
2
20520
225
5151
202
4
51
k k
k k
k k
k
k k
k
-
?-?
++
==
-
+
∴在x轴上存在定点
5
(,0)
2
N，使得C B N三点共线。
解法二：（Ⅱ）由（I）得(2,0)
F，所以02
m
≤≤。设l的方程为(2)(0),
y k x k
=-≠
代入
2
21
5
x
y
+=，得2222
(51)202050
k x k k
+-+-=设
1122
(,),(,),
A x y
B x y则
22
1212
22
20205
,
5151
k k
x x x x
k k
-
+==
++12121212
2
4
(4),()
51
k
y y k x x y y k x x
k
∴+=+-=--=-
+
2
112
12121212
222
12
(),||||,()(
(2)()()()0,
(1)()240,(85)0
+⊥∴=-+=-
∴+--++-=
++--=∴--=
MA MB AB MA MB x m y x
x x m x x y y y y
k x x m k m k m
2
2
22
888
)0,0
5155(51
k
m k k
k k
∴==-≠∴>
++
8
5
m
∴<<
∴当
8
5
m
<<时，有()
MA MB AB
+⊥成立。
（Ⅲ）在x轴上存在定点
5
(,0)
2
N，使得C、B、N三点共线。
设存在(,0),
N t使得C、B、N三点共线，则//
CB CN，
122111(,),(,)
C B x x y y C N t x y =-+=-， 211112()()()0x x y t x y y ∴---+= 即211112()(2)()(4)0x x k x t x k x x ----+-=12122(2)()40x x t x x t ∴-+++= 22
22205202(2)405151
k k t t k k -∴-++=++，52t ∴=∴
存在5(,0)2N ，使得C B N 三点共线。 二、
定值问题
在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。
例4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+与共线。 （1）求椭圆的离心率；
（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R ∈+=μλμλ，证明2
2
μλ+为定值。
解析：（1）设椭圆方程为122
22=+b y a x （a >b >0），A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) ，AB 的中点为N(x 0,y 0)，
???????=+=+112
2
22222
2
1221b y a x b y a x ，两式相减及11212=--x x y y 得到0220x a b y -=，所以直线ON 的方向向量为),1(22a b -=，∵ //，∴2231a b =，即2
23b a =，从而得3
6=e
（2）探索定值 因为M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合，则=，此时0,
1==μλ，
122=+μλ
证明 ∵ 223b a =，∴椭圆方程为2
2233b y x =+，又直线方程为c x y -=
????=+-=2
2233b
y x c
x y 03364222=-+-b c cx x
∴
2
2221218
3433,
2
3
c b c x x c x x =-==+
又设M （x ，y ），则由μλ+=得??
?+=+=2
12
1y y y x x x μλμλ，代入椭圆方程整理得
222212
2222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ
又∵ 2212133b y x =+，22
22233b y x =+，
032
9233)(34322
2221212121=+-=
++-=+c c c c x x c x x y y x x ∴
122=+μλ
例5、已知，椭圆C 过点A 3
(1,)2
，两个焦点为（－1，0），（1，0）。
（1） 求椭圆C 的方程；
（2） E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率
为定值，并求出这个定值。
解析：（1）由题意，c=1,可设椭圆方程为
22
19114b b
+=+，解得2
3b =，234b =-（舍去） 所以椭圆方程为22
143
x y +=。 （2）设直线AE 方程为：3(1)2y k x =-+，代入
22
143
x y +=得 2223
(34)4(32)4()1202
k x k k x k ++-+--=
设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F ,因为点3(1,)2
A 在椭圆上，所以
22
3
4()12
2x 34F k k --=+，
3
2E E y kx k =+- 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得
22
3
4()12
2x 34F k k +-=+， 3
2E E
y kx k =-++ 所以直线EF 的斜率()21
2
F E F E EF F E F E y y k x x k K x x x x --++=
==--
即直线EF 的斜率为定值，其值为1
2
。 将第二问的结论进行如下推广：
结论 1.过椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于
E 、
F 两点，则直线EF 的斜率为定值20
20
b x a y （常数）。
证明：直线AE 的方程为00()y y k x x -=-，则直线AF 的方程为00()y y k x x -=--，
联立00()y y k x x -=-和22
221x y a b
+=，消去y 可得
222222
22
2
00
00
()2()()0a k b x a k y k x a y
k x a b ++-+
--
=
200112210222
22222222000000
12222
22220
12222
20
12100200222
20
122122()
(,),(,),22,4,4()(),EF a k y kx E x y F x y x x a k b a k x a ky b x a k x a ky b x x x a k b a k b a ky x x a k b
b kx y y k x x y k x x y a k b
b x y y x x a -+=-+--+-?=++--=+--=-++--=+-=-设则同理，由则直线的斜率为0
.
y 结论 2.过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆
于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值20
20
b x a y -（常数）。
结论3.过抛物线2
2(0)y px p =>上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值0
p
y -（常数）。 例6、已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e ； (Ⅱ)若F '为焦点F 关于直线3
2
y =
的对称点，动点M 满足MF e MF ||='||，问是否存在一个定点A ，使M 到