2017届高三徐州二模-解析版

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. D3. A4. D5.C6.B7. D8. A9. C 10. A 11. A 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的共轭复数及复数运算.【试题解析】B (12)(12)5z z i i ⋅=+-=. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D 由{|13},{|0,A x x B x x =-<<=<或1}x >，故{|10,A B xx =-<< 或13}x <<. 故选D.3. 【命题意图】本题考查祖暅原理及简易逻辑等知识.【试题解析】A 根据祖暅原理容易判断q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，再利用命题的等价性， 故p 是q 的充分不必要条件. 故选A. 4. 【命题意图】本题考查抛物线的相关知识.【试题解析】D 抛物线22y x =上的点到焦点的最小距离是2p ，即18. 故选D.5. 【命题意图】本题主要考查等差数列.【试题解析】 C {}n a 是以2为公差的等差数列，12627,||||||n a n a a a =-+++53113518=+++++=. 故选C.6. 【命题意图】本题主要考查线性规划问题.【试题解析】B 不等式组所表示的平面区域位于直线03=-+y x 的上方区域和直线10x y -+=的上方区域，根据目标函数的几何意义确定4≤z . 故选B.7. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 四棱锥的体积为. 382431=⨯⨯=V . 故选D. 8. 【命题意图】本题考查概率相关问题.【试题解析】A 由已知1151(),4216nn -≥≥. 故选A. 9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的相关知识.【试题解析】C令26t x π=+，从而7[,]66t ππ∈，由于方程有两个解，所以12122()3t t x x ππ+=++=，进而123x x π+=. 故选C.10. 【命题意图】本题主要考查程序框图.【试题解析】A 第一次执行循环体有，33,,1,||0.522m b a a b ===-=；第二次执行循环 体有，535,,,||0.25424m b a a b ===-=；第三次执行循环体有， 11311,,,||0.125828m b a a b d ===-=<. 故选A.11. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】A 由已知22(3,3),||(3)(3)OC m n m n OC m n m n =+-=++-2210m n =+，由0,0,12m n m n >>≤+≤，有22222m n ≤+<，则5||210OC ≤<. 故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的应用.【试题解析】C ①当2m =时显然成立；②当2m >时，2()[1,1]3m f x m -∈+-，只要 22(1)13m m -+>-即可，有25m <<，；③当2m <时，2()[1,1]3m f x m -∈-+，只要 21213m m -+<-即可，有725m <<. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4814. x y =15. 30 16.233简答与提示：13. 【命题意图】本题考查排列组合相关知识.【试题解析】甲乙二人的票要连号，故424248A A =. 14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】()(sin cos ),(0)1,xf x e x x f ''=+=切线方程为x y =. 15. 【命题意图】本题考查等比数列.【试题解析】由条件可求得12,2,q a ==所以430S =.16. 【命题意图】本题考查双曲线问题.【试题解析】法一：由||1||2AF BF =可知，||1||2OA OB =，则Rt OAB ∆中，3AOB π∠=，渐近线OA 的斜率3tan 63b k a π===，即离心率2231()3b e a =+=. 法二：设过左焦点F 作x a b y -=的垂线方程为)(c x bay +=联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x a b y c x b a y )(，解得，c ab y A =联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=x a b y c x b a y )(，解得，22a b abc y B -= 又||1||2AF BF = A B y y 2-=∴ 223a b =∴所以离心率2231()3be a=+=. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数性质及正弦定理等. 【试题解析】（Ⅰ）(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--， （2分）()33cos 1sin 42sin()3f x x x x π=-+-=-+， （4分）)(x f 的周期为π2. （5分）（Ⅱ）因为()4f A =，所以23A π=， （6分）又因为3BC =，由正弦定理，23sin ,23sin AC B AB C ==， （8分）所以三角形周长为323sin 23sin 323sin()3B C B π++=++ （10分）因为03B π<<，所以3sin()(,1]32B π+∈， 所以三角形周长最大值为323+. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】（Ⅰ）解：女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：（3分）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. （4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于 90分的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1,2,3，12423641(1)205C C P X C ====；214236123(2)205C C P X C ====； 评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 50评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 5032423641(3)205C C P X C ====. （9分）所以X 的分布列为X1 2 3 P1535151632555EX =++=.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱锥为载体，考查直线与平面垂直，以及二面角问题等. 【试题解析】（Ⅰ）⊥PA 平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,AB PA ⊥∴,平面ABCD 为矩形，AD AB ⊥∴ , A AD PA = ,⊥∴AB 平面PAD , （2分）⊂PD 平面PAD , PD AB ⊥∴, AD PA = , E 为PD 中点⊥∴=⊥∴PD A AB AE AE PD ,平面ADE （4分） （Ⅱ）以A 为原点，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令||2AB =，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ- （6分）设平面PFM 的法向量111(,,)m x y z =，=0=0m PF m PM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即202220x z x y z λλλ-+=⎧⎨+-=⎩，(2,1,1)m =- （8分）设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0n BF n FM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即()()0212220x x y z λλλ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩，(0,1,)n λλ=- （10分） ()2213|cos ,|3||||61m nm n m n λλλλ⋅-+<>===+-，解得12λ=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维 能力和运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）由已知222=a ，2=a ，记点)(0,0y x P ，1PA OM k k = ，2202000000122ax ya x y a x y k k k k PA PA M PA -=-⨯+=⨯=⨯∴， （2分） 又)(0,0y x P 在椭圆上，故1220220=+by a x ，212202-=-=⨯∴a b k k M PA ，2122=∴a b ，∴12=b ，∴椭圆的方程为1222=+y x . （4分）（Ⅱ）设直线)1(:+=x k y l ，联立直线与椭圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)1(22y x x k y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ，记),(),,(2211y x B y x A由韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⨯+-=+122212422212221k k x x k k x x ，可得122)2(22121+=++=+k kx x k y y ， （6分） 故AB 中点)12,122(222++-k kk k Q ， QN 直线方程：121)122(1122222+--=++-=+-k k x k k k x k k ky （8分） )0,12(22+-∴k k N ，已知条件得：<-4101222<+-k k ，∴ 1202<<k ， （10分） )1211(212122112224)124(12222222222++=+++=+--+-+=∴k k k k k k k k kAB ， 1121212<+<k，)22,223(∈∴AB . （ 12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函 数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）21ln ()xf x x -'=， (0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当x e =时，()f x 取极大值为1e，无极小值. （3分）（Ⅱ）要证)()(x e f x e f ->+，即证：xe x e x e x e -->++)ln()ln(，只需证明：)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-.（5分）设)ln()()ln()()(x e x e x e x e x F -+-+-=，222222222222()4()l n ()[2l n ()]0e x x F x e x e xe xe x+'=--=--+>--， （7分）0)0()(=>∴F x F .故)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-，即)()(x e f x e f ->+. （8分） （III ）不妨设21x x <，由（Ⅰ）知210x e x <<<，e x e <-<∴10，由（Ⅱ）得)()()]([)]([2111xf x f x e e f x e e f ==-->-+， （10分） 又e x e >-12，e x >2，且)(x f 在),(+∞e 上单调递减， 122e x x ∴-<，即e x x 221>+，e x x x >+=∴2210，0)(0<'∴x f . （12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】 (I) 由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.（5分）（II ）(,22),4P π直角坐标为(2,2)，1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++， M 到l 的距离|1cos 2sin 3|10|sin()|545d ααπα+++-==+，从而最大值为105. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(I)因为2b a -<，所以3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为()22b b f a =+，所以12ba +=，22ab +=. （5分）(II)因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， 212121122()(2)(14)22a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=+++1229(142)22a b b a ≥++⋅= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92，所以92t ≥，即实数t 的最大值为92. （10分）。

2017年江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷一、填空题（每题5分，满分70分，江答案填在答题纸上)1．已知集合A=｛﹣1，1，2｝,B={0，1，2，7}，则集合A∪B中元素的个数为．2．设a，b∈R，=a+bi(i为虚数单位)，则b的值为．3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的离心率是．4．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦"的概率是．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为．6．已知一组数据3，6，9，8,4,则该组数据的方差是．7．已知实数x，y满足,则的取值范围是．8．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜）的图象过点（0，），则函数f(x）在［0,π］上的单调减区间是．9．在公比为q且各项均为正数的等比数列｛a n}中，S n为{a n｝的前n 项和．若a1=，且S5=S2+2,则q的值为．10．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AA1=3，点P在棱CC1上，则三棱锥P﹣ABA1的体积为．11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1=3log a x，y2=2log a x和y3=log a x（a＞1）的图象上，则实数a的值为．12．已知对于任意的x∈(﹣∞，1）∪（5，+∞）,都有x2﹣2（a﹣2)x+a ＞0,则实数a的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x+2)2+(y﹣m）2=3，若圆C 存在以G为中点的弦AB,且AB=2GO，则实数m的取值范围是．14．已知△ABC三个内角A,B，C的对应边分别为α,b，c,且C=，c=2．当取得最大值时,的值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．如图，在△ABC中，已知点D在边AB上,AD=3DB，cosA=，cos∠ACB=，BC=13．（1）求cosB的值；(2)求CD的长．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形,点E在棱PC 上（异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若平面PAD⊥平面ABCD,求证：AE⊥EF．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P,Q两点（点P在x轴上方）．（1）若QF=2FP，求直线l的方程；(2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为。

2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数,则（)A．z的实部为1 B．z的虚部为﹣iC．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i2．已知集合A={0，2，4，6}，B={n∈N|2n＜8}，则集合A∩B的子集个数为( ）A．8 B．7 C．6 D．43．对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m⊂α,n∥α，m、n共面,那么m∥nB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α4．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2)，P(ξ≤4）=0。

84，则P(ξ≤0）=（）A．0.16 B．0。

32 C．0.68 D．0。

845．在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x ﹣3)2+y2=1相交”发生的概率为( ）A．B． C． D．6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺，松日自半，竹日自倍,松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2,则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．57．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ）A．10 B．20 C．40 D．608．已知sin（﹣α)=，则sin(﹣2α)=（）A．B． C．D．9．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f(x)=,称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题:①f（f（x)）=1；②函数f(x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x)对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1)），B（x2，f（x2）)，C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（)A．4 B．3 C．2 D．110．“关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2c(c＞0），抛物线y2=2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠AOB=120°(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( ）A． B．2 C． D．12．已知函数，，若f（x），g（x）图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=x对称，则实数k的取值范围为( ）A． B．C．D．二、填空题已知x，y满足，若目标函数z=x+2y的最大值为n，则展开式的常数项为．14．在△ABC中，已知c=2，若sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，则a+b的取值范围．15．已知f(x）=,则．16．已知函数f(x）定义域为R,若存在常数f（x），使对所有实数都成立，则称函数f（x）为“期望函数"，给出下列函数：①f(x）=x2②f(x)=xe x③④其中函数f(x）为“期望函数"的是．（写出所有正确选项的序号）三、解答题（本大题共7小题，共70分。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB 为圆O 的直径，BC 切圆O 于点B ，AC 交圆O 于点P ，E 为线段BC 的中点．求证：OP ⊥PE.B. (选修4-2：矩阵与变换)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.求实数a ，b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，P(m，n)为曲线C2上任一点，求m＋n的取值范围．D. (选修4-5：不等式选讲)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c≥9.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．(1) 求二面角ADFB 的大小；(2) 试在线段AC 上确定一点P ，使PF 与BC 所成的角是60°.23.设f(x ，n)＝(1＋x)n ，n ∈N *.(1) 求f(x ，6)的展开式中系数最大的项；(2) n ∈N *时，化简C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1； (3) 求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n ＝n ×2n －1.(一)21. A. 证明：连结BP ，因为AB 是圆O 的直径，所以∠APB ＝90°，从而∠BPC ＝90°.(2分)在△BPC 中，因为E 是边BC 的中点，所以BE ＝EC ，从而BE ＝EP ，因此∠1＝∠3.(4分)因为B 、P 为圆O 上的点，所以OB ＝OP ，从而∠2＝∠4.(6分)因为BC 切圆O 于点B ，所以∠ABC ＝90°，即∠1＋∠2＝90°，(8分)从而∠3＋∠4＝90°，于是∠OPE ＝90°.所以OP ⊥PE.(10分)B. 解：设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应变换下的像是P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax bx ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，(2分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，bx ＋y ＝y′.(5分) 因为x′2＋y′2＝1，所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，即(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，(7分)所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2，2b ＝2，由于a ＞0，得a ＝b ＝1.(10分) C. 解：曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t的直角坐标方程为y ＝3－2x ，与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫32，0.(2分) 曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asin θ，y ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2a 2＋y 29＝1， 与x 轴交点为(－a ，0)，(a ，0)，(4分)由a ＞0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，所以a ＝32.(6分) 所以2m ＋n ＝3sin θ＋3cos θ＝32sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，(8分) 所以2m ＋n 的取值范围为[－32，32]．(10分)[试题更正：题目中“求m ＋n 的取值范围”改为“求2m ＋n 的取值范围”]D. 证明：1a ＋1b ＋1c ＝1＋b ＋c a ＋1＋a ＋c b ＋1＋a ＋b c(4分) ＝3＋b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b c(8分) ≥3＋2＋2＋2＝9.(10分)22. 解：(1) 以CD →，CB →，CE →为正交基底，建立空间直角坐标系，则E(0，0，1)，D(2，0，0)，F(2，2，1)，B(0，2，0)，A(2，2，0)，BD →＝(2，－2，0)，BF →＝(2，0，1)．平面ADF 的法向量t ＝(1，0，0)，(2分)设平面DFB 法向量n ＝(a ，b ，c)，则n ·BD →＝0，n ·BF →＝0，所以⎩⎨⎧2a －2b ＝0，2a ＋c ＝0.令a ＝1，得b ＝1，c ＝－2，所以n ＝(1，1，－2)．(4分) 设二面角ADFB 的大小为θ⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2，从而cos θ＝|cos 〈n ，t 〉|＝12，∴ θ＝60°， 故二面角ADFB 的大小为60°.(6分)(2) 依题意，设P(a ，a ，0)(0≤a ≤2)，则PF →＝(2－a ，2－a ，1)，CB →＝(0，2，0)．因为〈PF →，CB →〉＝60°，所以cos60°＝2（2－a ）2×2（2－a ）2＋1＝12，解得a ＝22，(9分) 所以点P 应在线段AC 的中点处．(10分)23. (1) 解：展开式中系数最大的项是第四项为C 3n x 3＝20x 3.(3分)(2) 解：C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1＝14[C 0n 4n ＋C 1n 4n －1＋C 2n 4n －2＋…＋C n －1n 4＋C n n ] ＝14(4＋1)n ＝5n 4.(7分) (3) 证明：因为kC k n ＝nC k －1n －1，所以C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n ＝n(C 0n －1＋C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ×2n －1.(10分)。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知△ABC 内接于圆O ，BE 是圆O 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA·AC ＝BE·AD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知变换T 把平面上的点(3，－4)，(5，0)分别变换成(2，－1)，(－1，2)，试求变换T 对应的矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点M(1，2)，倾斜角为π3.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C ：ρ＝6cos θ.若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求MA·MB的值．D. (选修4-5：不等式选讲)设x为实数，求证：(x2＋x＋1)2≤3(x4＋x2＋1)．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．(1) 求恰好摸4次停止的概率；(2) 记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．23. 设实数a1，a2，…，a n满足a1＋a2＋…＋a n＝0，且|a1|＋|a2|＋…＋|a n|≤1(n∈N*且n≥2)，令b n＝a nn(n∈N*)．求证：|b1＋b2＋…＋b n|≤12－12n(n∈N*)．(十七)21. A. 证明：连结AE.∵ BE 是圆O 的直径，∴ ∠BAE ＝90°.(2分) ∴ ∠BAE ＝∠ADC.(4分)∵ ∠BEA ＝∠ACD ，∴ Rt △BEA ∽Rt △ACD.(7分) ∴ BE BA ＝AC AD，∴ BA ·AC ＝BE·AD.(10分) B. 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 5－4 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 2，(3分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，5a ＝－1，3c －4d ＝－1，5c ＝2.(5分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－1320，c ＝25，d ＝1120.(9分) 即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15 －1320 25 1120.(10分) C. 解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，(2分) 圆C 的普通方程为(x －3)2＋y 2＝9.(4分)直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程，得t 2＋2(3－1)t －1＝0，(6分)设该方程两根为t 1，t 2，则t 1·t 2＝－1.(8分)∴ MA ·MB ＝|t 1·t 2|＝1.(10分)D. 证明：因为 右－左＝2x 4－2x 3－2x ＋2(2分) ＝2(x －1)(x 3－1)＝2(x －1)2(x 2＋x ＋1)(4分)＝2(x －1)2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥0，(8分) 所以，原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫142×34×14＝9256.(4分) (2) 由题意，得X ＝0，1，2，3， P(X ＝0)＝C 04×⎝⎛⎭⎫344＝81256， P(X ＝1)＝C 14×14×⎝⎛⎭⎫343＝2764， P(X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫142×⎝⎛⎭⎫342＝27128， P(X ＝3)＝1－81256－2764－27128＝13256，(8分) ∴ X 的分布列为(10分)23. 证明：① 当n ＝2时，a 1＝－a 2，∴ 2|a 1|＝|a 1|＋|a 2|≤1，即|a 1|≤12， ∴ |b 1＋b 2|＝|a 1＋a 22|＝|a 1|2≤14＝12－12×2，即当n ＝2时，结论成立．(2分) ② 假设当n ＝k(k ∈N *且k ≥2)时，结论成立， 即当a 1＋a 2＋…＋a k ＝0，且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |≤1时，有|b 1＋b 2＋…＋b k |≤12－12k.(3分) 则当n ＝k ＋1时，由a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＝0，且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1， ∵ 2|a k ＋1|＝|a 1＋a 2＋…＋a k |＋|a k ＋1|≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1，∴ |a k ＋1|≤12.(5分) ∵ a 1＋a 2＋…＋a k －1＋(a k ＋a k ＋1)＝0，且 |a 1|＋|a 2|＋…＋|a k －1|＋|a k ＋a k ＋1|≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1， 由假设可得|b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k ＋a k ＋1k |≤12－12k，(7分) ∴ |b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1|＝|b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k k ＋a k ＋1k ＋1| ＝|(b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k ＋a k ＋1k )＋(a k ＋1k ＋1－a k ＋1k )| ≤12－12k ＋|a k ＋1k ＋1－a k ＋1k| ＝12－12k ＋⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1|a k ＋1| ≤12－12k ＋(1k －1k ＋1)×12＝12－12（k＋1），即当n＝k＋1时，结论成立．综上，由①和②可知，结论成立．(10分)。

2017年安徽省宣城市高考数学二模试卷(理科）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设(1+i）（x+yi）=2，其中i为虚数单位，x,y是实数，则｜2x+yi|=（）A．1 B．C．D．2．已知集合A=｛x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x｜2x﹣1≥1}，则A∩B=（)A．B．(﹣∞，1）C．22．(10分）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是(t为参数）（1)若a=2,直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求｜MN｜的最大值；(2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．23．已知f（x）=｜ax﹣1｜,不等式f（x)≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅰ）求a的值；(II）若＜|k｜存在实数解，求实数k的取值范围．2017年安徽省宣城市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．设（1+i）(x+yi）=2，其中i为虚数单位，x，y是实数，则|2x+yi|=( ）A．1 B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数相等的条件列式求得x,y的值,然后代入模的公式求模．【解答】解：由(1+i）（x+yi）=2，得：x﹣y+（x+y）i=2，则,解得x=1，y=﹣1．∴|2x+yi｜=｜2﹣i｜==．故选:D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数模的求法,是基础题．2．已知集合A=｛x|x2﹣2x﹣3＜0｝，集合B=｛x|2x﹣1≥1}，则A ∩B=( ）A．B．（﹣∞，1）C．≥0在（，）上恒成立，∵e x＞0在(,）上恒成立,∴（1﹣a)sinx+（1+a）cosx≥0在(，）上恒成立,∴a（sinx﹣cosx）≤sinx+cosx在(,)上恒成立∴a≤，设g（x）=，∴g′（x）=＜0在（,)上恒成立，∴g（x）在（，）上单调递减，∴g(x)＞g（）=1,∴a≤1，故选：A．【点评】本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系，关键是分离参数,构造函数,属于中档题．二、填空题（2017•宣城二模）｜sinx｜dx等于 4 ．【考点】67：定积分．【分析】先根据对称性，只算出0﹣π的图形的面积再两倍即可求出所求．【解答】解：∫02π|sinx｜dx=2∫0πsinxdx=2(﹣cosx）|0π=2（1+1)=4．故答案为:4【点评】本题主要考查了定积分，对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．14．已知向量,满足，，，则= 2．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】向量的数量积的运算和向量模即可求出答案．【解答】解：∵，，，∴｜+|2=｜｜2+||2+2•，∴2•=1+4﹣5=0,∴|2﹣|2=4|｜2+|｜2﹣4•=4+4=8,∴｜2﹣｜=2故答案为:【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量模的计算，属于基础题．15．在△ABC中，，,若最大边长为63，则最小边长为25 ．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据三角函数值推出角的范围,再分类讨论得到A是锐角，再根据两角和的正弦公式求出sinC，根据正弦定理即可求出a，问题得以解决．【解答】解：若A为钝角，∵sinA=＜，＞cosB=＞，∴150＜A＜180°,30°＜B＜60°，∴A+B＞180°，矛盾，故A为锐角，∵sinA=＜，＞cosB=＞，∴0＜A＜30°＜B＜60°，且cosA=,sinB=∴C为钝角，∴c最大，最大为63,a最小，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，由正弦定理可得=，∴a=×=25，故最小为a=25，故答案为:25【点评】本题考查了同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和诱导公式，以及正弦定理，属于中档题16．已知P是圆x2+y2=4上一点，且不在坐标轴上,A(2,0），B（0，2)，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则｜AN｜+2｜BM|的最小值为8 ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出直线PA，PB的方程，可得M，N的坐标，得出|AN|•|BM｜为定值为8，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：设P（x0,y0），直线PA的方程为y=x+2，令y=0得M（，0)．直线PB的方程为y=（x﹣2），令x=0得N（0，）．∴｜AN｜•|BM｜=（2﹣）(2﹣）=4+4×=8,∴｜AN｜+2｜BM|≥2=8,故｜AN｜+2｜BM|的最小值为8．故答案为8．【点评】本题考查圆的方程，考查直线的方程，考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2017年江苏省泰州市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）已知集合A＝{0，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的模是．3．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．4．（5分）现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是．5．（5分）100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是．7．（5分）现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm．8．（5分）函数f（x）＝的定义域是．9．（5分）已知{a n}是公差不为0 的等差数列，S n是其前n项和，若a2a3＝a4a5，S9＝1，则a1的值是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2＝1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2＝9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是．11．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若•＝﹣7，则•的值是．12．（5分）在△ABC中，已知AB＝2，AC2﹣BC2＝6，则tan C的最大值是．13．（5分）已知函数f（x）＝其中m＞0，若函数y＝f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是．14．（5分）已知对任意的x∈R，3a（sin x+cos x）+2b sin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b 取得最小值时，a的值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程. 15．（14分）已知sin（α+）＝，α∈（，π）．求：（1）cosα的值；（2）sin（2α﹣）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值；（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且＝，求直线AB的斜率．18．（16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈，≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）＝，g（x）＝lnx，其中e为自然对数的底数．（1）求函数y＝f（x）g（x）在x＝1处的切线方程；（2）若存在x1，x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）＝λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足：①|a1|≠|a2|；②r（n﹣p）S n+1＝（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，其中r，p∈R，且r≠0．（1）求p的值；（2）数列{a n}能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当r＝2时，数列{a n}是等差数列．A.[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，∠ACB＝∠ADC．求证：AD•BC＝2AC•CD．B.[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）设矩阵A满足：A＝，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．C.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．D.[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y，z均为正实数，且xyz＝1，求证：++≥xy+yz+zx．【必做题】每小题10分，共计20分.25．（10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．26．（10分）设n≥2，n∈N*，有序数组（a1，a2，…，a n）经m次变换后得到数组（b m，1，b m，2，…，b m，n），其中b1，i＝a i+a i+1，b m，i＝b m﹣1，i+b m﹣1，i+1（i＝1，2，…，n），a n+1＝a1，b m﹣1，n+1＝b m﹣1，1（m≥2）．例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）．（1）若a i＝i（i＝1，2，…，n），求b3，5的值；（2）求证：b m，i＝a i+j∁m j，其中i＝1，2，…，n．（注：i+j＝kn+t时，k∈N*，i＝1，2，…，n，则a i+j＝a1）2017年江苏省泰州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）已知集合A＝{0，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∩B＝{0，3}．【解答】解：集合A＝{0，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∩B＝{0，3}；故答案为：{0，3}2．（5分）已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的模是．【解答】解：∵z＝＝，∴．故答案为：．3．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．【解答】解：模拟执行程序，可得S＝1，I＝1满足条件I＜8，S＝3，I＝4满足条件I＜8，S＝5，I＝7满足条件I＜8，S＝7，I＝10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．4．（5分）现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是180．【解答】解：由频率分布表知：纤维长度不小于37.5mm的频率为：＝0.18，∴估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是1000×0.18＝180．故答案为：180．5．（5分）100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是．【解答】解：在100张卡片上分别写上1至100这100个数字，从中任取一张共有100种取法，其中所得卡片上的数字为6的倍数的数是：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，96共16个，∴所得卡片上的数字为6的倍数的数共有16个．∴所得卡片上的数字为6的倍数的概率P＝＝，故答案为：．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是2．【解答】解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|＝x+1＝3，∴x＝2，故答案为：2．7．（5分）现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm．【解答】解：设该铁球的半径为r，∵底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，∴锥体的母线、半径、高构成直角三角形，∴h＝＝4，锥体体积V＝×π×32×4＝12π，圆球体积＝锥体体积V＝＝12π，解得r＝．故答案为：．8．（5分）函数f（x）＝的定义域是[﹣2，2]．【解答】解：由lg（5﹣x2）≥0，得5﹣x2≥1，即x2≤4，解得﹣2≤x≤2．∴函数f（x）＝的定义域是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．9．（5分）已知{a n}是公差不为0 的等差数列，S n是其前n项和，若a2a3＝a4a5，S9＝1，则a1的值是．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2a3＝a4a5，S9＝1，∴，解得：a1＝，故答案为：．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2＝1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2＝9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是x2+y2＝81．【解答】解：由题意，圆C与圆C1和圆C2的公共弦分别为圆C1和圆C2的直径，设C（x，0），则（x﹣4）2+（0﹣8）2+1＝（x﹣6）2+（0+6）2+9，∴x＝0，∴圆C的方程是x2+y2＝81．故答案为x2+y2＝81．11．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若•＝﹣7，则•的值是9．【解答】解：平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，∴+＝；若•＝﹣7，则（+）•（+）＝+•+•+•＝+•（+）﹣＝32﹣＝﹣7；∴＝16，∴||＝||＝4；∴•＝（+）•（+）＝•+•+•+＝﹣+•（+）+＝﹣42+0+52＝9．12．（5分）在△ABC中，已知AB＝2，AC2﹣BC2＝6，则tan C的最大值是．【解答】解：∵AB＝c＝2，AC2﹣BC2＝b2﹣a2＝6，∴由余弦定理可得：4＝a2+b2﹣2ab cos C，∴（b2﹣a2）＝a2+b2﹣2ab cos C，∴（）2﹣2××cos C+＝0，∵△≥0，∴可得：cos C≥，∵b＞c，可得C为锐角，又∵tan C在（0，）上单调递增，∴当cos C＝时，tan C取最大值，∴tan C＝＝＝．故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）＝其中m＞0，若函数y＝f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是（0，）．【解答】解：1、当x＜0时，f（f（x））＝（﹣x+m）2﹣1，图象为开口向上的抛物线的在y 轴左侧的部分，顶点为（0，m2﹣1）2、当0≤x＜1时，f（f（x））＝﹣x2+1+m，图象为开口向下的抛物线在0≤x＜1之间的部分，顶点为（0，m+1）．根据题意m＞0，所以m+1＞13、当x≥1时，f（f（x））＝（x2﹣1）2﹣1，图象为开口向上的抛物线在x＝1右侧的部分，顶点为（1，﹣1）根据题意，函数y＝f（f（x））﹣1有3个不同的零点，即f（f（x））的图象与y＝1有3个不同的交点．根据以上分析的3种情况，第2及第3种情况的图象分别与y＝1有不同的2个交点，所以只需要第1种情况与y＝1有1个交点即可，所以只要m2﹣1＜1即可，解得m＜．再根据题意m＞0可得m的取值范围为（0，）故答案为（0，）．14．（5分）已知对任意的x∈R，3a（sin x+cos x）+2b sin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b取得最小值时，a的值是﹣．【解答】解：由题意可令sin x+cos x＝﹣，两边平方可得1+2sin x cos x＝，即有sin2x＝﹣，代入3a（sin x+cos x）+2b sin2x≤3，可得﹣a﹣b≤3，可得a+b≥﹣2，当a+b＝﹣2时，令t＝sin x+cos x＝sin（x+）∈[﹣，]，即有sin2x＝t2﹣1，代入3a（sin x+cos x）+2b sin2x≤3，可得﹣2bt2+3（2+b）t+3+2b≥0，对t∈[﹣，]恒成立，则△＝9（2+b）2+8b（3+2b）≤0，即为（5b+6）2≤0，但（5b+6）2≥0，则5b+6＝0，可得b＝﹣，a＝﹣．而当b＝﹣，a＝﹣时，3a（sin x+cos x）+2b sin2x＝﹣t﹣（t2﹣1）＝﹣（t+）2+3≤3．所以当a+b取得最小值﹣2，此时a＝﹣．另解：由a+b取得最小值，故令3（sin x+cos x）＝2sin2x＝λ＜0，则a+b≥，即a+b的最小值为，t＝sin x+cos x＝sin（x+）∈[﹣，]，sin2x＝t2﹣1，则λ＝3t＝2（t2﹣1），解得t＝﹣，则λ＝﹣，此时﹣（a+b）≤3，解得a+b≥﹣2，即有当a+b＝﹣2时，3at+2（﹣2﹣a）（t2﹣1）≤3，对t∈[﹣，]恒成立，即2（a+2）t2﹣3at﹣2a﹣1≥0对t∈[﹣，]恒成立，设f（t）＝2（a+2）t2﹣3at﹣2a﹣1，由f（﹣）＝0且为f（t）的最小值，所以只能把f（t）看做t为自变量的函数，则2（a+2）＞0，＝﹣，解得a＝﹣．故答案为：﹣．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程. 15．（14分）已知sin（α+）＝，α∈（，π）．求：（1）cosα的值；（2）sin（2α﹣）的值．【解答】解：（1）sin（α+）＝，即sinαcos+cosαsin＝，化简：sinα+cosα＝…①sin2α+cos2α＝1…②．由①②解得cosα＝﹣或cosα＝∵α∈（，π）．∴cosα＝﹣（2）∵α∈（，π）．cosα＝﹣∴sinα＝，那么：cos2α＝1﹣2sin2α＝，sin2α＝2sinαcosα＝∴sin（2α﹣）＝sin2αcos﹣cos2αsin＝．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．【解答】证明：（1）由题意，D，E分别为A1B，A1C的中点，∴DE∥BC，∵DE⊄平面B1BCC1，BC⊂平面B1BCC1，∴DE∥平面B1BCC1；（2）∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AA1＝A，∴BC⊥平面A1ACC1，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ACC1．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值；（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且＝，求直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e＝＝＝，则＝，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，，②解得：a2＝9，b2＝5，∴a＝3，b＝，（2）方法一：由（1）可知：＝，则椭圆方程：5x2+9y2＝5a2，设直线OC的方程为x＝my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2＝5a2，∴y2＝，由y2＞0，则y2＝，由＝，则AB∥OC，设直线AB的方程为x＝my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy＝0，由y＝0，或y1＝，由＝，则（x1+a，y1）＝（x2，y2），则y2＝2y1，则＝2×，（m＞0），解得：m＝，则直线AB的斜率＝；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2＝5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由＝，则（x1+a，y1）＝（x2，y2），则y2＝2y1，由B，C在椭圆上，∴，解得：，则直线直线AB的斜率k＝＝．直线AB的斜率．18．（16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈，≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．【解答】解：（1）设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC＝3BC．△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC＝＝，∴∠BAC＝17°，∴缉私艇应向北偏东47°方向追击，△ABC中，由余弦定理可得cos120°＝，∴BC≈1.68615．B到边界线l的距离为3.8﹣4sin30°＝1.8，∵1.68615＜1.8，∴能最短时间在领海内拦截成功；（2）以A为原点，建立如图所示的坐标系，则B（2，2），设缉私艇在P（x，y）出与走私船相遇，则P A＝3PB，即x2+y2＝9[（x﹣2）2+（y﹣2）2]，即（x﹣）2+（y﹣）2＝，∴P的轨迹是以（，）为圆心，为半径的圆，∵圆心到边界线l：x＝3.8的距离为1.55，大于圆的半径，∴无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．19．（16分）已知函数f（x）＝，g（x）＝lnx，其中e为自然对数的底数．（1）求函数y＝f（x）g（x）在x＝1处的切线方程；（2）若存在x1，x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）＝λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）y＝f（x）g（x）＝，y′＝，x＝1时，y＝0，y′＝，故切线方程是：y＝x﹣；（2）证明：由g（x1）﹣g（x2）＝λ[f（x2）﹣f（x1）]，得：g（x1）+λf（x1）＝g（x2）+λf（x2），令h（x）＝g（x）+λf（x）＝lnx+，（x＞0），h′（x）＝，令ω（x）＝e x﹣λx，则ω′（x）＝e x﹣λ，由x＞0，得e x＞1，①λ≤1时，ω′（x）＞0，ω（x）递增，故h′（x）＞0，h（x）递增，不成立；②λ＞1时，令ω′（x）＝0，解得：x＝lnλ，故ω（x）在（0，lnλ）递减，在（lnλ，+∞）递增，∴ω（x）≥ω（lnλ）＝λ﹣λlnλ，令m（λ）＝λ﹣λlnλ，（λ＞1），则m′（λ）＝﹣lnλ＜0，故m（λ）递减，又m（e）＝0，若λ≤e，则m（λ）≥0，ω（x）≥0，h（x）递增，不成立，若λ＞e，则m（λ）＜0，函数h（x）有增有减，满足题意，故λ＞e；（3）由f（x）g（x）≤a（x﹣1）得lnx﹣ae x（x﹣1）≤0，令F（x）＝lnx﹣ae x（x﹣1），x∈（0，1]，则F′（x）＝﹣axe x＝xe x（﹣a），F′（1）＝﹣a①a≤，因为≥，xe x＞0，所以F′（x）≥0，所以F（x）在（0，+∞]上为单调增函数，所以F（x）≤F（1）＝0，故原不等式恒成立．②法一：当a＞，由（2）知e x≥ex，F′（x）≤﹣aex2＝，当（ae）＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）为单调减函数．所以F（x）＞F（1）＝0，不合题意．法二：当a＞，一方面F′（1）＝1﹣ae＜0．另一方面，∃x1＝＜1，F（x1）≥﹣aex1＝x1（﹣ae）＝x1ae（ae﹣1）＞0．所以∃x1∈（x1，1），使F′（x0）＝0，又，F′（x）在（0，+∞）上为单调减函数，所以当x0＜x＜1时，使F′（x）＜0，故F（x）在（x0，1）上为单调减函数．所以F（x）＞F（1）＝0，不合题意．综上：a≤20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足：①|a1|≠|a2|；②r（n﹣p）S n+1＝（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，其中r，p∈R，且r≠0．（1）求p的值；（2）数列{a n}能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当r＝2时，数列{a n}是等差数列．【解答】解：（1）n＝1时，r（1﹣p）（a1+a2）＝2a1﹣2a1，其中r，p∈R，且r≠0．又|a1|≠|a2|．∴1﹣p＝0，解得p＝1．（2）设a n＝ka n﹣1（k≠±1），r（n﹣1）S n+1＝（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，∴rS3＝6a2，2rS4＝12a3+4a1，化为：r（1+k+k2）＝6k，r（1+k+k2+k3）＝6k2+2．联立解得r＝2，k＝1（不合题意），舍去，因此数列{a n}不是等比数列．（3）证明：r＝2时，2（n﹣1）S n+1＝（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，∴2S3＝6a2，4S4＝12a3+4a1，6S5＝20a4+10a1．化为：a1+a3＝2a2，a2+a4＝2a3，a3+a5＝2a4．假设数列{a n}的前n项成等差数列，公差为d．则2（n﹣1）＝（n2+n）[a1+（n﹣1）d]+（n2﹣n﹣2）a1，化为a n+1＝a1+（n+1﹣1）d，因此第n+1项也满足等差数列的通项公式，综上可得：数列{a n}成等差数列．A.[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，∠ACB＝∠ADC．求证：AD•BC＝2AC•CD．【解答】证明：∵∠ACB＝∠ADC，AD是⊙O的直径，∴AD垂直平分BC，设垂足为E，∵∠ACB＝∠EDC，∠ACD＝∠CED，∴△ACD∽△CED，∴，∴AD•BC＝AC•CD，∴AD•BC＝2AC•CD．B.[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）设矩阵A满足：A＝，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：A＝，设B＝，则丨B丨＝6，B*＝，则B﹣1＝×B*＝×＝，A＝×B﹣1＝＝，A＝，丨A丨＝﹣，A*＝A﹣1＝×＝，矩阵A的逆矩阵A﹣1＝．C.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．【解答】解：直线（l为参数）与曲线（t为参数）的普通方程分别为x﹣y＝﹣，y2＝8x，联立可得x2﹣5x+＝0，∴|AB|＝＝4．D.[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y，z均为正实数，且xyz＝1，求证：++≥xy+yz+zx．【解答】证明：∵x，y，z均为正实数，且xyz＝1，∴++＝++，∴由柯西不等式可得（++）（xy+yz+zx）≥（++）2＝（++）2＝（xy+yz+zx）2．∴++≥xy+yz+zx．【必做题】每小题10分，共计20分.25．（10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．【解答】解：（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P（A）＝1﹣P ＝1﹣＝．（2）由题意可得：X＝5a，6a，7a，8a．P（X＝5a）＝＝＝，P（X＝6a）＝＝＝，P（X＝7a）＝＝＝，P（X＝8a）＝＝＝．E（X）＝5a×+6a×+7a×+8a×＝a．26．（10分）设n≥2，n∈N*，有序数组（a1，a2，…，a n）经m次变换后得到数组（b m，1，b m，2，…，b m，n），其中b1，i＝a i+a i+1，b m，i＝b m﹣1，i+b m﹣1，i+1（i＝1，2，…，n），a n+1＝a1，b m﹣1，n+1＝b m﹣1，1（m≥2）．例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）．（1）若a i＝i（i＝1，2，…，n），求b3，5的值；（2）求证：b m，i＝a i+j∁m j，其中i＝1，2，…，n．（注：i+j＝kn+t时，k∈N*，i＝1，2，…，n，则a i+j＝a1）【解答】解：（1）依题意（1，2，3，4，5，6，7，8，…，n），第一次变换为（3，5，7，9，11，13，15，…，n+1），第二次变换为（8，12，16，20，24，28，…，n+4），第三次变换为（20，28，36，44，52，…，n+12），∴b3，5＝52，（2）用数学归纳法证明：对m∈N*，b m，i＝a i+j∁m j，其中i＝1，2，…，n，（i）当m＝1时，b1，i＝a i+j C1j，其中i＝1，2，…，n，结论成立，（ii）假设m＝k时，k∈N*时，b k，i＝a i+j∁k j，其中i＝1，2，…，n，则m＝k+1时，b k+1，i＝b k，i+b k，i+1＝a i+j∁k j+a i+j+1∁k j＝a i+j∁k j+a i+j+1∁k j﹣1，＝a i∁k0+a i+j（∁k j+∁k j﹣1）+a i+k+1∁k k，＝a i C k+10+a i+j C k+1j+a i+k+1C k+1k+1，＝a i+j C k+1j，所以结论对m＝k+1时也成立，由（i）（ii）可知，对m∈N*，b m，i＝a i+j∁m j，其中i＝1，2，…，n成立。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，弦CA ，BD 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ，连结FD.求证：∠DEA ＝∠DFA.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 m n 1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝t ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，试判断直线l 与曲线C 的位置关系．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求1x ＋2y ＋3z的最小值．【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为12，甲胜丙、乙胜丙的概率都为23，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判． (1) 求第3局甲当裁判的概率；(2) 记前4局中乙当裁判的次数为X ，求X 的概率分布与数学期望．23. 记f(n)＝(3n ＋2)(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2n )(n ≥2，n ∈N *)．(1) 求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2) 当n ≥2，n ∈N *时，试猜想所有f(n)的最大公约数，并证明．(二十)21. A. 证明：连结AD ，∵ AB 是圆O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°，∴ ∠ADE ＝90°.(4分)∵ EF ⊥FB ，∴ ∠AFE ＝90°，∴ A ，F ，E ，D 四点共圆，∴ ∠DEA ＝∠DFA.(10分)B. 解：设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由⎩⎪⎨⎪⎧Mα1＝λ1α1，M α2＝λ2α2，可解得m ＝n ＝0，λ1＝2，λ2＝1.(4分) 又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2，(6分) 所以M 2β＝M 2(α1＋2α2)＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42.(10分) C. 解：直线l 的普通方程为2x －y －2＝0；曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，它表示圆．(4分)由圆心到直线l 的距离d ＝45＝455＜2，得直线l 与曲线C 相交．(10分) D. 解：1x ＋2y ＋3z ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋42y ＋93z (x ＋2y ＋3z) ＝1＋4＋9＋2y x ＋3z x ＋4x 2y ＋12z 2y ＋9x 3z ＋18y 3z(4分) ≥14＋22y x ·4x 2y ＋23z x ·9x 3z ＋212z 2y ·18y 3z＝36， ⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝y ＝z ＝16时等号成立 所以1x ＋2y ＋3z的最小值为36.(10分) 22. 解：(1) 第2局中可能是乙当裁判，其概率为13，也可能是丙当裁判，其概率为23， 所以第3局甲当裁判的概率为13×13＋23×12＝49.(4分) (2) X 可能的取值为0，1，2.(5分)P(X ＝0)＝23×12×23＝29；(6分) P(X ＝1)＝13×⎝⎛⎭⎫13×23＋23×12＋23×12＋23×12×13＝1727；(7分) P(X ＝2)＝13×⎝⎛⎭⎫23×12＋13×13＝427.(8分) 所以X 的数学期望E(X)＝0×29＋1×1727＋2×427＝2527.(10分) 23. 解：(1) 因为f(n)＝(3n ＋2)(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2n )＝(3n ＋2)C 3n ＋1，所以f(2)＝8，f(3)＝44，f(4)＝140.(3分)(2) 由(1)中结论可猜想所有f(n)的最大公约数为4.(4分)下面用数学归纳法证明所有的f(n)都能被4整除即可．①当n＝2时，f(2)＝8能被4整除，结论成立；(5分)②假设n＝k时，结论成立，即f(k)＝(3k＋2)C3k＋1能被4整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(3k＋5)C3k＋2＝(3k＋2)C3k＋2＋3C3k＋2＝(3k＋2)(C3k＋1＋C2k＋1)＋(k＋2)C2k＋1(7分)＝(3k＋2)C3k＋1＋(3k＋2)C2k＋1＋(k＋2)C2k＋1＝(3k＋2)C3k＋1＋4(k＋1)C2k＋1，此式也能被4整除，即n＝k＋1时结论也成立．综上所述，所有f(n)的最大公约数为4.(10分)。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，直线AB 与圆O 相切于点B ，直线AO 交圆O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ，且AD ＝3DC ，BC ＝2，求圆O 的直径．B. (选修4-2：矩阵与变换)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.设P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)已知函数f(x)＝3x＋6，g(x)＝14－x，若存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.(1) 证明：平面DFC⊥平面D1EC；(2) 求二面角ADFC的大小．23. 在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如下图所示．(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2) 已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C r n，C r＋1n，C r＋2n ，C r＋3n不能构成等差数列．(十四)21. A. 解：因为DE 是圆O 的直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°.(3分)又AB 切圆O 于点B ，得∠ABD ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA.(5分)即BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝32，所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3.(8分)由切割线定理得AB 2＝AD·AE ，即AE ＝AB 2AD ＝6， 故DE ＝AE －AD ＝3，即圆O 的直径为3.(10分)B. 解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002，(4分) 设(x ，y)是曲线y ＝sinx 上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(x′，y ′)． 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，(6分) 所以x′＝12x ，y ′＝2y ，则x ＝2x′，y ＝12y ′，(8分) 代入y ＝sinx ，得12y ′＝sin2x ′，即y′＝2sin2x ′. 即曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y ＝2sin2x.(10分)C. 解：由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，(3分)所以x 2＋(y －3)2＝3.(5分)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，C(0，3)， PC ＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12.(8分) 故当t ＝0时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3，0)．(10分)D. 解：存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立，等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a ，(2分)因为f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，(4分)由柯西不等式：(3×x ＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)(x ＋2＋14－x)＝64，(7分) 所以f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，(9分) 故常数a 的取值范围是(－∞，8)．(10分)22. (1) 证明：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D 1(0，0，2)．∵ E 为AB 的中点，∴ E 点坐标为E(1，1，0)．∵ D 1F ＝2FE ，∴ D 1F →＝23D 1E →＝23(1，1，－2)＝⎝⎛⎭⎫23，23，－43， DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0，0，2)＋⎝⎛⎭⎫23，23，－43＝⎝⎛⎭⎫23，23，23.(2分) 设n ＝(x ，y ，z)是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，2y ＝0.取x ＝1得平面FDC 的一个法向量n ＝(1，0，－1)．(3分)设p ＝(x ，y ，z)是平面ED 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y －43z ＝0，2y －2z ＝0.取y ＝1得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1，1，1)．(4分)∵ n ·p ＝(1，0，－1)·(1，1，1)＝0，∴ 平面DFC ⊥平面D 1EC.(5分)(2) 解：设q ＝(x ，y ，z)是平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧q ·DF →＝0，q ·DA →＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，x ＝0.取y ＝1得平面ADF 的一个法向量q ＝(0，1，－1)．(7分) 设二面角ADFC 的平面角为θ，由题中条件可知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 则cos θ＝－⎪⎪⎪⎪n·q |n||q|＝－0＋0＋12×2＝－12，(9分) ∴ 二面角ADFC 的大小为120°.(10分)23. (1) 解：杨辉三角形的第n 行由二项式系数C k n ，k ＝0，1，2，…，n 组成．如果第n 行中有C k －1n C k n ＝k n －k ＋1＝34，C k n C k ＋1n ＝k ＋1n －k ＝45， 那么3n －7k ＝－3，4n －9k ＝5，(2分)解这个联立方程组，得k ＝27，n ＝62.(3分)即第62行有三个相邻的数C 2662，C 2762，C 2862的比为3∶4∶5.(4分)(2) 证明：若有n ，r(n ≥r ＋3)，使得C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 成等差数列，则2C r ＋1n ＝C r n ＋C r ＋2n ，2C r ＋2n ＝C r ＋1n ＋C r ＋3n ，即2·n ！（r ＋1）！（n －r －1）！＝n ！r ！（n －r ）！＋n ！（r ＋2）！（n －r －2）！，2·n ！（r ＋2）！（n －r －2）！＝n ！（r ＋1）！（n －r －1）！＋n ！（r ＋3）！（n －r －3）！.(6分)所以有2（r ＋1）（n －r －1）＝1（n －r －1）（n －r ）＋1（r ＋1）（r ＋2）， 2（r ＋2）（n －r －2）＝1（n －r －2）（n －r －1）＋1（r ＋2）（r ＋3）， 经整理得到n 2－(4r ＋5)n ＋4r(r ＋2)＋2＝0，n 2－(4r ＋9)n ＋4(r ＋1)(r ＋3)＋2＝0. 两式相减可得n ＝2r ＋3，于是C r 2r ＋3，C r ＋12r ＋3，C r ＋22r ＋3，C r ＋32r ＋3成等差数列，(8分)而由二项式系数的性质可知C r 2r ＋3＝C r ＋32r ＋3＜C r ＋12r ＋3＝C r ＋22r ＋3，这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．(10分)。

2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学 Ⅰ 试 题 2017.5注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则A B =I ▲ ． 2．已知i 为虚数单位，复数13i z y =+()R y ∈，22i z =-，且121i z z =+，则y = ▲ ．3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布．若利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 ▲ ．4．已知直线20x =为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式．右图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，若输入x 的值为1，则输出S 的值为 ▲ ． 6．已知1Ω是集合{}22(,)1x y x y +„所表示的区域，2Ω是集合{}(,)x y y x „所表示的区域，向区域1Ω内随机的投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为 ▲ ．7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比3q =，34533S S +=，则3a = ▲ ．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为积为 ▲ ．9．已知α是第二象限角，且sin α=tan()2αβ+=-，则tan β= ▲ ．10．已知直线l ：210mx y m +--=，圆C ：22240x y x y +--=，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m = ▲ ．11．在△ABC 中，角,,A B C 对边分别是,,a b c，若满足2cos =2b A c ，则角B 的大小为 ▲ ．12．在△ABC 中，AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，P 是△ABC 所在平面内一点，若4||||AB ACAP AB AC =+u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ，则△PB C 面积的最小值为 ▲ ． 13．已知函数24,0,()3,0,x x x f x x x⎧-⎪=⎨<⎪⎩… 若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b 的取值范围为▲．14．已知,a b均为正数，且20ab a b--=，则22214aba b-+-的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量m,1)x=-,n2(sin,cos)x x=．（1）当π3x=时，求⋅m n的值；（2）若π0,4x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且⋅mn12=-，求cos2x的值．16．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC BC=，90ACD∠=︒．（1）求证：AB⊥平面EDC；（2）若P为FG上任一点，证明EP∥平面BCD．17．（本小题满分14分）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w（单位：百千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：341wx=-+，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x（单位：百元）．（1）求利润函数()L x的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 18．（本小题满分16分）已知函数3()ln f x a x bx =-，a ，b 为实数，0b ≠， e 为自然对数的底数，e 2.71828≈…． （1）当0a <，1b =-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若关于x 的方程()=0f x 在区间(1e]，上有两个不同实数解，求ab的取值范围．19．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(1,0)F -，左准线方程为2x =-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． ①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=u u u r u u u r，PB BF μ=u u u r u u u r．求证：λμ+为定值； ②若A ，B 两点满足OA OB ⊥（O 为 坐标原点），求△AOB 面积的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足21141,2n n n n a a a a a λμ+++==+,其中*N n ∈,λ,μ为非零常数．（1）若3,8λμ==，求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列． ①求实数,λμ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列．试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加）试题2017.5注意事项：1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，如多答，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分. 请选定其中两题．．．．．．，并在相．．．应的．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（选修4－1：几何证明选讲）如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于,A B 两点，DC OB ⊥于点C ， 且2DE BE =，求证：23OC BC =． B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵M 13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值11λ=-及对应的特征向量e 11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 求矩阵M 的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xO y 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线1C 的参数方程为[]2cos (0,2π,32sin x y αααα⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩，为参数)，曲线2C 的极坐标方程为πsin()3a ρθ+=（R a ∈）．若曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个公共点，求实数a 的值．D.（选修4—5：不等式选讲）已知,,a b c 为正实数，求证：222b c a a b c a b c ++++…．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分. 请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分（*N n ∈）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知01()(1)(1)()(1)()n n k k n n nn n nn n n f x C x C x C x k C x n =--++--++--L L ， 其中*,R N N x n k k n ∈∈∈，，„． （1）试求1()f x ，2()f x ，3()f x 的值；（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论．2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学参考答案2017.5一、填空题．1．{}12x x -<< 2．1 3．19.7 4．35．14 6.347．3 8． 9．17 10．-1 11．π6 12．3213．1(,6)(,0]4-∞--U 14．7二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．解：（1）当π3x =时，m 1)=-，n 1)4=， ……………………………4分所以⋅m n 311442=-=．…………………………………………………………6分（2）⋅m n 2sin cos x x x -=11π12cos2sin(2)2262x x x =--=--， ………………………8分若⋅m n 12=-，则π1sin(2)1262x ---，即πsin(2)6x -因为π[0,]4x ∈，所以πππ2663x --剟，所以πcos(2)6x -， ……………10分则ππππ1cos2cos[(2)]cos(2)sin(2)66662x x x x =-+=---⨯ ……………12分12==． ……………………………14分 16．（1）因为平面ABC ⊥平面ACD ，90ACD ∠=︒，即CD ⊥AC ， 平面ABC I 平面ACD =AC ，CD ⊂平面ACD ，所以CD ⊥平面ABC ， ………………………………………………………………3分 又AB ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AB ， ………………………………………………4分 因为AC BC =，E 为AB 的中点，所以CE ⊥AB ， …………………………………6分又CE CD C =I ，CD ⊂平面EDC ，CE ⊂平面EDC ，所以AB ⊥平面EDC ． …………………………………………………………………7分 （2）连EF ，EG ，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，又BD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，所以EF ∥平面BCD ， ………………………………………………………………10分 同理可证EG ∥平面BCD ，且EF I EG =E ，EF ⊂平面BCD ，EG ⊂平面BCD ，所以平面EFG ∥平面BCD ， ………………………………………………………12分 又P 为FG 上任一点，所以EP ⊂平面EFG ，所以EP ∥平面BCD ．……………14分17．解：（1）348()164264311L x x x x x x ⎛⎫=---=-- ⎪++⎝⎭（05x 剟）．………………4分 （2）法一：()4848()643673111L x x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭6743-=…．……………………………………8分 当且仅当()48311x x =++时，即3x =时取等号．……………………………10分 故()max 43L x =．………………………………………………………………12分答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分法二：()()24831L x x '=-+，由()0L x '=得，3x =．……………………………7分 故当()0,3x ∈时，()0L x '>，()L x 在()0,3上单调递增；当()3,10x ∈时，()0L x '<，()L x 在()3,5上单调递减；…………………10分 故()max 43L x =．………………………………………………………………12分 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分 18．解：（1）当1b =-时，函数3()ln f x a x x =+，则323()3a a x f x x x x+'=+=， ………………………………………………………2分所以()ln()3333a a a ag a f a ===--， ……………………………4分令()ln t x x x x =-+，则()ln t x x '=-，令()0t x '=，得1x =， 且当1x =时，()t x 有最大值1， 所以()g a 的最大值为1（表格略），(分段写单调性即可)，此时3a =-．………6分（2）由题意得，方程3ln 0a x bx -=在区间(1e]，上有两个不同实数解，所以3ln a x b x=在区间(1e]，上有两个不同的实数解，即函数1ay b=图像与函数3()ln x m x x =图像有两个不同的交点，…………………9分因为22(3ln 1)()(ln )x x m x x -'=，令()0m x '=，得x所以当x ∈时，()(3e,)m x ∈+∞，……………………………………………14分 当e]x ∈时，3()(3e,e ]m x ∈， 所以,a b 满足的关系式为 33e e a b <…，即ab 的取值范围为33e e ]（，．…………16分 19．解：（1）由题设知2=e ，22222==+a c b c ，即222=a b ，……………………1分 (1,2代入椭圆C 得到2211122+=b b ，则21=b ，22=a ，…………………2分 ∴22:12x C y +=． ……………………………………………………………………3分（2）①由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y k x =+，则(0,)P k ．设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 代入椭圆得2222(1)2x k x ++=，整理得，2222(12)4220k x k x k +++-=，∴22121222422,1212k k x x x x k k --+==++． ……………5分 由λ=u u u r u u u r PA AF ，μ=u u u r u u u r PB BF 知，1212,11x x x x λμ--==++， ……………………………7分 ∴222212122212122244424121244221111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--+++-+++=-=-=-=---+++-++++（定值）．………9分 ②当直线,OA OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积2S =，……………10分 当直线,OA OB 的斜率均存在且不为零时，设1:,:OA y kx OB y x k==-，设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx =代入椭圆C 得到22222x k x +=，∴222112222,2121k x y k k ==++，同理222222222,22k x y k k==++， …………………12分△AOB 的面积2OA OBS ⋅== ………………………………13分令[)211,t k =+∈+∞，S =令1(0,1)u t =∈，则23S ⎡=⎢⎣⎭． ……………15分综上所述，23S ⎡∈⎢⎣⎦． ………………………………………………………16分20．解：（1）当3,8λμ==时，21384(32)(2)3222n n n n n n n n a a a a a a a a +++++===+++， ∴113(1)n n a a ++=+．……………………………………………………………………2分 又10n a +≠，不然110a +=，这与112a +=矛盾，…………………………………3分 ∴{}1n a +为2为首项，3为公比的等比数列，∴1123n n a -+=⋅，∴1231n n a -=⋅-． …………………………………………………4分 （2）①设1(1)1n a a n d dn d =+-=-+， 由2142n n n n a a a a λμ+++=+得21(2)4n n n n a a a a λμ++=++，∴2(3)(1)(1)(1)4dn d dn dn d dn d λμ-++=-++-++， …………………………5分 ∴222222(4)3(2(1))(1)(1)4d n d d n d d n d dn d d λλμλμ⋅+--+=+-++-+-+ 对任意*∈N n 恒成立． ………………………………………………………………7分∴22224(2(1))3(1)(1)4d d d d d d d d d λλμλμ⎧=⎪-=-+⎨⎪-+=-+-+⎩，，，即122λ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩u d d ，，，∴1,4,2λ===u d ．…………9分综上，14,21n a n λμ===-，． ……………………………………………………10分②由①知2(121)2n n n S n +-==．设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数．ο1若三个奇数一个偶数，设121212,,,x y z S S S S ++是满足条件的四项，则2221(21)(21)42017x y z +++++=，∴2222()1007x x y y z ++++=，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去． ……11分ο2若一个奇数三个偶数，设1222,,,x y z S S S S 是满足条件的四项，则222214442017x y z +++=，∴222504x y z ++=． ……………………………12分由504为偶数知，,,x y z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数． 1）若,,x y z 中一个偶数两个奇数，不妨设111221,21,x x y y z z ==+=+，则222111112()251x y y z z ++++=，这与251为奇数矛盾． ………………………13分 2）若,,x y z 均为偶数，不妨设1112,2,2x x y y z z ===，则222111126x y z ++=，继续奇偶分析知111,,x y z 中两奇数一个偶数，不妨设122x x =，1221y y =+，1221z z =+，则2222222231x y y z z ++++=． …14分 因为2222(1),(1)y y z z ++均为偶数，所以2x 为奇数，不妨设220y z 剟，当21x =时，22222230y y z z +++=，22214y y +„，检验得20y =，25z =，21x =， 当23x =时，22222222y y z z +++=，22210y y +„，检验得21y =，24z =，23x =， 当25x =时，2222226y y z z +++=，2222y y +„，检验得20y =，22z =，25x =， 即14844,,,S S S S 或者1122436,,,S S S S 或者142040,,,S S S S 满足条件，综上所述，{}14844,,,S S S S ，{}1122436,,,S S S S ，{}142040,,,S S S S 为全部满足条件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分（第Ⅱ卷 理科附加卷）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分.A ．（选修4－1 几何证明选讲）.解：连结OD ，设圆的半径为R ，BE x =，则OD R =，22DE BE x ==． …………2分在Rt △ODE 中，∵DC OB ⊥，∴2OD OC OE =g ，即2()R OC R x =+g， ① 又∵直线DE 切圆O 于点D ，则2DE BE OE =g ，即24()x x R x =+g ，② ………6分 ∴23R x =，代入①，22()3R R OC R =+g ，35ROC =， ……………………………8分 ∴BC OB OC =-35R R =-25R=， ∴23OC BC =． ……………………………………………………………………10分 B ．（选修4—2：矩阵与变换）解：由题知，111111113131131a a a b b b ---=-⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==-⋅=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，，……………………4分 ∴2,2a b ==，1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.…………………………………………………………6分 12det()1223432M ==⨯-⨯=-， …………………………………………………8分∴111223144M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………………10分 C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：2222((3)4cos 4sin 4x y αα+-=+=，∴曲线C 的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=． ……………………………………4分1sin()sin cos 32a a πρθρθθ+=⇒=，∴曲线D20y a +-=， ……………………………………6分曲线C 圆心到直线D的距离为2d =， ………………………8分∴32-=a ，∴1=a 或5a =．………………………………10分（少一解，扣一分） D ．（选修4—5：不等式选讲） 解法一：基本不等式∵22b a b a +…，22c b c b +…，22a c a c +…，∴222b c a a b c a b c +++++222a b c ++…， ………………………………………6分∴222b c a a b c a b c++++…， ………………………………………………………10分解法二：柯西不等式2222()()()b c a a b c b c a a b c++++++…，∴222b c aa b c a b c ++++…， …………………………………………………………10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 22．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A ，则111221352()5C C C P A C ==．… …………………………………………………………2分 答：在一局游戏中得3分的概率为25．………………………………………………3分 （2）X 的所有可能取值为1,2,3,4．在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C C C +=，…………………………………5分 2122351(1)5C C P X C ===； 436(2)51025P X ==⨯=； 43228(3)(1)5105125P X ==⨯-⨯=； 43342(4)(1)5105125P X ==⨯-⨯=．所以………………………………………………………………………………………………8分 ∴162842337()1234525125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………………10分23．解：(1)01111()(1)11f x C x C x x x =--=-+=；………………………………………1分0212222222()(1)(2)f x C x C x C x =--+- 2222(21)(44)2x x x x x =--++-+=； ………………………………………2分0313233333333()(1)(2)(3)f x C x C x C x C x =--+---33333(1)3(2)(3)6x x x x =--+---=． ………………………………………3分（2）猜测：()!n f x n =． …………………………………………………………………4分而!!!()!(1)!()!k n n n kC k k n k k n k ==---，11(1)!!(1)!()!(1)!()!k n n n nC n k n k k n k ---==----， 所以11k k n n kC nC --=． …………………………………………………………………5分用数学归纳法证明结论成立．①当1n =时，1()1f x =，所以结论成立．②假设当n k =时，结论成立，即01()(1)(1)()!k k k k k k k kk f x C x C x C x k k =--++--=L ． 当1n k =+时，01111111111()(1)(1)(1)k k k k k k k k k f x C x C x C x k +++++++++=--++---L 0111111111(1)(1)(1)()()(1)(1)k k k k k k k k k k k k C x C x x C x k x k C x k ++++++++=---++---+---L011111211111111[(1)(1)()][(1)2(2)(1)()](1)(1)kk kk kk k k k k k k k k k k k k k k x Cx Cx Cx k C x C x kC x k C x k +++++++++++=--++--+---+--+---L L010*******[()(1)(1)()()](1)[(1)(2)(1)()](1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x C x C C x C C x k k x C x C x k C x k x k -+-+++=-+-++-+-++---+--+-----L L010*******[(1)(1)()][(1)(1)()](1)[(1)(2)(1)()](1)(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk x C x C x C x k x C x C x k k x C x C x k x C x k k x k --+-++=--++----++--++---+--+----+---L L L010-11111[(1)(1)()][(1)(1)()(1)(1)](1)[(1)(2)(1)()(1)(1)]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x C x C x C x k x C x C x k C x k k x C x C x k x k ---=--++----++--+---++---+--+---L L L （*）由归纳假设知（*）式等于!!(1)!(1)!x k x k k k k ⋅-⋅++⋅=+． 所以当1n k =+时，结论也成立．综合①②，()!n f x n =成立． ………………………………………………………10分。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x|－1≤x ≤2}，B ＝{x|0≤x ≤4}，则A ∩B ＝____________．2. 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域是____________．3. 已知sin α＝14，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝____________．4. 定义在R 上的奇函数f(x)，当x ＞0时，f(x)＝2x －x 2，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝____________．5. 函数y ＝3sinx －cosx －2(x ＞0)的值域是____________．6. 等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 4＝8a 1，a 4＝4＋a 2，则S 10＝__________．7. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ＞0，－x －3，x ＜0，若f(a)＞f(1)，则实数a 的取值范围是______________．8. 等比数列{a n }的公比大于1，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝____________． 9. 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后，得到函数f(x)的图象，若函数f(x)是偶函数，则φ的值等于________．10. 已知函数f(x)＝ax ＋bx (a ，b ∈R ，b ＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线与直线x ＋2y－1＝0垂直，且函数f(x)在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，则b 的最大值等于__________．11. 已知f(m)＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m ∈[0，1]时，f(m)≤1恒成立，则a ＋b 的最大值是__________．12. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tanA ＝2tanB ，a 2－b 2＝13c ，则c ＝____________．13. 已知x ＋y ＝1，y ＞0，x ＞0，则12x ＋xy ＋1的最小值为____________．14. 设f′(x)和g′(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)·g′(x)≤0在区间I 上恒成立，则称函数f(x)和g(x)在区间I 上单调性相反．若函数f(x)＝13x 3－2ax 与函数g(x)＝x 2＋2bx 在开区间(a ，b)(a ＞0)上单调性相反，则b －a 的最大值等于____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝2cos ωx2⎝⎛⎭⎫3cos ωx 2－sin ωx 2(ω＞0)的最小正周期为2π.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 设θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f(θ)＝3＋65，求cos θ的值．16.(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1) 求a 1，a 2的值；(2) 求证：数列{a n ＋2n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式．17. (本小题满分14分) 已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋1.(1) 若函数g(x)＝log a [f(x)＋a](a ＞0，a ≠1)的定义域是R ，求实数a 的取值范围； (2) 当x ＞0时，恒有不等式f （x ）x＞lnx 成立，求实数a 的取值范围．18. (本小题满分16分)如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2a元，游轮每千米耗费12a元．(其中a是正常数)设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．(1) 写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2) 问：中转点D距离A处多远时，S最小？19. (本小题满分16分)设函数f(x)＝x|x－1|＋m，g(x)＝lnx.(1) 当m＞1时，求函数y＝f(x)在[0，m]上的最大值；(2) 记函数p(x)＝f(x)－g(x)，若函数p(x)有零点，求实数m的取值范围．20. (本小题满分16分)已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，a1＝1，a2＝2.(1) 若S5＝16，a4＝a5，求a10；(2) 已知S15＝15a8，且对任意n∈N*，有a n＜a n＋1恒成立，求证：数列{a n}是等差数列；(3) 若d1＝3d2(d1≠0)，且存在正整数m，n(m≠n)，使得a m＝a n.求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．(一)1. {x|0≤x ≤2} 解析：本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：由x 2－x －2＞0，则x ＞2或x<1.本题主要考查对数式中真数大于0，以及一元二次不等式的解法．本题属于容易题．3. －1515 解析：由sin α＝14，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得cos α＝－154，则tan α＝sin αcos α＝－1515.本题主要考查同角三角函数关系．本题属于容易题． 4. －2 解析：由函数f(x)在R 上是奇函数，则f(0) ＝0，又x ＞0时，f(x)＝2x －x 2，则f(3)＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－1，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝－2.本题主要考查奇函数的性质．本题属于容易题．5. [－4，0] 解析：由y ＝3sinx －cosx －2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－2，则－4≤y ≤0.本题主要考查三角函数的值域，以及和差角公式的逆用．本题属于容易题．6. 120 解析：由S 4＝8a 1，a 4＝4＋a 2得d ＝2，a 1＝3，则S 10＝10a 1＋45d ＝120.本题主要考查等差数列通项公式以及求和公式．本题属于容易题．7. a ＜－1或a ＞1 解析：由f(1)＝－2，则f(a)＞－2.当a>0时，有2a －4>－2，则a>1；当a ＜0时，－x －3＞－2，则a ＜－1.所以实数a 的取值范围是a ＜－1或a ＞1. 本题主要考查分段函数，以及简单不等式的解法．本题属于容易题．8. 4 解析：由a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6(q>1)，得q ＝2，a 1＝1，则a 3＝4. 本题主要考查等比数列通项公式．本题属于容易题．9. π3 解析：由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后，得到函数f(x)＝sin(2x ＋π6－2φ)的图象，函数f(x)是偶函数，π6－2φ＝π2＋k π，而φ为锐角，则k ＝－1时φ＝π3.本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的奇偶性．本题属于容易题．10. 23 解析：函数f(x)＝ax ＋bx(a ，b ∈R ，b ＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线斜率为2, f ′(1)＝2，得a －b ＝2，由函数f(x)在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，f ′(x)≥0在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，得a 4≥b ，又a ＝2＋b ，则b ≤23.本题主要考查导数的几何意义，导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于中等题．11. 73 解析：将已知条件变形f(m)＝m(3a －2)＋b －a ，当3a －2＝0时，即a ＝23，则有b －a ≤1，即b ≤a ＋1，所以a ＋b ≤2a ＋1＝2×23＋1＝73；当3a －2＞0，即a ＞23时，函数f(m)在[0，1]上单调递增，f(m)max ＝f(1)＝3a －2＋b －a ＝2a ＋b －2≤1，则b ≤3－2a ，所以a ＋b ≤a＋3－2a ＝3－a ＜73；当3a －2＜0，即a ＜23时，函数f(m)在[0，1]上单调递减，f(m)max ＝f(0)＝b －a ≤1，则b ≤a ＋1，所以a ＋b ≤2a ＋1＜73.综上所述，a ＋b 的最大值为73.本题主要考查在多元变量中如何变换主元以及借助单调性求最值来解决不等式的恒成立问题．本题属于中等题．12. 1 解析：由tanA ＝2tanB sinA cosA ＝2sinBcosB，结合正、余弦定理转化为边的关系，有2abc b 2＋c 2－a 2＝2×2abc a 2＋c 2－b2，化简有a 2－b 2＝13c 2，结合已知条件有c ＝1.本题主要考查利用正、余弦定理解三角形以及三角函数中遇切化弦．本题属于中等题．13. 54 解析：将x ＋y ＝1代入12x ＋x y ＋1中，得x ＋y 2x ＋x x ＋2y ＝12＋y 2x ＋11＋2y x，设yx＝t ＞0，则原式＝1＋t 2＋11＋2t ＝2t 2＋3t ＋32（1＋2t ）＝14·（1＋2t ）2＋2t ＋1＋41＋2t ＝14[(1＋2t)＋41＋2t＋1]≥14×2（1＋2t ）·41＋2t ＋14＝54，当且仅当t ＝12时，即x ＝23，y ＝13时，取“＝”．本题主要考查利用代数式变形，以及利用基本不等式求最值．本题属于难题．14. 12 解析：因为g(x)＝x 2＋2bx 在区间(a ，b)上为单调增函数，所以f(x)＝13x 3－2ax在区间(a ，b)上单调减，故x ∈(a ，b)，f ′(x)＝x 2－2a ≤0，即a ≥b22，而b ＞a ，所以b ∈(0，2)，b －a ≤b －b 22＝－12(b －1)2＋12，当b ＝1时，b －a 的最大值为12.本题主要考查二次函数的单调性、最值问题和导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于难题.15. 解：(1) f(x)＝2cos ωx 2⎝⎛⎭⎫3cos ωx 2－sin ωx 2＝23cos 2ωx 2－2cos ωx 2sin ωx2＝3(1＋cos ωx)－sin ωx(2分)＝3－2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3.(4分)∵ 函数f(x)的最小正周期为2π，∴ 2πω＝2π，ω＝1.(6分)∴ f(x)＝3－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.(7分)(2) 由f(θ)＝3＋65，得sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－35.∵ θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π6，∴ cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝45.(9分)∴ cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3sin π3(12分)＝45×12－⎝⎛⎭⎫－35×32＝4＋3310.(14分)16. (1) 解：由已知，得2a 1＝a 2－3 ①， 2(a 1＋a 2)＝a 3－7 ②.(2分) 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列， 所以a 1＋a 3＝2a 2＋10 ③.(3分) 解①②③，得a 1＝1，a 2＝5.(5分)(2) 证明：由已知，n ∈N *时，2(S n ＋1－S n )＝a n ＋2－a n ＋1－2n ＋2＋2n ＋1，即a n ＋2＝3a n ＋1＋2n＋1，即a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)，(7分)由(1)得，a 2＝3a 1＋2，∴ a n ＋1＝3a n ＋2n (n ∈N *)，(9分)从而有a n ＋1＋2n ＋1＝3a n ＋2n ＋2n ＋1＝3a n ＋3×2n ＝3(a n ＋2n )．(11分)又a 1＋2＞0，∴ a n ＋2n＞0，∴ a n ＋1＋2n ＋1a n ＋2n＝3，∴ 数列{a n ＋2n }是等比数列，且公比为3.(12分)∴ a n ＋2n ＝(a 1＋2)×3n －1＝3n ，即a n ＝3n －2n .(14分)[注：① 不说明a 2＝3a 1＋2，就得a n ＋1＝3a n ＋2n (n ∈N *)，扣1分；② 仅由a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )，就得到数列{a n ＋2n }是等比数列，扣1分．]17. 解：(1) 由题意得，对任意x ∈R ，恒有f(x)＋a ＞0，即恒有x 2－2ax ＋1＋a ＞0，(2分)于是Δ＝4a 2－4(1＋a)＜0，(3分)即a 2－a －1＜0，解得1－52＜a ＜1＋52.(3分)因为a ＞0，a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋52.(5分)(2) 当x ＞0时，不等式f （x ）x ＞lnx 等价于x －2a ＋1x ＞lnx ，即2a ＜x ＋1x－lnx ，(7分)设g(x)＝x ＋1x －lnx ，则g′(x)＝1－1x 2－1x ＝x 2－x －1x 2.(9分)令g′(x)＝0，得x ＝1＋52，当0＜x ＜1＋52时，g ′(x)＜0，g(x)单调减，当x ＞1＋52时，g ′(x)＞0，g(x)单调增，(11分)故当x ＝1＋52时，g(x)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＝5－ln 1＋52，(13分)所以2a ＜5－ln 1＋52，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52－12ln 1＋52.(14分) 18. 解：(1) 由题知在△ACD 中，∠CAD ＝π3，∠CDA ＝α，AC ＝10，∠ACD ＝2π3－α.由正弦定理知CD sin π3＝AD sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝10sin α，(2分)即CD ＝53sin α，AD ＝10sin ⎝⎛⎭⎫2π3－αsin α，(3分)所以S ＝4aAD ＋8aBD ＋12aCD ＝(12CD －4AD ＋80)a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤603－40sin ⎝⎛⎭⎫2π3－αsin αa ＋80a(5分) ＝203（3－cos α）·a sin α＋60a ⎝⎛⎭⎫π3＜α＜2π3.(6分)(2) S′＝203·1－3cos αsin 2α·a ，(8分)令S′＝0得cos α＝13，(10分)当cos α＞13时，S ′＜0；当cos α＜13时，S ′＞0，(12分)所以当cos α＝13时，S 取得最小值，(13分)此时sin α＝223，AD ＝53cos α＋5sin αsin α＝5＋564，(15分)所以中转点D 距A 处20＋564km 时，运输成本S 最小．(16分)19. 解：(1) 当x ∈[0，1]时，f(x)＝x(1－x)＋m ＝－x 2＋x ＋m ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋m ＋14， 当x ＝12时，f(x)max ＝m ＋14.(2分)当x ∈(1，m]时，f(x)＝x(x －1)＋m ＝x 2－x ＋m ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋m －14， 因为函数y ＝f(x)在(1，m]上单调递增，所以f(x)max ＝f(m)＝m 2.(4分) 由m 2≥m ＋14得m 2－m －14≥0，又m ＞1，所以m ≥1＋22.(6分)所以当m ≥1＋22时，f(x)max ＝m 2；当1＜m ＜1＋22时，f(x)max ＝m ＋14.(8分)(2) 函数p(x)有零点，即方程f(x)－g(x)＝x|x －1|－lnx ＋m ＝0有解， 即m ＝lnx －x|x －1|有解．令h(x)＝lnx －x|x －1|， 当x ∈(0，1]时，h(x)＝x 2－x ＋lnx.因为h′(x)＝2x ＋1x－1≥22－1＞0，(10分)所以函数h(x)在(0，1]上是增函数，所以h(x)≤h(1)＝0.(11分) 当x ∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x 2＋x ＋lnx.因为h′(x)＝－2x ＋1x ＋1＝－2x 2＋x ＋1x＝－（x －1）（2x ＋1）x＜0，(12分)所以函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数， 所以h(x)＜h(1)＝0.(14分)所以方程m ＝lnx －x|x －1|有解时m ≤0.即函数p(x)有零点时实数m 的取值范围是(－∞，0]．(16分)20. (1) 解：由题意，得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝a 1＋d 1＝1＋d 1，a 4＝a 2＋d 2＝2＋d 2，a 5＝a 3＋d 1＝1＋2d 1.(2分)因为S 5＝16，a 4＝a 5，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝7＋3d 1＋d 2＝16，2＋d 2＝1＋2d 1.所以d 1＝2，d 2＝3，(4分)所以a 10＝2＋4d 2＝14.(5分)(2) 证明：当n 为偶数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2＜1＋n 2d 1，n2(d 2－d 1)＋1－d 2＜0恒成立，所以d 2－d 1≤0且d 2＞1.(7分) 当n 为奇数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即1＋n －12d 1＜2＋⎝⎛⎭⎫n ＋12－1d 2，(1－n)(d 1－d 2)＋2＞0恒成立，所以d 1－d 2≤0，于是有d 1＝d 2.(9分)因为S 15＝15a 8，所以8＋8×72d 1＋14＋7×62d 2＝30＋45d 2，所以d 1＝d 2＝2，a n ＝n ，所以数列{a n }是等差数列．(11分)(3) 解：若d 1＝3d 2(d 1≠0)，且存在正整数m ，n(m ≠n)，使得a m ＝a n ，由题意得，在m ，n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m 为奇数，n 为偶数．因为a m ＝a n ，所以1＋m －12d 1＝2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2.(13分) 因为d 1＝3d 2，所以d 1＝63m －n －1.因为m 为奇数，n 为偶数，所以3m －n －1的最小正值为2，此时d 1＝3，d 2＝1.(15分)所以数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎨⎧32n －12，n 为奇数，12n ＋1，n 为偶数.(16分)。

2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数f（x）=ln的定义域为．2．若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则=．3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众4010女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为．5．根据如图所示的伪代码，输出S的值为．6．记公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S4﹣5S2=0，则S5的值为．7．将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=﹣，则线段PF的长为．9．若sin（α﹣）=，α∈（0，），则cosα的值为．10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为．12．若函数f（x）=x2﹣mcosx+m2+3m﹣8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为．13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，2），则•的最小值为．14．已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f （x）≤0恒成立，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；（2）若∠ABC=，求△ADC的面积．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C： +=1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；（3）记直线l与y轴的交点为P．若=，求直线l的斜率k．19．已知函数f （x）=e x﹣ax﹣1，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）若a=e，函数g （x）=（2﹣e）x．①求函数h（x）=f （x）﹣g （x）的单调区间；②若函数F（x）=的值域为R，求实数m的取值范围；（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1﹣x2|≥1，求证：e﹣1≤a≤e2﹣e．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}，{c n}满足（n+1）b n=a n﹣，+1（n+2）c n=﹣，其中n∈N*．（1）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求数列{c n}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b n≤λ≤c n，求证：数列{a n}是等差数列．数学附加题[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．（1）若BC是圆O的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM的长度；（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB=2AC，求证：BN=2MN．[选修4-2：矩阵与变换]22．设a，b∈R．若直线l：ax+y﹣7=0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x+y﹣91=0．求实数a，b的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），与曲线C：（k为参数）交于A，B两点，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段A1D上，=λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．26．现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设M k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n．（1）求p2的值；（2）证明：p n＞．2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数f（x）=ln的定义域为（﹣∞，1）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：＞0，解得：x＜1，故函数的定义域是：（﹣∞，1）．2．若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则=﹣1﹣i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求得．【解答】解：∵z（1﹣i）=2i，∴，∴．故答案为：﹣1﹣i．3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=3×3=9，再求出甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6，由此能求出甲、乙不在同一兴趣小组的概率．【解答】解：∵某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，∴基本事件总数n=3×3=9，甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6，∴甲、乙不在同一兴趣小组的概率p=．故答案为：．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众4010女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为30．【考点】分层抽样方法．【分析】利用分层抽样的定义，建立方程，即可得出结论．【解答】解：由题意=，解得n=30，故答案为：305．根据如图所示的伪代码，输出S的值为17．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=9时不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I≤8，S=2，I=3满足条件I≤8，S=5，I=5满足条件I≤8，S=10，I=7满足条件I≤8，S=17，I=9不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17．故答案为17．6．记公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S4﹣5S2=0，则S5的值为31．【考点】等比数列的前n项和．【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程求出q的值，则S5的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a1=1，则S4=4，5S2=10，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a1=1，S4=5S2，得=5a1（1+q），解得q=±2．∵数列{a n}的各项均为正数，∴q=2．则S5==31．故答案为：31．7．将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用两角和差的三角公式化简f（x）+g（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得函数y=f（x）+g（x）的最大值．【解答】解：将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）=sin（x﹣）的图象，则函数y=f（x）+g（x）=sinx+sin（x﹣）=sinx﹣cosx=sin（x﹣）的最大值为，故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=﹣，则线段PF的长为6．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线l，所以P点与A 点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出PF长．【解答】解：∵抛物线方程为y2=6x，∴焦点F（1.5，0），准线l方程为x=﹣1.5，∵直线AF的斜率为﹣，直线AF的方程为y=﹣（x﹣1.5），当x=﹣1.5时，y=3，由可得A点坐标为（﹣1.5，3）∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为（4.5，3），∴|PF|=|PA|=4.5﹣（﹣1.5）=6．故答案为6．9．若sin（α﹣）=，α∈（0，），则cosα的值为．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据α∈（0，），求解出α﹣∈（，），可得cos（）=，构造思想，cosα=cos（α），利用两角和与差的公式打开，可得答案．【解答】解：∵α∈（0，），∴α﹣∈（，），sin（α﹣）=，∴cos（）=，那么cosα=cos[（α）]=cos（）cos（）﹣sin（）sin==故答案为：．10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是①④（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m∥β；在②中，m∥n或m与n异面；在③中，m与β相交、平行或m⊂β；在④中，由线面垂直的判定定理得m ⊥β．【解答】解：由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故答案为：①④．11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为3．【考点】点到直线的距离公式．【分析】直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．可得点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d为最大值．【解答】解：∵直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且k MN=﹣1，可得MN与直线x﹣y ﹣4=0垂直．∴点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d==3为最大值．故答案为：3．12．若函数f（x）=x2﹣mcosx+m2+3m﹣8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为{﹣4，2} ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意，唯一零点为0，则02﹣mcos0+m2+3m﹣8=0，即可得出结论．【解答】解：由题意，唯一零点为0，则02﹣mcos0+m2+3m﹣8=0，∴m=﹣4或2，故答案为{﹣4，2}．13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，2），则•的最小值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设A（a，b），B（c，d），由已知向量可得C（a+1，b+2），D（c﹣2，d+2），求得=（c﹣a，d﹣b），=（c﹣a﹣3，d﹣b），代入•，展开后利用配方法求得•的最小值．【解答】解：设A（a，b），B（c，d），∵=（1，2），=（﹣2，2），∴C（a+1，b+2），D（c﹣2，d+2），则=（c﹣a，d﹣b），=（c﹣a﹣3，d﹣b），∴•=（c﹣a）（c﹣a﹣3）+（b﹣d）2=（c﹣a）2﹣3（c﹣a）+（b﹣d）2=．∴•的最小值为﹣．故答案为：﹣14．已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f （x）≤0恒成立，则的最小值为﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出，x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）≤0不可能恒成立，当a＞e时，由，得x=，由题意当x=时，f（x）取最大值0，推导出（a＞e），令F（x）=，x＞e，F′（x）=，令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）=ln（x﹣e）+1，由此利用导数性质能求出的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数，∴，x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，当a＞e时，由，得x=，∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=时，f（x）取最大值，f（）=﹣ln（a﹣e）﹣b﹣1≤0，∴ln（a﹣e）+b+1≥0，∴b≥﹣1﹣ln（a﹣e），∴（a＞e），令F（x）=，x＞e，F′（x）==，令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）=ln（x﹣e）+1，由H′（x）=0，得x=e+，当x∈（e+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，x∈（e，e+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，∴当x=e+时，H（x）取最小值H（e+）=﹣e﹣，∵x→e时，H（x）→0，x＞2e时，H（x）＞0，H（2e）=0，∴当x∈（e，2e）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，当x∈（2e，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函九，∴x=2e时，F（x）取最小值，F（2e）==﹣，∴的最小值为﹣．故答案为：﹣．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；（2）若∠ABC=，求△ADC的面积．【考点】正弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】（1）设∠B AD=α，∠DAC=β，由已知可求tanα=，tanβ=，利用两角和的正切函数公式可求tan∠BAC=1．结合范围∠BAC∈（0，π），即可得解∠BAC 的值．（2）设∠BAD=α．由正弦定理可求sinα=，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠ADC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD=α，∠DAC=β．因为AD⊥BC，AD=6，BD=3，DC=2，所以tanα=，tanβ=，…所以tan∠BAC=tan（α+β）===1．…又∠BAC∈（0，π），所以∠BAC=．…（2）设∠BAD=α．在△ABD中，∠ABC=，AD=6，BD=3．由正弦定理得=，解得sinα=．…因为AD＞BD，所以α为锐角，从而cosα==．…因此sin∠ADC=sin（α+）=sinαcos+cosαsin=（+）=．…△ADC的面积S=×AD×DC•sin∠ADC=×6×2×=（1+）．…16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD⊥AP，AP⊥AB，从而AP⊥平面ABCD，由此能证明CD ⊥AP．（2）由CD⊥AP，CD⊥PD，得CD⊥平面PAD．再推导出AB⊥AD，AP⊥AB，从而AB⊥平面PAD，进而CD∥AB，由此能证明CD∥平面PAB．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP．…又因为AP⊥AB，AB∩AD=A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD．…因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP．…（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．①…因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD．又因为AP⊥AB，AP∩AD=A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．②…由①②得CD∥AB，…因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．…17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）当a=90时，b=40，求出侧面积，利用配方法求纸盒侧面积的最大值；（2）表示出体积，利用基本不等式，导数知识，即可确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．【解答】解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a=90时，b=40，从而包装盒子的侧面积S=2×x（90﹣2x）+2×x（40﹣2x）=﹣8x2+260x，x∈（0，20）．…因为S=﹣8x2+260x=﹣8（x﹣16.25）2+2112.5，故当x=16.25时，侧面积最大，最大值为2112.5平方厘米．（2）包装盒子的体积V=（a﹣2x）（b﹣2x）x=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]，x∈（0，），b≤60．…V=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]≤x（ab﹣4x+4x2）=x=4x3﹣240x2+3600x．…当且仅当a=b=60时等号成立．设f（x）=4x3﹣240x2+3600x，x∈（0，30）．则f′（x）=12（x﹣10）（x﹣30）．于是当0＜x＜10时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上单调递增；当10＜x＜30时，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上单调递减．因此当x=10时，f（x）有最大值f（10）=16000，…此时a=b=60，x=10．答：当a=b=60，x=10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．…18．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C： +=1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；（3）记直线l与y轴的交点为P．若=，求直线l的斜率k．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意得e2=，．又a2=b2+c2，，解得b2；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为y=k（x﹣1）．联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，可设直线MN方程为y=kx，联立直线MN与椭圆方程，消去y得（2k2+1）x2=8，由MN∥l，得由（1﹣x1）•（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．得（x M﹣x N）2=4x2=．即可．（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），从而，由=得…①，由（2）知…②由①②得⇒50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2【解答】解：（1）因为椭圆椭圆C： +=1经过点（b，2e）所以．因为e2=，所以，又∵a2=b2+c2，，解得b2=4或b2=8（舍去）．所以椭圆C的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．因为T（1，0），则直线l的方程为y=k（x﹣1）．联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，所以x1+x2=，x1x2=．因为MN∥l，所以直线MN方程为y=kx，联立直线MN与椭圆方程消去y得（2k2+1）x2=8，解得x2=因为MN∥l，所以因为（1﹣x1）•（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．（x M﹣x N）2=4x2=．所以=．（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），从而，∵=，…①由（2）知…②由①②得⇒50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2=2或k2=﹣（舍）．又因为k＞0，所以k=．…19．已知函数f （x）=e x﹣ax﹣1，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）若a=e，函数g （x）=（2﹣e）x．①求函数h（x）=f （x）﹣g （x）的单调区间；②若函数F（x）=的值域为R，求实数m的取值范围；（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1﹣x2|≥1，求证：e﹣1≤a≤e2﹣e．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）①求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；②求出函数的导数，通过讨论m的范围得到函数的值域，从而确定m的具体范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，得到a＞0且f（x）在（﹣∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣2x﹣1，h′（x）=e x﹣2，由h′（x）＞0，得x＞ln2，由h′（x）＜0，解得：x＜ln2，故函数h（x）在（ln2，+∞）递增，在（﹣∞，ln2）递减；②f′（x）=e x﹣e，x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，1）递减，x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增，m≤1时，f（x）在（﹣∞，m]递减，值域是[e m﹣em﹣1，+∞），g（x）=（2﹣e）x在（m，+∞）递减，值域是（﹣∞，（2﹣e）m），∵F（x）的值域是R，故e m﹣em﹣1≤（2﹣e）m，即e m﹣2m﹣1≤0，（*），由①可知m＜0时，h（x）=e m﹣2m﹣1＞h（0）=0，故（*）不成立，∵h（m）在（0，ln2）递减，在（ln2，1）递增，且h（0）=0，h（1）=e﹣3＜0，∴0≤m≤1时，h（m）≤0恒成立，故0≤m≤1；m＞1时，f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，m]递增，故函数f（x）=e x﹣ex﹣1在（﹣∞，m]上的值域是[f（1），+∞），即[﹣1，+∞），g（x）=（2﹣e）x在（m，+∞）上递减，值域是（﹣∞，（2﹣e）m），∵F（x）的值域是R，∴﹣1≤（2﹣e）m，即1＜m≤，综上，m的范围是[0，]；（2）证明：f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）＞0，此时f（x）在R递增，由f（x1）=f（x2），可得x1=x2，与|x1﹣x2|≥1矛盾，∴a＞0且f（x）在（﹣∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，若x1，x2∈（﹣∞，lna]，则由f（x1）=f（x2）可得x1=x2，与|x1﹣x2|≥1矛盾，同样不能有x1，x2∈[lna，+∞），不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，∵f（x）在（x1，lna）递减，在（lna，x2）递增，且f（x1）=f（x2），∴x1≤x≤x2时，f（x）≤f（x1）=f（x2），由0≤x1＜x2≤2且|x1﹣x2|≥1，得1∈[x1，x2]，故f（1）≤f（x1）=f（x2），又f（x）在（﹣∞，lna]递减，且0≤x1＜lna，故f（x1）≤f（0），故f（1）≤f（0），同理f（1）≤f（2），即，解得：e﹣1≤a≤e2﹣e﹣1，∴e﹣1≤a≤e2﹣e．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}，{c n}满足（n+1）b n=a n﹣，+1（n+2）c n=﹣，其中n∈N*．（1）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求数列{c n}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b n≤λ≤c n，求证：数列{a n}是等差数列．【考点】等差关系的确定；数列递推式．【分析】（1）数列{a n}是公差为2的等差数列，可得a n=a1+2（n﹣1），=a1+n﹣1．代入（n+2）c n=﹣即可得出c n．（2）由（n+1）b n=a n+1﹣，可得：n（n+1）b n=na n+1﹣S n，（n+1）（n+2）b n+1=﹣S n+1，相减可得：a n+2﹣a n+1=（n+2）b n+1﹣nb n，代入化简可得c n=（b n+b n （n+1）a n+2）．b n≤λ≤c n，λ≤c n=（b n+b n﹣1）≤λ，故b n=λ，c n=λ．进而得出．﹣1【解答】（1）解：∵数列{a n}是公差为2的等差数列，∴a n=a1+2（n﹣1），=a1+n ﹣1．∴（n+2）c n=﹣（a1+n﹣1）=n+2，解得c n=1．（2）证明：由（n+1）b n=a n+1﹣，可得：n（n+1）b n=na n+1﹣S n，（n+1）（n+2）b n+1=（n+1）a n+2﹣S n+1，相减可得：a n﹣a n+1=（n+2）b n+1﹣nb n，+2可得：（n+2）c n=﹣=﹣[a n+1﹣（n+1）b n]=+（n+1）b n=+（n+1）b n=（b n+b n），﹣1因此c n=（b n+b n﹣1）．∵b n≤λ≤c n，∴λ≤c n=（b n+b n﹣1）≤λ，故b n=λ，c n=λ．﹣，（n+2）λ=（a n+1+a n+2）﹣，∴（n+1）λ=a n+1﹣a n+1）=λ，即a n+2﹣a n+1=2λ，（n≥2）．相减可得：（a n+2又2λ==a2﹣a1，则a n+1﹣a n=2λ（n≥1），∴数列{a n}是等差数列．数学附加题[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．（1）若BC是圆O的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM的长度；（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB=2AC，求证：BN=2MN．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由切割线定理可得BC2=BM•BA．由此可得方程，即可求线段AM的长度；（2）证明△BMN∽△BCA，结合AB=2AC，即可证明：BN=2MN．【解答】（1）解：由切割线定理可得BC2=BM•BA．设AM=t，则∵AB=8，BC=4，∴16=8（8﹣t），∴t=6，即线段AM的长度为6；（2）证明：由题意，∠A=∠MNB，∠B=∠B，∴△BMN∽△BCA，∴=，∵AB=2AC，∴BN=2MN．[选修4-2：矩阵与变换]22．设a，b∈R．若直线l：ax+y﹣7=0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x+y﹣91=0．求实数a，b的值．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】方法一：任取两点，根据矩阵坐标变换，求得A′，B′，代入直线的直线为l′即可求得a和b的值；方法二：设P（x，y），利用矩阵坐标变换，求得Q点坐标，代入直线为l′，由ax+y﹣7=0，则==，即可求得a和b的值．【解答】解：方法一：在直线l：ax+y﹣7=0取A（0，7），B（1，7﹣a），由=，则=，则A（0，7），B（1，7﹣a）在矩阵A对应的变换作用下A′（0，7b），B′（3，b （7﹣a）﹣1），由题意可知：A′，B′在直线9x+y﹣91=0上，，解得：，实数a，b的值2，13．方法二：设直线l上任意一点P（x，y），点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q （x′，y′），则=，∴，由Q（x′，y′），在直线l′：9x+y﹣91=0．即27x+（﹣x+by）﹣91=0，即26x+by﹣91=0，P在ax+y﹣7=0，则ax+y﹣7=0，∴==，解得：a=2，b=13．实数a，b的值2，13．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），与曲线C：（k为参数）交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】方法一：直线l的参数方程化为普通方程得4x﹣3y=4，将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．联立求出交点坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．方法二：将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．直线l的参数方程代入抛物线C的方程得4t2﹣15t﹣25=0，利用AB=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（方法一）直线l的参数方程化为普通方程得4x﹣3y=4，将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．…联立方程组解得，或所以A（4，4），B（，﹣1）．…所以AB═．…（方法二）将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．…直线l的参数方程代入抛物线C的方程得（t）2=4（1+），即4t2﹣15t﹣25=0，所以t1+t2=，t1t2=﹣．…所以AB=|t1﹣t2|==．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）【考点】不等式的证明．【分析】利用作差，再因式分解，即可得到结论．【解答】证明：∵a≠b，∴a4+6a2b2+b4﹣4ab（a2+b2）=（a﹣b）4＞0，∴原不等式成立．[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段A1D上，=λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的性质．【分析】（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段A1D上，=λ．求出平面AEF的法向量，利用CM∥平面AEF，即可求实数λ的值．【解答】解：因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A⊥平面ABCD．又AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．在菱形ABCD中∠ABC=，则△ABC是等边三角形．因为E是BC中点，所以BC⊥AE．因为BC∥AD，所以AE⊥AD．建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（，0，0），F（，，1）．（1）=（0，2，0），=（﹣，，1），所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为=．…（2）设M（x，y，z），由于点M在线段A1D上，且=λ，则（x，y，z﹣2）=λ（0，2，﹣2）．则M（0，2λ，2﹣2λ），=（﹣，2λ﹣1，2﹣2λ）．…设平面AEF的法向量为=（x0，y0，z0）．因为=（，0，0），=（，，1），由，得x0=0，y0+z0=0．取y0=2，则z0=﹣1，则平面AEF的一个法向量为n=（0，2，﹣1）．…由于CM∥平面AEF，则=0，即2（2λ﹣1）﹣（2﹣2λ）=0，解得λ=．…26．现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设M k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n．（1）求p2的值；（2）证明：p n＞．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）由题意知p2==，（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为=，即可求出为p n，再根据二项式定理和放缩法即可证明．【解答】解：（1）由题意知p2==，即p2的值为．（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为=；去掉第n行已经排好的n个数，则余下的﹣n=个数中最大数在第n﹣1行的概率为=；…故p n=××…×==．由于2n=（1+1）n=C n0+C n1+C n2+…+C n n≥C n0+C n1+C n2＞C n1+C n2=C n+12，故＞，即p n＞．2017年4月1日。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，四边形ABDC 内接于圆，BD ＝CD ，过C 点的圆的切线与AB 的延长线交于E 点．(1) 求证：∠EAC ＝2∠DCE ；(2) 若BD ⊥AB ，BC ＝BE ，AE ＝2，求AB 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(9，15)，求矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，求曲线C 1与C 2的交点在直角坐标系中的直角坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)设函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a|(a ＞0)． (1) 证明：f(x)≥2；(2) 若f(3)＜5，求实数a 的取值范围．【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立． (1) 求该网民至少购买2种商品的概率；(2) 用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．23.如图，由若干个小正方形组成的k 层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k 层有k 个小正方形．除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x 1，x 2，…，x k ，其中x i ∈{0，1}(1≤i ≤k)，其他小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x 0.(1) 当k ＝4时，若要求x 0为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？(2) 当k ＝11时，若要求x 0为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？(三)21. A. (1) 证明：因为BD ＝CD ，所以∠BCD ＝∠CBD.因为CE 是圆的切线，所以∠ECD ＝∠CBD.(2分)所以∠ECD ＝∠BCD ，所以∠BCE ＝2∠ECD.因为∠EAC ＝∠BCE ，所以∠EAC ＝2∠ECD.(5分)(2) 解：因为BD ⊥AB ，所以AC ⊥CD ，AC ＝AB.(6分)因为BC ＝BE ，所以∠BEC ＝∠BCE ＝∠EAC ，所以AC ＝EC.(7分)由切割线定理得EC 2＝AE·BE ，即AB 2＝AE·(AE －AB)，即AB 2＋2AB －4＝0，解得AB ＝5－1.(10分)B. 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.(3分) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15.(6分) 联立以上两方程组解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4－3 6.(10分) C. 解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得曲线C 1的普通方程为y ＝33x(x ≥0)；(3分) 由ρ＝2，得ρ2＝4，得曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.(6分)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1. 故曲线C 1与C 2的交点坐标为(3，1)．(10分)D. (1) 证明：由a ＞0，有f(x)＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a| ≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2， 所以f(x)≥2.(4分)(2) 解：f(3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a|. 当a ＞3时，f(3)＝a ＋1a ，由f(3)＜5得3＜a ＜5＋212.(6分) 当0＜a ≤3时，f(3)＝6－a ＋1a， 由f(3)＜5得1＋52＜a ≤3.(8分)综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.(10分) 22. 解：(1) 记“该网民购买i 种商品”为事件A i ，i ＝2，3，则P(A 3)＝34×23×12＝14， P(A 2)＝34×23×⎝⎛⎭⎫1－12＋34×⎝⎛⎭⎫1－23×12＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×12＝1124，(3分) 所以该网民至少购买2种商品的概率为P(A 3)＋P(A 2)＝14＋1124＝1724. 答：该网民至少购买2种商品的概率为1724.(5分) (2) 随机变量η的可能取值为0，1，2，3，P(η＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＝124， 又P(η＝2)＝P(A 2)＝1124，P(η＝3)＝P(A 3)＝14， 所以P(η＝1)＝1－124－1124－14＝14. 所以随机变量η的概率分布为(8分)故数学期望E(η)＝0×124＋1×14＋2×1124＋3×14＝2312.(10分) 23. 解：(1) 当k ＝4时，第4层标注数字依次为x 1，x 2，x 3，x 4，第3层标注数字依次为x 1＋x 2，x 2＋x 3，x 3＋x 4，第2层标注数字依次为x 1＋2x 2＋x 3，x 2＋2x 3＋x 4，所以x 0＝x 1＋3x 2＋3x 3＋x 4.(2分)因为x 0为2的倍数，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4是2的倍数，则x 1，x 2，x 3，x 4四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1，所以共有1＋C 24＋1＝8种标注方法．(4分)(2) 当k ＝11时，第11层标注数字依次为x 1，x 2，…，x 11，第10层标注数字依次为x 1＋x 2，x 2＋x 3，…，x 10＋x 11，第9层标注数字依次为x 1＋2x 2＋x 3，x 2＋2x 3＋x 4，…，x 9＋2x 10＋x 11，以此类推，可得x 0＝x 1＋C 110x 2＋C 210x 3＋…＋C 910x 10＋x 11.(6分)因为C 210＝C 810＝45，C 310＝C 710＝120，C 410＝C 610＝210，C 510＝252均为3的倍数，所以只要x 1＋C 110x 2＋C 910x 10＋x 11是3的倍数，即只要x 1＋x 2＋x 10＋x 11是3的倍数．(8分)所以x 1，x 2，x 10，x 11四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个x 3，x 4，…，x 9可以取0或1，这样共有(1＋C 34)×27＝640种标注方法．(10分)。

江苏省南京市、盐城市2017年高考二模数学试卷答 案1．1)∞(-，2．1i --3．234．30 5．176．3178．6910．①④ 11．12．{42}﹣， 13．94- 14．1e- 15．（本小题满分14分）解：（1）设BAD α∠=，DAC β∠=．因为AD BC ⊥，6AD =，3BD =，2DC =， 所以1tan 2α=，1tan 3α=， 所以11tan tan 23tan tan 1111tan tan 123BAC αβαβαβ++∠=+===--⨯（） 又0πBAC ∠∈(，)， 所以π4BAC ∠=． （2）设BAD α∠=．在ABD △中，4ABC π∠=，6AD =，3BD =． 由正弦定理得πsin sin 4AD BD α=，解得sin α=．因为AD BD ＞，所以α为锐角，从而cos 4α==．因此πππsin sin sin cos cos sin 444ADC ααα∠=+=+==（）．ADC △的面积113•sin 621222S AD DC ADC =⨯⨯∠=⨯⨯=+(． 16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD AP ⊥．又因为AP AB ⊥，AB AD A =，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ．因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD AP ⊥．（2）因为CD AP ⊥，CD PD ⊥，且PDAP P =，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD ．①因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AB AD ⊥．又因为AP AB ⊥，APAD A =，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ．②由①②得//CD AB ，因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//CD 平面PAB ．17．解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当90a =时，40b =，从而包装盒子的侧面积2290224028260S x x x x x x =⨯+⨯=+(-)(-)-，020x ∈(,)． 因为228260816.252112.5S x x x =+=+--（-），故当16.25x =时，侧面积最大，最大值为2112.5平方厘米．（2）包装盒子的体积22224[]V a x b x x x ab a b x x ==++(-)(-)-()，0,)2b x ∈(，60b ≤．22322444240[30]60V x ab a b x x x ab x x x x =++≤+=+-()(-)﹣．当且仅当60a b ==时等号成立．设3242403600f x x x x =+()﹣，030x ∈(，)．则121030f x x x '=()(﹣)(﹣)． 于是当010x ＜＜时，0f x '()＞，所以f x ()在010(,)上单调递增；当1030x ＜＜时，0f x '()＜，所以f x ()在1030(,)上单调递减． 因此当10x =时，f x ()有最大值1016000f =()，此时60a b ==，10x =．答：当60a b ==，10x =时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．18．解：（1）因为椭圆椭圆222:18x y C b +=经过点2b e (,)所以222418b e b+=． 因为22228c c e a ==，所以222182b c b +=， 又∵222a b c =+，2228182b b b-+=，解得24b =或28b =（舍去）． 所以椭圆C 的方程为22184x y +=． （2）设11,Ax y ()，22B x y (,)． 因为10T (，)，则直线l 的方程为1y k x =(﹣)． 联立直线l 与椭圆方程22(1)184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222214280k x k x k ++=()--， 所以2122421k x x k +=+，21222821k x x k -=+． 因为//MN l ，所以直线MN 方程为y kx =，联立直线MN 与椭圆方程22184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得22218k x +=()， 解得22821x k =+因为//MN l ，所以1222(1)(1)()M N x x AT BT MN x x --=- 因为1212122[7•121]x x x x x x k =++=+(1-)(-1)--()．22232421M N x x x k ==+(﹣)． 所以1222(1)(1)7()32M N x x AT BT MN x x --==-． （3）在1y k x=(﹣)中，令0x =，则y k =-，所以0P k (,-)，从而11(,)AP x k y =---，22(1,)TB x y =-， ∵25AP TB =，122(1)5x x -=-，即122255x x +=…① 由（2）知212221224212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…② 由①②得212423(21)k x k -+=+，2422216250833403(21)k x k k k -=⇒--=+，解得22k =或21750k =-． 又因为0k ＞，所以k =19．解：（1）a e =时，1x f x e ex =()--，①21x h x f x g x e x ==()()-()--，2x h x e '=()-，由0h x '()＞，得2x ln ＞，由0h x '()＜，解得：ln 2x ＜， 故函数h x ()在ln 2+∞(，)递增，在ln 2∞(-,)递减； ②x f x e e '=()﹣， 1x ＜时，0f x '()＜，f x ()在1∞(-,)递减， 1x ＞时，0f x '()＞，f x ()在1+∞(,)递增，1m ≤时，f x ()在]m ∞(-,递减，值域是[1m e em +∞--,)，2g x e x =()(-)在m +∞(,)递减，值域是2e m ∞(-,(-))，∵F x ()的值域是R ，故12m e em e m ≤--(-)，即210m e m ≤--，（*），由①可知0m ＜时，2100m h x e m h ==()--＞()，故（*）不成立，∵h m ()在0ln 2(,)递减，在ln 21(，)递增，且00h =()，130h e =()-＜， ∴01m ≤≤时，0h m ≤()恒成立，故01m ≤≤；1m ＞时，f x ()在1∞(-,)递减，在]1m (,递增， 故函数1x f x e ex =()--在]m ∞(-,上的值域是1[f +∞(),)，即[1+∞-,)，2g x e x =()(-)在,m +∞()上递减，值域是2e m ∞(-,(-))，∵F x ()的值域是R ，∴12e m ≤-(-)，即112m e ≤-＜， 综上，m 的范围是[0]12e -，； （2）证明：xf x e a '=()-， 若0a ≤，则0f x '()＞，此时f x ()在R 递增， 由12f x f x =()()，可得12x x =，与121x x -≥矛盾，∴0a ＞且f x ()在n ]l a ∞(-,递减，在[ln a +∞,)递增，若1x ，2ln ]x a ∈∞(-,，则由12f x f x =()()可得12x x =，与121x x -≥矛盾，同样不能有1x ，2ln [x a ∈+∞,)，不妨设1202x x ≤≤＜，则有120ln 2x a x ≤≤＜＜，∵f x ()在1ln x a (,)递减，在2ln a x (,)递增，且12f x f x =()()，∴12x x x ≤≤时，12f x f x f x ≤=()()()，由1202x x ≤≤＜且121x x -≥，得12[]1x x ∈,，故121f f x f x ≤=()()()，又f x ()在n ]l a ∞(-,递减，且10ln x a ≤＜，故10f x f ≤()()，故10f f ≤()()，同理12f f ≤()()，即210122e a e a e a --≤⎧⎨--≤--⎩，解得：211e a e e ≤≤---， ∴21e a e e ≤≤--．20．（1）解：∵数列{}n a 是公差为2的等差数列，∴121n a a n =+(-)，11n S a n n=+-． ∴11122(1)2122n n c a n n a n a n ++++=++=+()-(-)，解得1n c =． （2）证明：由11n n n S n b a n ++=()-， 可得：11n n n n n b na S ++=()-，121121n n n n n b n a S +++++=+()()()-，相减可得：2112n n n n a a n b nb +++=+-()-，可得：121212[(n 1)b ]22n n n n n n n n a a S a a n c a n ++++++++=-=--+() 2111(n 2)b 211222n n n n n n n n a a nb n n b n b b b +++-+-+=++=++=+﹣()()()， 因此112n n n c b b =+﹣()．∵n n b c λ≤≤， ∴112n n n c b b λλ≤=+≤﹣()，故n b λ=，n c λ=． ∴11n n S n a n λ++=()-，12122n n n S n a a nλ+++=+()()-， 相减可得：2112n n a a λ++=(-)，即212n n a a λ++=-，2n ≥()． 又122121S a a a λ=-=-，则121n n a a n λ+=≥-()，∴数列{}n a 是等差数列． 21．（1）解：由切割线定理可得2•BC BM BA =． 设AM t =，则 ∵8AB =，4BC =，∴1688t =(-)， ∴6t =，即线段AM 的长度为6；（2）证明：由题意，A MNB ∠=∠，B B ∠=∠，∴BMN BCA ∆∆∽， ∴BN MN BA CA=， ∵2AB AC =， ∴2BN MN =．22．解：方法一：在直线70l ax y +=:-取0,7A()，17B a (,-)， 由000 3177b b ⎤⎡⎡⎢-⎣⎤⎡⎤=⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦，则013 37(7)11b a b a ⎤⎡⎤⎡⎤=⎥⎢⎥⎢⎥---⎦⎣⎦⎣⎡⎢-⎦⎣， 则07A(,)，17B a (,-)在矩阵A 对应的变换作用下07A b '(,)，371B b a '(,(-)-)， 由题意可知：A '，B '在直线9910x y +=-上，791027(7)1910b b a -=⎧⎨+---=⎩，解得：213a b =⎧⎨=⎩， 实数a ，b 的值2，13．方法二：设直线l 上任意一点P x y (,)，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到Q x y ''(,)，则0 31x x b y y '⎤⎡⎡⎢-⎣⎤⎡⎤=⎥⎢⎥⎢⎥'⎦⎣⎦⎣⎦， ∴3x y x x by '='=-+⎧⎨⎩，由Q x y ''(,)，在直线9910l x y '+=：-．即27910x x by ++=(-)-， 即26910x by +=-，P 在70ax y +=-，则70ax y +=-， ∴269117b a -==-， 解得：2a =，13b =． 实数a ，b 的值2，13．23．解：（方法一）直线l 的参数方程化为普通方程得434x y =-，将曲线C 的参数方程化为普通方程得24y x =．联立方程组24344x y y x -=⎧⎨=⎩解得44x y =⎧⎨=⎩，或141x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 所以44A (,)，114B (,-)． 所以254AB =． （方法二）将曲线C 的参数方程化为普通方程得24y x =．直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得2434155t =+()(t)，即2415250t t =--， 所以12154t t +=，12254t t =-．所以12254AB t t =-==． 24．证明：∵a b ≠，∴4224224640a a b b ab a b a b +++=-()(-)＞，∴原不等式成立．25．解：因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1A A ⊥平面ABCD ．又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以1A A AE ⊥，1A A AD ⊥．在菱形ABCD 中π3ABC ∠=，则ABC △是等边三角形． 因为E 是BC 中点，所以BC AE ⊥． 因为//BC AD ，所以AE AD ⊥．建立空间直角坐标系．则000A (,,)，0C )，020D (,,)， 1002A (,,)，00E ,)，1,1)2F ． （1）020AD =(,,)，112EF =(-,,)， 所以异面直线EF ，AD 4=． （2）设M x y z (,,)，由于点M 在线段1A D 上，且11A M A D λ=， 则202,2x y z λ=(,,-)(,-)． 则0222M λλ(,,-)，(1,22)CM λλ=--． 设平面AEF 的法向量为000n x y z =(,,)． 因为 300AE=(,,)，31(,1)22AF =， 由00000102x y z =++=，得00x =，001 02y z +=． 取02y =，则01z =﹣， 则平面AEF 的一个法向量为02,1n =(,-)． 由于//CM 平面AEF ，则0n CM =，即221220λλ=(-)-(-)，解得23λ=．26．解：（1）由题意知22233223A p A ==，即2p 的值为23．（2）先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为2(n 1)12n n n =++；去掉第n 行已经排好的n 个数， 则余下的(1)(1)22n n n n n +--=个数中最大数在第1n -行的概率为2(n 1)2n n n =-； 故12222213(1)3(n 1)!n n n p n n n n -=⨯⨯⨯==++⨯⨯⨯+． 由于0120121221211n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C +=+=++++≥+++=()＞， 故222(1)!(1)!nn C n n +>++，即21(1)!n n C p n ++＞． 江苏省南京市、盐城市2017年高考二模数学试卷解 析1．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质得到关于x 的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：101x>-， 解得：1x ＜， 故函数的定义域是：1∞(-,)． 2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z ，进一步求得z ．【解答】解：∵12z i i =(-)，∴22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-+====-+--+， ∴1z i =--．故答案为：1i --．3．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数339n =⨯=，再求出甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数326m =⨯=，由此能求出甲、乙不在同一兴趣小组的概率．【解答】解：∵某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，∴基本事件总数339n =⨯=，甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数326m =⨯=，∴甲、乙不在同一兴趣小组的概率6293m p n ===． 故答案为：23． 4．【考点】分层抽样方法．【分析】利用分层抽样的定义，建立方程，即可得出结论． 【解答】解：由题意84040104060n =+++， 解得30n =，故答案为：305．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I ，S 的值，当9I =时不满足条件8I ≤，退出循环，输出S 的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得 1S =，1I =满足条件8I ≤，2S =，3I =满足条件8I ≤，5S =，5I =满足条件8I ≤，10S =，7I =满足条件8I ≤，17S =，9I =不满足条件8I ≤，退出循环，输出S 的值为17．故答案为17．6．【考点】等比数列的前n 项和．【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程求出q 的值，则5S 的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由11a =，则44S =，2510S =，与题意不符．设等比数列的公比为(1)q q ≠，由11a =，425S S =，得41151(1)1a q qa q =--+()， 解得2q =±．∵数列{}n a 的各项均为正数，∴2q =． 则5513112q S -==-． 故答案为：31．7．【考点】函数sin(y A x ωϕ=+)的图象变换．【分析】利用函数sin(y A x ωϕ=+)的图象变换规律求得g x ()的解析式，再利用两角和差的三角公式化简f xg x +()()的解析式，再利用正弦函数的值域求得函数y f x g x =+()()的最大值．【解答】解：将函数sin f x x =()的图象向右平移π3个单位后得到函数πsin()3y g x x ==-()的图象，则函数π3πsin sin sin )326y f x g x x x x x x =+=+==()()(-)(-，．8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF 的斜率得到AF 方程，与准线方程联立，解出A 点坐标，因为PA 垂直准线l ，所以P 点与A 点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P 点横坐标，利用抛物线的定义就可求出PF 长．【解答】解：∵抛物线方程为26y x =，∴焦点 1.5,0F ()，准线l 方程为 1.5x =-，∵直线AF 的斜率为直线AF 的方程为 1.5y x =-)，当 1.5x =-时，y =由可得A 点坐标为 1.5(-,∵PA l ⊥，A 为垂足，∴P 点纵坐标为，代入抛物线方程，得P 点坐标为 4.5（,， ∴ 4.5 1.56PF PA ===-(-)．故答案为6．9．【考点】三角函数的化简求值． 【分析】根据π02α∈(,)，求解出πππ663α-∈(-,)，可得π4cos()65α-=，构造思想，πcos cos 6αα=-( π6+)，利用两角和与差的公式打开，可得答案． 【解答】解：∵π02α∈(,)， ∴πππ,)663α∈-(-， π3sin 65α=(-)， ∴π4cos()65α-=，那么ππππππ4313cos cos cos()cos sin sin [666666525210]αααα-=-=-=⨯-⨯=()+()-(-)10．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由面面平行的性质定理得//m β；在②中，//m n 或m 与n 异面；在③中，m 与β相交、平行或m β⊂；在④中，由线面垂直的判定定理得m β⊥．【解答】解：由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若//αβ，m α⊂，则由面面平行的性质定理得//m β，故①正确；在②中，若//m α，n α⊂，则//m n 或m 与n 异面，故②错误；在③中，若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m 与β相交、平行或m β⊂，故③错误；在④中，若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则由线面垂直的判定定理得m β⊥，故④正确．故答案为：①④．11．【考点】点到直线的距离公式．【分析】直线120l kx y -+=:与直线22:0l x ky +=-的斜率乘积1()1k k=⨯-=-，（0k =时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：02M (,)，20N (,)．可得点M 到直线40x y =--的距离d 为最大值． 【解答】解：∵直线120l kx y -+=:与直线22:0l x ky +=-的斜率乘积1()1k k=⨯-=-，（0k =时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：02M (,)，20N (,)． ∴两条直线的交点在以MN 为直径的圆上．并且1MN k =﹣，可得MN 与直线40x y =--垂直．∴点M 到直线40x y =--的距离d ==为最大值．故答案为：．12．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意，唯一零点为0，则220cos0380m m m ++=--，即可得出结论．【解答】解：由题意，唯一零点为0，则220cos0380m m m ++=--，∴4m =-或2，故答案为{42}-,． 13．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设Aa b (,)，B c d (,)，由已知向量可得12C a b ++(,)，22D c d -+(,)，求得c A a b B d =(-,-)，3CD c a d b =(--,-)，代入AB CD ，展开后利用配方法求得AB CD 的最小值．【解答】解：设Aa b (,)，B c d (,)， ∵12AC =(,)，(2,2)BD =-，∴12C a b ++(,)，22D c d +(-,)，则c A a b B d =(-,-)，3c D a b C d =(--,-)，∴2•3CD c a c a b d AB =+(-)(--)(-)22223993()()244c a c a bd c a b d =+=---+-≥-(-)-(-)(-)． ∴AB CD 的最小值为94-． 故答案为：94- 14．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】求出1f x e a x'+-()=，0x ＞，当a e ≤时，0f x '()＞，0f x ≤()不可能恒成立，当a e ＞时， 由10f x e a x '+-=()=，得1x a e =-，由题意当1x a e =-时，f x ()取最大值0， 推导出1ln()b a e a a ---≥a e (＞)，令1ln()x e F x x---=()，x e ＞，2()ln()()x e x e e F x x e x ---'-()=， 令ln H x x e x e e =()(-)(-)-，ln 1H x x e '=+()(-)，由此利用导数性质能求出b a的最小值． 【解答】解：∵函数ln f x x e a x b =+()(-)-，其中e 为自然对数的底数， ∴1f x e a x'+-()=，0x ＞， 当a e ≤时，0f x '()＞， f x ()在0+∞(,)上是增函数，∴0f x ≤()不可能恒成立，当a e ＞时，由10f x e a x '+-=()=，得1x a e=-， ∵不等式0f x ≤()恒成立，∴f x ()的最大值为0， 当10x a e∈-(,)时，0f x '()＞，f x ()单调递增， 当1x a e∈+∞-(,)时，0f x '()＜，f x ()单调递减， ∴当1x a e=-时，f x ()取最大值， 1ln 10f a e b a e=≤-()﹣(-)--， ∴ln 10a e b ++≥(-)，∴1ln b a e ≥--(-)，∴1ln()b a e a a---≥a e (＞)， 令1ln()x e F x x---=()，x e ＞， 2211ln()()ln(x e)e ()x x e x e x e F x x x e x -++-----'=-()=， 令ln H x x e x e e =()(-)(-)-，ln 1H x x e '=+()(-)，由0H x '=()，得1x e e=+， 当1x e e∈++∞(,)时，0H x '()＞，H x ()是增函数， 1x e e e∈+(,)时，0H x '()＜，H x ()是减函数， ∴当1x e e=+时，H x ()取最小值11H e e e e +=()--， ∵x e →时，0H x →()，2x e ＞时，0H x ()＞，20H e =()，∴当2x e e ∈(,)时，0F x '()＜，F x ()是减函数， 当2x e ∈+∞(,)时，0F x '()＞，F x ()是增函数， ∴2x e =时，F x ()取最小值，11122F e e e--==()-， ∴b a 的最小值为1e-． 故答案为：1e-． 15．【考点】正弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】（1）设BAD α∠=，DAC β∠=，由已知可求1tan 2α=，1tan 3β=，利用两角和的正切函数公式可求tan 1BAC ∠=．结合范围0πBAC ∠∈(,)，即可得解BAC ∠的值． （2）设BAD α∠=．由正弦定理可求sin 4α=，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式可求cos α的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin ADC ∠，进而利用三角形面积公式即可计算得解．16．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD AP ⊥，AP AB ⊥，从而AP ⊥平面ABCD ，由此能证明CD AP ⊥．（2）由CD A P ⊥，CD PD ⊥，得CD ⊥平面PAD ．再推导出AB AD ⊥，AP AB ⊥，从而AB ⊥平面PAD ，进而//CD AB ，由此能证明//CD 平面PAB ．17．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）当90a =时，40b =，求出侧面积，利用配方法求纸盒侧面积的最大值；（2）表示出体积，利用基本不等式，导数知识，即可确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意得22228c c e a ==，222418b e b +=．又222a b c =+，2228182b b b -+=，解得2b ； （2）设11Ax y (,)，22B x y (,)．设直线l 的方程为1y k x =(-)．联立直线l 与椭圆方程221184x y y k x ⎧⎪⎨+=⎪⎩=(-)，消去y ，得2222214280k x k x k ++=()--，可设直线MN 方程为y kx =，联立直线MN 与椭圆方程22184y x k y x ⎧⎪⎨+==⎪⎩，消去y 得22218k x +=()，由//MN l ，得2AT BT MN 122(1)(1)()M N x x x x --=-， 由121212271?11]12[x x x x x x k =++=+(-)(-)--()．得22232421M N x x x k ==+(-)．即可． （3）在1y k x =(-)中，令0x =，则y k =﹣，所以0P k (,-)，从而11(,)AP x k y =---，22(1,)TB x y =-，由25AP TB =得122(1)5x x -=-，即122255x x +=…①， 由（2）知212221224212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…② 由①②得212423(21)k x k -+=+，222421623(21)5083340k k k x k ⇒=-=+--，解得2k 19．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）①求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；②求出函数的导数，通过讨论m 的范围得到函数的值域，从而确定m 的具体范围即可；（2）求出函数f x ()的导数，得到0a ＞且f x ()在n ]l a ∞(-,递减，在[ln a +∞,)递增，设1202x x ≤≤＜，则有120ln 2x a x ≤≤＜＜，根据函数的单调性得到关于m 的不等式组，解出即可．20．【考点】等差关系的确定；数列递推式．【分析】（1）数列{}n a 是公差为2的等差数列，可得121n a a n =+(-)，11n S a n n=+-．代入1222n n n n a a S n c n++++=-()即可得出n c ． （2）由11n n n S n b a n++=()-，可得：11n n n n n b na S ++=()-，121121n n n n n b n a S +++++=+()()()-，相减可得：2112n n n n a a n b nb +++=+-()-，代入化简可得112n n n c b b =+-()．n n b c λ≤≤，112n n n c b b λλ≤=+≤-()，故n b λ=，n c λ=．进而得出．21．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由切割线定理可得2•BC BM BA =．由此可得方程，即可求线段AM 的长度；（2）证明BMN BCA △∽△，结合2AB AC =，即可证明：2BN MN =．22．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】方法一：任取两点，根据矩阵坐标变换，求得A '，B '，代入直线的直线为l '即可求得a 和b 的值； 方法二：设P x y (,)，利用矩阵坐标变换，求得Q 点坐标，代入直线为l '，由70ax y +=-，则269117b a -==-，即可求得a 和b 的值．23．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】方法一：直线l 的参数方程化为普通方程得434x y =-，将曲线C 的参数方程化为普通方程得24y x =．联立求出交点坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．方法二：将曲线C 的参数方程化为普通方程得24y x =．直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得2415250t t =--，利用12AB t t ==-24．【考点】不等式的证明．【分析】利用作差，再因式分解，即可得到结论．25．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的性质．【分析】（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段1A D 上，11 A M A Dλ=．求出平面AEF 的法向量，利用//CM 平面AEF ，即可求实数λ的值． 26．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）由题意知22233223A p A ==， （2）先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为2(1)12n n n n =++，即可求出为n p ，再根据二项式定理和放缩法即可证明．。

1．(－∞，1)【解析】 由题意得，函数满足101x>-，解得1x <，所以函数的定义域为(),1-∞。

2．2【解析】 由题意得，复数满足()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+，所以1z i =--， 所以()()112z z i i ⋅=-+--=。

6．31【解析】 由等比数列的求和公式，由1421,50a S S =-=，得()()4211115011a q a q qq---=--，即()()22140qq --=，又因为正数等比数列，解得2q =，所以()5515112)31112a q S q--===--。

7【解析】 由题意得，将函数()sin f x x =的图象向右平移3π个单位，得()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()()3sin sin sin 326y f x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，8．6【解析】由抛物线方程为26y x =，所以焦点坐标3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-，因为AF 的斜率为AF 的方程为32y x ⎫=-⎪⎭，当32x =-时， y =(A -，因为,PA l A ⊥为垂足，所以点P 的纵坐标为，可得P 点的坐标为92⎛⎝， 根据抛物线的定义可知93622PF PA ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭。

由,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥，则m β⊥或m β⊂，所以③不正确；由,,n n m αβα⊥⊥⊥，根据直线垂直平行平面中一个也必垂直于另一个平面，所以m β⊥ 是正确的，所以真个的命题为①④11． 由题意得，直线1:20l kx y -+=的斜率为k ，且经过点()0,2A , 直线2:20l x ky +-=的斜率为1k-，且经过点()2,0B ，且直线12l l ⊥所以点P 落在以AB 为直径的圆C 上，其中圆心坐标()1,1C ，半径为r =则圆心到直线40x y --=的距离为d ，所以点P 到直线40x y --=的最大距离为d r +==。

2017年福建省泉州市高考数学二模试卷(理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=｛x|2x＞1｝，B={x|x2﹣5x+6＜0},则∁A B( ）A．（2，3) B．（﹣∞，2］∪∪[3，+∞）D．［3，+∞)2．已知复数z=a+i（a∈R）．若，则z+i2在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．公差为2的等差数列｛a n}的前n项和为S n．若S3=12，则a3=（) A．4 B．6 C．8 D．144．已知实数x,y满足约束条件z=x+y，则满足z≥1的点（x,y）所构成的区域面积等于（）A．B． C． D．15．榫卯（sǔn mǎo）是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式,是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，凸出部分叫做“榫头”．某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所示,则该“榫头”体积等于（)A．12 B．13 C．14 D．156．执行一次如图所示的程序框图,若输出i的值为0，则下列关于框图中函数f(x）(x∈R）的表述,正确的是（）A．f（x）是奇函数，且为减函数B．f（x）是偶函数，且为增函数C．f（x)不是奇函数,也不为减函数D．f（x）不是偶函数，也不为增函数7．已知以O为中心的双曲线C的一个焦点为F，P为C上一点，M 为PF的中点，若△OMF为等腰直角三角形,则C的离心率等于( ）A．B．C．D．8．已知曲线C：y=sin（2x+φ）（｜φ｜＜）的一条对称轴方程为x=,曲线C向左平移θ（θ＞0)个单位长度,得到的曲线E的一个对称中心为（，0）,则｜φ﹣θ|的最小值是（）A．B． C． D．9．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，AC=2，BD=2，∠ACD=60°,则AD=( )A．2 B． C．D．10．某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个．现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁11．已知直线PA，PB分别与半径为1的圆O相切于点A，B,PO=2，．若点M在圆O的内部（不包括边界)，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．C．D．(0,1）12．已知函数f（x）=e x，g(x）=ax2﹣ax．若曲线y=f（x）上存在两点关于直线y=x的对称点在曲线y=g（x)上，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．(0,+∞）D．（0,1）∪（1,+∞）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分．13．已知椭圆C：=1的左顶点、上顶点、右焦点分别为A,B，F,则= ．14．已知曲线C：y=x2+2x在点（0,0）处的切线为l，则由C，l以及直线x=1围成的区域面积等于．15．在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P（x,1）(x≥1）,则cosθ+sinθ的取值范围是．16．已知在体积为12π的圆柱中，AB，CD分别是上、下底面两条不平行的直径，则三棱锥A﹣BCD 的体积最大值等于．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在数列{a n}中，a1=4，na n+1﹣(n+1)a n=2n2+2n．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．18．某测试团队为了研究“饮酒"对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试．测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）．无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2．表1停车距离d（米)（10，20］（20,30］（30，40]（40，50］(50，60］频数26a b82表2平均每毫升血液酒精含量x毫克1030507090平均停车距离y米3050607090已知表1数据的中位数估计值为26，回答以下问题．(Ⅰ)求a，b的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；(Ⅱ）根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程;（Ⅲ)该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离"y大于（Ⅰ）中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”．请根据（Ⅱ）中的回归方程,预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾"？(附:对于一组数据(x1，y1），(x2,y2)，…，（x n，y n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,．）19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD,∠CBD=60°，BD=2BC=4，点E在CD上，DE=2EC．(Ⅰ）求证：AC⊥BE；（Ⅱ）若二面角E﹣BA﹣D的余弦值为，求三棱锥A﹣BCD 的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=2py（p＞0)的焦点为F,过F的直线l交C于A，B两点,交x轴于点D，B到x轴的距离比｜BF|小1．(Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ)若S△BOF=S△AOD，求l的方程．21．已知函数f（x）=lnx﹣kx+k．(Ⅰ）若f（x)≥0有唯一解，求实数k的值；（Ⅱ)证明：当a≤1时，x（f（x)+kx﹣k）＜e x﹣ax2﹣1．（附：ln2≈0.69，ln3≈1。

江苏省淮安市2017届高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．（5分）已知集合A={0，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B=．2．（5分）已知复数z=，其中i为虚数单位，则复数z的模是．3．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S是．4．（5分）现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是．5．（5分）100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是．7．（5分）现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm．8．（5分）函数f（x）=的定义域是．9．（5分）已知{a n}是公差不为0 的等差数列，S n是其前n项和，若a2a3=a4a5，S9=1，则a1的值是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2=1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2=9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是．11．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，若•=﹣7，则•的值是．12．（5分）在△ABC中，已知AB=2，AC2﹣BC2=6，则tan C的最大值是．13．（5分）已知函数f（x）=其中m＞0，若函数y=f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是．14．（5分）已知对任意的x∈R，3a（sin x+cos x）+2b sin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b 取得最小值时，a的值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程. 15．（14分）已知sin（α+）=，α∈（，π）．求：（1）cosα的值；（2）sin（2α﹣）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值；（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且=，求直线AB的斜率．18．（16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈，≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=，g（x）=ln x，其中e为自然对数的底数．（1）求函数y=f（x）g（x）在x=1处的切线方程；（2）若存在x1，x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足：①|a1|≠|a2|；②r（n﹣p）S n+1=（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，其中r，p∈R，且r≠0．（1）求p的值；（2）数列{a n}能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当r=2时，数列{a n}是等差数列．A.[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，∠ACB=∠ADC．求证：AD•BC=2AC•CD．B.[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）设矩阵A满足：A=，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．C.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t 为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．D.[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y，z均为正实数，且xyz=1，求证：++≥xy+yz+zx．【必做题】每小题10分，共计20分.25．（10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．26．（10分）设n≥2，n∈N*，有序数组（a1，a2，…，a n）经m次变换后得到数组（b m，1，b m，2，…，b m，n），其中b1，i=a i+a i+1，b m，i=b m﹣1，i+b m﹣1，i+1（i=1，2，…，n），a n+1=a1，b m﹣1，=b m﹣1，1（m≥2）．例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），n+1即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）．（1）若a i=i（i=1，2，…，n），求b3，5的值；（2）求证：b m，i=a i+j C m j，其中i=1，2，…，n．（注：i+j=kn+t时，k∈N*，i=1，2，…，n，则a i+j=a1）参考答案一、填空题1．{0，3}【解析】集合A={0，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B={0，3}；故答案为：{0，3}2．【解析】∵z==，∴．故答案为：．3．17【解析】执行程序，有I=1满足条件I＜6，I=3，S=9；满足条件I＜6，I=5，S=13；满足条件I＜6，I=7，S=17，不满足条件I＜6，输出S的值为17．故答案为：17．4．180【解析】由频率分布表知：纤维长度不小于37.5mm的频率为：=0.18，∴估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是1000×0.18=180．故答案为：180．5．【解析】在100张卡片上分别写上1至100这100个数字，从中任取一张共有100种取法，其中所得卡片上的数字为6的倍数的数是：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，96共16个，∴所得卡片上的数字为6的倍数的数共有16个．∴所得卡片上的数字为6的倍数的概率P==，故答案为：．6．2【解析】∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=3，∴x=2，故答案为：2．7．【解析】设该铁球的半径为r，∵底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，∴锥体的母线、半径、高构成直角三角形，∴h==4，锥体体积V=×π×32×4=12π，圆球体积=锥体体积V==12π，解得r=．故答案为：．8．[﹣2，2]【解析】由lg（5﹣x2）≥0，得5﹣x2≥1，即x2≤4，解得﹣2≤x≤2．∴函数f（x）=的定义域是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．9．【解析】设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2a3=a4a5，S9=1，∴，解得：a1=，故答案为：．10．x2+y2=81【解析】由题意，圆C与圆C1和圆C2的公共弦分别为圆C1和圆C2的直径，设C（x，0），则（x﹣4）2+（0﹣8）2+1=（x﹣6）2+（0+6）2+9，∴x=0，∴圆C的方程是x2+y2=81．故答案为x2+y2=81．11．9【解析】平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，∴+=；若•=﹣7，则（+）•（+）=+•+•+•=+•（+）﹣=32﹣=﹣7；∴=16，∴||=||=4；∴•=（+）•（+）=•+•+•+=﹣+•（+）+=﹣42+0+52=9．12．【解析】∵AB=c=2，AC2﹣BC2=b2﹣a2=6，∴由余弦定理可得：4=a2+b2﹣2ab cos C，∴（b2﹣a2）=a2+b2﹣2ab cos C，∴（）2﹣2××cos C+=0，∵△≥0，∴可得：cos C≥，∵b＞c，可得C为锐角，又∵tan C在（0，）上单调递增，∴当cos C=时，tan C取最大值，∴tan C===．故答案为：．13．（0，1）【解析】由题意，x＜0，f（x）=﹣x+m＞0，f（f（x））=（﹣x+m）2﹣1=0，则x=m±1 当1＞x≥0，f（x）=x2﹣1＜0，f（f（x））=﹣x2+1+m=0，x=；当x≥1，f（x）=x2﹣1≥0，f（f（x））=（x2﹣1）2﹣1=0，∴x=∵函数y=f（f（x））﹣1有3个不同的零点，∴m﹣1＜0∴m＜1，∵m＞0，∴m∈（0，1）．故答案为（0，1）．14．﹣【解析】由题意可令sin x+cos x=﹣，两边平方可得1+2sin x cos x=，即有sin2x=﹣，代入3a（sin x+cos x）+2b sin2x≤3，可得﹣a﹣b≤3，可得a+b≥﹣2，当a+b=﹣2时，令t=sin x+cos x=sin（x+）∈[﹣，]，即有sin2x=t2﹣1，代入3a（sin x+cos x）+2b sin2x≤3，可得﹣2bt2+3（2+b）t+3+2b≥0，对t∈[﹣，]恒成立，则△=9（2+b）2+8b（3+2b）≤0，即为（5b+6）2≤0，但（5b+6）2≥0，则5b+6=0，可得b=﹣，a=﹣．而当b=﹣，a=﹣时，3a（sin x+cos x）+2b sin2x=﹣t﹣（t2﹣1）=﹣（t+）2+3≤3．所以当a+b取得最小值﹣2，此时a=﹣．故答案为：﹣．二、解答题15．解：（1）sin（α+）=，即sinαcos+cosαsin=，化简：sinα+cosα=…①sin2α+cos2α=1…②．由①②解得cosα=﹣或cosα=∵α∈（，π）．∴cosα=﹣（2）∵α∈（，π）．cosα=﹣∴sinα=，那么：cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=∴sin（2α﹣）=sin2αcos﹣cos2αsin=．16．证明：（1）由题意，D，E分别为A1B，A1C的中点，∴DE∥BC，∵DE⊄平面B1BCC1，BC⊂平面B1BCC1，∴DE∥平面B1BCC1；（2）∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AA1=A，∴BC⊥平面A1ACC1，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ACC1．17．解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，，②解得：a2=9，b2=5，∴a=3，b=，（2）方法一：由（1）可知：=，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，∴y2=，由y2＞0，则y2=，由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，由y=0，或y1=，由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，则=2×，（m＞0），解得：m=，则直线AB的斜率=；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，由B，C在椭圆上，∴，解得：，则直线直线AB的斜率k==．直线AB的斜率．18．解：（1）设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC=3BC．△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC==，∴∠BAC=17°，∴缉私艇应向北偏东47°方向追击，△ABC中，由余弦定理可得cos120°=，∴BC≈1.68615．B到边界线l的距离为3.8﹣4sin30°=1.8，∵1.68615＜1.8，∴能最短时间在领海内拦截成功；（2）以A为原点，建立如图所示的坐标系，则B（2，2），设缉私艇在P（x，y）出与走私船相遇，则P A=3PB，即x2+y2=9[（x﹣2）2+（y﹣2）2]，即（x﹣）2+（y﹣）2=，∴P的轨迹是以（，）为圆心，为半径的圆，∵圆心到边界线l：x=3.8的距离为1.55，大于圆的半径，∴无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．19．解：（1）y=f（x）g（x）=，y′=，x=1时，y=0，y′=，故切线方程是：y=x﹣；（2）证明：由g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]，得：g（x1）+λf（x1）=g（x2）+λf（x2），令h（x）=g（x）+λf（x）=ln x+，（x＞0），h′（x）=，令ω（x）=e x﹣λx，则ω′（x）=e x﹣λ，由x＞0，得e x＞1，①λ≤1时，ω′（x）＞0，ω（x）递增，故h′（x）＞0，h（x）递增，不成立；②λ＞1时，令ω′（x）=0，解得：x=lnλ，故ω（x）在（0，lnλ）递减，在（lnλ，+∞）递增，∴ω（x）≥ω（lnλ）=λ﹣λlnλ，令m（λ）=λ﹣λlnλ，（λ＞1），则m′（λ）=﹣lnλ＜0，故m（λ）递减，又m（e）=0，若λ≤e，则m（λ）≥0，ω（x）≥0，h（x）递增，不成立，若λ＞e，则m（λ）＜0，函数h（x）有增有减，满足题意，故λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，即﹣a（x﹣1）≤0在（0，1]恒成立，令F（x）=﹣a（x﹣1），x∈（0，1]，F（1）=0，F′（x）=﹣a，F′（1）=﹣a，①F′（1）≤0时，a≥，F′（x）≤递减，而F′（1）=0，故F′（x）≥0，F（x）递增，F（x）≤F（1）=0，成立，②F′（1）＞0时，则必存在x0，使得F′（x）＞0，F（x）递增，F（x）＜F（1）=0不成立，故a≥．20．解：（1）n=1时，r（1﹣p）（a1+a2）=2a1﹣2a1，其中r，p∈R，且r≠0．又|a1|≠|a2|．∴1﹣p=0，解得p=1．（2）设a n=ka n﹣1（k≠±1），r（n﹣1）S n+1=（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，∴rS3=6a2，2rS4=12a3+4a1，化为：r（1+k+k2）=6k，r（1+k+k2+k3）=6k2+2．联立解得r=2，k=1（不合题意），舍去，因此数列{a n}不是等比数列．（3）证明：r=2时，2（n﹣1）S n+1=（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，∴2S3=6a2，4S4=12a3+4a1，6S5=20a4+10a1．化为：a1+a3=2a2，a2+a4=2a3，a3+a5=2a4．假设数列{a n}的前n项成等差数列，公差为d．则2（n﹣1）=（n2+n）[a1+（n﹣1）d]+（n2﹣n﹣2）a1，化为a n+1=a1+（n+1﹣1）d，因此第n+1项也满足等差数列的通项公式，综上可得：数列{a n}成等差数列．A.[选修4-1：几何证明选讲]21．证明：∵∠ACB=∠ADC，AD是⊙O的直径，∴AD垂直平分BC，设垂足为E，∵∠ACB=∠EDC，∠ACD=∠CED，∴△ACD∽△CED，∴，∴AD•BC=AC•CD，∴AD•BC=2AC•CD．B.[选修4-2：矩阵与变换]22．解：A=，设B=，则丨B丨=6，B*=，则B﹣1=×B*=×=，A=×B﹣1==，A=，丨A丨=﹣，A*=A﹣1=×=，矩阵A的逆矩阵A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．解：直线（l为参数）与曲线（t为参数）的普通方程分别为x﹣y=﹣，y2=8x，联立可得x2﹣5x+=0，∴|AB|==4．D.[选修4-5：不等式选讲]24．证明：∵x，y，z均为正实数，且xyz=1，∴++=++，∴由柯西不等式可得（++）（xy+yz+zx）≥（++）2=（++）2=（xy+yz+zx）2．∴++≥xy+yz+zx．【必做题】每小题10分，共计20分.25．解：（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P（A）=1﹣P=1﹣=．（2）由题意可得：X=5a，6a，7a，8a．P（X=5a）===，P（X=6a）===，P（X=7a）===，P（X=8a）===．E（X）=5a×+6a×+7a×+8a×=a．26．解：（1）依题意（1，2，3，4，5，6，7，8，…，n），第一次变换为（3，5，7，9，11，13，15，…，n+1），第二次变换为（8，12，16，20，24，28，…，n+4），第三次变换为（20，28，36，44，52，…，n+12），∴b3，5=52，（2）用数学归纳法证明：对m∈N*，b m，i=a i+j C m j，其中i=1，2，…，n，（i）当m=1时，b1，i=a i+j C1j，其中i=1，2，…，n，结论成立，（ii）假设m=k时，k∈N*时，b k，i=a i+j C k j，其中i=1，2，…，n，则m=k+1时，b k+1，i=b k，i+b k，i+1=a i+j C k j+a i+j+1C k j=a i+j C k j+a i+j+1C k j﹣1，=a i C k0+a i+j（C k j+C k j﹣1）+a i+k+1C k k，=a i C k+10+a i+j C k+1j+a i+k+1C k+1k+1，=a i+j C k+1j，所以结论对m=k+1时也成立，由（i）（ii）可知，对m∈N*，b m，i=a i+j C m j，其中i=1，2，…，n成立。