一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使
△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②V7.5
Q
（厘米/秒）；（2）点P、Q
在AB边上相遇，即经过了80
3
秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．
【解析】
【分析】
（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得
△BPD≌△CQP；
②根据V P≠V Q，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；
（2）根据V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x
秒，即可列出方程15
6220
2
x x，解方程即可得到结果.
【详解】
（1）①因为t＝1（秒），
所以BP＝CQ＝6（厘米）
∵AB＝20，D为AB中点，
∴BD＝10（厘米）
又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米）∴PC＝BD
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD与△CQP中，
BP CQ B C PC BD =??
∠=∠??=?
, ∴△BPD ≌△CQP （SAS ）， ②因为V P ≠V Q ， 所以BP ≠CQ ， 又因为∠B ＝∠C ，
要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ， 故CQ ＝BD ＝10． 所以点P 、Q 的运动时间84
663
BP t
（秒）， 此时
107.5
43
Q
CQ V t
（厘米/秒）．
（2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程 设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得15
62202
x x ， 解得x=
803
(秒) 此时P 运动了
80
61603
（厘米） 又因为△ABC 的周长为56厘米，160＝56×2+48， 所以点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了80
3
秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【点睛】
此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.
2．如图1所示，已知点D 在AC 上，ADE ?和ABC ?都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点.
（1）求证：BMD ?为等腰直角三角形；
（2）将ADE ?绕点A 逆时针旋转45?，如图2所示，（1）中的“BMD ?为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由；
（3）将ADE ?绕点A 逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“BMD ?为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析. 【解析】 【分析】
()1根据等腰直角三角形的性质得出45ACB BAC ∠∠==，
90ADE EBC EDC ∠∠∠===，推出BM DM =，BM CM =，DM CM =，推出BCM MBC ∠∠=，ACM MDC ∠∠=，求出
22290BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠=+==即可．
()2延长ED 交AC 于F ，求出12
DM FC =，//DM FC ，DEM NCM ∠=，根据ASA
推出EDM ≌CNM ，推出DM BM =即可．
()3过点C 作//CF ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ，推出
MDE ≌MFC ，求
出DM FM =，DE FC =，作AN EC ⊥于点N ，证BCF ≌BAD ，推出
BF BD =，DBA CBF ∠∠=，求出90DBF ∠=，即可得出答案．
【详解】
()1证明：
ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，
45ACB BAC ∠∠∴==，90ADE EBC EDC ∠∠∠===
点M 为EC 的中点，
12BM EC ∴=
，1
2
DM EC =， BM DM ∴=，BM CM =，DM CM =，
BCM MBC ∠∠∴=，DCM MDC ∠∠=，
2BME BCM MBC BCE ∠∠∠∠∴=+=， 同理2DME ACM ∠∠=，
22224590BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠∴=+==?=
BMD ∴是等腰直角三角形．
()2解：如图2，
BDM 是等腰直角三角形，
理由是：延长ED 交AC 于F ，
ADE 和ABC △是等腰直角三角形， 45BAC EAD ∠∠∴==，
AD ED ⊥，
ED DF
∴=，
M为EC中点，
EM MC
∴=，
1
2
DM FC
∴=，//
DM FC，
45
BDN BND BAC
∠∠∠
∴===，
ED AB
⊥，BC AB
⊥，
//
ED BC
∴，
DEM NCM
∠
∴=，
在EDM和CNM中
DEM NCM
EM CM
EMD CMN
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
EDM
∴≌()
CNM ASA，
DM MN
∴=，
BM DN
∴⊥，
BMD
∴是等腰直角三角形．
()3BDM是等腰直角三角形，
理由是：过点C作//
CF ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得MDE≌MFC ，
DM FM
∴=，DE FC
=，
AD ED FC
∴==，
作AN EC
⊥于点N，
由已知90
ADE
∠=，90
ABC
∠=，
可证得DEN DAN
∠∠
=，NAB BCM
∠∠
=，
//
CF ED，
DEN FCM
∠∠
∴=，
BCF BCM FCM NAB DEN NAB DAN BAD ∠∠∠∠∠∠∠∠
∴=+=+=+=，BCF
∴≌BAD，
BF BD
∴=，DBA CBF
∠∠
=，
90
DBF DBA ABF CBF ABF ABC
∠∠∠∠∠∠
∴=+=+==，DBF
∴是等腰直角三角形，
点M 是DF 的中点， 则BMD 是等腰直角三角形， 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．
3．已知,如图A 在x 轴负半轴上，B （0，-4），点E （-6,4）在射线BA 上， (1) 求证：点A 为BE 的中点
(2) 在y 轴正半轴上有一点F, 使 ∠FEA=45°，求点F 的坐标.
(3) 如图，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN=NB=MA ，点I 为△MON 的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点, IH⊥ON 于H, 记△POQ 的周长为C△POQ.求证：C△POQ=2 HI.
【答案】（1）证明见解析；（2）22
(0,)7
F ；（3）证明见解析. 【解析】
试题分析：（1）过E 点作EG ⊥x 轴于G ，根据B 、E 点的坐标，可证明△AEG ≌△ABO ，从而根据全等三角形的性质得证；
（2）过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ，过D 作DK ⊥x 轴于K ，然后根据全等三角形的判定得到△AEG ≌△DAK ，进而求出D 点的坐标，然后设F 坐标为（0，y ），根据S 梯形EGKD =S 梯形
EGOF
+S 梯形FOKD 可求出F 的坐标；
（3）连接MI 、NI ，根据全等三角形的判定SAS 证得△MIN ≌△MIA ，从而得到∠MIN=∠MIA 和∠MIN=∠NIB ，由角平分线的性质，求得∠AIB=135°×3-360°=45°再连接
OI ，作IS⊥OM
于S, 再次证明△HIP ≌△SIC 和△QIP ≌△QIC ，得到C △POQ 周长. 试题解析：（1）过E 点作EG⊥x 轴于G ， ∵B （0，-4），E （-6,4），∴OB=EG=4， 在△AEG 和△ABO 中，
∵90EGA BOA EAG BAO EG BO ∠=∠=???
∠=∠??=?
∴△AEG ≌△ABO （AAS ），∴AE=AB ∴A 为BE 中点
（2）过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ， 过D 作DK⊥x 轴于K ， ∵∠FEA=45°，∴AE=AD ，
∴可证△AEG≌△DAK，∴D（1,3）， 设F （0，y ），
∵S 梯形EGKD =S 梯形EGOF +S 梯形FOKD ，
∴()()()111347463222
y y +?=+?++ ∴227
y =
∴220,
7F ?? ???
（3）连接MI 、NI
∵I为△MON内角平分线交点，∴NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，在△MIN和△MIA中，
∵
MN MA
NMI AMI
MI MI
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△MIN≌△MIA（SAS），
∴∠MIN=∠MIA，
同理可得∠MIN=∠NIB，
∵NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，∠MON=90°，
∴∠MIN=135°∴∠MIN=∠MIA =∠NIB=135°，
∴∠AIB=135°×3-360°=45°，
连接OI，作IS⊥OM于S, ∵IH⊥ON，OI平分∠MON，
∴IH=IS=OH=OS，∠HIS=90°，∠HIP+∠QIS=45°，
在SM上截取SC=HP，可证△HIP≌△SIC，∴IP=IC，
∠HIP=∠SIC，∴∠QIC=45°，
可证△QIP≌△QIC，
∴PQ=QC=QS+HP，
∴C△POQ=OP+PQ+OQ=OP+PH+OQ+OS=OH+OS=2HI.
4．（1）如图1，在Rt△ABC 中，AB AC
=，D、E是斜边BC上两动点，且
∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF.
（1）试说明：△AED≌△AFD；
（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE的长；
（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长.
【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130 【解析】
试题分析：()1由ABE AFC ≌， 得到AE AF =，BAE CAF ∠=∠，
45,EAD ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD ∴∠+∠=即
45.DAF ∠=EAD DAF ∠=∠，
从而得到.AED AFD ≌ ()2 由△AED AFD ≌
得到ED FD =，再证明90DCF ∠=?，
利用勾股定理即可得出结论.
()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，1 4.2
AH BH BC ===
1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+=求出AD 的长，即可求得2DE .
试题解析：()
1ABE AFC ≌，
AE AF =，BAE CAF ∠=∠，
45,EAD ∠=90,BAC ∠= 45,BAE CAD ∴∠+∠= 45,CAF CAD ∴∠+∠=
即45.DAF ∠=
在AED 和AFD 中，{AF AE
EAF DAE AD AD ，
=∠=∠=
.AED AFD ∴≌
()
2AED AFD ≌，
ED FD ∴=，
,90.AB AC BAC =∠=?
45B ACB ∴∠=∠=?， 45ACF ，
∠=? 90.BCF ∴∠=?
设.DE x =
,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==
222,FC DC DF +=
()2
22
39.
x x
∴+-=
解得： 5.
x=
故 5.
DE=
()3过点A作AH BC
⊥于H,根据等腰三角形三线合一得，
1
4.
2
AH BH BC
===
1
DH BH BD
=-=或7,
DH BH BD
=+=
22217
AD AH DH
=+=或65.
22
234
DE AD
==或130.
点睛：D是斜边BC所在直线上一点,注意分类讨论.
5．已知4
AB cm
=，3
AC BD cm
==.点P在AB上以1/
cm s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为()
t s．
（1）如图①，AC AB
⊥，BD AB
⊥，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1
t=时，ACP
△与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图②，将图①中的“AC AB
⊥，BD AB
⊥”为改“60
CAB DBA
∠=∠=?”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/
xcm s，是否存在实数x，使得ACP
△与BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，
1
1
t
x
=
?
?
=
?
或
2
3
2
t
x
=
?
?
?
=
??
【解析】 【分析】
（1）利用SAS 证得△ACP ≌△BPQ ，得出∠ACP=∠BPQ ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP ≌△BPQ ，分两种情况：①AC=BP ，AP=BQ ，②AC=BQ ，AP=BP ，建立方程组求得答案即可． 【详解】
解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3， 又∠A=∠B=90°， 在△ACP 和△BPQ 中，
AP BQ A B AC BP =??
∠=∠??=?
， ∴△ACP ≌△BPQ （SAS ）． ∴∠ACP=∠BPQ ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°． ∴∠CPQ=90°，
即线段PC 与线段PQ 垂直． （2）①若△ACP ≌△BPQ ， 则AC=BP ，AP=BQ ，
34t
t xt =-??
=?
， 解得1
1t x =??
=?
， ②若△ACP ≌△BQP ， 则AC=BQ ，AP=BP ，
34xt
t t =??
=-?
， 解得232t x =???=??
，
综上所述，存在11t x =??=?或2
32t x =??
?=
??
使得△ACP 与△BPQ 全等．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．
6．如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为()
6,0、()
0,6，P为线段AB上的一点．
（1）如图1，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，且保持
AM ON
=，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间的位置关系与数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD OP
⊥，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且PEA BDO
=∠
∠，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）OD=AE，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OP．只要证明△PON≌△PAM即可解决问题；
（2）作AG⊥x轴交OP的延长线于G．由△DBO≌△GOA，推出OD=AG，∠BDO=∠G，再证明△PAE≌△PAG即可解决问题；
【详解】
（1）结论：PM=PN，PM⊥PN．理由如下：
如图1中，连接OP．
∵A、B坐标为（6，0）、（0，6），
∴OB=OA=6，∠AOB=90°，
∵P为AB的中点，
∴OP=
1
2
AB=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠PAM=45°，
∴∠OPA=90°，
在△PON和△PAM中，
ON AM
PON PAM
OP AP
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△PON≌△PAM（SAS），
∴PN=PM，∠OPN=∠APM，
∴∠NPM=∠OPA=90°，
∴PM⊥PN，PM=PN．
（2）结论：OD=AE．理由如下：
如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ． ∵BD ⊥OP ，
∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，
∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°， ∴∠AOG=∠DBO ， ∵OB=OA ， ∴△DBO ≌△GOA ， ∴OD=AG ，∠BDO=∠G ， ∵∠BDO=∠PEA ， ∴∠G=∠AEP ， 在△PAE 和△PAG 中，
AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△PAE ≌△PAG （AAS ）， ∴AE=AG ， ∴OD=AE ．
【点睛】
考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
7．如图，在ABC ?中，903, 7C AC BC ∠=?==，，点D 是BC 边上的动点，连接
AD ，以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE ． （1）填空：ABC ?的面积等于 ；
（2）连接CE ，求证：CE 是ACB ∠的平分线；
（3）点O 在BC 边上，且1CO =， 当D 从点O 出发运动至点B 停止时，求点E 相应的运动路程．
【答案】（1）21
2
；（2）证明见解析；（3）32【解析】 【分析】
（1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；
（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM ≌△DEN （AAS ），得到ME=NE ，即可利用角平分线的判定证明；
（3）由（2）可知点E 在∠ACB 的平分线上，当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=1
()2
AC CD +，根据CD 的长度计算出CE 的长度即可． 【详解】
解：（1）903, 7C AC BC ∠=?==，
∴112137222ABC
S
AC BC =
?=??=， 故答案为：21
2
（2）连接CE ，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，作EN ⊥BC 于点N ， ∴∠EMA=∠END=90°， 又∵∠ACB=90°， ∴∠MEN=90°， ∴∠MED+∠DEN=90°， ∵△ADE 是等腰直角三角形 ∴∠AED=90°，AE=DE ∴∠AEM+∠MED=90°， ∴∠AEM=∠DEN ∴在△AEM 与△DEN 中，
∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN ，AE=DE ∴△AEM ≌△DEN （AAS ） ∴ME=NE
∴点E 在∠ACB 的平分线上， 即CE 是ACB ∠的平分线
（3）由（2）可知，点E在∠ACB的平分线上，
∴当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，∵△AEM≌△DEN
∴AM=DN，
即AC-CM=CN-CD
在Rt△CME与Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，
∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）
∴CM=CN
∴CN=1
() 2
AC CD
+，
又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，
∴CE=
2
2() CN AC CD
=+，
当AC=3，CD=CO=1时，
CE=
2
(31)22 2
+=
当AC=3，CD=CB=7时，
CE=
2
(37)52 2
+=
∴点E的运动路程为：522232
-=，
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．
8．如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm， BC=12 cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．
（1）PC=___cm ；(用含t 的式子表示) （2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？．
（3）如图2，当点P 从点B 开始运动，此时点Q 从点C 出发，以vcm/s 的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样的v 值，使得某时刻△ABP 与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）()122t -；（2）3t =；（3）存在，2v =或53
v = 【解析】 【分析】
（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC 的长减去BP 的长即可得到PC 的长； （2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP ，列方程求解即得；
（3）先分两种情况：当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ；或当BA=CQ ，PB=PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别列方程计算出t 的值，进而计算出v 的值． 【详解】
解：（1）当点P 以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动时间为ts 时2BP tcm = ∵12BC cm =
∴()122PC BC BP t cm =-=- 故答案为：()122t - （2）∵ABP DCP ??? ∴BP CP = ∴2122t t =- 解得3t =．
（3）存在，理由如下：
①当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ， ∴PC=AB=5 ∴BP=BC-PC=12-5=7 ∵2BP tcm = ∴2t=7 解得t=3.5
∴CQ=BP=7，则3.5v=7 解得2v =．
②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ??? ∵12BC cm =
∴1
62
BP CP BC cm === ∵2BP tcm = ∴26t = 解得3t = ∴3CQ vcm =
∵5AB CQ cm == ∴35v = 解得53
v =
． 综上所述，当2v =或5
3
v =时，ABP ?与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．
9．如图1，在ABC ?中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时
DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．
【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE ，理由见解析；(2) DE=BE-AD 【解析】 【分析】
(1)DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE ，证得△ACD ≌△CBE ，得到AD=CE ，CD=BE ，即有DE=AD-BE ； (2)DE 、AD 、BE 之间的关系是DE=BE-AD ．证明的方法与(1)一样． 【详解】 (1)不成立．
DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ，
理由如下：如图，
∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =， ∴∠ACD+∠CAD=90°， 又∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE ， 在△ACD 和△CBE 中，
90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=???
∠=∠??=?
， ∴△ACD ≌△CBE(AAS)， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CE-CD=AD-BE ；
(2)结论：DE=BE-AD ．
∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =， ∴∠ACD+∠CAD=90°， 又∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE ， 在△ACD 和△CBE 中，
90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=???
∠=∠??=?
， ∴△ADC ≌△CEB(AAS)， ∴AD=CE ，DC=BE ，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．
10．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交
∠=?,因此有BM⊥AN；
AN于点C，得出MCN90
(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；
(3)取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.
【详解】
解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，
∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．
（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．
（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．
∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN
∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，
∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，
∵∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，
又∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．
【点睛】
本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.
全等三角形知识梳理 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； > (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等（即对应元素相等）
3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 ， （4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 尺规作图 < （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找
《全等三角形》 一、结构梳理 二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形 定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形． 2．全等三角形 这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等． （二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等． 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS． 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有 图 2
三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有：
2018成都国际学校录取排行榜 2018各大国际学校申请拉开序幕，2017英美名校预录取、EAED录取尘埃落定。本篇意从2018早录取的结果看成都国际学校。一个学校的学生好不好，由专业的名校招生官来评价，也是对国际学校教学目标、培养模式等最直接的肯定（肯定不代表一定）。 通过本篇你可以了解到： 1.成都各大国际学校2018年的早申请结果概况 2.哪所学校是今年录取的赢家？ 3.各大学校的申请方向怎样？ 4.对排名及早申请的理解。 早申请知识普及： 美国的早申请一般称为EA/ED（Early Action/ Early Decision），在高三的11月1日前提交对大学的申请，在12月中会得到申请结果。通过提前申请，一般录取率会高1-3倍，如常青藤之一达特茅斯大学，2017ED申请录取率26.8%，常规申请8.5%。但是ED申请只能申请一所，如被录取就必须去。 本文分析的英国早申请，都是学生通过A-Level成绩去申请。在高二结束拿到AS成绩（即高二毕业成绩），在高三上学期提交高二成绩去申请英国大学。会得到英国大学的“有条件”录取，即英国大学招生官看你高二成绩不错，发给你一个录取，但是要求你高三毕业成绩必
须达到多少的要求。所以英国你拿到了“录取”，最后不一定能进。 上面所说为大概情况，准确描述可以去百度 排名知识普及： 现在市面给大学排名的机构很多，常见的有世界大学学术排名（ARWU）、QS世界大学排名、泰晤士世界大学排名（THE）、USnews世界大学排名。其中ARWU重学术、QS重就业、USnews重美国，本文参考泰晤士更全面，而且权威。在美国板块参考USnews，加拿大板块参考麦考林（也是加拿大唯一排名），澳大利亚主要为八大名校，在世界大学和英国板块参考泰晤士，所有排名为2018最新排名。 排名只是参考。 正文前声明一下，本文所有数据来至于所有国际学校官方频道公布，至于没有公布录取的，大家懂得，也省去了我整理的时间。本文最后可下载录取汇总结果 好戏开始： 截止2017年12月31日，成都公布了录取的国际学校共收到199封国外大学录取（包括有条件录取、面试邀请），恭喜成都的学子们！！！ 2018成都国际学校早申请方向
1. 如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于点 M,BN⊥MN于点N. (1)试说明:MN=AM+BN. (2)如图②,若过点C作直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N(AM>BN),(1)中的结论是否仍然成立?说明理由. 【答案】(1)答案见解析;(2)不成立 【解析】试题分析：（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，即可得出结论； （2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN 与MN之间的数量关系． 试题解析：解：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°． ∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN ，MC=NB． ∵MN=NC+CM，∴MN=AM+BN； （2）图（1）中的结论不成立，MN=BN-AM．理由如下： ∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°． ∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN ，MC=NB． ∵MN=CM-CN，∴MN=BN-AM． 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．
成都四川国际学校运动和力中考综合专项复习训练 一、选择题 1．在一列匀速直线行驶的列车内，一位同学相对于车厢竖直向上跳起，可能会出现下列哪种情况（） A．落在车厢内原来起跳点之前B．落在车厢内原来起跳点之后 C．落在车厢内原来起跳点D．不确定落点的位置 2．下列关于运动与力的说法正确的是（） A．物体受到力的作用，运动状态一定发生改变 B．运动的物体一定受到非平衡力的作用 C．若没有力的作用，运动的物体将逐渐停下来 D．物体受到不为零的合力，但其运动方向可能保持不变 3．如图所示，是南开中学教师运动会的“同心鼓”项目，这个项目要求老师们同时用力拉着鼓四周的绳子，通过有节奏的收、放绳子使鼓起伏，让球在鼓面上跳动。下列说法正确的是（） A．球在上升过程中所受合力不为零，合力方向竖直向下 B．球上升到最高点，此时速度为零，受平衡力 C．球与鼓面撞击后向上运动，是因为球受到惯性 D．鼓悬空保持静止时，因受到多个不同方向的拉力，合力不为零 4．小红和妈妈在超市购物，她用8N的力水平推着一个购物车匀速直线运动．突然小红发现前面有人，她马上用17N的水平向后拉小车，使小车减速运动（此时妈妈不再施力），在此过程中有关小车受力的说法正确的是 A．小车受到的摩擦力是17N B．小车受到的合力是8N C．小车受到的是平衡力D．小车受到的合力是25N 5．如图甲所示，水平地面上的一物体，受到方向不变的水平推力F的作用，F的大小与时间t的关系和物体的速度v与时间t的关系如图乙所示，以下说法不正确的是（） A．0～2秒，物体没有推动，是因为推力小于摩擦力 B．2～4秒物体受到的摩擦力是2N C．4～6秒物体受到的摩擦力是2N
八年级数学下册全等三角形知识点归纳 八年级数学下册全等三角形知识点归纳 定义能够完全重合的两个三角形称为全等三角形.(注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况) 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角. 由此,可以得出：全等三角形的对应边相等,对应角相等. (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; (4)有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角;三角形全等的判定公理及推论1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因. 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”). 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”). 由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理. 注意：在全等的`判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状. A是英文角的缩写(angle),S是英文边的缩写(side). 性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等. 2、全等三角形的对应边上的高对应相等. 3、全等三角形的对应角平分线相等. 4、全等三角形的对应中线相等. 5、全等三角形面积相等. 6、全等三角形周长相等. (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等.(SSS) 8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(ASA) 10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全 等.(AAS) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL)运用1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等.而全等的判定却刚好相反. 2、利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键.在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供方便.
第十二章全等三角形 2018.9 杨1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．对应边相等。 2．全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．对应角相等。 证明三角形全等基本思路： 三角形全等的判定(1) 三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS． 1.如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)∠B＝∠D. 证明：(1)连接AC，在△ABC与△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS)． (2)∵△ABC≌△ADC，∴∠B＝∠D. 2.已知在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,,求证AD//BC A D 做辅助线，连接AC，利用SSS证明全等，得到∠ DAC=∠ACB ，从而证明平行 B C 三角形全等的判定(2) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)． 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 1.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A，B，D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE，CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论． 解：结论：AE＝CD，AE⊥CD. 证明：延长AE交CD于F，在△ABE与△CBD中AB＝CB， ∠ABE＝∠CBD， BE＝BD， ， ∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB， ∵∠DCB＋∠CDB＝90°，∴∠EAB＋∠CDB＝90°， ∴∠AFD＝90°，∴AE⊥CD. F
2.在△ABC和△CDE中，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，AE与BD交与点 F （1）求证：△ACE≌△BCD （2）求证：AE⊥BD 1,利用SAS证明全等， AC=BC DC=EC ∠BCD=∠ACE 2，全等得到角相等∠CAE=∠DCB ∠CAB+∠EAB+∠ABC=90° ∠DCB∠EAB+∠ABC=90° 三角形全等的判定(3) 两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等，简称角边 角或ASA． 两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称 角角边或AAS． 求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等． 如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，求证：BE＝CF. 证法1： ∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BED与△CFD中∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD， ∴△BED≌△CFD(AAS)，∴BE＝CF. 证法2：∵Ｓ△ABD＝1 2 AD·BE，S△ACD＝ 1 2 AD·CF， 且S△ABD＝S△ACD(等底同高的两个三角形面积相等)， ∴1 2 AD·BE＝ 1 2 AD·CF，∴BE＝CF. 三角形全等的判定(4) 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL”． 如图，E，F分别为线段AC上的两点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，AE＝CF，BD交AC于点M. 求证：BM＝DM，ME＝MF. 证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF∴AF＝CE. 在Rt△ABF与Rt△CDE中AB＝CD，AF＝CE， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(H L)， ∴BF＝DE.∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEM＝∠BFM＝90°. 在△BFM与△DEM中∠BFM＝∠DEM，∠BMF＝∠DME，BF＝DE， ∴△BFM≌△DEM(A AS)， ∴BM＝DM，ME＝MF. 角的平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 文字命题的证明方法： a.明确命题中的已知和求证； b.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； c.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
成都美视国际学校物理第十一章简单机械和功（篇）（Word版含解析） 一、初三物理第十一章简单机械和功易错压轴题提优（难） 1．小红在探究杠杆的平衡条件时，找来一个量程为5N的弹簧测力计和若干个重均为0.5N 的钩码，实验前测得杠杆上相邻刻度线间的距离都等于2cm。请回答下列问题： (1)实验前，小红先将杠杆调至水平位置平衡，这样操作的目的是______； (2)小红在实验中测得一组数据如下表，于是他立即得出了杠杆的平衡条件： “F1×L1=F2×L2”，你认为是否合理，并说明理由：______； F1/N L1/cm F2/N L2/cm 2634 (3)某次实验如图所示，杠杆平衡，则以下生活中相关杠杆的应用与此图中杠杆类型相同的是______（选填“托盘天平”、“核桃夹”或“筷子”）； (4)在上图中，保持弹簧测力计的位置及拉力的方向和钩码的个数不变，钩码向左移动，若要保持杠杆平衡，则钩码到支点的距离不应超过______cm。 【答案】便于直接测量力臂不合理，只有一组实验数据，得到的结论具有偶然性核桃夹 10cm 【解析】 【分析】 【详解】 (1)[1]在探究杠杆的平衡条件时，为了便于直接测量力臂，我们将杠杆调至水平位置平衡。 (2)[2]在探究杠杆的平衡条件时，我们需要进行多次实验得到多组实验数据是结论具有普遍性，实验中由一组实验数据得到的结论具有偶然性。 (3)[3]如图所示，弹簧测力计对杠杆施加拉力的力臂大于钩码对杠杆施加拉力的力臂，是一个省力杠杆；而托盘天平是一个等臂杠杆，核桃夹是一个省力杠杆，筷子夹菜时相当于一个费力杠杆；所以与此图中杠杆类型相同的是核桃夹。 (4)[4]杠杆上相邻刻度线间的距离都等于2cm，每个钩码重均为0.5N，则图中钩码的总重力为 0.5N63N G=?= 弹簧测力计施加拉力的力臂 L=?= 2cm36cm 右 钩码向左移动，若要保持杠杆平衡，弹簧测力计量程为5N，由杠杆平衡条件可知，钩码对杠杆施加拉力的最大力臂
全等三角形单元 预习测试题 小题3分，共30分） 一、选择题（每 1．下列说法错误的是（） A ．全等三角形的对应边相等B．全等三角形的对应角相等 C．全等三角形的周长相等D．全等三角形的高相等 2．如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（） A ．∠1=∠2 B．AC= C A C．AB=AD D．∠B=∠D 第2 题第3 题第5 题第7 题 3．如图，AB∥DE，AC∥DF ，AC= D F ，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF 的是（） A ．A B =DE B．∠B=∠E C．EF =B C D．EF∥BC 4．长为3cm，4 c m，6 c m，8cm 的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm 和4cm 的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（） A ．一个人取6cm 的木条，一个人取8cm 的木条B．两人都取6cm 的木条 C．两人都取8cm 的木条D．B、C 两种取法都可以 5．△ABC 中，AB= A C，三条高AD，BE，CF 相交于O，那么图中全等的三角形有（） A ． 5 对B．6 对C．7 对D．8 对 6．下列说法中，正确的有（） ①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角、一 边相等的两个三角形全等；④两边、一角对应相等的两个三角形全等． A ． 1 个B．2 个C．3 个D．4 个 7．如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段B H 的长度为（） A ．B．4 C．D．5 8．如图，ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=4，AC=3，那么△ABD 与△ADC 的面积比是（） A ．1：1 B．3：4 C．4：3 D．不能确定
成都四川国际学校中考化学二模试卷(带解析) 一、选择题（培优题较难） 1．下列四个图像反映了对应实验过程中相关量的变化，其中正确的是（） A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【解析】 A向一定质量的氢氧化钠溶液中加入稀硫酸时，不断反应生成硫酸钠，氢氧化钠完全反应，硫酸钠的质量不再改变；B锌和硫酸反应生成硫酸锌和氢气，反应中氢气的质量增加，硫酸完全反应，氢气的质量不再增加；C高锰酸钾在加热条件下分解生成锰酸钾、二氧化锰、氧气，反应后固体物质的质量减少，但固体中锰元素的质量不变，所以反应中固体中锰元素的质量分数增加，反应结束，不再改变；D二氧化锰是过氧化氢分解的催化剂，反应前后，二氧化锰的质量不变。选A 点睛：图像的问题主要是结合化学反应分析图的起点的位置，变化趋势，终点的位置是否正确 2．A~H是初中常见的物质，已知A~G七种物质均含有同一种元素， D的相对分子质量为100，可用作建筑材料。它们之间的转化关系如图所示，图中“一”表示两端物质间能发生化学反应，“→”表示物质间存在转化关系；反应条件、部分反应物和生成物已略去。下列说法中不正确的是 A．A为一种单质，D为碳酸钙 B．可能涉及四种基本反应类型 C．E、F的物质类别可能相同，也可能不同 D．H的浓溶液具有挥发性 【答案】B 【解析】
【分析】 根据D的相对分子质量为100，可用作建筑材料，可以推断D是碳酸钙；根据C和D可以相互转化，则C为二氧化碳；根据A既可以转化成B，又可以转化成C，A既可能是碳，也可能是氧气，但由于题中A~G七种物质均含有同一种元素，本题中这种元素只能是氧元素才能推出合理结论，因此A是氧气，B是一氧化碳；根据D是碳酸钙，E、F均可以转化为碳酸钙，则E、F都可以是可溶性碳酸盐或一种物质是可溶性碳酸盐，一种物质是氢氧化钙；根据D、E、F都可以和G、H反应，且G可以转化为H，在初中阶段可以推知G、H 都是酸，且G是含氧酸，H不一定是含氧酸，在初中阶段可以推断H是盐酸，则G是稀硫酸。因为稀硫酸和粉末状的碳酸钙能反应生成硫酸钙、水和二氧化碳（在不断搅拌时稀硫酸和块状碳酸钙也是能反应的），稀硫酸和可溶性碳酸盐、氢氧化钙都能反应，而稀硫酸和氯化钡反应能生成盐酸，所以推断G是稀硫酸合理。 【详解】 A、根据题意A~G七种物质均含有同一种元素，分析可知A是氧气，是单质。根据D的相对分子质量为100，可用作建筑材料，D是碳酸钙。选项A正确； B、根据分析，题中反应可能有化合反应如碳和氧气反应生成二氧化碳，可能有分解反应如碳酸钙高温分解生成氧化钙和二氧化碳，有复分解反应如氢氧化钙和盐酸反应，但不可能发生置换反应，因为氧气转变成二氧化碳、氧气转变成一氧化碳、一氧化碳转变成二氧化碳都不可能是置换反应，选项B不正确； C、因为E、F都可以是可溶性碳酸盐，也可能一种物质是可溶性碳酸盐，一种物质是氢氧化钙，所以E、F的物质类别可能相同，也可能不同，选项C正确； D、根据分析可知，H是盐酸，浓盐酸具有挥发性，选项D正确。故选B。 3．氧烛是一种便携式供氧设备(如下图)。产氧药块由氯酸钠(分解时吸收热量为QkJ·g-1)、金属粉末(燃烧时提供氯酸钠分解所需的热量)和少量催化剂组成。某兴趣小组拟自制氧烛，火帽为确定每100g氯酸钠需要添加金属粉末的质量[m(金属)]，查得下表数据： 金属铁铝镁 燃烧放出热量/（KJ?g-1） 4.7331.0224.74 下列说法正确的是 A．m(金属)只能采用不同比例的金属和氯酸钠在空气中实验获得
初二数学第十一章全等三角形综合复习 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC C E ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： AC F BD E ???。 例 2. 如图，在A B C ?中，BE 是∠ABC 的平分线，A D B E ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 例3. 如图，在A B C ?中，A B B C =，90ABC ∠= 。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,A E E F 和C F 。求证：A E C F =。 例4. 如图，AB //C D ，AD //BC ，求证：A B C D =。 例5. 如图，,AP C P 分别是A B C ?外角M A C ∠和N C A ∠的平分线，它们交于点P 。求证： BP 为M BN ∠的平分线。
例6. 如图，D 是A B C ?的边BC 上的点，且C D A B =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 例7. 如图，在A B C ?中，A B A C >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。求证：AB AC PB PC ->-。 同步练习 一、选择题： 1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等 2. 根据下列条件，能画出唯一A B C ?的是( ) A. 3A B =，4B C =，8C A = B. 4A B =，3B C =，30A ∠= C. 60C ∠= ，45B ∠= ，4A B = D. 90C ∠= ，6A B = 3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①A B A E =；②B C E D =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。其中能使A B C A E D ???的条件有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 如图，12∠=∠，C D ∠=∠，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( ) A. D AE C BE ∠=∠ B. C E D E = C. D EA ?不全等于C B E ? D. E A B ?是等腰三角形
八年级数学《全等三角形》知识点 班级姓名 一、全等三角形的定义 1、能够完全重合的两个称为。 （注：全等三角形是中的特殊情况） 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有的，对顶角一定是对应角； 2、“全等”的理解全等的图形必须满足： （1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。3、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 二、三角形全等的判定 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”) 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“”)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“”) 5、全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的。 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； A是英文“角”的缩写(angle)，S是英文“边”的缩写(side)。 三、全等三角形的性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形相等。 7、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 8.线段的垂直平分线性质及判定 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
成都四川国际学校数学分式填空选择章末训练（Word 版 含解析） 一、八年级数学分式填空题（难） 1．已知x 2﹣4x ﹣5＝0，则分式 265x x x --的值是_____． 【答案】2 【解析】 试题分析：根据分式的特点，可变形为22665453x x x x x x x =----+，然后整体代入可得623x x =. 故答案为2. 2．若关于x 的分式方程 321 x m x -=-的解是正数，则m 的取值范围为_______. 【答案】m ＞2且m ≠3 【解析】 解关于x 的方程 321 x m x -=-得：2x m =-， ∵原方程的解是正数， ∴20210m m ->??--≠? ，解得：2m >且3m ≠. 故答案为：2m >且3m ≠. 点睛：关于x 的方程321 x m x -=-的解是正数，则字母“m ”的取值需同时满足两个条件：（1）2x m =-不能是增根，即210m --≠；（2）20x m =->. 3．若关于x 的分式方程 25x -=1-5 m x -有增根，则m 的值为________ 【答案】-2 【解析】 2155 m x x =--- 方程两侧同时乘以最简公分母(x -5)，得 ()25x m =--， 整理，得 7x m =+，即7m x =-. 令最简公分母x -5=0，得 x =5， ∵x =5应该是整式方程7x m =+的解， ∴m =5-7=-2.
故本题应填写：-2. 点睛： 本题考查了分式方程增根的相关知识. 一方面，增根使原分式方程去分母时所使用的最简公分母为零. 另一方面，增根还应该是原分式方程所转化成的整式方程的解. 因此，在解决这类问题时，可以通过令最简公分母为零得到增根的候选值，再利用原分式方程所转化成的整式方程检验这些候选值是否为该整式方程的解，从而确定增根. 在本题中，参数m 的值正是利用x =5满足整式方程这一结论求得的. 4．若11a b +＝3，则22a b a ab b +-+的值为_____． 【答案】 35 【解析】 【分析】 由 113a b +=，可得3a b ab +=，即b+a=3ab ，整体代入22a b a ab b +-+即可求解. 【详解】 ∵ 113a b +=， ∴3a b ab +=，即b+a=3ab ∴ 22a b a ab b +-+=3ab 6ab ab -=3ab 5ab =35 . 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，利用整体代入求值是解决本题的关键． 5．若关于x 的方程 2134416 x m m x x ++=-+-无解，则m 的值为__． 【答案】-1或5或13 - 【解析】 【分析】 直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案. 【详解】 去分母得：()443x m x m ++-=+， 可得：()151m x m +=-， 当10m +=时，一元一次方程无解， 此时1m =-，
八年级数学全等三角形专题练习（word版 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限 内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，1 2 ），且 △ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____． 【答案】-8 3 ． 【解析】 【分析】 先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的 面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝13 2 ，故可得出a的值． 【详解】 ∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2， ∴22 3+213 AB＝＝， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴ 1113 ?1313 222 ABC S AB AC?? ＝＝＝， 作PE⊥x轴于E，连接OP， 此时BE＝2﹣a， ∵△ABP的面积与△ABC的面积相等， ∴ 111 ??? 222 ABP POA AOB BOP S S S S OA OE OB OA OB PE ++ ＝﹣＝﹣， 111113 3322 22222 a ??+???? ＝（﹣）﹣＝， 解得a＝﹣8 3 ． 故答案为﹣8 3 ．
【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S △ABP =S △POA +S △AOB -S △BOP 列出关于a 的方程． 2．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上， 36ABO ∠=?，在x 轴或y 轴上取点C ，使得ABC ?为等腰三角形，符合条件的C 点有__________个． 【答案】8 【解析】 【分析】 观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案． 【详解】 解：如下图所示，若以点A 为圆心，以AB 为半径画弧，与x 轴和y 轴各有两个交点， 但其中一个会与点B 重合，故此时符合条件的点有3个； 若以点B 为圆心，以AB 为半径画弧，同样与x 轴和y 轴各有两个交点， 但其中一个与点A 重合，故此时符合条件的点有3个； 线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个． ∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个． 故答案为：8． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案． 3．在锐角三角形ABC 中．32∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ．若M ，N 分别是边BD ，
B P A a 【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=?，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E 求证：DE BD CE =- N E D C B A 【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=?，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ， 求证：DE AD BE =+. E D C B A 专题 三角形的尺规作图 知识点解析 作三角形的三种类型： ① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS 典型例题 【例1】作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . 【例2】作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB 。 求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB
【例3】已知三边作三角形 已知：如图，线段a，b，c. 求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 作法： 【例4】已知两边及夹角作三角形 已知：如图，线段m，n, ∠α. 求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n. 【例5】已知两角及夹边作三角形 已知：如图，∠α，∠β，线段c . 求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c. 随堂练习 1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（） A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角 C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定 2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（） A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角 C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角 D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角 3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边 C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角 4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（） A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半 C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线
全等三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上） ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合,一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形的性质和表示 性质： （1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 表示： 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的判定定理：
⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用于两个直角三角形） 4、学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”5、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 6.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 7.角平分线： ⑴画法：（课本48页，必须要掌握） ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. （在做题时，只要满足条件就可以直接运用定理） ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 7.证明命题基本方法： ⑴明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平 分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
成都四川国际学校人教版八年级上册地理期末综合测试题 一、选择题 1．我国“百川东入海”和“一江春水向东流”的主要原因是（） A．地形复杂多B．降水东多西C．地势西高东低D．气候复杂多样2．利用手机下单，随时租借、随时归还的“共享单车”已成为城市的一种新兴的绿色交通出行方式。关于这种绿色出行的评价不正确的是（） A．低碳出行，有利于改善城市空气质量B．缓解城市公共交通压力 C．为居民提供一种新的出行方式D．侵占城市大量交通主干道 3．上海有一位患者需要移植骨髓,必须在24小时内把骨髓从台北送到上海,需要选择的交通工具是( ) A．火车B．轮船 C．飞机D．汽车 4．下面为“我国四条河流流量年变化曲线图”，其中表示长江的是（） A．B． C．D． 5．据图内容，读图判断①、②、③与乌鲁木齐、拉萨、武汉三地的组合，最有可能的是 A．①武汉②乌鲁木齐③拉萨B．①拉萨②乌鲁木齐③武汉 C．①武汉②拉萨③乌鲁木齐D．①乌鲁木齐②武汉③拉萨 6．长江自西向东流，最终注入的海洋是（） A．渤海B．黄海C．东海D．南海 7．图中，下列铁路线组合正确的是（）
A．甲﹣﹣陇海线B．乙﹣﹣京九线 C．丙﹣﹣京广线D．丁﹣﹣京沪线 8．某旅游团从辽宁出发，就近进行了“出境游”．他们可能游览了我国下列邻国中的（） A．蒙古B．印度C．朝鲜D．越南 9．下列图中四省区按照纬度由高到低的顺序排列，正确的是 A．①②③④B．③④②①C．③②④①D．④②③①10．下列重要经线、纬线中，穿过我国的是( ) A．赤道B．本初子午线 C．北回归线D．北极圈 11．关于长江和黄河的叙述，不正确的是（） A．两河均发源于青藏高原，共同流经青海和西藏B．下游都位于我国东部平原区C．上游的共同特点是水能资源丰富D．都流经我国地势的一、二、三级阶梯12．下列海洋中,属于我国内海的是（） A．渤海B．东海C．南海D．黄海 13．经济发展的“先行官”是（） A．交通运输业B．农业C．工业D．旅游业14．下列资源中，属于可再生资源的是（） A．土地资源B．煤炭资源C．石油D．钢铁 15．古人说:“羌笛何须怨杨柳，春风不度玉门关”中的“春风”指（） A．冬季风B．东北风C．夏季风D．台风 16． 读我国局部区域简图，完成下面小题。
第一层次： 绵阳中学和成都七中并列第一，东辰国际，成都九中，成都四中，南山中学，成都外国语，川师附中(除了绵中和7中以外其它那几所排名都不分先后) 第二层次： 成都第12中学，绵阳芦溪中学，绵阳三台中学，南充高级中学，绵阳科学城一中，泸州高中，广元中学，绵阳外国语，德阳中学，成都双流中学(排名不分先后) 第三层次： 棠湖中学，新都一中，温江中学，郫县一中，新津中学，龙泉中学，江油中学，什邡中学，绵竹中学，罗江中学，蜀光中学，富顺二中，自贡一中，荣县中学，大竹中学，渠县中学，达县中学，宣汉中学，宜宾一中，宜宾三中，南溪一中，内江六中，隆昌一中，威远中学，乐山一中，五通桥中学，峨眉二中，资阳中学，简阳中学，安岳中学，眉山中学，仁寿一中，广元中学，苍溪中学，攀钢一中，攀枝花三中，阆中中学，遂宁中学，射洪中学，广安中学，邻水中学，巴中中学，西昌一中，绵阳江油一中，绵阳实验高中，德阳外国语，大湾中学,成都铁路中学(排名不分先后) 余下的都是第四层次(第四层次和第三层次相差出奇的大，就不作过多介绍了~) 根据2012本科上线人数具体排名如下(全省重本上线人数33230人)： 排名本科人数学校当地排名 16045绵阳中学绵阳1(重本3104人，上线率%) 25224南山中学绵阳2(重本1754人) 32416宜宾一中宜宾1(重本351人) 42381南充高中南充1(重本910人) 52060江油中学绵阳3(重本432人) 62000三台中学绵阳4(重本455人) 71730龙泉中学成都1 81727简阳中学资阳1 91724宜宾三中宜宾2 101628邻水中学广安1(重本361人) 11556广元中学广元1 121544眉山中学眉山1(重本350人) 131507南部中学南充2(重本244人) 141439大竹中学达州1 151437友谊中学广安2