一、高中数学重要数学思想
一、函数方程思想
函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。
1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；
2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；
3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。
二、数形结合思想
数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合。
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。
4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.
5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。
6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领：
(1) 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；
(2) 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点，顶点是关键点），作好知识的迁移与综合运用；
(3) 对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的。
三、分类讨论的数学思想
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：
（1）涉及的数学概念是分类讨论的；
（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；
（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。2.分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究。
四、化归与转化思想
所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，将难解问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。
立体几何中常用的转化手段有
1.通过辅助平面转化为平面问题，把已知元素和未知元素聚集在一个平面内，实现点线、线线、线面、面面位置关系的转化；
2.平移和射影，通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题，化未知为已知的目的；
3.等积与割补；
4.类比和联想；
5.曲与直的转化；
6.体积比，面积比，长度比的转化；
7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。
二、中学数学常用解题方法
1. 配方法
配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式.高考中常见的基本配方形式有：
（1)a^2+b^2= (a + b)^2- 2ab = (a -b)^2+ 2ab;
（2）a^2+ b^2+c^2= (a＋b + c)2- 2 ab – 2 a c – 2 bc;
（3）a^2+ b^2+ c^2-ab–bc–a c = [(a-b)^2+ (b-c)^2+(a-c)^2];
（配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论，求解与证明及二次曲线的讨论。
2.待定系数法
一待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决。待定系数法的主要理论依据是：
（1）多项式f(x)=g(x)的充要条件是：对于任意一个值a，都有f（a）＝g(a);
（2）多项式f(x) ≡g(x)的充要条件是：两个多项式各同类项的系数对应相等；
二运用待定系数法的步骤是：
（1）确定所给问题含待定系数的解析式（或曲线方程等）；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决；
三待定系数法主要适用于：求函数的解析式，求曲线的方程，因式分解等。3.换元法
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中数学中换元法主要有以下两类：（1）整体换元：以“元”换“式”；（2）三角换元，以“式”换“元”；
（3）此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等；换元法应用比较广泛。如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。运用换元法解题时要注意新元的约束条件和整体置换的策略。
4.向量法
向量法是运用向量知识解决问题的一种方法，解题常用下列知识：
（1）向量的几何表示，两个向量共线的充要条件；（2）平面向量基本定理及其理论；
（3）利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题；
（4）两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式；
5.分析法、综合法
（1）分析法是从所求证的结果出发，逐步推出能使它成立的条件，直至已知的事实为止；分析法是一种“执果索因”的直接证法。
（2）综合法是从已经证明的结论、公式出发，逐步推出所要求证的结论。综合法是一种“由因导果”，叙述流畅的直接证法。
（3）分析法、综合法是证明数学问题的两大最基本的方法。分析法“执果索因”的分析方法，思路清晰，容易找到解题路子，但书写格式要求较高，不容易叙述清楚，所以分析法、综合法常常交替使用。分析法、综合法应用很广，几乎所有题都可以用这两个方法来解。
6.反证法
反证法是数学证明的一种重要方法，因为命题p与它的否定非p的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题（即命题的否定）为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。
一反证法证明的一般步骤是：
（1）反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）归谬：从命题的条件和所作的结论出发,经过正确的推理论证,得出矛盾的结果；
（3）结论：有矛盾判定假设不正确，从而肯定的结论正确；
二反证法的适用范围：（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少时的命题；
（2）结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题，特别是结论是否定形式（“不是”、“不可能”、“不可得”）等的命题；（3）涉及各种无限结论的命题；（4）以“最多（少）、若干个”为结论的命题；（5）存在性命题；（6）唯一性命题；（7）某些定理的逆定理；
（8）一般关系不明确或难于直接证明的不等式等。
三反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律”。
7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体代换法等.
分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 思想方法一、函数与方程思想 姓名： 方法1 构造函数关系，利用函数性质解题 班别： 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。 例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性； （2） 证明：若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量，揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使2 43x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程，求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ?????? 高中数学四大思想 1.数形结合思想 数形结合，“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。 实质：将抽象的数学语言与直观图形结合起来；将抽象思维和形象思维结合起来。抽象问题具体化，复杂问题简单化。 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化： （1）集合的运算及韦恩图； （2）函数及其图象； （3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线. 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法. 以数助形常用有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合. 2.分类讨论思想 分类讨论思想，即根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决. 原则：化整为零，各个击破。无重复、无遗漏、最简。 步骤： 1）明确讨论对象，确定对象范围； 2）确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； 3）逐类讨论，获得阶段性结果； 4）归纳总结，得出结论。 常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等. 3.函数与方程思想 函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； 方程思想，即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. 运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到： （1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质。 （2）密切注意一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等问题；掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略。 4.转化与化归思想 转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。 转化，是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程； 化归，是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题. 转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的；不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。 原则：化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与数的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化. 高考数学思想方法 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光. 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想 等. 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用. 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得. 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”. 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想.最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷. 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现.再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用.每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识. 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 “函数思想”在高中数学中的教学及意义 【内容摘要】函数在高中数学的全部体系中，具有极其重要的地位，拥有起承转合的功能，为了给学习更多的函数及导数、极限与积分打下稳固的根基，在高中数学学习中要重点学习函数的奇偶性、单调性还有周期性等性质。此文特别研究“函数思想”的教育与突出意义，希望得到师生的看重。 【关键词】高中数学函数思想意义 一、学习函数的重要性 关于函数的定义，在初中时会学到，但是在高中还会在初中数学的根基下继续拓展新的含义，重点是关于映射的理论，这些新概念需要学生加深对函数理论、思维、含义的掌握，必须明白之中的关联，找出函数思想的真义，才可以在遇到实际问题时灵活多变 地利用函数思想处理难题。“函数思想”体现了认识来源于实践这一哲学认识论，它来源于我们的社会活动，而函数中变量的概念也印证了人类社会在量变和质变统一中的永久性变化，所以，关于量变的一些实际问题能够用“函数思想”来解决。 德国的克莱因和英国的贝利，是函数出现在中学阶段的数学教材的关键人物。克莱因的观点是，函数概念和思想是数学教育的一部分，他说过函数是数学教育的主题，需要将所有的数学教学内容都放置在函数概念四周，综合运用。中学数学教学任务与函数思想紧密连接，在高中数学中灌输函数思想需要一线数学老师的研究，本文章就是浅议函数思想。 在函数思想讲解的初级阶段，老师起初要引出学生对函数思想的兴趣，了解函数的初步含义，调动学生的热情。教师需要分层讲解函数思想的定义，使学 生掌握函数思想的重点，全面认识函数思想的深度含义，接着，教师再概括归纳出逻辑性性强的函数定义。函数关系可以看作是通向两个变量间的路，通过特定的数学关系把两者连接在一起。 对于高中函数思想的教学来说，具有四个关键意义，有函数的知识导向功能、考试导向功能、应用导向功能和教育导向功能。知识导向功能表示的是函数思想作为高中数学的主体，在高中数学中所占份额很大，是打造高中数学全部知识的框架，因此掌握好函数有益于理解其它知识点，提升眼界，锻炼数学思维。函数的应用导向功能是指通过函数思想解决日常生活中的实际问题。函数思想的考试导向是指高考数学卷中有关函数的题型比例大。函数思想的教育导向功能是指学生创设和运用函数模型，来解决生活中的数学的实际问题，提升学生的综合素质，比如思考意识和 数学七大思想方法 1 函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。 （2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。 2 数形结合思想 （1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面。 （2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系； 在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。 数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。 3 分类与整合思想 （1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。 （2）从具体出发，选取适当的分类标准。 （3）划分只是手段，分类研究才是目的。 （4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。 （5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。 4 化归与转化思想 （1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。 （2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。 （3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。 5 特殊与一般思想 （1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。 （2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。 （3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。 （4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。 （5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。 6 有限与无限的思想 （1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。 （2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。 （3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。 （4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查。 7 或然与必然的思想 （1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性。 （2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然。 （3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。 等价转化思想方法 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。 著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。 等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。 在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。 Ⅰ、再现性题组： 1. f(x是R上的奇函数，f(x＋2＝f(x，当0≤x≤1时，f(x＝x，则f(7.5等 于_____。 A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5 初高中数学衔接 ——数学思想方法目录 一、方程与函数思想 1.1方程思想 1.2函数思想 二、数形结合思想 2.1数形结合思想 三、分类讨论思想 1.1 方程思想 方程知识是初中数学的核心容。理解、掌握方程思想并应用与解题当中十分重要。所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法。对方程思想的考查主要有两个方面：一是列方程（组）解应用题；二是列方程（组）解决代数或几何问题。 （1）高中体现 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关 系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决 举例： 例1已知函数f (x )=log m 3 3 +-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的 增减性，并加以说明； (2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由 解 （1） ?>+-03 3 x x x ＜–3或x ＞3 ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有 0) 3)(3() (6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数 （2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］ ∵0＜m ＜1, f (x )为减函数 ∴??? ???? -=+-=-=+-=) 1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m 高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想 高考要求 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解 例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和 （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *） 因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不 高中常见数学思想方法 方法一 函数与方程的思想方法 函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解. 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易，化繁为简的目的.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的. 【例1】 设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知3121312,0,0a S S =><. （1）求公差d 的取值范围； （2）指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大，并说明理由. 【分析】 （1）利用公式n a 与n S 建立不等式，容易求解d 的范围；（2）利用n S 是n 的二次函数，将n S 中哪一个值最大，变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题. 【解】（1） 由3a ＝12a d +＝12,得到1a ＝12－2d ， 所以12S ＝121a ＋66d ＝12(12－2d )＋66d ＝144＋42d >0， 13S ＝131a ＋78d ＝13(12－2d )＋78d ＝156＋52d <0. 解得：2437 d -<<-. （2）解法一：（函数的思想） n S ＝21115(1)(12)222 na n n d dn d n ++=+- ＝22 124124552222d d n d d ????????---- ? ????????????? 因为0d <，故212452n d ????-- ???????最小时，n S 最大. 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4 中学数学思想方法的教学研究 发表时间：2013-03-14T14:50:22.857Z 来源：《少年智力开发报》2012-2013学年21期供稿作者：盖玉顺 [导读] 美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理． 山东省东营市陈庄镇中学盖玉顺 １．数学思想方法教学的意义 美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理．”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的．”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分．第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解”．心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习．”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了．下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳 入到学生已有的认知结构中去．学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容． 第二，有利于记忆．布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记．”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来．高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具．”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的．无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生．” 第三，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”．布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识．”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移．”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中．”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力． ２．中学数学教学内容的层次 中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法． 表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识．学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识． 深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识．教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性．那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛．因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质． ３．中学数学中的主要数学思想和方法 数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识．由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高．我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想．其理由是： （１）这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容； （２）符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握； （３）在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多； ４．数学思想方法的教学模式 数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性．基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式： 操作——掌握——领悟。对此模式作如下说明： （１）数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的； （２）“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学．“操作”是数学思想、方法教学的基础； （３）“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握．学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提； （４）“领悟”是指在教师引导下，学生对掌握的有关表层知识的认识深化，即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟，有所体会； 分类讨论思想在高中数学中的应用 摘要：分类讨论是是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置，在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。 分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.其关键是“为什么分类，怎样分类”。 一、分类讨论的几个注意点 1. 明确分类讨论的对象 分类讨论的对象是用字母表示的数,一般为变量, 当然也不排除为常量的可能。 例1、设k 为实常数，问方程)4()8()4()8(22-?-=-+-k k y k x k 表示的曲线是何种曲线？ 解析：方程表示何种曲线主要取决于k 的取值，可对k 分以下三种情形讨论： （1）当k 4=时，方程变为0,042==x x 即，表示直线； （2）当k 8=时，方程变为0042==y y 即，表示直线； （3）当84≠≠k k 且时，方程变为1842 2=-+-k y k x ，又有以下五种情形讨论： ①当4 高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记 《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范 最新高中数学思想 方法 经典例题 经典解析 目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。q D.当a>1时，p>q；当0
高中数学解题四大思想方法
高中数学四大思想
高考数学思想方法汇总(80页)
“函数思想”在高中数学中的教学及意义
数学七大思想方法
高中数学解题思想之等价变换思想.
初高中数学衔接之数学思想方法
[精品]新高三数学第二轮专题复习分类讨论思想优质课教案
高中数学常见思想方法总结
高中数学知识点以及解题方法大全
中学数学思想方法的教学研究
分类讨论思想在高中数学中的应用
(完整版)高中数学四大思想方法
最新高中数学思想方法(附经典例题及详解)
相关主题
文本预览