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中考压轴题圆含答案

中考压轴题（一）--------与圆有关压轴

题

1.如图，在M 中，AB 所对的圆心角为120，已知圆的半径为2cm ，并建立如图所示的直角坐标系．

（1）求圆心M 的坐标；

（2）求经过A B C ，，三点的抛物线的解析式；

（3）点D 是弦AB 所对的优弧上一动点，求四边形ACBD 的最大面积；（4）在（2）中的抛物线上是否存在一点P ，

相似若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请[解] （1）如图（1），连结MA MB ，．则120AMB ∠=60CMB ∴∠=，30OBM ∠=．

OM MB ∴==，(01)

M ∴，．（2）由A B C ，，三点的特殊性与对称性，

知经过A B C ，，三点的抛物线的解析式为2y ax =1OC MC MO =-=，OB =

(01)C B ∴-，，．

113c a ∴=-=，2113

y x ∴=-．

（3）ABC ABD ACBD S S S =+△△四边形，又ABC S △与AB 均为定值，

∴当ABD △边AB 上的高最大时，ABD S △最大，此时点D 为

与y 轴的交点，如图1．

2111

222

ABC ABD ACBD S S S AB OC AB OD AB CD ∴=+=

+==△△四边形···．（4）方法1：如图2，ABC △为等腰

三角形，

30AB

ABC BC

∠==，

ABC PAB ∴△∽△等价于

306PAB PB AB PA ∠=====，．

设()P x y ，且0x >，则cos3033323x PA AO =-=-=·，sin303y PA

==·．又

(233)P ，的坐标满足2113y x =-，∴在抛物线21

y x =-上，存在点(233)P ，，使ABC PAB △∽△．

由抛物线的对称性，知点(233)-，也符合题意．∴存在点P ，它的坐标为(233)，或(233)-，

．方法2：

如图（3），当ABC PAB △∽△时，30PAB BAC ∠=∠=，又由（1）知30MAB ∠=，

∴点P 在直线AM 上．

设直线AM 的解析式为y kx b =+，

将(30)(01)A M -，，，代入，解得3

1.k b ?=

???=?

，∴直线AM 的解析式为

1y x =

+．解方程组231113y x y x ?=+????=-??

，得(233)P ，

．又tan 3233

PBx ∠==-，60

PBx ∴∠=．30P ∴∠=，

ABC PAB ∴△∽△．

∴在抛物线2

113

y x =

-上，存在点(233)P ，

，使ABC PAB △∽△．由抛物线的对称性，知点(233)-，也符合题意．∴存在点P ，它的坐标为(233)，或(233)-，

．方法3：

如图3，ABC △为等腰三角形，且3AB BC

=，设()P x y ，则图3

ABC PAB △∽△等价于23PB AB ==，36PA AB ==．

当0x >时，得2222

(3)23(3) 6.

x y x y ?-+=??

?++=?，

解得(233)P ，．又

(233)P ，的坐标满足2113y x =-，∴在抛物线21

y x =-上，存在点(233)P ，，使ABC PAB △∽△．

由抛物线的对称性，知点(2

33)-，也符合题意．∴存在点P ，它的坐标为(233)，或(233)-，

． [点评]本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题，涉及了函数、方程、相似、圆等大量初中数学的重点知识，解这类问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识，须注意的是在第4

小问中涉及了相似三角形的问题，很有可能会有多解的情况出现，此时就要求学生拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。

2.（06湖南湘潭卷）已知：如图，抛物线233

y x x =-

-+x 轴分别交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，M 经过原点O 及点A C ，，点D 是劣弧OA 上一动点（D 点与A O ，不重合）．（1）求抛物线的顶点E 的坐标；（2）求M 的面积；

（3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG =，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与M 相切，并请说明理由．

[解] （1）抛物线233

y x x =--

133x =-++ E ∴的坐标为1?- ?

（2）连AC ；

M 过90A O C AOC =，，，∠AC ∴为O

而3OA OC ==， 2

r ∴== 23M

S r ∴=π=π

（3）当点D 运动到OA 的中点时，直线GA 与M 相切

理由：在Rt ACO △中，3OA OC ==，tan

ACO =

=∠6030

ACO CAO ∴==∠，∠点D 是OA 的中点AD DO ∴=

30ACG DCO ∴==∠∠tan301OF OC ∴==，60CFO =∠

在GAF △中，22AF FG ==，60AFG CFO ==∠∠AGF ∴△为等边三角形60

GAF ∴=∠

90CAG GAF CAO ∴=+=∠∠∠ 又AC 为直径，∴当D 为OA 的中点时，GA 为M 的切线

[点评]本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究，因此数形结合的解题思想是不可缺少的，解第3小问时可以先自己作图来确定D 点的位置。

3．（06湖南永州卷）如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD 交小圆于M N ，两点，大圆的弦AB 切小圆于点C ，过点C 作直线CE AD ⊥，垂足为E ，交大圆于F H ，两点．（1）试判断线段AC 与BC 的大小关系，并说明理由．

（2）求证：FC CH AE AO =．

（3）若FC CH ，

是方程240x -+=的两根（CH CF >），求图中阴影部分图形的周长． [解] （1）相等．

连结OC ，则CO AB ⊥，故AC BC =．

（2）由ACH FCB △∽△，得2AC CB FC CH AC ==，

又由ACE AOC △∽△，得2

AC AE AO =． FC CH AE AO ∴=．

（3

）解方程得：1CH =

，1CF =，

1)1CE ==，242AC AC ==，，在Rt ACE △中，1

sin 2

CE A AC =

=，30A ∴=∠，60120AOC CON ∴==，∠∠．在ACO △

中，tan 2CO AC A ===

4sin 603AC

AO =

，333

AM AO OM =-=-=，

弧CN 长1

423

3=?π

=π

，2233

AN AM OC =+=

+?= 阴影部分周长2AC AN CN =++=+

． [点评]本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆、相似、三角等几何重点知识。 4. （06辽宁卷）如图，已知(10)(02

A E --

，，，，以点A 为圆心，以AO 长为半径的圆交x 轴于另一点B ，过点B 作BF AE ∥交A 于点F ，直线FE 交x 轴于点C ．（1）求证：直线FC 是A 的切线；（2）求点C 的坐标及直线FC 的解析式；

（3）有一个半径与A 的半径相等，且圆心在x 轴上运动的P ．若P 与直线FC 相交于M N ，两

点，是否存在这样的点P ，使PMN △

明理由．

[解] （1）证明：连结AF

又AB AF =34∴∠=∠12∴∠=∠ 又AO AF AE AE ==，

FC ∴是O 的切线．

（2）方法①由（1

）知EF OE ==

AE BF ∥，AC CE AB EF ∴

11OC +∴=

，CE ∴=+ ①

又

OE OC CE +=

，2

2CE CO ∴=+??

②

由①②解得0OC =（舍去）或2OC =，

直线FC

经过02E ?

- ??

，

，(20)C ，

两点设FC 的解析式：y kx b =+

20k b b +=??∴?=??

解得k b ?=????=??∴直线FC

的解析式为42y x =-．

方法②：CF 切A 于点F ，90

AFC EOC ∴∠=∠=

又ACF OCE ∠=∠，COE CFA ∴△∽△，OE CO AF CF

∴

=21∴=

CE ①

又222OE OC CE +=

，2

2CE CO

∴=+??

②

由①②解得0CO =（舍去）或2CO =(20)C ∴，（求FC 的解析式同上）．方法③AE BF ∥，AC CE AB

∴

=11

OC +∴

=CE ∴=

①

FC 切A 于点F ，90AFC COE ∴∠=∠=ACE OCE ∴∠=∠，COE CFA ∴△∽△

OE CO

AF CF

∴=

，21∴=

CE ∴= ② 由①②解得：2CO =，（求FC 的解

析式同上）．（3）存在；

当点P 在点C 左侧时，若90MPN ∠=，过点P 作PH MN ⊥于点H ，

MPN ∠=，PM PN =，2cos452

PH PM ∴=?=

AF FC ⊥，PH AF ∴∥，CPH CAF ∴△∽△PH

AF CA

∴=

，213CP ∴=

322

CP ∴=

，3222

PO ∴=-，32

202P ??

∴- ?

?，当点P 在点C 右侧P '时，设90M P N '''∠=，过点P '作P Q M N '''⊥于点Q ，则2

P Q '=

P Q PH '∴=，可知P '与P 关于点C 中心对

称，

根据对称性得

∴存在这样的点P ，使得PMN △为直角三角

形，

P 点坐标32202?

? ???，或32202??

+ ? ???

，． [点评]本题是一道综合性很强的传统型压轴题，其难度比较恰当，选拔功能较强，解第3小题时要注意分类讨论，这是本题最容易失分的地方

5. （06辽宁沈阳卷）如图，在平面直角坐标系中，直线3

y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点A ，点B ．

（1）以AB 为一边在第一象限内作等边ABC △及ABC △的外接圆M （用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）；

（2）若M 与x 轴的另一个交点为点D ，求A ，B ，C ，D 四点的坐标；

（3）求经过A ，B ，D 三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点P ，使ADP △的面积等于ADC △的面积若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

[解] （1）如图，正确作出图形，保留作图痕迹（2）由直线3

y x =-

+，求得点A 的坐标为(

)

30，，点B 的坐标为()01，

∴在Rt AOB △中，3OA =，1OB =

2AB ∴=，tan 3OA

OBA OB

=∠ x

A B

P F M

E H

ABC △是等边三角形2CA AB ∴==，60CAB =∠

90CAD CAB OAB ∴=+=∠∠∠∴点C 的坐标为

)

，连结BM

ABC △是等边三角形1

302

MBA ABC ∴==∠∠90OBM OBA MBA ∴=+=∠∠∠

OB BM ∴⊥∴直线OB 是M 的切线2OB OD OA ∴=213OD ∴=OD ∴=

∴点D 的坐标为03??

? ???

，

（3）设经过A ，B ，D 三点的抛物线的解析式是(3y a x x ?

把()01B ，代入上式得1a =∴抛物线的解析式是21y x =+ 存在点P ，使ADP △的面积等于ADC △的面积

点P 的坐标分别为123P ?? ?

???，223P ??

? ???

，． [点评]本题是一道综合性很强的压轴题，主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识，第3小题是比较常规的结论存在性问题，运用方程思想和数形结合思想可解决。

6.已知：抛物线2:(1)(2)M y x m x m =+-+-与x 轴相交于12(0)(0)A x B x ，，

，两点，且12x x <．（Ⅰ）若120x x <，且m 为正整数，求抛物线M 的解析式；（Ⅱ）若121

1x x <>，，求m 的取值范围；

（Ⅲ）试判断是否存在m ，使经过点A 和点B 的圆与y 轴相切于点(02)C ，，若存在，求出m 的值；若不存在，试说明理由；

（Ⅳ）若直线:l y kx b =+过点(07)F ，，与（Ⅰ）中的抛物线M 相交于P Q ，两点，且使1

PF FQ =，求直线l 的解析式．

[解] （Ⅰ）解法一：由题意得， 1220x x m =-<．解得，2m <．m 为正整数，1m ∴=．

21y x ∴=-．解法二：由题意知，当0x =时，20(1)0(2)0y m m =+-?+-<．以下同解法一）解法三：22(1)4(2)(3)m m m ?=---=-， 12(1)(3)

122

m m x x x m --±-∴=

∴=-=-，，．

又122020x x x m <∴=->，

． 2m ∴<．（以下同解法一．）

解法四：令0y =，即2(1)(2)0x m x m +-+-=，12(1)(2)012x x m x x m

∴++-=∴=-=-，

，．（以下同解法三．）

（Ⅱ）解法一：

1212111010x x x x <>∴-<->，，，．12(1)(1)0x x ∴--<，

即1212()10x x x x -++<．

(2)(1)10m m ∴-+-+<．解得 1m

解法二：由题意知，当1x =时，

1(1)(2)0y m m =+-+-<．解得：1m <．m ∴的取值范围是

1m <．

解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，121

2x x m =-=-，． 121

121x x m <>∴->，，， 1m ∴<．m ∴的取值范围是1m <．（Ⅲ）存在．

解法一：因为过A B ，两点的圆与y 轴相切于点(02)C ，，所以A

B ，两点在y 轴的同侧，120x x ∴>．

由切割线定理知，2OC OA OB =，即2122x x =．124x x ∴=， 12 4.x x ∴=2 4.6m m ∴-=∴=．

解法二：连接O B O C ''，．圆心所在直线11222

b m m

x a --=-

=-=

，设直线12

x -=与x 轴交于点D ，圆心为O '，则122m O D OC O C OD -''====，．

2132

AB x x m BD =-==-=

，， 32m BD -∴=．

在Rt O DB '△中， 222O D DB O B ''+=．即2

231222m m --????

+= ? ?????

．解得 6m =．

（Ⅳ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则22

1122

11y x y x =-=-，．过P Q ，分别向x 轴引垂线，垂足分别为11

(0)P x Q ，，则11PP FO QQ ∥∥．

所以由平行线分线段成比例定理知，

1PO PF OQ FQ

=．因此，

1201

x x -=-，即212x x =-．

过P Q ，分别向y 轴引垂线，垂足分别为2122(0)(0)P y Q y ，，，，则22PP QQ ∥．所以22FP P FQ Q △∽△．22P F FP

FQ FQ

∴

=． 127172y y -∴=-．12212y y ∴-=． 22

1222

11212(1) 1.2324 1.

x x x x ∴--=-∴-=- 2

1142x x ∴=∴=，，或12x =-．当12x =时，点(23)P ，．直线l 过(23)(07)P F ，，，， 7032.k b k b =?+?∴?=?+?，解得72.b k =??=-?

，

当12x =-时，点(23)P -，．直线l 过(23)(07)P F -，，，， 703(2).k b k b =?+?∴?

=?-+?，解得72.

b k =??=?，

故所求直线l 的解析式为：27y x =+，或27y x =-+．

如图，在平面直角坐标系中，已知点(B -，(0)A m

，(0)m <<，以AB 为边在x 轴下方

作正方形ABCD ，点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，连结BE 与

AD 相交于点F ．

（1）求证：BF DO =；

（2）设直线l 是BDO △的边BO 的垂直平分线，且与BE 相交于点G ．若G 是BDO △的外心，试求经过B F O ，，三点的抛物线的解析表达式；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P ，使该点关于直线BE 的对称点在x 轴上若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．

[解] （1）在ABF △和ADO △中，四边形ABCD 是正方形，

90AB AD BAF DAO ∴===，∠∠．

又ABF ADO ABF ADO =∴∠∠，△≌△，

BF DO ∴=．

（2）由（1），有ABF ADO △≌△，AO AF m ==．∴点()F m m ，．

G 是BDO △的外心，∴点G 在DO 的垂直平分线上．∴点B 也在DO 的垂直平分线上．DBO ∴△为

等腰三角形，BO BD ==．

而BO AB m m ==-=，

，

)

2m m ∴=∴=-，

(2F ∴--．

设经过B F O ，，三点的抛物线的解析表达式为()20y ax bx c a =++≠．抛物线过点()00O ，，0c ∴=．2y ax bx ∴=+． · ①

把点()B -

，点(2F --的坐标代入①中，得

(

(22

0222.a b a b ?=-+-???-=-+-?

，

即(02 1.b a b ?-+=??-+=??，

解得12a b ?=

???=?， ∴

抛物线的解析表达式为2

y x =

．

··· ② （3）假定在抛物线上存在一点P ，使点P 关于直线BE 的对称点P '在x 轴上．BE 是OBD ∠的平分线，

x ∴轴上的点P '关于直线BE 的对称点P 必在直线BD 上，即点P 是抛物线与直线BD 的交点．

设直线BD 的解析表达式为y kx b =+，并设直线BD 与y 轴交于点Q ，则由BOQ △是等腰直角三角形．

OQ OB ∴=

．(0Q ∴-，

．

把点()

B -

，点(0Q -，代入y kx b =+中，得 ∴直线BD

的解析表达式为y x =--

设点()00P x y ，

，则有00y x =-- ····· ③

把③代入②，得2

0012

x x +=--

)2001102

x x ∴++=

，即

)

0210x x ++=．

(()00

20x x ∴++=

．解得0

=-02x =-．

当0x =-

00y x =--==；当02x =-

时，002y x =--=-．

∴

在抛物线上存在点(

)(1222P P ---，，，它们关于直线BE 的对称点都在x 轴上．

8.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1经过点A (-2，0)和点B (0

，直线l 2的函数表达

式为y =+，l 1与l 2相交于点P ．⊙C 是一个动圆，圆心C 在直线l 1上运动，设圆心

C 的横坐标是a ．过点C 作CM ⊥x 轴，垂足是点M ．

(1) 填空：直线l 1的函数表达式是，交点P 的坐标是，∠FPB 的度数是； (2) 当⊙C 和直线l 2相切时，请证明点P 到直线CM 的距离等于⊙C 的半径R ，并写出R =2

23-时a 的值.

(3) 当⊙C 和直线l 2不相离时，已知⊙C 的半径R =223-，记四边形NMOB 的面积为S (其中

点N 是直线CM 与l 2的交点)．S 是否存在最大值若存在，求出这个最大值及此时a 的值；若不存在，请说明理由．

60o

[解] (1) 33

233+=

x y P (1，3)

(2) 设⊙C 和直线l 2相切时的一种情况如图甲所示，D

是切

点，连接CD ，则CD ⊥

PD ．

过点P 作CM 的垂线PG ，垂足为G ，则Rt △CDP ≌Rt △PGC (∠PCD =∠CPG =30o ，CP =PC )，所以PG =CD =R ．

当点C 在射线PA 上，⊙C 和直线l 2相切时，同理可证．取R =223-时，a=1+R =123-，或

a=-(R-1)23

3-=

(3) 当⊙C 和直线l 2不相离时，由(2)知，分两种情况讨论： ① 如图乙，当0≤a ≤123-时，a a S ?+-+=)]33433(332[21a a 36

+-=，

当3)6

(23=-

=a 时，（满足

a ≤123-），S 有最大值．此时233)6

(43=

?-=

最大值S （或3

）．

② 当233-≤a ＜0时，显然⊙C 和直线l 2相切即233-=a 时，S 最大．此时

3233]334)233(33332[21=

-?+--=最大值S ．

(第24题

图2

综合以上①和②，当3a =或233-=a 时，存在S 的最大值，其最大面积为

3 9. 如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交

AC 于点P ．

（1）求PA 的长；

（2）以点A 为圆心，AP 为半径作A ，试判断BE 与A 是否相切，并说明理由；

（3）如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作A ；以点C 为圆心，R 为半径作C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持A 和C 相切．．

，且使D 点在A 的内部，B 点在

A 的外部，

求r 和R 的变化范围．

[解] （1）在Rt ABC △中，

305CAB BC ∠==，，

210AC BC ∴==．

AE BC ∥，

APE CPB ∴△∽△．

::3:1PA PC AE BC ∴==．

:3:4PA AC ∴=，31015

PA ?=

=．（2）BE 与A 相切．在Rt ABE △

中，AB =15AE =，

tan AE ABE AB ∴∠=

==60ABE ∴∠=．又30PAB ∠=，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，

BE ∴与A 相切．（3

）因为5AD AB ==，，所以r

的变化范围为5r <<．

当A 与C 外切时，10R r +=，所以R

的变化范围为105R -<<；当A 与C 内切时，10R r -=，所以R

的变化范围为1510R <<+

E A

Ｄ图1

图2

[点评]本题是一道比较传统的几何综合题，第1题运用相似三角形知识即可得解，第2小题也较基础，第3小题注意要分类，试题中只说明了“A 和C 相切”，很多同学漏解往往是由于没有仔细读题和审题。

8，（06江苏宿迁课改卷）设边长为2a 的正方形的中心A 在直线l 上，它的一组对边垂直于直线l ，半径为r 的⊙O 的圆心O 在直线l 上运动．．

，点A 、O 间距离为d ．（1）如图①，当r ＜a 时，根据d 与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下表：

所以，当r ＜a 时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有

个；

（2）如图②，当r ＝a 时，根据d 与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下表：

所以，当r ＝a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有个；（3）如图③，当⊙O 与正方形有5个公共点时，试说明r （4）就r ＞a 的情形，请你仿照“当……时，⊙O 个”的形式，至少给出一个关于“⊙O

图①

图②

图③

[解] （1）

所

0、

1、2

所

1、2、（3）

OC ＝r ，OF ＝EF －OE ＝

4a 2－4ar ＋r 2＋a 2＝r 2

5a 2＝4ar

5a ＝4r ∴r ＝54

a ．

方法二：如图，连结BD 、OE 、BE 、∵四边形BCMN 为正方形 ∴∠C ＝∠M ＝∠N ＝90°

∴BD 为⊙O 的直径，∠BED ＝90° ∴∠BEN ＋∠DEM ＝90° ∵∠BEN ＋∠EBN ＝90° ∴∠DEM ＝∠EBN

∴△BNE ∽△EMD ∴BN EM NE

∴DM ＝12

由OE 是梯形BDMN 的中位线得OE ＝12

（BN ＋MD ）＝54

a ．

图②

（4）①当a ＜r ＜54

a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；

②当r ＝54

a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；

③当524

a r a <<时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；

④当2r a =时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；

⑤当2r a >时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个．

[点评]本题是一道较为新颖的几何压轴题，考查圆、相似、正方形等几何知识，综合性较强，有一定的难度，试题的区分度把握非常得当，是一道很不错的压轴题。

9. （06山东枣庄课改卷）半径为的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC ：CA ＝4 : 3，点P 在AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点O （1）当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；（2）当点P 运动AB 到的中点时，求CQ 的长；

（3）当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值求此时CQ

的长． [解] （1）当点P 与点C 关于AB 对称时，CP ⊥AB ，设垂足为D.

∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=900. ∴AB=5,AC:CA=4:3,∴BC=4, AC=3. 又∵AC ·BC=AB ·CD

∴ 1224,.55

CD PC =

= 在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中，

∠ACB ＝∠PCQ=900, ∠CAB ＝∠CPQ ， Rt △ACB ∽Rt △PCQ ∴

432,.35

AC BC BC PC CQ PC PC CQ AC ==== （2）当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC

于点E （如图）.∵P 是弧AB 的中点，∴02

45,222

PCB CE BE BC ∠===

= 又∠CPB=∠CAB ∴∠CPB= tan ∠CAB=4

∴332,tan 42BE PE BE CPB =

==∠而从72

PC PE EC =+=

由（l

）得，433

CQ PC ==

（3）点P 在弧AB 上运动时，恒有4

BC PC CQ PC AC == 故PC 最大时，CQ 取到最大值．

当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为

[点评]本题属于常规的几何综合题，解第3小问时要有动态的思想（在草稿上画画图）不难猜想出结论。

10.如图，点P 在y 轴上，P 交x 轴于A B ，两点，连结BP 并延长交P 于C ，过点C 的直线

2y x b =+

交x 轴于D ，且P 4AB =．

（1）求点B P C ，，的坐标；（2）求证：CD 是P 的切线；

（3）若二次函数2(1)6y x a x =-+++的图象经过点B ，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数2y x b =+值的x 的取值范围．

[解] （1）如图，连结CA OP AB ∵⊥ 2OB OA ==∴

222OP BO BP +=∵ 2541OP =-=∴，1OP =

BC ∵是P 的直径90CAB ∠=∴（也可用勾股定理求得下面的

结论） CP BP =∵，OB OA = 22AC OP ==∴ (20)B ，∴，

(01)P ，，(22)C -，

（2）2y x b =+∵过C 点6b =∴ 26y x =+∴

∵当0y =时，3x =- (30)D -，

∴ ∴1AD = 21OB AC AD OP ====，∵，90CAD POB ∠=∠=

∴△

90DCA ACB ∠+∠=∴ DC ∴是P 的切线

（3）2(1)6y x a x =-+++∵过(20)B ，点

因为函数26y x x =--+与26y x =+的图象交点是

所以满足条件的x 的取值范围是3x <-或0x >

11. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B 。

（1）点P 在运动时，线段AB 的长度在发生变化，请写出线段AB 长度的最小值，并说明理由；（2）在⊙O 上是否存在一点Q ，使得以Q 、O 、A 、

P 为顶点的四边形时

平行四边形若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由。

[解] （1）线段AB 长度的最小值为4 理由如下：连接OP

因为AB 切⊙O 于P ，所以OP ⊥AB 取AB 的中点C ，则OC AB 2=

当OP OC =时，OC 最短，即AB 最短，此时4=AB （2）设存在符合条件的点Q ，如图①，设四边形APOQ 为平行四边形，

正方形

因为四边形APOQ 为矩形又因为OQ OP =所以四边形APOQ 为

所以?=∠=45,QOA QA OQ ，

在Rt △OQA 中，根据?=∠=45,2AOQ OQ ，得Q 点坐标为（2,2-）。如图②，设四边形APQO 为平行四边形因为OQ ∥PA ，?=∠90APO ，所以?=∠90POq ，又因为OQ OP =所以?=∠45PQO ，因为 PQ ∥OA ，所以 y PQ ⊥轴。设y PQ ⊥轴于点H ，

在Rt △OHQ 中，根据?=∠=45,2HQO OQ ，得Q 点坐标为（2,2-）

所以符合条件的点Q 的坐标为（2,2-）或

（2,2-）。

12. 如图①，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心的⊙O 的半径为12-，直线l ：

2--=x y 与坐标轴分别交于A 、C 两点，点B 的坐标为(4，1)，⊙B 与x 轴相切于点M 。

（1）求点A 的坐标及∠CAO 的度数；

图①

图②

图10－1M

D B

E A

C x

（2）⊙B 以每秒1各单位长度的速度沿x 轴负方向平移，同时，直线l 绕点A 顺时针匀速旋

转。当⊙B 第一次与⊙O 相切时，直线l 也恰好与⊙B 第一次相切。问：直线AC 绕点A 每秒旋转多少度

（3）如图②，过A 、O 、C 三点作⊙O 1，点E 为劣弧AO 上一点，连接EC 、EA 、EO ，当点E 在

劣弧AO 上运动时(不与A 、O 两点重合)，

EC -的值是否发生变化如果不变，求其值；如果变化，说明理由。

13. （06广东深圳课改卷）(10分)如图10-1，在平面直角坐标系xoy 中，点M 在x 轴的正半轴上， ⊙M 交x 轴于 A B 、两点，交y 轴于C D 、两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若

点A 的坐标为（－2，0），AE 8= (1)(3分)求点C 的坐标.

(2)(3分)连结MG BC

、，求证：MG ∥BC (3)(４分) 如图10-2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，

的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.

14.(06 安徽芜湖市课改卷）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z ”字形平面轨道上滚动一个半径为

10cm 的圆盘，如图所示，AB 与C D 是水平的，BC 与水平面的夹角为600

，其中AB=60cm ，CD=40cm ，BC=40cm ，请你作出该小朋友将园盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。

15. (07芜湖市)24. 已知圆P 的圆心在反比例函数k

y x

(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点．且始终与y 轴相切于定点C (0，1)．

(1) 求经过

A 、

B 、

C 三点的二次函数图象的解析式;

(2) 若二次函数图象的顶点为

D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．

解: (1)连结PC 、PA 、PB ，过P 点作PH ⊥x 轴，垂足为H ．

∵⊙P 与y 轴相切于点C (0，1)，∴PC ⊥y 轴． ∵P 点在反比例函数k

y x

=的图象上， ∴P 点坐标为（k ，1）． ∴PA=PC=k ．

A B O M

C y x

第25题图

A E

x 第25题图O 1

在Rt△APH 中，AH =22PA PH -=21k -， ∴OA=OH —AH =k －21k -． ∴A （k －21k -，0）．

∵由⊙P 交x 轴于A 、B 两点，且PH ⊥AB ，由垂径定理可知， PH 垂直平分AB ． ∴OB=OA +2AH = k －21k -+221k -=k +21k -，∴B (k +21k -，0)．故过A 、B 两点的抛物线的对称轴为PH 所在的直线解析式为x=k ．

可设该抛物线解析式为y=a 2()x k -+h ．

又抛物线过C (0，1)， B (k +21k -，0)，得：解得a =1，h =1－2k ．

∴抛物线解析式为y =2()x k -+1－2k ．

（2）由(1)知抛物线顶点D 坐标为（k ， 1－2k ）∴DH =2k －1．

若四边形ADBP 为菱形．则必有PH=DH ．∵PH =1，∴2k －1=1．又∵k ＞1，∴k =2 ∴当k 取2时，PD 与AB 互相垂直平分，则四边形ADBP 为菱形．

16. 26. 如图①，②，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(4，0)，以点A 为圆心，4为半径的圆与x 轴交于O ，B 两点，OC 为弦，60AOC ∠=，P 是x 轴上的一动点，连结CP ．（1）求OAC ∠的度数；（2分）（2）如图①，当CP 与A 相切时，求PO 的长；（3分）（3）如图②，当点P 在直径OB 上时，CP 的延长线与A 相交于点Q ，问PO 为何值时，OCQ △是等腰三角形）

解：（1）∵60AOC ∠=，AO AC =，∴AOC △是等边三角形． ∴60OAC ∠=．（2）∵CP 与A 相切，∴90ACP ∠=． ∴9030APC OAC ∠=-∠=．又∵A （4，0），∴4AC AO ==．∴28PA AC ==． ∴844PO PA OA =-=-=．

（3）①过点C 作1CP OB ⊥，垂足为1P ，延长1CP 交A 于1Q ，

∵OA 是半径， ∴1OC OQ =，∴1OC OQ =，∴1OCQ △是等腰三角形．又∵AOC △是等边三角形，∴1

PO OA ==2 ． ②解法一：过A 作AD OC ⊥，垂足为D ，延长DA 交A 于2Q ，2CQ 与x 轴交于2P ，

∵A 是圆心， ∴2DQ 是OC 的垂直平分线． ∴22CQ OQ =．∴2OCQ △是等腰三角形，过点2Q 作2Q E x ⊥轴于E ，在2Rt AQ E △中，∵21

302

Q AE OAD OAC ∠=∠=∠=，

∴22122

Q E AQ AE ===，2Q 的坐标（

4+2-）．

在1Rt COP △中，∵1

260PO AOC =∠=，

，∴1CP =．∴C 点坐标（2

，

设直线2CQ 的关系式为：y kx b =+，则有

2(42k b k b ?-=++??=+??，

．

解得：12k b =-???

=+??，

∴2y x =-++当0y =

时，2x =+．

∴22P O =+ 解法二：过A 作AD OC ⊥，垂足为D ，延长DA 交A 于2Q ，2CQ 与x 轴交于2P ， ∵A 是圆心， ∴2DQ 是OC 的垂直平分线． ∴22CQ OQ =．∴2OCQ △是等腰三角形．

∵60OAC ∠=，∴21

302

OQ C OAC ∠=∠=．∵2DQ 平分22,OQ C AC AQ ∠=，∴2215ACQ AQ C ∠=∠=． ∵AOC △是等边三角形，1CP OA ⊥，

∴1

1302

PCA ACO ∠=∠=． ∴1212301545PCP PCA ACQ ∠=∠+∠=+=． ∴12CPP △

是等腰直角三角形．∴121PP

CP ==

21122P O PO PP =+=+ 17. 26. 如图12-1所示，在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．

（1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形若能，请指出OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．

（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图12-2），试探究直线EF 与O 的位置关系，并证明你的结论．

（1E F ，的位置分别是：

①E ②（2）在OEB △和FOC △中，135EOB FOC ∠+∠=°，135EOB OEB ∠+∠=°，

B （图12－2）

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，

∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若 tan∠CAF= 1 2，求1 2 S S的值．【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4

备战中考数学圆的综合-经典压轴题及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2=AF·AB；（3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积. 【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3. 【解析】试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论. （3）连接BD，由AG2=AF?AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下：如答图1，连接CD， ∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°. ∴∠D+∠CAD=90°. ∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D. ∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA. ∵点A在圆上， ∴PA与⊙O相切．

（2）证明：如答图2，连接BG ， ∵AD 为⊙O 的直径，CG ⊥AD ，∴AC AD =.∴∠AGF=∠ABG. ∵∠GAF=∠BAG ，∴△AGF ∽△ABG. ∴AG ：AB=AF ：AG. ∴AG 2=AF?AB. （3）如答图3，连接BD ， ∵AD 是直径，∴∠ABD=90°. ∵AG 2=AF?AB ，55∴5 ∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°. ∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴ AE AF AB AD =545=，解得：AE=2. ∴221EF AF AE = -=. ∵224EG AG AE = -=，∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322 AFG S FG AE ?=??=??=．

中考圆压轴题

学生：科目：数学教师：知识框架一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 A

1、点在圆内?d r ?点A在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +；外切（图2）?有一个交点?d R r =+；相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+；内切（图4）?有一个交点?d R r =-；内含（图5）?无交点?d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径②AB CD =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧 ⊥③CE DE

广州中考圆压轴题专题#(精选.)

1.如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y=1 4 x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形 CDEF的面积为1．（1）求B点坐标；（2）求证：ME是⊙P的切线； 2.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=1 2 BC．（1）求∠BAC的度数；（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．

3.如图1所示，以点M（-1，O）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A，B，C，D，直线y= 3 -x- 53 与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M于点T，弦A T交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN?MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由． 4.如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧?BC上一个动点，且A（-1，0），E（1，0）．（1）求点C的坐标；（2）连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（3）连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），求证：PC PD PA 的值不变

中考圆压轴题训练精选

成都中考圆压轴题训练一．选择题（共15小题） 1．如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在上取一点D，分别作直线CD，ED，交直线AB于点F、M．（1）求∠COA和∠FDM的度数；（2）求证：△FDM∽△COM；（3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M．试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论． 2．已知：如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD 的对角线AC、BD交于点E．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）已知BC=，CD=，求sin∠AEB的值；（3）在（2）的条件下，求弦AB的长． 3．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，

如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域． 4．如图，⊙M 交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于A ，点M 的纵坐标为2．B （﹣3， O ），C （，O ）．（1）求⊙M 的半径；（2）若CE ⊥AB 于H ，交y 轴于F ，求证：EH=FH ．（3）在（2）的条件下求AF 的长． 5．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，BC 为直径，AD ⊥BC 于点D ，点E 为DA 延长线上一点，连接BE ，交⊙O 于点F ，连接CF ，交AB 、AD 于M 、N 两点．（1）若线段AM 、AN 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +n 2﹣mn +m 2=0的两个实数根，求证：AM=AN ；（2）若AN=，DN=，求DE 的长；（3）若在（1）的条件下，S △AMN ：S △ABE =9：64，且线段BF 与EF 的长是关于y 的一元二次方程5y 2﹣16ky +10k 2+5=0的两个实数根，求直径BC 的长．

圆中考数学压轴题

1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°. （1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标. （2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明. （3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式. 2 如图（4），正方形111 OA B C的边长为1，以O为圆心、 1 OA为半径作扇形 1111 OAC AC ，与 1 OB相交于点 2 B，设正方形 111 OA B C 与扇形 11 OA C之间的阴影部分的面积为 1 S；然后以 2 OB为对角线作正方形 222 OA B C，又以O为圆心，、 2 OA为半径作扇形 22 OA C，22 A C与 1 OB相交于点 3 B，设正方形 222 OA B C与扇形 22 OA C之间的阴影部分面积为 2 S；按此规律继续作下去，设正方形 n n n OA B C 与扇形 n n OA C之间的阴影部分面积为 n S．（1）求 123 S S S ，，；（2）写出 2008 S；（3）试猜想 n S（用含n的代数式表示，n为正整数）． 3 (10分)如图，点I是△ABC的内心，线段A I的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：I D=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，I D=6，AD x =，DE y =，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． 4 如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧BD的中点，AC交BD于点E，AE＝2，EC＝1．（1）求证：DEC △∽ADC △；（3分）（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．（4分）（3）延长AB到H，使BH＝OB． 1 B2 B3 A1 A2 A3 O C C C 图4 S2 S1 S3

中考数学圆经典压轴题带答案

1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长． 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为 G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长． 4.

5.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且E M＞MC，连结DE，DE=。（1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值。 6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知 ∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比． 7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．（1）求证：△ABC∽△OFB；（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点

中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案

中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案一、圆的综合 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，?? BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．【解析】【分析】（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a，求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC；（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵?? BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，

∵CD 是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B 为弧CD 中点， ∴BD=BC= ， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB ， ∵∠DBE=∠DBA ， ∴△DBE ∽△ABD ， ∴ ， ∴BE?AB=BD?BD= ．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形．（1）求证：AC=CE ；（2）求证：BC 2﹣AC 2=AB?AC ；（3）已知⊙O 的半径为3． ①若AB AC =5 3 ，求BC 的长； ②当 AB AC 为何值时，AB?AC 的值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；② 32

中考数学圆压轴题

1推理运算如图，AB 为O e 直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ．（1）OCD ∠的平分线CE 交O e 于E ，连结OE ．求证：E 为? ADB 的中点；（2）如果O e 的半径为1，CD =，①求O 到弦AC 的距离； ②填空：此时圆周上存在个点到直线AC 的距离为 12 ． 2 如图6，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A 、B 、D 三点， CB 的延长线交⊙O 于点E . (1) 求证AE =CE ； (2) EF 与⊙O 相切于点E ，交AC 的延长线于点F ，若CD =CF =2cm ，求⊙O 的直径；（3）若n CD CF = （n >0），求sin ∠CAB . 3 已知：如图，在半径为4的⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，M 为OB 的中点， CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞MC ．连结DE ，DE = (1) 求证：AM MB EM MC ?=?； (2) 求EM 的长；（3）求sin ∠EOB 的值. 4 如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙O 相切于点A ，P 为⊙O 上一动点（与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙O 相交于点C ，过点C 的切线与直线 m 相交于点D ．（1）求证：△APC∽△COD．（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ．（3）试探索x 为何值时，△ACD 是一个等边三角形． 5 如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A 、与大圆相交于点B ．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB ．（1）试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC 、AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（3）若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π） 6 在Rt △ABC 中，BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 与点D ， DE ⊥DB 交AB 于点E ．（1）设⊙O 是△BDE 的外接圆，求证:AC 是⊙O 的切线; （2）设⊙O 交BC 于点F ，连结EF ，求 EF AC 的值． 7 如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t ≥0）．（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； A B D E O C H A B N M

上海中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ??≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ?为等边三角形，而得出 60BOE ∠=?，根据三角形内角和即可求出答案. 【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ， ∴OE CD ⊥， ∴90CEO ∠=?，又∵OC BE ， ∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA ∵OE=OB ， ∴OEB OBE ∠=∠， ∴COE COA ∠=∠，又∵OC=OC ，OA=OE ， ∴OCA OCE SAS ??≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=?，又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形， ∴OF=OB=BF=EF ， ∴OE=OB=BE ， ∴OBE ?为等边三角形， ∴60BOE ∠=?，

而OE CD ⊥， ∴30D ∠=?．故答案为30．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键. 2．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是的中点，D 是的中点，AC 与BD 相交于点E . （1）求证：BD 平分∠ABC ；（2）求证：BE =2AD ；（3）求 DE BE 的值. 【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD （3）21 2 - 【解析】试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD ，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（2）延长BC 与AD 相交于点F, 证明△BCE ≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD ；（3）连接OD,交AC 于H.简要思路如下：设OH 为1，则BC 为2，OB=OD=2 ，DH=21-, 然后根据相似三角形的性质可求解. 试题解析：（1）∵D 是的中点 ∴AD=DC ∴∠CBD=∠ABD ∴BD 平分∠ABC （2）提示：延长BC 与AD 相交于点F, 证明△BCE ≌△ACF, BE=AF=2AD

上海中考数学压轴题专题：圆的经典综合题

1．如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．（1）当BC ＝1时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（3）设BD ＝x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域． A E C D O B

2．如图，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cot A＝2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P 与边AC相交于点M和点N时，设AP＝x，MN＝y．（1）求⊙P的半径；（3）当AP＝65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．

3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M 与∠BAD的两边相切，点N在射线AB上，⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切．（1）设AN＝x，⊙M的半径为y，求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，⊙M与CD相切？（3）直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，请说明理由．

4．已知：半圆O 的半径OA ＝4，P 是OA 延长线上一点，过线段OP 的中点B 作OP 的垂线交半圆O 于点C ，射线PC 交半圆O 于点D ，连接OD ．（1）当AC ︵＝CD ︵时，求弦CD 的长；（2）设PA ＝x ，CD ＝y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）设CD 的中点为E ，射线BE 与射线OD 交于点F ，当DF ＝1时，求tan ∠P 的值．备用图备用图

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案一、圆的综合 1．如图1，已知扇形MON 的半径为2，∠MON=90°，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC=BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA=x ，∠COM 的正切值为y. （1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值. 【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 142 2 =x . 【解析】分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论；（2）先判断出BD =DM ，进而得出 DM ME BD AE =，进而得出AE =1 22 x （），再判断出2OA OC DM OE OD OD ==，即可得出结论；（3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ， ∴AC =AM ．（2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ． ∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ． ∵DE ∥AB ，∴DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =1 22x （）． ∵DE ∥AB ，∴2OA OC DM OE OD OD ==， ∴ 22 DM OA y OD OE x =∴=+，02x ≤＜

中考数学圆压轴题带答案

中考数学圆压轴题带答案集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

1.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AC 和BD 相交于点E ，且 DC 2=CECA ．（1）求证：BC =CD ；（2）分别延长AB ，DC 交于点P ，过点A 作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ，若 PB =OB ，CD =，求DF 的长． 3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接BE ． (1)求证：AC 平分∠DAB ； (2)求证：△PCF 是等腰三角形； (3)若tan ∠ABC= 3 4，BE=72，求线段PC 的长． 4. 5.已知：如图，在半径为4的⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞MC ，连结DE ，DE=。（1）求证：AM ·MB=EM ·MC ；（2）求EM 的长；（3）求sin ∠EOB 的值。 6.如图，AE 切⊙O 于点E ，AT 交⊙O 于点M ，N ，线段OE 交AT 于点C ，OB ⊥AT 于点B ，已知 2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ．？（1）求证：KE=GE ；？（2）若=KD ·GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由；？（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK= ，求FG 的长．

中考数学压轴题详解—圆

优秀学习资料欢迎下载 (第4题图) 1 如图，将△AOB 置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，点A 的坐标为（3，0），∠ABO=60°. （1）若△AOB 的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标. （2）若点C 的坐标为（-1，0），试猜想过D 、C 的直线与△AOB 的外接圆的位置关系，并加以说明. （3）二次函数的图象经过点O 和A 且顶点在圆上，求此函数的解析式. 2 如图（4），正方形111OA B C 的边长为1，以O 为圆心、 1OA 为半径作扇形1111 OAC AC ，与1OB 相交于点2B ，设正方形111OA B C 与扇形11OAC 之间的阴影部分的面积为1S ；然后以 2OB 为对角线作正方形222OA B C ，又以O 为圆心，、2OA 为半径作扇形22OA C ，22A C 与1OB 相交于点3B ，设正方形222OA B C 与扇形22OA C 之间的阴影部分面积为2S ；按此规律继续作下去，设正方形n n n OA B C 与扇形n n OA C 之间的阴影部分面积为n S ．（1）求123S S S ，，；（2）写出2008S ；（3）试猜想n S （用含 n 的代数式表示，n 为正整数）． 3 (10分)如图，点I 是△ABC 的内心，线段A I 的延长线交△ ABC 的外接圆于点D ，交BC 边于点E ．（1）求证：I D =BD ；（2）设△ABC 的外接圆的半径为5，I D =6， AD x =，DE y =，当点A 在优弧上运动时，求 y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围． 4 如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2， EC ＝1．（1）求证：DEC △∽ADC △；（3分）（2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．（4分）（3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ．求证：CH 是⊙O 的切线．（3分） 5 如图10，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为BC 上的一动点．（ 1）问添加一个什么条件后，能使得BD BE BC BD =？请说明理由； 1 A 1 A 2 A 3 O C C C 图4

中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习及详细答案

中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习及详细答案一、圆的综合 1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x =于点M，BC边交x轴于点N（如图）. （1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设MBN ?的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论. 【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°， ∴OA旋转了45°． ∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 2 452 3602ππ ? =．（2）∵MN∥AC， ∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°． ∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．又∵BA=BC，∴AM=CN．又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN． ∴∠AOM=∠CON=1 2（∠AOC-∠MON）= 1 2 （90°-45°）=22.5°． ∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM， ∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．

与圆有关的中考数学压轴题精选

与圆有关的中考数学压轴题精选 1．在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y ＝x ＋b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径． } 2．如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点D （3，0）和点E （0，4），动点C 从点M （5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒． @ （1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；（2）以点C 为圆心、 2 1 t 个单位长度为半径的⊙C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接PA 、PB ． ① 当⊙C 与射线DE 有公共点时，求t ② 当△PAB 为等腰三角形时，求t 的值．】

3．如图，射线OA ⊥射线OB ，半径r ＝2cm 的动圆M 与OB 相切于点Q （圆M 与OA ?没有公共点），P 是OA 上的动点，且PM ＝3cm ，设OP ＝x cm ，OQ ＝y cm ．（1）求x 、y 所满足的关系式，并写出x 的取值范围．（2）当△MOP 为等腰三角形时，求相应的x 的值．（3）是否存在大于2的实数x ，使△MQO ∽△OMP 若存在，求相应x 的值，若不存在，请说明理由． ; | 4．如图所示，在直角坐标系中，⊙P 经过原点O ，且与x 轴、y 轴分别相交于A （－6，0）、B （0，－8）两点，两点．（1）求直线AB 的函数表达式；（2）有一开口向下的抛物线过B 点，它的对称轴平行于y 轴且经过点P ，顶点C 在⊙P 上，求该抛物线的函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D ，E 两点，在抛物线上是否存在点Q ，使得S △QDE ＝ 15 1S △ABC 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． / /P Q B

2018年中考数学圆压轴题专题复习

2018年中考数学圆压轴题专题复习 2.基础知识 (1)圆的认识 ①圆可由圆心与半径确定.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都与自身重合，其旋转对称中心为圆心．圆还是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. ②弦是连接圆上任意两点的线段.经过圆心的弦叫做直径，它是圆中最长的弦. ③弧是圆上任意两点间的部分.圆上直径两端点之间的部分叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧.如果两段(圆)弧能够完全重合，则称它们为等弧. ④圆心角是顶点在圆心的角.圆周角是顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角. (2)与圆有关的位置关系 ①点与圆有三种位置关系：点在圆外；点在圆上；点在圆内. 设点与圆心的距离为d，圆的半径为r，则三种位置关系的判断方法为：点在圆外d r ?<． ?=；点在圆内d r ?>；点在圆上d r 经过三角形的三个顶点的圆叫三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ②直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离．如果一条直线与一个圆有且只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切．如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交．设圆心与直线l间的距离为d，圆的半径为r，则直线和圆的三种位置关系的判断方法为：直线与圆相离d r ?=；直线与圆相交d r ?<． ?>；直线与圆相切d r 圆的切线上的某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形． (3)与圆有关的定理

中考圆压轴题训练精选30题

中考圆压轴题训练一．选择题（共15小题） 1．如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在上取一点D，分别作直线CD，ED，交直线AB于点F、M．（1）求∠COA和∠FDM的度数；（2）求证：△FDM∽△COM；（3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M．试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论．

2．已知：如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD 的对角线AC、BD交于点E．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）已知BC=，CD=，求sin∠AEB的值；（3）在（2）的条件下，求弦AB的长．

3．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

4．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，O），C（，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．

5．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC为直径，AD⊥BC于点D，点E为DA延长线上一点，连接BE，交⊙O于点F，连接CF，交AB、AD于M、N两点．（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2﹣mn+m2=0的两个实数根，求证：AM=AN；（2）若AN=，DN=，求DE的长；（3）若在（1）的条件下，S△AMN：S△ABE=9：64，且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y2﹣16ky+10k2+5=0的两个实数根，求直径BC的长．

中考数学压轴题-圆的证明与计算题

中考数学压轴题-圆的证明与计算题 1.如图，AB是⊙O的直径，点D是AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长．第1题图 (1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°， ∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE， ∴∠EAB＝∠CBE， ∴∠ABE＋∠CBE＝90°， ∴CB⊥AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线； (2)解：∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE，如解图，连接DO，第1题解图 ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵∠EBD＝∠OBD， ∴∠EBD＝∠ODB， ∴OD∥BE， ∴PD PE ＝ PO PB ， ∵PA＝AO， ∴PA＝AO＝OB， ∴PO PB ＝ 2 3 ，

∴PD PE ＝23 ， ∴PD PD ＋DE ＝23， ∵DE ＝2， ∴PD ＝4. 2.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F . (1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，cos A ＝25 ，求DF 的长．第2题图（1）证明：如解图，连接OD ，第2题解图 ∵OB ＝OD ， ∴∠ODB ＝∠B ，又∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠B ， ∴∠ODB ＝∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵DF ⊥AC ， ∴∠DFC ＝90°， ∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ， ∴AG ＝12 AE ＝2. ∵cos A ＝AG OA ＝2OA ＝25 ， ∴OA ＝5， ∴OG ＝OA 2－AG 2＝21， G

中考数学圆经典压轴题(带答案)

1. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，AC 和BD 相交于点E，且DC 2=CE?CA．（1）求证：BC=CD ；（2）分别延长AB，DC 交于点P，过点 A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于点F，若PB=OB，CD =，求DF 的长． 2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F．切点为G，连接AG 交CD 于K．（1）求证：KE=GE ；（2）若=KD ·GE，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由；（3）在（2 ）的条件下，若sinE= ，AK= ，求FG 的长．

3. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB 的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE． (1)求证：AC平分∠ DAB； (2)求证：△ PCF是等腰三角形； (3)若tan ∠ 4 ABC= ，BE=7 2 ，求线段PC的长．3 4.