2017届高三徐州二模-解析版

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. D3. A4. D5.C6.B7. D8. A9. C 10. A 11. A 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的共轭复数及复数运算.【试题解析】B (12)(12)5z z i i ⋅=+-=. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D 由{|13},{|0,A x x B x x =-<<=<或1}x >，故{|10,A B xx =-<< 或13}x <<. 故选D.3. 【命题意图】本题考查祖暅原理及简易逻辑等知识.【试题解析】A 根据祖暅原理容易判断q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，再利用命题的等价性， 故p 是q 的充分不必要条件. 故选A. 4. 【命题意图】本题考查抛物线的相关知识.【试题解析】D 抛物线22y x =上的点到焦点的最小距离是2p ，即18. 故选D.5. 【命题意图】本题主要考查等差数列.【试题解析】 C {}n a 是以2为公差的等差数列，12627,||||||n a n a a a =-+++53113518=+++++=. 故选C.6. 【命题意图】本题主要考查线性规划问题.【试题解析】B 不等式组所表示的平面区域位于直线03=-+y x 的上方区域和直线10x y -+=的上方区域，根据目标函数的几何意义确定4≤z . 故选B.7. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 四棱锥的体积为. 382431=⨯⨯=V . 故选D. 8. 【命题意图】本题考查概率相关问题.【试题解析】A 由已知1151(),4216nn -≥≥. 故选A. 9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的相关知识.【试题解析】C令26t x π=+，从而7[,]66t ππ∈，由于方程有两个解，所以12122()3t t x x ππ+=++=，进而123x x π+=. 故选C.10. 【命题意图】本题主要考查程序框图.【试题解析】A 第一次执行循环体有，33,,1,||0.522m b a a b ===-=；第二次执行循环 体有，535,,,||0.25424m b a a b ===-=；第三次执行循环体有， 11311,,,||0.125828m b a a b d ===-=<. 故选A.11. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】A 由已知22(3,3),||(3)(3)OC m n m n OC m n m n =+-=++-2210m n =+，由0,0,12m n m n >>≤+≤，有22222m n ≤+<，则5||210OC ≤<. 故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的应用.【试题解析】C ①当2m =时显然成立；②当2m >时，2()[1,1]3m f x m -∈+-，只要 22(1)13m m -+>-即可，有25m <<，；③当2m <时，2()[1,1]3m f x m -∈-+，只要 21213m m -+<-即可，有725m <<. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4814. x y =15. 30 16.233简答与提示：13. 【命题意图】本题考查排列组合相关知识.【试题解析】甲乙二人的票要连号，故424248A A =. 14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】()(sin cos ),(0)1,xf x e x x f ''=+=切线方程为x y =. 15. 【命题意图】本题考查等比数列.【试题解析】由条件可求得12,2,q a ==所以430S =.16. 【命题意图】本题考查双曲线问题.【试题解析】法一：由||1||2AF BF =可知，||1||2OA OB =，则Rt OAB ∆中，3AOB π∠=，渐近线OA 的斜率3tan 63b k a π===，即离心率2231()3b e a =+=. 法二：设过左焦点F 作x a b y -=的垂线方程为)(c x bay +=联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x a b y c x b a y )(，解得，c ab y A =联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=x a b y c x b a y )(，解得，22a b abc y B -= 又||1||2AF BF = A B y y 2-=∴ 223a b =∴所以离心率2231()3be a=+=. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数性质及正弦定理等. 【试题解析】（Ⅰ）(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--， （2分）()33cos 1sin 42sin()3f x x x x π=-+-=-+， （4分）)(x f 的周期为π2. （5分）（Ⅱ）因为()4f A =，所以23A π=， （6分）又因为3BC =，由正弦定理，23sin ,23sin AC B AB C ==， （8分）所以三角形周长为323sin 23sin 323sin()3B C B π++=++ （10分）因为03B π<<，所以3sin()(,1]32B π+∈， 所以三角形周长最大值为323+. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】（Ⅰ）解：女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：（3分）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. （4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于 90分的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1,2,3，12423641(1)205C C P X C ====；214236123(2)205C C P X C ====； 评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 50评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 5032423641(3)205C C P X C ====. （9分）所以X 的分布列为X1 2 3 P1535151632555EX =++=.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱锥为载体，考查直线与平面垂直，以及二面角问题等. 【试题解析】（Ⅰ）⊥PA 平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,AB PA ⊥∴,平面ABCD 为矩形，AD AB ⊥∴ , A AD PA = ,⊥∴AB 平面PAD , （2分）⊂PD 平面PAD , PD AB ⊥∴, AD PA = , E 为PD 中点⊥∴=⊥∴PD A AB AE AE PD ,平面ADE （4分） （Ⅱ）以A 为原点，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令||2AB =，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ- （6分）设平面PFM 的法向量111(,,)m x y z =，=0=0m PF m PM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即202220x z x y z λλλ-+=⎧⎨+-=⎩，(2,1,1)m =- （8分）设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0n BF n FM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即()()0212220x x y z λλλ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩，(0,1,)n λλ=- （10分） ()2213|cos ,|3||||61m nm n m n λλλλ⋅-+<>===+-，解得12λ=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维 能力和运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）由已知222=a ，2=a ，记点)(0,0y x P ，1PA OM k k = ，2202000000122ax ya x y a x y k k k k PA PA M PA -=-⨯+=⨯=⨯∴， （2分） 又)(0,0y x P 在椭圆上，故1220220=+by a x ，212202-=-=⨯∴a b k k M PA ，2122=∴a b ，∴12=b ，∴椭圆的方程为1222=+y x . （4分）（Ⅱ）设直线)1(:+=x k y l ，联立直线与椭圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)1(22y x x k y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ，记),(),,(2211y x B y x A由韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⨯+-=+122212422212221k k x x k k x x ，可得122)2(22121+=++=+k kx x k y y ， （6分） 故AB 中点)12,122(222++-k kk k Q ， QN 直线方程：121)122(1122222+--=++-=+-k k x k k k x k k ky （8分） )0,12(22+-∴k k N ，已知条件得：<-4101222<+-k k ，∴ 1202<<k ， （10分） )1211(212122112224)124(12222222222++=+++=+--+-+=∴k k k k k k k k kAB ， 1121212<+<k，)22,223(∈∴AB . （ 12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函 数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）21ln ()xf x x -'=， (0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当x e =时，()f x 取极大值为1e，无极小值. （3分）（Ⅱ）要证)()(x e f x e f ->+，即证：xe x e x e x e -->++)ln()ln(，只需证明：)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-.（5分）设)ln()()ln()()(x e x e x e x e x F -+-+-=，222222222222()4()l n ()[2l n ()]0e x x F x e x e xe xe x+'=--=--+>--， （7分）0)0()(=>∴F x F .故)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-，即)()(x e f x e f ->+. （8分） （III ）不妨设21x x <，由（Ⅰ）知210x e x <<<，e x e <-<∴10，由（Ⅱ）得)()()]([)]([2111xf x f x e e f x e e f ==-->-+， （10分） 又e x e >-12，e x >2，且)(x f 在),(+∞e 上单调递减， 122e x x ∴-<，即e x x 221>+，e x x x >+=∴2210，0)(0<'∴x f . （12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】 (I) 由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.（5分）（II ）(,22),4P π直角坐标为(2,2)，1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++， M 到l 的距离|1cos 2sin 3|10|sin()|545d ααπα+++-==+，从而最大值为105. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(I)因为2b a -<，所以3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为()22b b f a =+，所以12ba +=，22ab +=. （5分）(II)因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， 212121122()(2)(14)22a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=+++1229(142)22a b b a ≥++⋅= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92，所以92t ≥，即实数t 的最大值为92. （10分）。

2017年江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷一、填空题（每题5分，满分70分，江答案填在答题纸上)1．已知集合A=｛﹣1，1，2｝,B={0，1，2，7}，则集合A∪B中元素的个数为．2．设a，b∈R，=a+bi(i为虚数单位)，则b的值为．3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的离心率是．4．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦"的概率是．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为．6．已知一组数据3，6，9，8,4,则该组数据的方差是．7．已知实数x，y满足,则的取值范围是．8．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜）的图象过点（0，），则函数f(x）在［0,π］上的单调减区间是．9．在公比为q且各项均为正数的等比数列｛a n}中，S n为{a n｝的前n 项和．若a1=，且S5=S2+2,则q的值为．10．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AA1=3，点P在棱CC1上，则三棱锥P﹣ABA1的体积为．11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1=3log a x，y2=2log a x和y3=log a x（a＞1）的图象上，则实数a的值为．12．已知对于任意的x∈(﹣∞，1）∪（5，+∞）,都有x2﹣2（a﹣2)x+a ＞0,则实数a的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x+2)2+(y﹣m）2=3，若圆C 存在以G为中点的弦AB,且AB=2GO，则实数m的取值范围是．14．已知△ABC三个内角A,B，C的对应边分别为α,b，c,且C=，c=2．当取得最大值时,的值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．如图，在△ABC中，已知点D在边AB上,AD=3DB，cosA=，cos∠ACB=，BC=13．（1）求cosB的值；(2)求CD的长．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形,点E在棱PC 上（异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若平面PAD⊥平面ABCD,求证：AE⊥EF．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P,Q两点（点P在x轴上方）．（1）若QF=2FP，求直线l的方程；(2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为。

2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数,则（)A．z的实部为1 B．z的虚部为﹣iC．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i2．已知集合A={0，2，4，6}，B={n∈N|2n＜8}，则集合A∩B的子集个数为( ）A．8 B．7 C．6 D．43．对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m⊂α,n∥α，m、n共面,那么m∥nB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α4．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2)，P(ξ≤4）=0。

84，则P(ξ≤0）=（）A．0.16 B．0。

32 C．0.68 D．0。

845．在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x ﹣3)2+y2=1相交”发生的概率为( ）A．B． C． D．6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺，松日自半，竹日自倍,松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2,则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．57．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ）A．10 B．20 C．40 D．608．已知sin（﹣α)=，则sin(﹣2α)=（）A．B． C．D．9．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f(x)=,称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题:①f（f（x)）=1；②函数f(x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x)对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1)），B（x2，f（x2）)，C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（)A．4 B．3 C．2 D．110．“关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2c(c＞0），抛物线y2=2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠AOB=120°(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( ）A． B．2 C． D．12．已知函数，，若f（x），g（x）图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=x对称，则实数k的取值范围为( ）A． B．C．D．二、填空题已知x，y满足，若目标函数z=x+2y的最大值为n，则展开式的常数项为．14．在△ABC中，已知c=2，若sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，则a+b的取值范围．15．已知f(x）=,则．16．已知函数f(x）定义域为R,若存在常数f（x），使对所有实数都成立，则称函数f（x）为“期望函数"，给出下列函数：①f(x）=x2②f(x)=xe x③④其中函数f(x）为“期望函数"的是．（写出所有正确选项的序号）三、解答题（本大题共7小题，共70分。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB 为圆O 的直径，BC 切圆O 于点B ，AC 交圆O 于点P ，E 为线段BC 的中点．求证：OP ⊥PE.B. (选修4-2：矩阵与变换)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.求实数a ，b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，P(m，n)为曲线C2上任一点，求m＋n的取值范围．D. (选修4-5：不等式选讲)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c≥9.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．(1) 求二面角ADFB 的大小；(2) 试在线段AC 上确定一点P ，使PF 与BC 所成的角是60°.23.设f(x ，n)＝(1＋x)n ，n ∈N *.(1) 求f(x ，6)的展开式中系数最大的项；(2) n ∈N *时，化简C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1； (3) 求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n ＝n ×2n －1.(一)21. A. 证明：连结BP ，因为AB 是圆O 的直径，所以∠APB ＝90°，从而∠BPC ＝90°.(2分)在△BPC 中，因为E 是边BC 的中点，所以BE ＝EC ，从而BE ＝EP ，因此∠1＝∠3.(4分)因为B 、P 为圆O 上的点，所以OB ＝OP ，从而∠2＝∠4.(6分)因为BC 切圆O 于点B ，所以∠ABC ＝90°，即∠1＋∠2＝90°，(8分)从而∠3＋∠4＝90°，于是∠OPE ＝90°.所以OP ⊥PE.(10分)B. 解：设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应变换下的像是P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax bx ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，(2分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，bx ＋y ＝y′.(5分) 因为x′2＋y′2＝1，所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，即(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，(7分)所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2，2b ＝2，由于a ＞0，得a ＝b ＝1.(10分) C. 解：曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t的直角坐标方程为y ＝3－2x ，与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫32，0.(2分) 曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asin θ，y ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2a 2＋y 29＝1， 与x 轴交点为(－a ，0)，(a ，0)，(4分)由a ＞0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，所以a ＝32.(6分) 所以2m ＋n ＝3sin θ＋3cos θ＝32sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，(8分) 所以2m ＋n 的取值范围为[－32，32]．(10分)[试题更正：题目中“求m ＋n 的取值范围”改为“求2m ＋n 的取值范围”]D. 证明：1a ＋1b ＋1c ＝1＋b ＋c a ＋1＋a ＋c b ＋1＋a ＋b c(4分) ＝3＋b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b c(8分) ≥3＋2＋2＋2＝9.(10分)22. 解：(1) 以CD →，CB →，CE →为正交基底，建立空间直角坐标系，则E(0，0，1)，D(2，0，0)，F(2，2，1)，B(0，2，0)，A(2，2，0)，BD →＝(2，－2，0)，BF →＝(2，0，1)．平面ADF 的法向量t ＝(1，0，0)，(2分)设平面DFB 法向量n ＝(a ，b ，c)，则n ·BD →＝0，n ·BF →＝0，所以⎩⎨⎧2a －2b ＝0，2a ＋c ＝0.令a ＝1，得b ＝1，c ＝－2，所以n ＝(1，1，－2)．(4分) 设二面角ADFB 的大小为θ⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2，从而cos θ＝|cos 〈n ，t 〉|＝12，∴ θ＝60°， 故二面角ADFB 的大小为60°.(6分)(2) 依题意，设P(a ，a ，0)(0≤a ≤2)，则PF →＝(2－a ，2－a ，1)，CB →＝(0，2，0)．因为〈PF →，CB →〉＝60°，所以cos60°＝2（2－a ）2×2（2－a ）2＋1＝12，解得a ＝22，(9分) 所以点P 应在线段AC 的中点处．(10分)23. (1) 解：展开式中系数最大的项是第四项为C 3n x 3＝20x 3.(3分)(2) 解：C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1＝14[C 0n 4n ＋C 1n 4n －1＋C 2n 4n －2＋…＋C n －1n 4＋C n n ] ＝14(4＋1)n ＝5n 4.(7分) (3) 证明：因为kC k n ＝nC k －1n －1，所以C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n ＝n(C 0n －1＋C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ×2n －1.(10分)。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知△ABC 内接于圆O ，BE 是圆O 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA·AC ＝BE·AD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知变换T 把平面上的点(3，－4)，(5，0)分别变换成(2，－1)，(－1，2)，试求变换T 对应的矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点M(1，2)，倾斜角为π3.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C ：ρ＝6cos θ.若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求MA·MB的值．D. (选修4-5：不等式选讲)设x为实数，求证：(x2＋x＋1)2≤3(x4＋x2＋1)．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．(1) 求恰好摸4次停止的概率；(2) 记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．23. 设实数a1，a2，…，a n满足a1＋a2＋…＋a n＝0，且|a1|＋|a2|＋…＋|a n|≤1(n∈N*且n≥2)，令b n＝a nn(n∈N*)．求证：|b1＋b2＋…＋b n|≤12－12n(n∈N*)．(十七)21. A. 证明：连结AE.∵ BE 是圆O 的直径，∴ ∠BAE ＝90°.(2分) ∴ ∠BAE ＝∠ADC.(4分)∵ ∠BEA ＝∠ACD ，∴ Rt △BEA ∽Rt △ACD.(7分) ∴ BE BA ＝AC AD，∴ BA ·AC ＝BE·AD.(10分) B. 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 5－4 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 2，(3分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，5a ＝－1，3c －4d ＝－1，5c ＝2.(5分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－1320，c ＝25，d ＝1120.(9分) 即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15 －1320 25 1120.(10分) C. 解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，(2分) 圆C 的普通方程为(x －3)2＋y 2＝9.(4分)直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程，得t 2＋2(3－1)t －1＝0，(6分)设该方程两根为t 1，t 2，则t 1·t 2＝－1.(8分)∴ MA ·MB ＝|t 1·t 2|＝1.(10分)D. 证明：因为 右－左＝2x 4－2x 3－2x ＋2(2分) ＝2(x －1)(x 3－1)＝2(x －1)2(x 2＋x ＋1)(4分)＝2(x －1)2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥0，(8分) 所以，原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫142×34×14＝9256.(4分) (2) 由题意，得X ＝0，1，2，3， P(X ＝0)＝C 04×⎝⎛⎭⎫344＝81256， P(X ＝1)＝C 14×14×⎝⎛⎭⎫343＝2764， P(X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫142×⎝⎛⎭⎫342＝27128， P(X ＝3)＝1－81256－2764－27128＝13256，(8分) ∴ X 的分布列为(10分)23. 证明：① 当n ＝2时，a 1＝－a 2，∴ 2|a 1|＝|a 1|＋|a 2|≤1，即|a 1|≤12， ∴ |b 1＋b 2|＝|a 1＋a 22|＝|a 1|2≤14＝12－12×2，即当n ＝2时，结论成立．(2分) ② 假设当n ＝k(k ∈N *且k ≥2)时，结论成立， 即当a 1＋a 2＋…＋a k ＝0，且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |≤1时，有|b 1＋b 2＋…＋b k |≤12－12k.(3分) 则当n ＝k ＋1时，由a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＝0，且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1， ∵ 2|a k ＋1|＝|a 1＋a 2＋…＋a k |＋|a k ＋1|≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1，∴ |a k ＋1|≤12.(5分) ∵ a 1＋a 2＋…＋a k －1＋(a k ＋a k ＋1)＝0，且 |a 1|＋|a 2|＋…＋|a k －1|＋|a k ＋a k ＋1|≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1， 由假设可得|b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k ＋a k ＋1k |≤12－12k，(7分) ∴ |b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1|＝|b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k k ＋a k ＋1k ＋1| ＝|(b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k ＋a k ＋1k )＋(a k ＋1k ＋1－a k ＋1k )| ≤12－12k ＋|a k ＋1k ＋1－a k ＋1k| ＝12－12k ＋⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1|a k ＋1| ≤12－12k ＋(1k －1k ＋1)×12＝12－12（k＋1），即当n＝k＋1时，结论成立．综上，由①和②可知，结论成立．(10分)。

2017年安徽省宣城市高考数学二模试卷(理科）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设(1+i）（x+yi）=2，其中i为虚数单位，x,y是实数，则｜2x+yi|=（）A．1 B．C．D．2．已知集合A=｛x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x｜2x﹣1≥1}，则A∩B=（)A．B．(﹣∞，1）C．22．(10分）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是(t为参数）（1)若a=2,直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求｜MN｜的最大值；(2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．23．已知f（x）=｜ax﹣1｜,不等式f（x)≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅰ）求a的值；(II）若＜|k｜存在实数解，求实数k的取值范围．2017年安徽省宣城市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．设（1+i）(x+yi）=2，其中i为虚数单位，x，y是实数，则|2x+yi|=( ）A．1 B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数相等的条件列式求得x,y的值,然后代入模的公式求模．【解答】解：由(1+i）（x+yi）=2，得：x﹣y+（x+y）i=2，则,解得x=1，y=﹣1．∴|2x+yi｜=｜2﹣i｜==．故选:D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数模的求法,是基础题．2．已知集合A=｛x|x2﹣2x﹣3＜0｝，集合B=｛x|2x﹣1≥1}，则A ∩B=( ）A．B．（﹣∞，1）C．≥0在（，）上恒成立，∵e x＞0在(,）上恒成立,∴（1﹣a)sinx+（1+a）cosx≥0在(，）上恒成立,∴a（sinx﹣cosx）≤sinx+cosx在(,)上恒成立∴a≤，设g（x）=，∴g′（x）=＜0在（,)上恒成立，∴g（x）在（，）上单调递减，∴g(x)＞g（）=1,∴a≤1，故选：A．【点评】本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系，关键是分离参数,构造函数,属于中档题．二、填空题（2017•宣城二模）｜sinx｜dx等于 4 ．【考点】67：定积分．【分析】先根据对称性，只算出0﹣π的图形的面积再两倍即可求出所求．【解答】解：∫02π|sinx｜dx=2∫0πsinxdx=2(﹣cosx）|0π=2（1+1)=4．故答案为:4【点评】本题主要考查了定积分，对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．14．已知向量,满足，，，则= 2．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】向量的数量积的运算和向量模即可求出答案．【解答】解：∵，，，∴｜+|2=｜｜2+||2+2•，∴2•=1+4﹣5=0,∴|2﹣|2=4|｜2+|｜2﹣4•=4+4=8,∴｜2﹣｜=2故答案为:【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量模的计算，属于基础题．15．在△ABC中，，,若最大边长为63，则最小边长为25 ．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据三角函数值推出角的范围,再分类讨论得到A是锐角，再根据两角和的正弦公式求出sinC，根据正弦定理即可求出a，问题得以解决．【解答】解：若A为钝角，∵sinA=＜，＞cosB=＞，∴150＜A＜180°,30°＜B＜60°，∴A+B＞180°，矛盾，故A为锐角，∵sinA=＜，＞cosB=＞，∴0＜A＜30°＜B＜60°，且cosA=,sinB=∴C为钝角，∴c最大，最大为63,a最小，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，由正弦定理可得=，∴a=×=25，故最小为a=25，故答案为:25【点评】本题考查了同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和诱导公式，以及正弦定理，属于中档题16．已知P是圆x2+y2=4上一点，且不在坐标轴上,A(2,0），B（0，2)，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则｜AN｜+2｜BM|的最小值为8 ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出直线PA，PB的方程，可得M，N的坐标，得出|AN|•|BM｜为定值为8，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：设P（x0,y0），直线PA的方程为y=x+2，令y=0得M（，0)．直线PB的方程为y=（x﹣2），令x=0得N（0，）．∴｜AN｜•|BM｜=（2﹣）(2﹣）=4+4×=8,∴｜AN｜+2｜BM|≥2=8,故｜AN｜+2｜BM|的最小值为8．故答案为8．【点评】本题考查圆的方程，考查直线的方程，考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2017年江苏省泰州市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）已知集合A＝{0，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的模是．3．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．4．（5分）现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是．5．（5分）100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是．7．（5分）现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm．8．（5分）函数f（x）＝的定义域是．9．（5分）已知{a n}是公差不为0 的等差数列，S n是其前n项和，若a2a3＝a4a5，S9＝1，则a1的值是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2＝1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2＝9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是．11．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若•＝﹣7，则•的值是．12．（5分）在△ABC中，已知AB＝2，AC2﹣BC2＝6，则tan C的最大值是．13．（5分）已知函数f（x）＝其中m＞0，若函数y＝f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是．14．（5分）已知对任意的x∈R，3a（sin x+cos x）+2b sin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b 取得最小值时，a的值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程. 15．（14分）已知sin（α+）＝，α∈（，π）．求：（1）cosα的值；（2）sin（2α﹣）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值；（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且＝，求直线AB的斜率．18．（16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈，≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）＝，g（x）＝lnx，其中e为自然对数的底数．（1）求函数y＝f（x）g（x）在x＝1处的切线方程；（2）若存在x1，x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）＝λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足：①|a1|≠|a2|；②r（n﹣p）S n+1＝（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，其中r，p∈R，且r≠0．（1）求p的值；（2）数列{a n}能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当r＝2时，数列{a n}是等差数列．A.[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，∠ACB＝∠ADC．求证：AD•BC＝2AC•CD．B.[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）设矩阵A满足：A＝，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．C.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．D.[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y，z均为正实数，且xyz＝1，求证：++≥xy+yz+zx．【必做题】每小题10分，共计20分.25．（10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．26．（10分）设n≥2，n∈N*，有序数组（a1，a2，…，a n）经m次变换后得到数组（b m，1，b m，2，…，b m，n），其中b1，i＝a i+a i+1，b m，i＝b m﹣1，i+b m﹣1，i+1（i＝1，2，…，n），a n+1＝a1，b m﹣1，n+1＝b m﹣1，1（m≥2）．例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）．（1）若a i＝i（i＝1，2，…，n），求b3，5的值；（2）求证：b m，i＝a i+j∁m j，其中i＝1，2，…，n．（注：i+j＝kn+t时，k∈N*，i＝1，2，…，n，则a i+j＝a1）2017年江苏省泰州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）已知集合A＝{0，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∩B＝{0，3}．【解答】解：集合A＝{0，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∩B＝{0，3}；故答案为：{0，3}2．（5分）已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的模是．【解答】解：∵z＝＝，∴．故答案为：．3．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．【解答】解：模拟执行程序，可得S＝1，I＝1满足条件I＜8，S＝3，I＝4满足条件I＜8，S＝5，I＝7满足条件I＜8，S＝7，I＝10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．4．（5分）现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是180．【解答】解：由频率分布表知：纤维长度不小于37.5mm的频率为：＝0.18，∴估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是1000×0.18＝180．故答案为：180．5．（5分）100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是．【解答】解：在100张卡片上分别写上1至100这100个数字，从中任取一张共有100种取法，其中所得卡片上的数字为6的倍数的数是：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，96共16个，∴所得卡片上的数字为6的倍数的数共有16个．∴所得卡片上的数字为6的倍数的概率P＝＝，故答案为：．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是2．【解答】解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|＝x+1＝3，∴x＝2，故答案为：2．7．（5分）现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm．【解答】解：设该铁球的半径为r，∵底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，∴锥体的母线、半径、高构成直角三角形，∴h＝＝4，锥体体积V＝×π×32×4＝12π，圆球体积＝锥体体积V＝＝12π，解得r＝．故答案为：．8．（5分）函数f（x）＝的定义域是[﹣2，2]．【解答】解：由lg（5﹣x2）≥0，得5﹣x2≥1，即x2≤4，解得﹣2≤x≤2．∴函数f（x）＝的定义域是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．9．（5分）已知{a n}是公差不为0 的等差数列，S n是其前n项和，若a2a3＝a4a5，S9＝1，则a1的值是．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2a3＝a4a5，S9＝1，∴，解得：a1＝，故答案为：．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2＝1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2＝9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是x2+y2＝81．【解答】解：由题意，圆C与圆C1和圆C2的公共弦分别为圆C1和圆C2的直径，设C（x，0），则（x﹣4）2+（0﹣8）2+1＝（x﹣6）2+（0+6）2+9，∴x＝0，∴圆C的方程是x2+y2＝81．故答案为x2+y2＝81．11．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若•＝﹣7，则•的值是9．【解答】解：平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，∴+＝；若•＝﹣7，则（+）•（+）＝+•+•+•＝+•（+）﹣＝32﹣＝﹣7；∴＝16，∴||＝||＝4；∴•＝（+）•（+）＝•+•+•+＝﹣+•（+）+＝﹣42+0+52＝9．12．（5分）在△ABC中，已知AB＝2，AC2﹣BC2＝6，则tan C的最大值是．【解答】解：∵AB＝c＝2，AC2﹣BC2＝b2﹣a2＝6，∴由余弦定理可得：4＝a2+b2﹣2ab cos C，∴（b2﹣a2）＝a2+b2﹣2ab cos C，∴（）2﹣2××cos C+＝0，∵△≥0，∴可得：cos C≥，∵b＞c，可得C为锐角，又∵tan C在（0，）上单调递增，∴当cos C＝时，tan C取最大值，∴tan C＝＝＝．故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）＝其中m＞0，若函数y＝f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是（0，）．【解答】解：1、当x＜0时，f（f（x））＝（﹣x+m）2﹣1，图象为开口向上的抛物线的在y 轴左侧的部分，顶点为（0，m2﹣1）2、当0≤x＜1时，f（f（x））＝﹣x2+1+m，图象为开口向下的抛物线在0≤x＜1之间的部分，顶点为（0，m+1）．根据题意m＞0，所以m+1＞13、当x≥1时，f（f（x））＝（x2﹣1）2﹣1，图象为开口向上的抛物线在x＝1右侧的部分，顶点为（1，﹣1）根据题意，函数y＝f（f（x））﹣1有3个不同的零点，即f（f（x））的图象与y＝1有3个不同的交点．根据以上分析的3种情况，第2及第3种情况的图象分别与y＝1有不同的2个交点，所以只需要第1种情况与y＝1有1个交点即可，所以只要m2﹣1＜1即可，解得m＜．再根据题意m＞0可得m的取值范围为（0，）故答案为（0，）．14．（5分）已知对任意的x∈R，3a（sin x+cos x）+2b sin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b取得最小值时，a的值是﹣．【解答】解：由题意可令sin x+cos x＝﹣，两边平方可得1+2sin x cos x＝，即有sin2x＝﹣，代入3a（sin x+cos x）+2b sin2x≤3，可得﹣a﹣b≤3，可得a+b≥﹣2，当a+b＝﹣2时，令t＝sin x+cos x＝sin（x+）∈[﹣，]，即有sin2x＝t2﹣1，代入3a（sin x+cos x）+2b sin2x≤3，可得﹣2bt2+3（2+b）t+3+2b≥0，对t∈[﹣，]恒成立，则△＝9（2+b）2+8b（3+2b）≤0，即为（5b+6）2≤0，但（5b+6）2≥0，则5b+6＝0，可得b＝﹣，a＝﹣．而当b＝﹣，a＝﹣时，3a（sin x+cos x）+2b sin2x＝﹣t﹣（t2﹣1）＝﹣（t+）2+3≤3．所以当a+b取得最小值﹣2，此时a＝﹣．另解：由a+b取得最小值，故令3（sin x+cos x）＝2sin2x＝λ＜0，则a+b≥，即a+b的最小值为，t＝sin x+cos x＝sin（x+）∈[﹣，]，sin2x＝t2﹣1，则λ＝3t＝2（t2﹣1），解得t＝﹣，则λ＝﹣，此时﹣（a+b）≤3，解得a+b≥﹣2，即有当a+b＝﹣2时，3at+2（﹣2﹣a）（t2﹣1）≤3，对t∈[﹣，]恒成立，即2（a+2）t2﹣3at﹣2a﹣1≥0对t∈[﹣，]恒成立，设f（t）＝2（a+2）t2﹣3at﹣2a﹣1，由f（﹣）＝0且为f（t）的最小值，所以只能把f（t）看做t为自变量的函数，则2（a+2）＞0，＝﹣，解得a＝﹣．故答案为：﹣．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程. 15．（14分）已知sin（α+）＝，α∈（，π）．求：（1）cosα的值；（2）sin（2α﹣）的值．【解答】解：（1）sin（α+）＝，即sinαcos+cosαsin＝，化简：sinα+cosα＝…①sin2α+cos2α＝1…②．由①②解得cosα＝﹣或cosα＝∵α∈（，π）．∴cosα＝﹣（2）∵α∈（，π）．cosα＝﹣∴sinα＝，那么：cos2α＝1﹣2sin2α＝，sin2α＝2sinαcosα＝∴sin（2α﹣）＝sin2αcos﹣cos2αsin＝．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．【解答】证明：（1）由题意，D，E分别为A1B，A1C的中点，∴DE∥BC，∵DE⊄平面B1BCC1，BC⊂平面B1BCC1，∴DE∥平面B1BCC1；（2）∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AA1＝A，∴BC⊥平面A1ACC1，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ACC1．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值；（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且＝，求直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e＝＝＝，则＝，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，，②解得：a2＝9，b2＝5，∴a＝3，b＝，（2）方法一：由（1）可知：＝，则椭圆方程：5x2+9y2＝5a2，设直线OC的方程为x＝my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2＝5a2，∴y2＝，由y2＞0，则y2＝，由＝，则AB∥OC，设直线AB的方程为x＝my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy＝0，由y＝0，或y1＝，由＝，则（x1+a，y1）＝（x2，y2），则y2＝2y1，则＝2×，（m＞0），解得：m＝，则直线AB的斜率＝；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2＝5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由＝，则（x1+a，y1）＝（x2，y2），则y2＝2y1，由B，C在椭圆上，∴，解得：，则直线直线AB的斜率k＝＝．直线AB的斜率．18．（16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈，≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．【解答】解：（1）设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC＝3BC．△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC＝＝，∴∠BAC＝17°，∴缉私艇应向北偏东47°方向追击，△ABC中，由余弦定理可得cos120°＝，∴BC≈1.68615．B到边界线l的距离为3.8﹣4sin30°＝1.8，∵1.68615＜1.8，∴能最短时间在领海内拦截成功；（2）以A为原点，建立如图所示的坐标系，则B（2，2），设缉私艇在P（x，y）出与走私船相遇，则P A＝3PB，即x2+y2＝9[（x﹣2）2+（y﹣2）2]，即（x﹣）2+（y﹣）2＝，∴P的轨迹是以（，）为圆心，为半径的圆，∵圆心到边界线l：x＝3.8的距离为1.55，大于圆的半径，∴无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．19．（16分）已知函数f（x）＝，g（x）＝lnx，其中e为自然对数的底数．（1）求函数y＝f（x）g（x）在x＝1处的切线方程；（2）若存在x1，x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）＝λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）y＝f（x）g（x）＝，y′＝，x＝1时，y＝0，y′＝，故切线方程是：y＝x﹣；（2）证明：由g（x1）﹣g（x2）＝λ[f（x2）﹣f（x1）]，得：g（x1）+λf（x1）＝g（x2）+λf（x2），令h（x）＝g（x）+λf（x）＝lnx+，（x＞0），h′（x）＝，令ω（x）＝e x﹣λx，则ω′（x）＝e x﹣λ，由x＞0，得e x＞1，①λ≤1时，ω′（x）＞0，ω（x）递增，故h′（x）＞0，h（x）递增，不成立；②λ＞1时，令ω′（x）＝0，解得：x＝lnλ，故ω（x）在（0，lnλ）递减，在（lnλ，+∞）递增，∴ω（x）≥ω（lnλ）＝λ﹣λlnλ，令m（λ）＝λ﹣λlnλ，（λ＞1），则m′（λ）＝﹣lnλ＜0，故m（λ）递减，又m（e）＝0，若λ≤e，则m（λ）≥0，ω（x）≥0，h（x）递增，不成立，若λ＞e，则m（λ）＜0，函数h（x）有增有减，满足题意，故λ＞e；（3）由f（x）g（x）≤a（x﹣1）得lnx﹣ae x（x﹣1）≤0，令F（x）＝lnx﹣ae x（x﹣1），x∈（0，1]，则F′（x）＝﹣axe x＝xe x（﹣a），F′（1）＝﹣a①a≤，因为≥，xe x＞0，所以F′（x）≥0，所以F（x）在（0，+∞]上为单调增函数，所以F（x）≤F（1）＝0，故原不等式恒成立．②法一：当a＞，由（2）知e x≥ex，F′（x）≤﹣aex2＝，当（ae）＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）为单调减函数．所以F（x）＞F（1）＝0，不合题意．法二：当a＞，一方面F′（1）＝1﹣ae＜0．另一方面，∃x1＝＜1，F（x1）≥﹣aex1＝x1（﹣ae）＝x1ae（ae﹣1）＞0．所以∃x1∈（x1，1），使F′（x0）＝0，又，F′（x）在（0，+∞）上为单调减函数，所以当x0＜x＜1时，使F′（x）＜0，故F（x）在（x0，1）上为单调减函数．所以F（x）＞F（1）＝0，不合题意．综上：a≤20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足：①|a1|≠|a2|；②r（n﹣p）S n+1＝（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，其中r，p∈R，且r≠0．（1）求p的值；（2）数列{a n}能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当r＝2时，数列{a n}是等差数列．【解答】解：（1）n＝1时，r（1﹣p）（a1+a2）＝2a1﹣2a1，其中r，p∈R，且r≠0．又|a1|≠|a2|．∴1﹣p＝0，解得p＝1．（2）设a n＝ka n﹣1（k≠±1），r（n﹣1）S n+1＝（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，∴rS3＝6a2，2rS4＝12a3+4a1，化为：r（1+k+k2）＝6k，r（1+k+k2+k3）＝6k2+2．联立解得r＝2，k＝1（不合题意），舍去，因此数列{a n}不是等比数列．（3）证明：r＝2时，2（n﹣1）S n+1＝（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，∴2S3＝6a2，4S4＝12a3+4a1，6S5＝20a4+10a1．化为：a1+a3＝2a2，a2+a4＝2a3，a3+a5＝2a4．假设数列{a n}的前n项成等差数列，公差为d．则2（n﹣1）＝（n2+n）[a1+（n﹣1）d]+（n2﹣n﹣2）a1，化为a n+1＝a1+（n+1﹣1）d，因此第n+1项也满足等差数列的通项公式，综上可得：数列{a n}成等差数列．A.[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，∠ACB＝∠ADC．求证：AD•BC＝2AC•CD．【解答】证明：∵∠ACB＝∠ADC，AD是⊙O的直径，∴AD垂直平分BC，设垂足为E，∵∠ACB＝∠EDC，∠ACD＝∠CED，∴△ACD∽△CED，∴，∴AD•BC＝AC•CD，∴AD•BC＝2AC•CD．B.[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）设矩阵A满足：A＝，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：A＝，设B＝，则丨B丨＝6，B*＝，则B﹣1＝×B*＝×＝，A＝×B﹣1＝＝，A＝，丨A丨＝﹣，A*＝A﹣1＝×＝，矩阵A的逆矩阵A﹣1＝．C.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．【解答】解：直线（l为参数）与曲线（t为参数）的普通方程分别为x﹣y＝﹣，y2＝8x，联立可得x2﹣5x+＝0，∴|AB|＝＝4．D.[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y，z均为正实数，且xyz＝1，求证：++≥xy+yz+zx．【解答】证明：∵x，y，z均为正实数，且xyz＝1，∴++＝++，∴由柯西不等式可得（++）（xy+yz+zx）≥（++）2＝（++）2＝（xy+yz+zx）2．∴++≥xy+yz+zx．【必做题】每小题10分，共计20分.25．（10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．【解答】解：（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P（A）＝1﹣P ＝1﹣＝．（2）由题意可得：X＝5a，6a，7a，8a．P（X＝5a）＝＝＝，P（X＝6a）＝＝＝，P（X＝7a）＝＝＝，P（X＝8a）＝＝＝．E（X）＝5a×+6a×+7a×+8a×＝a．26．（10分）设n≥2，n∈N*，有序数组（a1，a2，…，a n）经m次变换后得到数组（b m，1，b m，2，…，b m，n），其中b1，i＝a i+a i+1，b m，i＝b m﹣1，i+b m﹣1，i+1（i＝1，2，…，n），a n+1＝a1，b m﹣1，n+1＝b m﹣1，1（m≥2）．例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）．（1）若a i＝i（i＝1，2，…，n），求b3，5的值；（2）求证：b m，i＝a i+j∁m j，其中i＝1，2，…，n．（注：i+j＝kn+t时，k∈N*，i＝1，2，…，n，则a i+j＝a1）【解答】解：（1）依题意（1，2，3，4，5，6，7，8，…，n），第一次变换为（3，5，7，9，11，13，15，…，n+1），第二次变换为（8，12，16，20，24，28，…，n+4），第三次变换为（20，28，36，44，52，…，n+12），∴b3，5＝52，（2）用数学归纳法证明：对m∈N*，b m，i＝a i+j∁m j，其中i＝1，2，…，n，（i）当m＝1时，b1，i＝a i+j C1j，其中i＝1，2，…，n，结论成立，（ii）假设m＝k时，k∈N*时，b k，i＝a i+j∁k j，其中i＝1，2，…，n，则m＝k+1时，b k+1，i＝b k，i+b k，i+1＝a i+j∁k j+a i+j+1∁k j＝a i+j∁k j+a i+j+1∁k j﹣1，＝a i∁k0+a i+j（∁k j+∁k j﹣1）+a i+k+1∁k k，＝a i C k+10+a i+j C k+1j+a i+k+1C k+1k+1，＝a i+j C k+1j，所以结论对m＝k+1时也成立，由（i）（ii）可知，对m∈N*，b m，i＝a i+j∁m j，其中i＝1，2，…，n成立。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，弦CA ，BD 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ，连结FD.求证：∠DEA ＝∠DFA.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 m n 1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝t ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，试判断直线l 与曲线C 的位置关系．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求1x ＋2y ＋3z的最小值．【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为12，甲胜丙、乙胜丙的概率都为23，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判． (1) 求第3局甲当裁判的概率；(2) 记前4局中乙当裁判的次数为X ，求X 的概率分布与数学期望．23. 记f(n)＝(3n ＋2)(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2n )(n ≥2，n ∈N *)．(1) 求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2) 当n ≥2，n ∈N *时，试猜想所有f(n)的最大公约数，并证明．(二十)21. A. 证明：连结AD ，∵ AB 是圆O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°，∴ ∠ADE ＝90°.(4分)∵ EF ⊥FB ，∴ ∠AFE ＝90°，∴ A ，F ，E ，D 四点共圆，∴ ∠DEA ＝∠DFA.(10分)B. 解：设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由⎩⎪⎨⎪⎧Mα1＝λ1α1，M α2＝λ2α2，可解得m ＝n ＝0，λ1＝2，λ2＝1.(4分) 又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2，(6分) 所以M 2β＝M 2(α1＋2α2)＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42.(10分) C. 解：直线l 的普通方程为2x －y －2＝0；曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，它表示圆．(4分)由圆心到直线l 的距离d ＝45＝455＜2，得直线l 与曲线C 相交．(10分) D. 解：1x ＋2y ＋3z ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋42y ＋93z (x ＋2y ＋3z) ＝1＋4＋9＋2y x ＋3z x ＋4x 2y ＋12z 2y ＋9x 3z ＋18y 3z(4分) ≥14＋22y x ·4x 2y ＋23z x ·9x 3z ＋212z 2y ·18y 3z＝36， ⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝y ＝z ＝16时等号成立 所以1x ＋2y ＋3z的最小值为36.(10分) 22. 解：(1) 第2局中可能是乙当裁判，其概率为13，也可能是丙当裁判，其概率为23， 所以第3局甲当裁判的概率为13×13＋23×12＝49.(4分) (2) X 可能的取值为0，1，2.(5分)P(X ＝0)＝23×12×23＝29；(6分) P(X ＝1)＝13×⎝⎛⎭⎫13×23＋23×12＋23×12＋23×12×13＝1727；(7分) P(X ＝2)＝13×⎝⎛⎭⎫23×12＋13×13＝427.(8分) 所以X 的数学期望E(X)＝0×29＋1×1727＋2×427＝2527.(10分) 23. 解：(1) 因为f(n)＝(3n ＋2)(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2n )＝(3n ＋2)C 3n ＋1，所以f(2)＝8，f(3)＝44，f(4)＝140.(3分)(2) 由(1)中结论可猜想所有f(n)的最大公约数为4.(4分)下面用数学归纳法证明所有的f(n)都能被4整除即可．①当n＝2时，f(2)＝8能被4整除，结论成立；(5分)②假设n＝k时，结论成立，即f(k)＝(3k＋2)C3k＋1能被4整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(3k＋5)C3k＋2＝(3k＋2)C3k＋2＋3C3k＋2＝(3k＋2)(C3k＋1＋C2k＋1)＋(k＋2)C2k＋1(7分)＝(3k＋2)C3k＋1＋(3k＋2)C2k＋1＋(k＋2)C2k＋1＝(3k＋2)C3k＋1＋4(k＋1)C2k＋1，此式也能被4整除，即n＝k＋1时结论也成立．综上所述，所有f(n)的最大公约数为4.(10分)。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，直线AB 与圆O 相切于点B ，直线AO 交圆O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ，且AD ＝3DC ，BC ＝2，求圆O 的直径．B. (选修4-2：矩阵与变换)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.设P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)已知函数f(x)＝3x＋6，g(x)＝14－x，若存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.(1) 证明：平面DFC⊥平面D1EC；(2) 求二面角ADFC的大小．23. 在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如下图所示．(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2) 已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C r n，C r＋1n，C r＋2n ，C r＋3n不能构成等差数列．(十四)21. A. 解：因为DE 是圆O 的直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°.(3分)又AB 切圆O 于点B ，得∠ABD ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA.(5分)即BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝32，所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3.(8分)由切割线定理得AB 2＝AD·AE ，即AE ＝AB 2AD ＝6， 故DE ＝AE －AD ＝3，即圆O 的直径为3.(10分)B. 解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002，(4分) 设(x ，y)是曲线y ＝sinx 上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(x′，y ′)． 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，(6分) 所以x′＝12x ，y ′＝2y ，则x ＝2x′，y ＝12y ′，(8分) 代入y ＝sinx ，得12y ′＝sin2x ′，即y′＝2sin2x ′. 即曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y ＝2sin2x.(10分)C. 解：由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，(3分)所以x 2＋(y －3)2＝3.(5分)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，C(0，3)， PC ＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12.(8分) 故当t ＝0时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3，0)．(10分)D. 解：存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立，等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a ，(2分)因为f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，(4分)由柯西不等式：(3×x ＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)(x ＋2＋14－x)＝64，(7分) 所以f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，(9分) 故常数a 的取值范围是(－∞，8)．(10分)22. (1) 证明：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D 1(0，0，2)．∵ E 为AB 的中点，∴ E 点坐标为E(1，1，0)．∵ D 1F ＝2FE ，∴ D 1F →＝23D 1E →＝23(1，1，－2)＝⎝⎛⎭⎫23，23，－43， DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0，0，2)＋⎝⎛⎭⎫23，23，－43＝⎝⎛⎭⎫23，23，23.(2分) 设n ＝(x ，y ，z)是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，2y ＝0.取x ＝1得平面FDC 的一个法向量n ＝(1，0，－1)．(3分)设p ＝(x ，y ，z)是平面ED 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y －43z ＝0，2y －2z ＝0.取y ＝1得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1，1，1)．(4分)∵ n ·p ＝(1，0，－1)·(1，1，1)＝0，∴ 平面DFC ⊥平面D 1EC.(5分)(2) 解：设q ＝(x ，y ，z)是平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧q ·DF →＝0，q ·DA →＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，x ＝0.取y ＝1得平面ADF 的一个法向量q ＝(0，1，－1)．(7分) 设二面角ADFC 的平面角为θ，由题中条件可知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 则cos θ＝－⎪⎪⎪⎪n·q |n||q|＝－0＋0＋12×2＝－12，(9分) ∴ 二面角ADFC 的大小为120°.(10分)23. (1) 解：杨辉三角形的第n 行由二项式系数C k n ，k ＝0，1，2，…，n 组成．如果第n 行中有C k －1n C k n ＝k n －k ＋1＝34，C k n C k ＋1n ＝k ＋1n －k ＝45， 那么3n －7k ＝－3，4n －9k ＝5，(2分)解这个联立方程组，得k ＝27，n ＝62.(3分)即第62行有三个相邻的数C 2662，C 2762，C 2862的比为3∶4∶5.(4分)(2) 证明：若有n ，r(n ≥r ＋3)，使得C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 成等差数列，则2C r ＋1n ＝C r n ＋C r ＋2n ，2C r ＋2n ＝C r ＋1n ＋C r ＋3n ，即2·n ！（r ＋1）！（n －r －1）！＝n ！r ！（n －r ）！＋n ！（r ＋2）！（n －r －2）！，2·n ！（r ＋2）！（n －r －2）！＝n ！（r ＋1）！（n －r －1）！＋n ！（r ＋3）！（n －r －3）！.(6分)所以有2（r ＋1）（n －r －1）＝1（n －r －1）（n －r ）＋1（r ＋1）（r ＋2）， 2（r ＋2）（n －r －2）＝1（n －r －2）（n －r －1）＋1（r ＋2）（r ＋3）， 经整理得到n 2－(4r ＋5)n ＋4r(r ＋2)＋2＝0，n 2－(4r ＋9)n ＋4(r ＋1)(r ＋3)＋2＝0. 两式相减可得n ＝2r ＋3，于是C r 2r ＋3，C r ＋12r ＋3，C r ＋22r ＋3，C r ＋32r ＋3成等差数列，(8分)而由二项式系数的性质可知C r 2r ＋3＝C r ＋32r ＋3＜C r ＋12r ＋3＝C r ＋22r ＋3，这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．(10分)。

2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学 Ⅰ 试 题 2017.5注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则A B =I ▲ ． 2．已知i 为虚数单位，复数13i z y =+()R y ∈，22i z =-，且121i z z =+，则y = ▲ ．3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布．若利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 ▲ ．4．已知直线20x =为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式．右图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，若输入x 的值为1，则输出S 的值为 ▲ ． 6．已知1Ω是集合{}22(,)1x y x y +„所表示的区域，2Ω是集合{}(,)x y y x „所表示的区域，向区域1Ω内随机的投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为 ▲ ．7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比3q =，34533S S +=，则3a = ▲ ．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为积为 ▲ ．9．已知α是第二象限角，且sin α=tan()2αβ+=-，则tan β= ▲ ．10．已知直线l ：210mx y m +--=，圆C ：22240x y x y +--=，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m = ▲ ．11．在△ABC 中，角,,A B C 对边分别是,,a b c，若满足2cos =2b A c ，则角B 的大小为 ▲ ．12．在△ABC 中，AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，P 是△ABC 所在平面内一点，若4||||AB ACAP AB AC =+u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ，则△PB C 面积的最小值为 ▲ ． 13．已知函数24,0,()3,0,x x x f x x x⎧-⎪=⎨<⎪⎩… 若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b 的取值范围为▲．14．已知,a b均为正数，且20ab a b--=，则22214aba b-+-的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量m,1)x=-,n2(sin,cos)x x=．（1）当π3x=时，求⋅m n的值；（2）若π0,4x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且⋅mn12=-，求cos2x的值．16．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC BC=，90ACD∠=︒．（1）求证：AB⊥平面EDC；（2）若P为FG上任一点，证明EP∥平面BCD．17．（本小题满分14分）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w（单位：百千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：341wx=-+，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x（单位：百元）．（1）求利润函数()L x的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 18．（本小题满分16分）已知函数3()ln f x a x bx =-，a ，b 为实数，0b ≠， e 为自然对数的底数，e 2.71828≈…． （1）当0a <，1b =-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若关于x 的方程()=0f x 在区间(1e]，上有两个不同实数解，求ab的取值范围．19．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(1,0)F -，左准线方程为2x =-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． ①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=u u u r u u u r，PB BF μ=u u u r u u u r．求证：λμ+为定值； ②若A ，B 两点满足OA OB ⊥（O 为 坐标原点），求△AOB 面积的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足21141,2n n n n a a a a a λμ+++==+,其中*N n ∈,λ,μ为非零常数．（1）若3,8λμ==，求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列． ①求实数,λμ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列．试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加）试题2017.5注意事项：1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，如多答，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分. 请选定其中两题．．．．．．，并在相．．．应的．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（选修4－1：几何证明选讲）如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于,A B 两点，DC OB ⊥于点C ， 且2DE BE =，求证：23OC BC =． B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵M 13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值11λ=-及对应的特征向量e 11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 求矩阵M 的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xO y 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线1C 的参数方程为[]2cos (0,2π,32sin x y αααα⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩，为参数)，曲线2C 的极坐标方程为πsin()3a ρθ+=（R a ∈）．若曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个公共点，求实数a 的值．D.（选修4—5：不等式选讲）已知,,a b c 为正实数，求证：222b c a a b c a b c ++++…．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分. 请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分（*N n ∈）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知01()(1)(1)()(1)()n n k k n n nn n nn n n f x C x C x C x k C x n =--++--++--L L ， 其中*,R N N x n k k n ∈∈∈，，„． （1）试求1()f x ，2()f x ，3()f x 的值；（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论．2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学参考答案2017.5一、填空题．1．{}12x x -<< 2．1 3．19.7 4．35．14 6.347．3 8． 9．17 10．-1 11．π6 12．3213．1(,6)(,0]4-∞--U 14．7二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．解：（1）当π3x =时，m 1)=-，n 1)4=， ……………………………4分所以⋅m n 311442=-=．…………………………………………………………6分（2）⋅m n 2sin cos x x x -=11π12cos2sin(2)2262x x x =--=--， ………………………8分若⋅m n 12=-，则π1sin(2)1262x ---，即πsin(2)6x -因为π[0,]4x ∈，所以πππ2663x --剟，所以πcos(2)6x -， ……………10分则ππππ1cos2cos[(2)]cos(2)sin(2)66662x x x x =-+=---⨯ ……………12分12==． ……………………………14分 16．（1）因为平面ABC ⊥平面ACD ，90ACD ∠=︒，即CD ⊥AC ， 平面ABC I 平面ACD =AC ，CD ⊂平面ACD ，所以CD ⊥平面ABC ， ………………………………………………………………3分 又AB ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AB ， ………………………………………………4分 因为AC BC =，E 为AB 的中点，所以CE ⊥AB ， …………………………………6分又CE CD C =I ，CD ⊂平面EDC ，CE ⊂平面EDC ，所以AB ⊥平面EDC ． …………………………………………………………………7分 （2）连EF ，EG ，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，又BD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，所以EF ∥平面BCD ， ………………………………………………………………10分 同理可证EG ∥平面BCD ，且EF I EG =E ，EF ⊂平面BCD ，EG ⊂平面BCD ，所以平面EFG ∥平面BCD ， ………………………………………………………12分 又P 为FG 上任一点，所以EP ⊂平面EFG ，所以EP ∥平面BCD ．……………14分17．解：（1）348()164264311L x x x x x x ⎛⎫=---=-- ⎪++⎝⎭（05x 剟）．………………4分 （2）法一：()4848()643673111L x x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭6743-=…．……………………………………8分 当且仅当()48311x x =++时，即3x =时取等号．……………………………10分 故()max 43L x =．………………………………………………………………12分答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分法二：()()24831L x x '=-+，由()0L x '=得，3x =．……………………………7分 故当()0,3x ∈时，()0L x '>，()L x 在()0,3上单调递增；当()3,10x ∈时，()0L x '<，()L x 在()3,5上单调递减；…………………10分 故()max 43L x =．………………………………………………………………12分 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分 18．解：（1）当1b =-时，函数3()ln f x a x x =+，则323()3a a x f x x x x+'=+=， ………………………………………………………2分所以()ln()3333a a a ag a f a ===--， ……………………………4分令()ln t x x x x =-+，则()ln t x x '=-，令()0t x '=，得1x =， 且当1x =时，()t x 有最大值1， 所以()g a 的最大值为1（表格略），(分段写单调性即可)，此时3a =-．………6分（2）由题意得，方程3ln 0a x bx -=在区间(1e]，上有两个不同实数解，所以3ln a x b x=在区间(1e]，上有两个不同的实数解，即函数1ay b=图像与函数3()ln x m x x =图像有两个不同的交点，…………………9分因为22(3ln 1)()(ln )x x m x x -'=，令()0m x '=，得x所以当x ∈时，()(3e,)m x ∈+∞，……………………………………………14分 当e]x ∈时，3()(3e,e ]m x ∈， 所以,a b 满足的关系式为 33e e a b <…，即ab 的取值范围为33e e ]（，．…………16分 19．解：（1）由题设知2=e ，22222==+a c b c ，即222=a b ，……………………1分 (1,2代入椭圆C 得到2211122+=b b ，则21=b ，22=a ，…………………2分 ∴22:12x C y +=． ……………………………………………………………………3分（2）①由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y k x =+，则(0,)P k ．设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 代入椭圆得2222(1)2x k x ++=，整理得，2222(12)4220k x k x k +++-=，∴22121222422,1212k k x x x x k k --+==++． ……………5分 由λ=u u u r u u u r PA AF ，μ=u u u r u u u r PB BF 知，1212,11x x x x λμ--==++， ……………………………7分 ∴222212122212122244424121244221111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--+++-+++=-=-=-=---+++-++++（定值）．………9分 ②当直线,OA OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积2S =，……………10分 当直线,OA OB 的斜率均存在且不为零时，设1:,:OA y kx OB y x k==-，设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx =代入椭圆C 得到22222x k x +=，∴222112222,2121k x y k k ==++，同理222222222,22k x y k k==++， …………………12分△AOB 的面积2OA OBS ⋅== ………………………………13分令[)211,t k =+∈+∞，S =令1(0,1)u t =∈，则23S ⎡=⎢⎣⎭． ……………15分综上所述，23S ⎡∈⎢⎣⎦． ………………………………………………………16分20．解：（1）当3,8λμ==时，21384(32)(2)3222n n n n n n n n a a a a a a a a +++++===+++， ∴113(1)n n a a ++=+．……………………………………………………………………2分 又10n a +≠，不然110a +=，这与112a +=矛盾，…………………………………3分 ∴{}1n a +为2为首项，3为公比的等比数列，∴1123n n a -+=⋅，∴1231n n a -=⋅-． …………………………………………………4分 （2）①设1(1)1n a a n d dn d =+-=-+， 由2142n n n n a a a a λμ+++=+得21(2)4n n n n a a a a λμ++=++，∴2(3)(1)(1)(1)4dn d dn dn d dn d λμ-++=-++-++， …………………………5分 ∴222222(4)3(2(1))(1)(1)4d n d d n d d n d dn d d λλμλμ⋅+--+=+-++-+-+ 对任意*∈N n 恒成立． ………………………………………………………………7分∴22224(2(1))3(1)(1)4d d d d d d d d d λλμλμ⎧=⎪-=-+⎨⎪-+=-+-+⎩，，，即122λ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩u d d ，，，∴1,4,2λ===u d ．…………9分综上，14,21n a n λμ===-，． ……………………………………………………10分②由①知2(121)2n n n S n +-==．设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数．ο1若三个奇数一个偶数，设121212,,,x y z S S S S ++是满足条件的四项，则2221(21)(21)42017x y z +++++=，∴2222()1007x x y y z ++++=，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去． ……11分ο2若一个奇数三个偶数，设1222,,,x y z S S S S 是满足条件的四项，则222214442017x y z +++=，∴222504x y z ++=． ……………………………12分由504为偶数知，,,x y z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数． 1）若,,x y z 中一个偶数两个奇数，不妨设111221,21,x x y y z z ==+=+，则222111112()251x y y z z ++++=，这与251为奇数矛盾． ………………………13分 2）若,,x y z 均为偶数，不妨设1112,2,2x x y y z z ===，则222111126x y z ++=，继续奇偶分析知111,,x y z 中两奇数一个偶数，不妨设122x x =，1221y y =+，1221z z =+，则2222222231x y y z z ++++=． …14分 因为2222(1),(1)y y z z ++均为偶数，所以2x 为奇数，不妨设220y z 剟，当21x =时，22222230y y z z +++=，22214y y +„，检验得20y =，25z =，21x =， 当23x =时，22222222y y z z +++=，22210y y +„，检验得21y =，24z =，23x =， 当25x =时，2222226y y z z +++=，2222y y +„，检验得20y =，22z =，25x =， 即14844,,,S S S S 或者1122436,,,S S S S 或者142040,,,S S S S 满足条件，综上所述，{}14844,,,S S S S ，{}1122436,,,S S S S ，{}142040,,,S S S S 为全部满足条件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分（第Ⅱ卷 理科附加卷）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分.A ．（选修4－1 几何证明选讲）.解：连结OD ，设圆的半径为R ，BE x =，则OD R =，22DE BE x ==． …………2分在Rt △ODE 中，∵DC OB ⊥，∴2OD OC OE =g ，即2()R OC R x =+g， ① 又∵直线DE 切圆O 于点D ，则2DE BE OE =g ，即24()x x R x =+g ，② ………6分 ∴23R x =，代入①，22()3R R OC R =+g ，35ROC =， ……………………………8分 ∴BC OB OC =-35R R =-25R=， ∴23OC BC =． ……………………………………………………………………10分 B ．（选修4—2：矩阵与变换）解：由题知，111111113131131a a a b b b ---=-⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==-⋅=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，，……………………4分 ∴2,2a b ==，1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.…………………………………………………………6分 12det()1223432M ==⨯-⨯=-， …………………………………………………8分∴111223144M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………………10分 C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：2222((3)4cos 4sin 4x y αα+-=+=，∴曲线C 的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=． ……………………………………4分1sin()sin cos 32a a πρθρθθ+=⇒=，∴曲线D20y a +-=， ……………………………………6分曲线C 圆心到直线D的距离为2d =， ………………………8分∴32-=a ，∴1=a 或5a =．………………………………10分（少一解，扣一分） D ．（选修4—5：不等式选讲） 解法一：基本不等式∵22b a b a +…，22c b c b +…，22a c a c +…，∴222b c a a b c a b c +++++222a b c ++…， ………………………………………6分∴222b c a a b c a b c++++…， ………………………………………………………10分解法二：柯西不等式2222()()()b c a a b c b c a a b c++++++…，∴222b c aa b c a b c ++++…， …………………………………………………………10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 22．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A ，则111221352()5C C C P A C ==．… …………………………………………………………2分 答：在一局游戏中得3分的概率为25．………………………………………………3分 （2）X 的所有可能取值为1,2,3,4．在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C C C +=，…………………………………5分 2122351(1)5C C P X C ===； 436(2)51025P X ==⨯=； 43228(3)(1)5105125P X ==⨯-⨯=； 43342(4)(1)5105125P X ==⨯-⨯=．所以………………………………………………………………………………………………8分 ∴162842337()1234525125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………………10分23．解：(1)01111()(1)11f x C x C x x x =--=-+=；………………………………………1分0212222222()(1)(2)f x C x C x C x =--+- 2222(21)(44)2x x x x x =--++-+=； ………………………………………2分0313233333333()(1)(2)(3)f x C x C x C x C x =--+---33333(1)3(2)(3)6x x x x =--+---=． ………………………………………3分（2）猜测：()!n f x n =． …………………………………………………………………4分而!!!()!(1)!()!k n n n kC k k n k k n k ==---，11(1)!!(1)!()!(1)!()!k n n n nC n k n k k n k ---==----， 所以11k k n n kC nC --=． …………………………………………………………………5分用数学归纳法证明结论成立．①当1n =时，1()1f x =，所以结论成立．②假设当n k =时，结论成立，即01()(1)(1)()!k k k k k k k kk f x C x C x C x k k =--++--=L ． 当1n k =+时，01111111111()(1)(1)(1)k k k k k k k k k f x C x C x C x k +++++++++=--++---L 0111111111(1)(1)(1)()()(1)(1)k k k k k k k k k k k k C x C x x C x k x k C x k ++++++++=---++---+---L011111211111111[(1)(1)()][(1)2(2)(1)()](1)(1)kk kk kk k k k k k k k k k k k k k k x Cx Cx Cx k C x C x kC x k C x k +++++++++++=--++--+---+--+---L L010*******[()(1)(1)()()](1)[(1)(2)(1)()](1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x C x C C x C C x k k x C x C x k C x k x k -+-+++=-+-++-+-++---+--+-----L L010*******[(1)(1)()][(1)(1)()](1)[(1)(2)(1)()](1)(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk x C x C x C x k x C x C x k k x C x C x k x C x k k x k --+-++=--++----++--++---+--+----+---L L L010-11111[(1)(1)()][(1)(1)()(1)(1)](1)[(1)(2)(1)()(1)(1)]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x C x C x C x k x C x C x k C x k k x C x C x k x k ---=--++----++--+---++---+--+---L L L （*）由归纳假设知（*）式等于!!(1)!(1)!x k x k k k k ⋅-⋅++⋅=+． 所以当1n k =+时，结论也成立．综合①②，()!n f x n =成立． ………………………………………………………10分。