万有引力定律讲解(附答案)
6．3 万有引力定律
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【课前预习】
1．万有引力定律：
（1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的
方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比。
（2）表达式： F ＝G m 1m 2r 。 2．引力常量
（1）引力常量通常取G ＝ 6.67×10－11 N·m 2/kg 2，它是
由英国物理学家卡文迪许在实验室里测得的。
（2）意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1kg
的质点，相距1m 时的相互吸引力。
【新课教学】
一、牛顿的“月——地”检验
1．检验的目的：地球对月亮的力，地球对地面上物体的
力，太阳对行星的力，是否是同一种力。
2．基本思路 (理论计算)：如果是同一种力，则地面上物
体的重力G ∝21R ，月球受到地球的力2
1r f ∝。 又因为地面上物体的重力mg G =产生的加速度为g ，地球对月球的力提供月球作圆周运动的向心力，产生的向心加速度，
取 G =6.67×10－11N·m 2/kg 2，其意义是引力常量在数值上
等于两个质量都是1kg 的质点，相距1m 时的相互吸引力。（测定引力常量的意义：A.卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。B.引力常量的测定使得万有引力能够进行定量计算，使万有引力定律有了真正的使用价值。）
3．万有引力的普遍性：万有引力不但存在于行星和太阳
之间，也存在于宇宙中的任何天体之间。但地球上的物体，由于物体间的万有引力远小于物体的重力，所以人们很难感受或观察到，往往忽略物体间的万有引力。 4．适用条件： （1)万有引力公式适用于质点之间的引力大小的计算。
(2)对于实际物体间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (3)两个质量分布均匀的球体间可用万有引力公式求解，式中r 即两球心之间的距离；一个质量分布均匀的球体与球外一质点之间的万有引力亦可用公式求解，r 即质点到球心的距离。
【例题精讲】
知识点1万有引力公式的理解
【例1】对于质量为1m 、2
m 的两个物体间的万有引力的表达式22
1r m m G F ，下列说法正确的是
( AC )
A ．公式中的G 是恒量，是实验测定的，而不是人为规
定的
B ．当r 趋于零时，万有引力趋于无穷大
C ．1m 与2
m 受到的引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力
D ．1m 与2
m 受到的引力大小相等、方向相反，是一对平衡力
[思路分析]由基本概念、万有引力定律及其应用条件判
断。引力常量G 值是由英国物理学家卡文迪许运用扭秤实验测量出来的，所以A 正确；当r 趋于零时，此公式不能直接应用，所以直接应用公式得到的万有引力趋于无穷大是错误的，所以B 错；两个物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上．所以C 正确。
答案：AC
知识点2 万有引力公式的应用
【例2】火星半径是地球半径的一半，火星质量约为地
球质量的1/9。那么地球表面质量为50 kg 的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量物体受到火星引力的多少倍?
[思路分析]设火星质量为M 1，地球质量为M 2，火星半
径为r 1，地球半径为r 2，则有万有引力定律2
2
1r m m
G F 得：
4922211212=?=r r M M F F
即人所受地球的吸引力约为火星表面同质量物体所受火
星吸引力的2.25倍。
知识点3太阳与行星间引力的应用
【例3】已知太阳的质量为M ，地球的质量为m 1，月亮
的质量为m 2，当发生日全食时，太阳、月亮、
地球几乎在同一直线上，且月亮位于太阳与地球中间，如图所示．设月亮到太阳的距离为a ，地球到月亮的距离为b ，则太阳对地球的引力F 1和对月亮的引力F 2的大小之比为多少？
答案：m 1a 2
m 2(a ＋b )
2 【例4】地球的质量是月球质量的81倍，若地球吸引月
球的力的大小为F ，则月球吸引地球的力的大小为( B )
A ．F/81
B ．F
C ．9F
D ．81F
【方法技巧练】
一、用割补法求解万有引力的技巧
6．有一质量为M 、半径为R 的密度均匀的球
体，在距离球心O 为2R 的地方有一质量为m 的质点，现在
从M 中挖去一半径为R 2
的球体，如图1所示，求剩下部分对m 的万有引力F 为多大？
答案：7GMm 36R
2 解析：一个质量均匀分布的球体与球外的一个质点间的
万有引力可以用公式F ＝G mM r
2直接进行计算，但当球体被挖去一部分后，由于质量分布不均匀，万有引力定律就不再适用．此时我们可以用“割补法”进行求解．
设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m 的万有
引力为F 1，可以看做是剩余部分对质点的万有引力F 与被挖小球对质点的万有引力F 2的合力，即
F 1＝F ＋F 2.
设被挖小球的质量为M ′，其球心
到质点间的距离为r ′
由题意知M ′＝M 8，r ′＝3R 2
； 由万有引力定律得
F 1＝
G Mm (2R )
2＝GMm 4R 2
F 2＝
G M ′m r ′2＝G M 8m (32
R )2＝GMm 18R 2 故F ＝F 1－F 2＝7GMm 36R 2. 方法总结：本题易错之处为求F 时将球体与质点之间的
距离d 当做两物体间的距离，直接用公式求解．求解时要注意，挖去球形空穴后的剩余部分已不是一个均匀球体，不能直接运用万有引力定律公式进行计算，只能用割补法．
【教材补充】
卡文迪许实验
在牛顿发现万有引力定律100年后，英国物理学家卡文
迪许（H.Cavendish ）于1789年巧妙地利用扭秤测出了引力常量。卡文迪许的实验装置如图所示。
在一根金属丝下倒挂着一个T 形架，架的水平横梁两端
各装一个质量为m 的小球，T 形架的竖直部分装有一面小平面镜，两个小球由于受到质量均为M 的两个大球的吸引而转动，使金属丝发生扭转.当吸引力的力矩跟金属丝的扭转力矩平衡时，T 形架停止不动.根据平面镜反射的光点在标尺上移动的距离可算出金属丝的扭转角度，结合事先测定的金属丝扭转角度跟扭转力矩的关系，就可以算出扭转力矩，从而算出引力F 和引力常量。卡文迪许测定的引力常量G =6.754×10-11 N ·m 2/kg 2。在以后的八九十年间，竟无人超过他的测
量精度。
引力常量的测定是验证万有引力定律的一个重要实验，它使万有引力定律有了真正的实用价值。
卡文迪许把他的这个实验说成是“称地球的重量”（应该是“称地球的质量”）。有了G值后，我们还
可以“称”出太阳或其他星球的质量。
1、实验原理：力矩平衡，即引力矩=扭
转力矩
2、巧妙处：两次放大及等效的思想：扭秤装置把微小力转变成力矩来反映（一次放大），扭转角度（微小形变）通过光标的移动来反映（二次放大），从而确定物体间的万有引力。
3、卡文迪许扭秤实验的伟大之处：
A、证明了万有引力的存在
B、开创了测量弱力的新时代
C、使得万有引力定律有了真正的实用价值
4、G值为6.67×10-11 Nm2/kg2
物理含义：两个质量为1kg的物体相距1m时，它们之间万有引力为6.67×10-11 N
测定引力常量的意义：A.卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。B.引力常量的测定使得万有引力能够进行定量计算，使万有引力定律有了真正的使用价值。
【随堂练习】
1．月—地检验的结果说明（AD ）
A．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质力
B．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种类型的力
C．地面物体所受地球的引力只与物体质量有关，与地球质量无关
D．月球所受地球的引力除与月球质量有关外，还与地球质量有关
2．下列说法中正确的是（D ）
A．万有引力定律是卡文迪许发现的B．卡文迪许扭秤是用来验证万有引力定律是否正确的C．被人们称为“能称出地球质量的人”是牛顿D．万有引力常量是一个有单位的常量
3．两大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万
有引力为F ，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（ D ）
A ．2F
B ．4F
C ．8F
D ．16F
4．已知地球半径为R ，将一物体从地面移到离地面高h
处时，物体所受万有引力减少到原来的一半，则h
为 （ D ）
A ．R
B ．2R
C ．2R
D ．（2-1）R
5．两个质量均为M 的星体．其连线的垂直平分线为AB ，
0为两星体连线的中点，如图所示，一质量为M 的物体从0沿OA 方向运动，则它受到的两星体万有引力的合力大小变化情况是 ( D )
A ．一直增大
B ．一直减小
C ．先减小，
后增大 D ．先增大，后减小
【课后作业】
1．下列关于万有引力定律的说法正确的是 ( ABCD )
Ａ．万有引力定律是牛顿发现的
Ｂ． 中的G 是一个比例常数,是有单位的 Ｃ．万有引力定律适用于质点间的相互作用
Ｄ．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力
2
2
1r m m
G F
也可以用来计算,r 是两球体球心的距离 2．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球
上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前比( B )
A ．地球与月球间的万有引力将变大
B ．地球与月球间的万有引力将变小
C ．地球与月球间的万有引力将不变
D ．无法确定
3．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，
其质量约为地球质量的6.4倍,一个在地球表面质量为600N 的人在这个行星表面的质量将变为960N 。由此可推知,该行
星的半径与地球半径比为 ( B )
A ．1：2
B ．2：1
C ．3：
2 D ．4：1
4．宇宙飞船正在离地面高地的轨道上做匀速圆周运
动，飞船内一弹簧测力计下悬挂一质量为m 的重物，g 为地面处的重力加速度，则弹簧测力计的读数为（ D ）
A ．mg
B ．mg /2
C ．mg /3
D ．0
2
2
1r m m
G F =R h =
5．两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R ，a 卫星离地面高度等于R ，b 卫星离地面高度为3R 。则：(1)两卫星周期之比为多少?(2)若某时刻两颗卫星恰好同时通过地面同一点的正上方，则a 至少经过多少个周期两个卫星相距最远? 答案：（1）4:2:=b a T T （2）若同向转动a T t 72
4+=
3232 万有引力定律应用的12种典型案例 万有引力定律不仅是高考的一个大重点，而且是自然科学的一个重大课题，也是同学们最感兴趣的科学论题之一。 特别是我国“神州五号”载人飞船的发射成功，更激发了同学们研究卫星，探索宇宙的信心。 下面我们就来探讨一下万有引力定律在天文学上应用的12个典型案例： 【案例1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律： r T 4m r Mm G 22 2π=……①得： 2 32G T r 4M π=……②可见A 正确 而T r 2v π= ……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误 地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2R Mm G mg =得：G g R M 2=可见B 正确
3333 【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。 【案例2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大哪颗卫星的线速度大若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少 解析：本题主要考察普通卫星的运动特点及其规律 由开普勒第三定律T 2 ∝r 3 知：“风云二号”卫星的轨道半径较大 又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 22==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM v = ，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。 【探讨评价】由万有引力定律得：2M a G r = ，v = ω= 2T = ⑴所有运动学量量都是r 的函数。我们应该建立函数的思想。 ⑵运动学量v 、a 、ω、f 随着r 的增加而减小，只有T 随着r 的增加而增加。 ⑶任何卫星的环绕速度不大于7.9km/s ，运动周期不小于85min 。 ⑷学会总结规律，灵活运用规律解题也是一种重要的学习方法。 【案例3】同步卫星的运动 下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上
最新高考物理万有引力与航天常见题型及答题技巧及练习题(含答案) 一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天 1．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示．设这三个 星体的质量均为 m ，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为 G ， 则: （1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少? （2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少? 【答案】（1）3 45L Gm 23 3Gm L 【解析】 【分析】 （1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期； （2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速度； 【详解】 （1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则： 222 22 2()(2)Gm Gm m L L L T π+= 3 45L T Gm ∴=（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗 星，满足：2 222cos30()cos30L Gm m L ω?=? 解得：3 3Gm L ω 2．经过逾6 个月的飞行，质量为40kg 的洞察号火星探测器终于在北京时间2018 年11 月27 日03：56在火星安全着陆。着陆器到达距火星表面高度800m 时速度为60m/s ，在着陆器底部的火箭助推器作用下开始做匀减速直线运动；当高度下降到距火星表面100m 时速度减为10m/s 。该过程探测器沿竖直方向运动，不计探测器质量的变化及火星表面的大气
1．天体运动的分析方法 2．中心天体质量和密度的估算 (1)已知天体表面的重力加速度g和天体半径R G＝mg? (2)已知卫星绕天体做圆周运动的周期T和轨道半径r 1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知() A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析：由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确；对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D错误．答案：C 2．(2016·郑州二检)据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v′在火星表面附近环绕飞行．若认为地球和火星都是质
量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，设火星与地球表面重力加速度分别为g′和g，下列结论正确的是() A．g′∶g＝4∶1B．g′∶g＝10∶7 C．v′∶v＝D．v′∶v＝ 解析：在天体表面附近，重力与万有引力近似相等，由G＝mg，M＝ρπR3，解两式得g＝GπρR，所以g′∶g＝5∶14，A、B项错；探测器在天体表面飞行时，万有引力充当向心力，由G＝m，M＝ρπR3，解两式得v＝2R，所以v′∶v＝，C项正确，D 项错． 答案：C 3.嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日1点30分在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段．若已知引力常量G，月球绕地球做圆周运动的半径r1、周期T1，“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的环月轨道(见图)半径r2、周期T2，不计其他天体的影响，则根据题目条件可以() A．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量 B．求出地球与月球之间的万有引力 C．求出地球的密度 D.＝ 解析：绕地球转动的月球受力为＝M′r1得T1＝＝.由于不知道地球半径r，无法求出地球密度，C错误；对“嫦娥三号”而言，＝mr2，T2＝，已知“嫦娥三号”的周期和半径，可求出月球质量M′，但是所有的卫星在万有引力提供向心力的运动学公式中卫星质量都约掉了，无法求出卫星质量，因此探月卫星质量无法求出，A错误；已
【1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律：r T 4m r Mm G 2 22π=……①得：23 2G T r 4M π=……②可见A 正确 而T r 2v π= ……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误 球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2 R Mm G mg =得：G g R M 2= 可见B 正确 【2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大？哪颗卫星的线速度大？若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少？ 解析：由开普勒第三定律T 2∝r 3知：“风云二号”卫星的轨道半径较大 又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 2 2==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM v =，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。 【探讨评价】由万有引力定律得：2 M a G r =，v = ω= 2T π = 【3】同步卫星的运动 下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上 D 、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。
万有引力定律·典型例题解析 【例1】设地球的质量为M ，地球半径为R ，月球绕地球运转的轨道半径为r ，试证在地球引力的作用下： (1)g (2)(3)r 60R 地面上物体的重力加速度＝ ；月球绕地球运转的加速度＝；已知＝，利用前两问的结果求的值； GM R GM r g 22αα (4)已知r ＝3.8×108m ，月球绕地球运转的周期T ＝27.3d ，计算月球绕地球运转时的向心加速度a ； (5)已知地球表面重力加速度g ＝9.80m/s 2，利用第(4)问的计算结果， 求 的值．α g 解析： (1)略；(2)略； (3)2.77×10-4； (4)2.70×10-3m/s 2 (5)2.75×10-4 点拨：①利用万有引力等于重力的关系，即＝．②利用万有引力等于向心力的关系，即＝．③利用重力等于向心力 G Mm r mg G Mm r m 2 2α 的关系，即mg ＝ma ．以上三个关系式中的a 是向心加速度，根据题目 的条件可以用、ω或来表示．v r r T 2224r 2 π 【例】月球质量是地球质量的 ，月球半径是地球半径的，在21811 38. 距月球表面14m 高处，有一质量m ＝60kg 的物体自由下落． (1)它落到月球表面需用多少时间？ (2)它在月球上的“重力”和质量跟在地球上是否相同(已知地球表面重力
加速度g 地＝9.8m/s 2)？ 解析：(1)4s (2)588N 点拨：(1)物体在月球上的“重力”等于月球对物体的万有引力，设 mg G M m R mg G M m R 22月月月 地地地 ＝．同理，物体在地球上的“重力”等于地球对物体的 万有引力，设＝． 以上两式相除得＝，根据＝可得物体落到月球表 面需用时间为＝＝×＝． 月月g 1.75m /s S gt t 4s 2 2 12 2214 175S g . (2)在月球上和地球上，物体的质量都是60kg ．物体在月球上的“重力”和在地球上的重力分别为G 月＝mg 月＝60×1.75N ＝105N ，G 地＝mg 地＝60×9.8N ＝588N ． 跟踪反馈 1．如图43－1所示，两球的半径分别为r 1和r 2，均小于r ，两球质量分布均匀，大小分别为m 1、m 2，则两球间的万有引力大小为： [ ] A ．Gm 1m 2/r 2 B ．Gm 1m 2/r 12 C ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2)2 D ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2＋r)2
最新高考物理万有引力定律的应用常见题型及答题技巧及练习题(含答案) 一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用 1．据报道，一法国摄影师拍到“天宫一号”空间站飞过太阳的瞬间．照片中，“天宫一号”的太阳帆板轮廓清晰可见．如图所示，假设“天宫一号”正以速度v =7.7km/s 绕地球做匀速圆周运动，运动方向与太阳帆板两端M 、N 的连线垂直，M 、N 间的距离L =20m ，地磁场的磁感应强度垂直于v ，MN 所在平面的分量B =1.0×10﹣5 T ，将太阳帆板视为导体． （1）求M 、N 间感应电动势的大小E ； （2）在太阳帆板上将一只“1.5V 、0.3W”的小灯泡与M 、N 相连构成闭合电路，不计太阳帆板和导线的电阻．试判断小灯泡能否发光，并说明理由； （3）取地球半径R =6.4×103 km ，地球表面的重力加速度g = 9.8 m/s 2，试估算“天宫一号”距离地球表面的高度h （计算结果保留一位有效数字）． 【答案】（1）1.54V （2）不能（3）5410m ? 【解析】 【分析】 【详解】 （1）法拉第电磁感应定律 E=BLv 代入数据得 E =1.54V （2）不能，因为穿过闭合回路的磁通量不变，不产生感应电流． （3）在地球表面有 2Mm G mg R = 匀速圆周运动 2 2 ()Mm v G m R h R h =++ 解得 2 2gR h R v =- 代入数据得 h ≈4×105m
【方法技巧】 本题旨在考查对电磁感应现象的理解，第一问很简单，问题在第二问，学生在第一问的基础上很容易答不能发光，殊不知闭合电路的磁通量不变，没有感应电流产生．本题难度不大，但第二问很容易出错，要求考生心细，考虑问题全面． 2．万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性． （1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果．已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G．将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0．①若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的表达式，并就 h=1．0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）； ②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式． （2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳半径为R s和地球的半径R三者均减小为现在的1．0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？ 【答案】（1）①0.98，② 23 2 2 0 4 1 F R F GMT π =- （2）“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同 【解析】 试题分析：（1）根据万有引力等于重力得出比值的表达式，并求出具体的数值． 在赤道，由于万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力，根据该规律求出比值的表达式 （2）根据万有引力提供向心力得出周期与轨道半径以及太阳半径的关系，从而进行判断．解：（1）在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是 ① ② 由公式①②可以得出： =0.98． ③
万有引力定律练习题 一．选择题（共8小题） 1．（2018?榆林一模）2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示．关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有（） A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度 B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度2．（2018?江西模拟）北斗卫星导航系统由一组轨道高低不同的人造地球卫星组成。高轨道卫星是地球同步卫星，其轨道半径约为地球半径的6.6倍。若某低轨道卫星的周期为12小时，则这颗低轨道卫星的轨道半径与地球半径之比约为（） A．4.2 B．3.3 C．2.4 D．1.6 3．（2018?海南）土星与太阳的距离是火星与太阳距离的6倍多。由此信息可知（） A．土星的质量比火星的小 B．土星运行的速率比火星的小 C．土星运行的周期比火星的小 D．土星运行的角速度大小比火星的大 4．（2018?高明区校级学业考试）如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，如图所示。从水星与金星在一条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1，金星转过的角度为θ2（θ1、θ2均为锐角），则由此条件可求得（）
A．水星和金星绕太阳运动的周期之比 B．水星和金星的密度之比 C．水星和金星表面的重力加速度之比 D．水星和金星绕太阳运动的向心力大小之比 5．（2018?瓦房店市一模）如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知万有引力常量为G，则月球的质量是（） A．B．C．D． 6．（2018春?南岗区校级期中）如图，有关地球人造卫星轨道的正确说法有（） A．a、b、c 均可能是卫星轨道B．卫星轨道只可能是a C．a、b 均可能是卫星轨道D．b 可能是同步卫星的轨道7．（2018春?武邑县校级月考）如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。则（）
高考物理万有引力定律的应用技巧和方法完整版及练习题含解析 一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用 1．一名宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力．求： （1）星球表面的重力加速度； （2）卫星绕该星的第一宇宙速度； （3）星球的密度． 【答案】（1）126F F g m -=（212()6F F R m -(3) 128F F GmR ρπ-= 【解析】 【分析】 【详解】 （1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F 2，在最低点拉力为F 1 设最高点速度为2v ，最低点速度为1v ，绳长为l 在最高点：2 22mv F mg l += ① 在最低点：2 11mv F mg l -= ② 由机械能守恒定律，得 221211222 mv mg l mv =?+ ③ 由①②③，解得1 2 6F F g m -= （2） 2 GMm mg R = 2GMm R =2 mv R 两式联立得：12()6F F R m -
（3）在星球表面：2 GMm mg R = ④ 星球密度：M V ρ= ⑤ 由④⑤，解得12 8F F GmR ρπ-= 点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度． 2．a 、b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为3R ，己知地球半径为R ，表面的重力加速度为g ，试求： （1）a 、b 两颗卫星周期分别是多少？ （2） a 、b 两颗卫星速度之比是多少？ （3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【答案】（1 ）2 ，16（2）速度之比为2 【解析】 【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解； 解：（1）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， 对地面上的物体由黄金代换式2 Mm G mg R = a 卫星 2 224a GMm m R R T π= 解得2a T =b 卫星2 2 24·4(4)b GMm m R R T π= 解得16b T = （2）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， a 卫星2 2a mv GMm R R =
万有引力定律 典型例题解析 【例1】设地球的质量为M ，地球半径为R ，月球绕地球运转的轨道半径为r ，试证在地球引力的作用下： (1)g (2)(3)r 60R 地面上物体的重力加速度＝ ；月球绕地球运转的加速度＝；已知＝，利用前两问的结果求的值；GM R GM r g 2 2αα (4)已知r ＝3.8×108m ，月球绕地球运转的周期T ＝27.3d ，计算月球绕地球运转时的向心加速度a ； (5)已知地球表面重力加速度g ＝9.80m/s 2，利用第(4)问的计算结果， 求的值．αg 解析： (1)略；(2)略； (3)2.77×10-4； (4)2.70×10-3m/s 2 (5)2.75×10-4 点拨：①利用万有引力等于重力的关系，即＝．②利用万有引力等于向心力的关系，即＝．③利用重力等于向心力G Mm r mg G Mm r m 22α 的关系，即mg ＝ma ．以上三个关系式中的a 是向心加速度，根据题目 的条件可以用、ω或来表示．v r r T 2224r 2π
【例】月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的，在2181138. 距月球表面14m 高处，有一质量m ＝60kg 的物体自由下落． (1)它落到月球表面需用多少时间？ (2)它在月球上的“重力”和质量跟在地球上是否相同(已知地球表面重力加速度g 地＝9.8m/s 2)？ 解析：(1)4s (2)588N 点拨：(1)物体在月球上的“重力”等于月球对物体的万有引力，设 mg G M m R mg G M m R 22月月月地地地＝．同理，物体在地球上的“重力”等于地球对物体的 万有引力，设＝． 以上两式相除得＝，根据＝可得物体落到月球表面需用时间为＝＝×＝．月月g 1.75m /s S gt t 4s 2212 2214175S g . (2)在月球上和地球上，物体的质量都是60kg ．物体在月球上的“重力”和在地球上的重力分别为G 月＝mg 月＝60×1.75N ＝105N ，G 地＝mg 地＝60×9.8N ＝588N ． 跟踪反馈 1．如图43－1所示，两球的半径分别为r 1和r 2，均小于r ，两球质量
高中物理万有引力定律的应用常见题型及答题技巧及练习题(含答案) 一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用 1．人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面．已知引力常量为G ，月球的半径为R ． （1）求月球表面的自由落体加速度大小g 月； （2）若不考虑月球自转的影响，求月球的质量M 和月球的“第一宇宙速度”大小v ． 【答案】（1）22h g t =月 （2）2 2 2hR M Gt =；2hR v t = 【解析】 【分析】 （1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出月球表面的重力加速度； （2）根据月球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半径可以求出月球的质量M ； 飞行器近月飞行时，飞行器所受月球万有引力提供月球的向心力，从而求出“第一宇宙速度”大小． 【详解】 （1）月球表面附近的物体做自由落体运动 h ＝1 2 g 月t 2 月球表面的自由落体加速度大小 g 月＝2 2h t （2）若不考虑月球自转的影响 G 2 Mm R ＝mg 月 月球的质量 2 2 2hR M Gt ＝ 质量为m'的飞行器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动m ′g 月＝m ′2 v R 月球的“第一宇宙速度”大小 2hR v g R t 月＝＝ 【点睛】 结合自由落体运动规律求月球表面的重力加速度，根据万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力求解中心天体质量和近月飞行的速度v ． 2．在不久的将来，我国科学家乘坐“嫦娥N 号”飞上月球(可认为是均匀球体)，为了研究月球，科学家在月球的“赤道”上以大小为v 0的初速度竖直上抛一物体，经过时间t 1，物体回到抛出点；在月球的“两极”处仍以大小为v 0的初速度竖直上抛同一物体，经过时间t 2，物体回到抛出点。已知月球的半径为R ，求： (1)月球的质量； (2)月球的自转周期。
“万有引力定律”的典型例题 例5 【例1】假如一个作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作圆周运动，则 [ ] A．根据公式v=ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍 D．根据上述选答B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将 【分析】人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动时，由地球对它的引力作向心力，即 卫星运动的线速度
当卫星的轨道半径增大为原来的2倍时，由于角速度会发生变化， 错，D正确． 同理，当卫星的轨道半径增大为原来的2倍时，由于线速度的变化，卫星所需的向心力不是减为原来的1/2，而是减小到原来的1/4．B错，C正确． 【答】C、D． 【说明】物体作匀速圆周运动时，线速度、角速度、向心加速度、向心力和轨道半径间有一定的牵制关系．例如，只有当ω不变时，线速度才与半径成正比；同样，当线速度不变时，同一物体的向心力才与半径成反比．使用中不能脱离条件． 研究卫星的运动时，最根本的是抓住引力等于向心力这一关系． 【例2】估算天体的质量 【解】把卫星（或行星）绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星（或行星）的引力作为它绕中心天体的向心力．根据 得 因此，只需测出卫星（或行星）的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M．
【例3】登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5min．已知月球半径是1740km，根据这些数据计算月球的平均密度．（G=6.67×10-11Nm2／kg2） 【分析】要计算月球的平均密度，首先应求出质量M．飞行器绕月球做匀速圆周运动的向心力是由月球对它的万有引力提供的． 【解】根据牛顿第二定律有 从上式中消去飞行器质量m后可解得 根据密度公式有 【例4】如图1所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中， 连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？ 【分析】把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得解．
高中物理高考物理万有引力定律的应用常见题型及答题技巧及练习题( 含答案 ) 一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用 1．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银 河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星 系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．（引力常量为G） 【答案】 【解析】 设两颗恒星的质量分别为m 1 、m2，做圆周运动的半径分别为r1、 r2，角速度分别为 w ,w．根据题意有 12 w1=w2①（1 分） r +r =r ②（ 1 分） 12 根据万有引力定律和牛顿定律，有 G③（ 3分） G④（ 3 分） 联立以上各式解得 ⑤（2分） 根据解速度与周期的关系知 ⑥（2分） 联立③⑤⑥式解得 （3 分） 本题考查天体运动中的双星问题，两星球间的相互作用力提供向心力，周期和角速度相 同，由万有引力提供向心力列式求解 2．“天舟一号”货运飞船于2017 年 4 月 20 日在海南文昌航天发射中心成功发射升空，完成 了与天宫二号空间实验室交会对接。已知地球质量为M ，半径为R，万有引力常量为G。（1）求质量为m 的飞船在距地面高度为h 的圆轨道运行时的向心力和向心加速度大小。 （2）若飞船停泊于赤道上，考虑地球的自转因素，自转周期为 小物体所受重力大小G0。 T0，求飞船内质量为m0的 （3）发射同一卫星到地球同步轨道时，航天发射场一般选取低纬度还是高纬度发射基地更 为合理？原因是什么？
【答案】 (1)(2)(3)借助接近赤道的低纬度发射基地更 为合理，原因是低纬度地区相对于地心可以有较大线速度，有较大的初动能 【解析】 【详解】 （1）根据万有引力定律和牛顿第二定律有 解得 （2）根据万有引力定律及向心力公式，有及 解得 （3）借助接近赤道的低纬度发射基地更为合理，原因是低纬度地区相对于地心可以有较大 线速度，有较大的初动能。 3．经过逾 6 个月的飞行，质量为 40kg 的洞察号火星探测器终于在北京时间2018 年11 月27 日 03： 56 在火星安全着陆。着陆器到达距火星表面高度800m 时速度为60m/s ，在着陆器底部的火箭助推器作用下开始做匀减速直线运动；当高度下降到距火星表面100m时速度减为 10m/s 。该过程探测器沿竖直方向运动，不计探测器质量的变化及火星表面的大气 阻力，已知火星的质量和半径分别为地球的十分之一和二分之一，地球表面的重力加速度 为g = 10m/s2。求： (1)火星表面重力加速度的大小； (2)火箭助推器对洞察号作用力的大小. 【答案】 (1) 2 g火 =4m/s (2) F=260N 【解析】 【分析】 火星表面或地球表面的万有引力等于重力，列式可求解火星表面的重力加速度；根据运动公式求解下落的加速度，然后根据牛顿第二定律求解火箭助推器对洞察号作用力.【详解】 （1）设火星表面的重力加速度为g 火，则G M 火m=mg 火 r火2 G M 地 m =mg r地2 解得 g 火=0.4g=4m/s 2
第五讲 万有引力定律重点归纳讲练 知识梳理 考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式： k T a =23 。其中k 值与太阳有关，与行星无关。 （4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，k T a =2 3 ，但k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。 （5） 中学阶段对天体运动的处理办法： ①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k T R =2 3 ，R ——轨道半径。 2. 万有引力定律 （1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2 成反比。 （2） 公式：2 21r m m G F =，G 叫万有引力常量，2211 /10 67.6kg m N G ??=-。 （3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。 （4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系 (1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22 ω-=； ②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2 ；故纬度越大，重力加速度越大。 由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。 (2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，2 2 R GM g mg R Mm G =?=；在地球表面高度为h 处： 22)()(h R GM g mg h R Mm G h h +=?=+，所以g h R R g h 2 2 ) (+=，随高度的增加，重力加速度减小。 考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度 1．T 、r 法：2 3 2224)2(GT r M T mr r Mm G ππ=?=，再根据3 23 33,34R GT r V M R V πρρπ=?== ，当r=R 时，2 3GT πρ= 2．g 、R 法：G g R M mg R Mm G 22 = ?=，再根据GR g V M R V πρρπ43,3 43=?== 3．v 、r 法：G rv M r v m r Mm G 2 22 =?=
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万有引力定律练习题 一．选择题（共8小题） 1．(2018?榆林一模）2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ,B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示．关于航天飞机的运动,下列说法中不正确的有（） A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度 B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 2．(2018?江西模拟）北斗卫星导航系统由一组轨道高低不同的人造地球卫星组成。高轨道卫星是地球同步卫星，其轨道半径约为地球半径的6.6倍。若某低轨道卫星的周期为12小时,则这颗低轨道卫星的轨道半径与地球半径之比约为（) A．4。2 B．3.3 C．2.4 D．1.6 3．（2018?海南）土星与太阳的距离是火星与太阳距离的6倍多。由此信息可知（） A．土星的质量比火星的小 B．土星运行的速率比火星的小 C．土星运行的周期比火星的小 D．土星运行的角速度大小比火星的大 4．(2018?高明区校级学业考试)如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动,如图所示.从水星与金星在一条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1,金星转过的角度为θ2（θ1、θ2均为锐角），则由此条件可
万有引力定律·典型例题解析 【例1】设地球的质量为M ，地球半径为R ，月球绕地球运转的轨道半径为r ，试证在地球引力的作用下： (1)g (2)(3)r 60R 地面上物体的重力加速度＝ ；月球绕地球运转的加速度＝；已知＝，利用前两问的结果求的值； GM R GM r g 22αα (4)已知r ＝3.8×108m ，月球绕地球运转的周期T ＝27.3d ，计算月球绕地球运转时的向心加速度a ； (5)已知地球表面重力加速度g ＝9.80m/s 2，利用第(4)问的计算结果， 求 的值．α g 解析： (1)略；(2)略； (3)2.77×10-4； (4)2.70×10-3m/s 2 (5)2.75×10-4 点拨：①利用万有引力等于重力的关系，即＝．②利用万有引力等于向心力的关系，即＝．③利用重力等于向心力 G Mm r mg G Mm r m 2 2α 的关系，即mg ＝ma ．以上三个关系式中的a 是向心加速度，根据题目 的条件可以用、ω或来表示．v r r T 2224r 2 π 【例】月球质量是地球质量的 ，月球半径是地球半径的，在21811 38. 距月球表面14m 高处，有一质量m ＝60kg 的物体自由下落． (1)它落到月球表面需用多少时间？ (2)它在月球上的“重力”和质量跟在地球上是否相同(已知地球表面重力
加速度g 地＝9.8m/s 2)？ 解析：(1)4s (2)588N 点拨：(1)物体在月球上的“重力”等于月球对物体的万有引力，设 mg G M m R mg G M m R 22月月月 地地地 ＝．同理，物体在地球上的“重力”等于地球对物体的 万有引力，设＝． 以上两式相除得＝，根据＝可得物体落到月球表 面需用时间为＝＝×＝． 月月g 1.75m /s S gt t 4s 2 2 12 2214 175S g . (2)在月球上和地球上，物体的质量都是60kg ．物体在月球上的“重力”和在地球上的重力分别为G 月＝mg 月＝60×1.75N ＝105N ，G 地＝mg 地＝60×9.8N ＝588N ． 跟踪反馈 1．如图43－1所示，两球的半径分别为r 1和r 2，均小于r ，两球质量分布均匀，大小分别为m 1、m 2，则两球间的万有引力大小为： [ ] A ．Gm 1m 2/r 2 B ．Gm 1m 2/r 12 C ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2)2 D ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2＋r)2
高中必备物理万有引力定律的应用技巧全解及练习题(含答案) 一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用 1．一颗在赤道平面内飞行的人造地球卫星，其轨道半径为3R ．已知R 为地球半径，地球表面处重力加速度为ｇ． （1）求该卫星的运行周期． （2）若卫星在运动方向与地球自转方向相同，且卫星角速度大于地球自转的角速度ω0．某时刻该卫星出现在赤道上某建筑物的正上方，问：至少经过多长时间，它会再一次出现在该建筑物的正上方？ 【答案】（1 ）6T ＝2 ）t V 【解析】 【分析】 【详解】 （1）对卫星运用万有引力定律和牛顿运动定律可得() 2 2 2433Mm G m R T R π?＝ 地球表面的物体受到重力等于万有引力2Mm mg G R ＝ 联立解得6T ＝； （2）以地面为参照物，卫星再次出现在建筑物上方时，建筑物随地球转过的弧度比卫星转过弧度少2π． ω1△t -ω0△t =2π， 所以 100 222t T V ＝ ＝＝πππωωω--； 2．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示．设这三个 星体的质量均为 m ，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为 G ， 则: （1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少? （2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?
【答案】（1） 3 4 5 L Gm π（2 ） 3 3Gm L 【解析】 【分析】 （1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期； （2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速度； 【详解】 （1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则： 22 2 22 2 () (2) Gm Gm m L L L T π += 3 4 5 L T Gm π ∴= （2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗 星，满足：2 2 2 2cos30() cos30 L Gm m L ω ?= ? 解得： 3 3 = Gm L ω 3．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求： （1）该星球表面的重力加速度； （2）该星球的密度； （3）该星球的第一宇宙速度v； （4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T． 【答案】(1)0 2tan v t α ；(2)0 3tan 2 v GRt α π ；0 2tana v R t ；(4) 2 tan Rt vα 【解析】 【分析】
万有引力定律 人造地球卫星 『夯实基础知识』 1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值） 丹麦天文学家 第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上； 第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等； 第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．即k T r =23 开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。 2．万有引力定律及其应用 (1) 内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。 2r Mm G F =（1687年） 2211/1067.6kg m N G ??=-叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg 的物体相距1m 时的相互 作用力，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。 万有引力常量的测定——卡文迪许扭秤 实验原理是力矩平衡。 实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大）。 万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”：对于地面附近的物体m ，有2E E R m m G mg =（式中R E 为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到G gR m E E 2 =。 (2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体，r 是两球心间的距离． 当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出F 近为无穷大。 (3) 地球自转对地表物体重力的影响。 体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，