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湖北省孝感高二上学期期末考试数学试卷有答案

湖北省孝感高级高二上学期期末考试数学试卷

考试时间：120分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数i

a 2+的实部和虚部相等, 则实数a =

A ．1-

B ．1

C ．2-

D ．2

2． “q p ∨是假命题”是“p ?为真命题”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．与椭圆

112

162

2=+y x 共焦点, 离心率互为倒数的双曲线方程是

A ．13

2=-y x B ．1322

=-y x C ．1834322=-y x D ．18

3432

2=-x y 4．在某次选拔比赛中, 六位评委为B A ,两位选手打

出分数的茎叶图如图所示(其中x 为数字0～9中的一个), 分别去掉一个最高分和一个最低分, B A ,两位选手得分的平均数分别为b a ,, 则一定有

A ．b a >

B ．b a <

C ．b a =

D ．b a ,的大小关系不能确定 5．函数x

e x x

f )3()(-=的单调递增区间是 A ．)3,0( B. )4,1( C ．),2(+∞ D ．)2,(-∞

6．若曲线b ax x y ++=2

在点(0, b )处的切线方程是01=+-y x , 则

A ．1,1==b a B. 1,1=-=b a

C ．1,1-==b a

D ．1,1-=-=b a

7．某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每

天做作业的时间为x 分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是 A ．680 B ．320

C ．0.68

D ．0.32

8．某射手的一次射击中, 射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1, 则此射手在

一次射击中成绩不超过8环的概率为 A ．9.0

B ．6.0

C ．5.0

D ．3.0

9．已知21,F F 是椭圆的两个焦点, 过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点, 若

△2ABF 是正三角形, 则这个椭圆的离心率为

A ．

2 B ．

2 C ．

3 D ．

3 10．设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数, '()f x 为其导函数. 当0>x 时,

0)(')(>?+x f x x f , 且0)1(=f , 则不等式0)(>?x f x 的解集为

A ．)1,0()0,1(?-

B ．),1()0,1(+∞?-

C ．),1()1,(+∞?--∞

D ．)1,0()1,(?--∞

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）

11．命题1sin ,:≤∈?x R x p 的否定p ?是 .

12．定积分

?-=+22

)cos 1(π

πdx x .

13．某市为了创建国家级文明城市, 采用系统抽样的方法从960人中抽取32人做问卷调查,

为此将他们随机编号为1,2,……,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9, 抽到的32人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷A, 编号落入区间[451,750]的人做问卷B, 其余的人做问卷C. 则抽到的人中, 做问卷B 的人数为 . 14．一个车间为了规定工作定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了5次试验, 收

集数据如下:

零件数x (个) 10 20 30 40 50 加工时间y (分钟)

由表中数据, 求得线性回归方程a x y

?65.0?+=, 根据回归方程, 预测加工70个零件所花费的时间为分钟.

15．已知函数)(x f 的自变量取值区间为A , 若其值域也为A , 则称区间A 为)(x f 的保值区

间. 若函数x m x x g ln )(-+=的保值区间是),2

[+∞, 则m 的值为 .

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16

．（

分

）

已

知

命

题

,0],2,1[:2”“≥-∈?a x x p 命

题

,022,:02

00”“=+++∈?a ax x R x q

若命题“q p 或”是真命题, 求实数a 的取值范围.

17．（12分）设关于x 的一元二次方程04692

=+-+b ax x .

（1）若a 是从1,2,3这三个数中任取的一个数, b 是从0,1,2这三个数中任取的一个数, 求

上述方程有实根的概率;

（2）若a 是从区间[0, 3]中任取的一个数, b 是从区间[0, 2]中任取的一个数, 求上述方程

有实根的概率.

18．（12分）如图，在直棱柱

1111//ABCD A B C D AD BC -中，，

190,,1, 3.BAD AC BD BC AD AA ∠=⊥===

（1）证明：1AC B D ⊥；

（2）求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.

19．（12分）经销商经销某种农产品, 在一个销售季度内, 每售出1t 该产品可获得利润500元, 未

售出的产品, 每1t 亏损300元. 根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布

直方图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了130t 该产品, 以X (单位: t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量, T (单位:元)表示下一个销售季度内该农产品的销售利润.

（1）将T 表示为X 的函数;

（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率.

20．（13分）如图, 椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 经过点)23,1(P , 离心率21=e , 直线l

的方程为4=x . （1）求椭圆C 的方程;

（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ), 设

直线AB 与直线l 相交于点M , 记PA 、PB 、

PM 的斜率分别为1k 、2k 、3k . 问: 是否存在

常数λ, 使得321k k k λ=+? 若存在, 求λ的值; 若不存在, 请说明理由.

21．（14分）已知函数).2

(ln )(21)(22≤---=

a x x a a x x f （1）若函数)(x f 在2=x 处取得极值, 求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; （2）讨论函数)(x f 的单调性;

（3）设,ln )(2

x x a x g -= 若)()(x g x f >对1>?x 恒成立, 求实数a 的取值范围.

试题答案

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

11. 00,sin 1?∈>x R x 12. 2+π 13.10

14. 102 15. 2

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．

16.（12分）已知命题,0],2,1[:

”“≥-∈?a x x p 命题,022,:

00”“=+++∈?a ax x R x q 若命题“q p 或”是真命题, 求实数a 的取值范围.

解: .1)(min 2

=≤?x a p ……………………………………………………3分

.210)2(442≥-≤?≥+-=??a a a a q 或……………………………6分

∵“p 或q ”为真命题，∴p 、q 中至少有一个真命题………………………8分即1≤a 或1 2.≤-≥或a a ………………………………………………………10分

1?≤a 或 2.≥a

∴“q p 或”是真命题时, 实数a 的取值范围是).,2[]1,(+∞?-∞………12分

17. （12分）设有关x 的一元二次方程04692

=+-+b ax x .

(1) 若a 是从1,2,3这三个数中任取的一个数, b 是从0,1,2这三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率;

(2) 若a 是从区间[0, 3]中任取的一个数, b 是从区间[0, 2]中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.

解: (1) 由题意, 知基本事件共有9个, 可用有序实数对表示为(1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2),其中第一个表示a 的取值, 第二个表示b 的取值......................................2分由方程04692

=+-+b ax x 的

40)4(36362222≥+?≥+--=?b a b a ...........................4分

∴方程046922=+-+b ax x 有实根包含7个基本事件, 即(1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3,

1), (3, 2).

∴此时方程046922=+-+b ax x 有实根的概率为.9

.................6分

(2) b a ,的取值所构成的区域如图所示, 其中.20,30≤≤≤≤b a ........8分

∴构成“方程046922=+-+b ax x 有实根”这一事件的区域为

{}

20,30,4|),(22

≤≤≤≤≥+b a b a

b a (图中阴影部分).

∴此时所求概率为.6

132241

322

ππ-=???-?....................12分

18.（12分）

如图，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，

90,,1,

B A D A

C B

D B C A D A A ∠=⊥=== (Ⅰ)证明：1AC B D ⊥；

(Ⅱ)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.

解：(1)易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．

因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD ＝－t 2＋3＋0＝0.解

得t =

或t =(舍

去)．.................. ...................................... ....................... ............ ....................3分于是1B D ＝

(，3，－3)，AC ＝

1,0)．

因为AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，所以AC ⊥1B D ，即AC ⊥B 1D ．.........6分 (2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝

1,0)，11B C ＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则

10,0,AC AD ??=??

?=??n n

即0,330.y y z +=+=?

? 令x ＝1，则n ＝(1

，

．.........9分设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝

1111

B C B C ??n

＝

=. 即直线B

1C 1与平面ACD 1分

19. （12分）经销商经销某种农产品, 在一个销售季度内, 每售出1t 该产品可获得利润500

元, 未售出的产品, 每1t 亏损300元. 根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了130t 该产品, 以X (单位: t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量, T (单位:元)表示下一个销售季度内该农产品的销售利润. (1) 将T 表示为X 的函数;

(2) 根据直方图估计利润T 不少于

57000元的概率. 解:

(1)

当130100<≤X 时,

;39000800)130(300500-=--=X X X T

当150130≤≤X 时, .65000130500=?=T

.150130,65000130100,39000800?

??≤≤<≤-=∴X X X T …………………………………………6分

(2) 令.12057000≥?≥X T …………………………………………………8分

7.010)015.0025.0030.0()120()57000(=?++=≥=≥∴X P T P ……12分

20. （13分）如图, 椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 经过点)23,1(P , 离心率21