整数和整除的意义、倍数和因数
（一）、整数和整除的意义
1、 数的产生
你们知道自然数是怎样产生的吗？
自然数是在人类的生产劳动中逐渐产生的。人类是在生产劳动中，形成“有”和“无”的存在概念；“多”和“少”的比较概念的。
在长期、重复进行的“有”和“无”、“多”和“少”的存在和比较的过程中，人们逐渐认识到有很多物体的数量集合可以“一一对应”，这些“一一对应”的集合中的物体是同样多的。例如，三头牛和三只羊，在数量上是同样多，人一只手的五个手指，既可以用来表示五个人，也可以用来表示五匹马。于是自然数就从事物集合中被抽象出来，自然数也就产生了。
以后随着社会的发展，数的概念逐渐推广。例如，由于生产的发展，自然数已不能满足需要，因而引人了分数。如，一片草地的一半是21，一半的一半就是4
1。 自然数：人们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，例如 0、1、2、3、4、5、……叫做自然数。
相邻的两个自然数间不再有自然数，不相邻的两个自然数之间，有有限个自然数存在。
2、 自然数的单位
任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数的单位。
任意一个非0自然数n ，都是n 个1相加的结果。由0开始，逐次进行“加1”运算，可以得到顺序排列（连续）的各个自然数。
自然数的个数是无限的，最小的自然数是“0”，没有最大的自然数。
3、 整数
整数； 正整数、零、负正整统称为整数。
正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，……
负整数：小于0的整数叫负整数。负整数的表示方法是在整数前面加上“–”（读作负）号。
最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。
4、 零
现在我们知道0是一个数，是最小的自然数。那么，你们有谁知道零有哪些性质和作用？ 零的性质：
1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。
2）0是偶数；在十进制记数法中起占位作用。
3）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容，例如：飞机零点起飞。
4）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0）
5）任何数与0相加，值不变。
6）任何数与0相乘，积等于0。
7）任何数减去0它的值不变。
8）相同的两个数相减，差等于0。
9）0不能作除数。
10）0是唯一的一个中性数，既不是正数也不是负数。
11）0被非0的数除商等于0。
零的作用：
1）表示数位。如：304、0.07中“0”是表示数位的。
2）记帐的需要。如：5元通常记作5.00元，以防止错位。
3）用于编号。如：00045使人知道最大的号数是五位数。
4）0可以表示起点。如：刻度尺上的刻度以0为起点。
5）0可以表示精确度。如：近似数3.50表示精确到百分之一。
6）0可以作为某些数量的界限。如：数轴上它是界其左边的数（负数）与其右边的数（正数）的界限；在摄氏湿度计上，0上温度与0下温度的分界。
7）表示关节点。如：水结冰，这个关节温度用“0”表示。
5、整除的意义
1）思考：15名学生参加夏令营，他们想分成相等的几个小组进行活动，可以怎样分组呢？2）观察：下面两组算式卡片中的被除数和除数都是整数，它们的运算结果有仕么不同？
① 24÷2=12 ② 6÷5=1.2
21÷3=7 17÷10=1.7
84÷21=4 35÷6=5 (5)
第①组算式中的商都是整数，余数为0。第②组算式中的商是小数，或者除不尽。
整除：整数a除以整数b（b≠0），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说数a能被数b整除或b能整除a。
确定整除的条件：（三整余零）
1、除数、被除数都是整数；
2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽。
例如21÷3=7，10÷8=1.25，0.3÷0.4=0.75，等等。
除不尽：数a除以数b（b≠0），当所得的商是一个无限循环小数时，我们就说数b除不尽数a，或者说数a不能被数b除尽。
例如4÷3=1.333……，24÷11=2.1818……，都是除不尽的例子。
6、整除与除尽的区别
整除概念如前，它一般只在整数范围内讨论，并且被除数和除数要求是整
数，商必须是“整数而没有余数”；而除尽的情况，并未限制在这一数域范围
内，也未规定商必须是“整数而没有余数”。它的被除数、除数（不等于0）和
商，既可以是整数，也可以是有限小数，只要除完后没有余数就可以了。
例如 17÷4=4.25，24÷4=6，0.12÷0.04=3，这三个算式的被除数都能被除数
除尽。但是能说被除数被除数整除的，却只有一个——24能被4整除。
练习：
1、在下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在（）内打“√”，不能整除的打
“×”.
72和36 17和34 20和5 0.5和5
( ) ( ) ( ) ( )
18和3 19和38 0.2和4 17和3
( ) ( ) ( ) ( )
2、下列各题中，第一个数能被第二个数整除的有（）个
①34、17 ②3、6 ③5、2 ④1.5、0.5 ⑤18、1
A 1
B 2
C 3
D 4 整除
除尽
3、下列说法中正确的是（）
A 整数包括正整数和负整数
B 非负整数是自然数
C 若整数m除以整数n恰好能除尽，则m一定能被n整除
D 若m÷n余数为0，则n一定能整除m
4、12÷4=3，我们可以说能被整除；也可以说能整除
5、写出两个以13为除数的算式：
6、已知29能被正整数a整除，则a可能是（写出所有可能的数）
7、若一个自然数为a（a＞0），则与它相邻的两个自然数可以表示为；已知三个连续的自然数之和是54，则这三个数是。
8、正整数24能被正整数a整除，写出所有满足条件的a的值：
9、若两个整数a、b都能被不等于0的整数c整除，商分别是m、n
（1）写出上面的两个整除算式
（2）它们的和与差也能被c整除吗？说明理由，并举例说明。
10、有三个自然数，其和为13，讲坛们分别填入下式的括号内，满足等式要求：
（）-1=（）÷5=（）+2，求这三个自然数。
（二）、倍数和因数
1、每千克梨要4元，买5千克梨需要多少钱？
根据算式5×4＝20 （元）可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；
4是20的因数；5是20的因数。
2、每千克苹果要6元，买3千克苹果需要多少钱？你能根据算式说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？
3、每千克葡萄3.6元，买2千克葡萄需要多少钱？
3.6×2＝7.2（元）
观察：具有倍数和因数关系的算式有什么特点？
4、小结：我们只在零除外的自然数范围内研究倍数和因数。也就是说，乘法算式中的三个数都是不为零的自然数。倍数与因数是两个数的相互关系，单独一个数不能说成倍数或因数。
问题：一个数有多少倍数？最大的是多少？最小的倍数是多少？一个数的倍数是（填有限或无限）
一个数有多少因数？最大的是多少？最小的因数是多少？一个数的因数是（填有限或无限）
找一个数因数的方法是什么？
例题：找出36的所有因数。
5、根据算式说说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数：
18×2＝36 22×7＝154 25×4＝100 6×8＝48
练习：1、口算下面个题：
15÷3＝7÷1＝10÷4＝36÷0.6＝6÷6＝
问：你认为哪些算式具有倍数和因数的关系？为什么？
说一说7÷1＝7 6÷6＝1
2、10÷4＝2.5 36÷0.6＝60 为什么不是整除的算式？
3、找出能整除的算式，说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？
60÷5 8÷1 15÷2 8÷8 1÷8 200÷10
总结：有倍数和因数关系的乘法算式或除法算式有什么特点？
4、写出100以内8的倍数、写出100以内6的全部倍数。
5、计算并说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？
24÷6= 72÷8= 9÷9= 100÷25=
25×3＝ 14×6＝ 20×9＝
6、下面各组数中，有因数和倍数关系的有哪些？
16和2 140和20 45和15
33和6 4和24 7.2和8
7、如果一个数既是30的倍数，又是120的因数，那么这个数可以是
8、能被48整除的数一定是下面（）的倍数。
A 18
B 24
C 36
D 96
9、一个自然数既是13的倍数，又是13的因数，这个数是。
10、一个数的最小的倍数是25，这个数所有的因数是。
11、一个正整数只有2个因数而且比10小，这个数是。
12、一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，这个数可以是。
13、用16块1平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形，它们的长分别是多
少？
练习：1. 在自然数里，最小的质数是（），最小的合数是（），最小的奇数是（），最小的自然数是（）。
2. 在1，2，9这三个数中，（）既是质数又是偶数，（）既是合数又是奇数，（）既不是质数也不是合数。
3. 10能被0.5（），10能被5（）。
4. a÷b=4（a，b都是非0自然数），a是b的（）数，b是a的（）数。
5. 自然数a的最小因数是（），最大因数是（），最小倍数是（）。
6. 20以内不是偶数的合数有（），不是奇数的质数有（）。
7. 同时是2，3，5的倍数的最小三位数是（），最大三位数是（）。
8. 18和30的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
9. 102分解质因数是（）。
10. 数a和数b是互质数，它们的最小公倍数是最大公因数的（）倍。
11. 在1到10之间的十个数中，（）和（）这两个数既是合数又是互质数；（）和（）这两个数既是奇数又是互质数；（）和（）这两个数既是质数又是互质数；（）和（）这两个数一个是质数，一个是合数，它们是互质数。
12. 在6，9，15，32，45，60这六个数中，3的倍数的数是（）；含有因数5的数是（）；既是2的倍数又是3的倍数的数是（）；同时是3和5的倍数的数是（）。
13. 28的因数有（），50以内13的倍数有（）。
14. 一位数中，最大的两个互质合数的最小公倍数是（）。
15. 在自然数中，最小的质数与最小的奇数的和是（），最小的合数与最小的自然数的差是（）。
16. 25
6的分数单位是（），它减少（）个这样的分数单位是最小的质数，增加
（）个这样的分数单位是最小的合数。
17. 493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数。
18. 把4.87的小数点向左移动三位，再向右移动两位后，这个数是（）。
19. 一个最简真分数的分子是质数，分子与分母的积是48，这个最简真分数是（）。
20. A=2×2×3×7，B=2×2×2×7，A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
21. 一个数的最大因数是36，这个数是（），把它分解质因数是（）。
22. 三个质数的最小公倍数是231，这三个质数是（），（），（）。
23. 从0，2，3，6，8和5这六个数中选四个数，组成的同时是2，3，5的倍数的最大四位数是（）。
24. 三个连续自然数的和是21，这三个数的最小公倍数是（）。
25. 用2，3，5去除都余1的数中，最小的数是（）。
26. 由10以内的质数和0组成的是2，3，5的倍数的最小三位数是（）
27. 根据条件在下面括号里填上适当的数。
质数奇数偶数质数奇数
20﹤（）﹤（）﹤（）﹤（）﹤（）﹤32
28. 一个三位数，既是12的倍数，又是5的倍数，且9又是它的因数，这个三位数最
大的是（）。
29. 一个是2和3的倍数的四位数，它的千位上的数既是奇数又是合数，它的百位上的
数不是质数也不是合数，它的十位上的数是最小的质数，个位上的数是（）或（）。
30. 三个连续偶数的和是42，这三个数的最大公因数是（）。
31. 从0，3，5，7四个数中挑三个能同时被2，3，5整除的三位数，这样的三位数共
有（）个。
32. 一个合数的质因数是10以内的所有质数，这个合数是（）。
33. 甲是乙的二分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是（），乙数是（）。
34. 一个两位数加上2是2的倍数，加上5是5的倍数，加上7是7的倍数，这个数是
（）。
35. 一个小数，如果把它的小数点向左移动两位，得到的数比原数小0.396，原来的小
数是（）。
36. 如果被减数，减数与差的和是54.8，被减数是（）。
37. 在一个减法算式里，被减数，减数和差相加的和是50，已知差是减数的3
5，这个减
法算式是（）
38.把7
9的分母去掉后，所得的数是原分数的（）倍。
39. 2
9的分子增加6，要使分数大小不变，分母应增加（）。
40. 一个最简分数，把它的分子扩大4倍，分母缩小4倍，等于24，这个最简分数是（）
41. 一个最简真分数的分子，分母的积是50，这个分数是（）或（）
42. 有两根钢管，一根长72分米，另一根长90分米，把它们截成同样长的小段而不浪费，每小段最长（）分米。
43. 某长途汽车站向东线每20分钟发一辆车，向西线每15分钟发一辆车，如果同时向两线发车，至少要经过（）分钟又同时发车。
44. 有两个质数，它们的和的倒数是1
10，这两个质数分别是（）和（）。
45. 贝贝用一些长6厘米，宽4厘米长方形纸板拼图形，至少（）张就能拼成一个正方形。
46. 一次数学竞赛，结果参加学生中1
7获得一等奖，
1
3获得二等奖，
1
2获得三等奖，其
余获得纪念奖，参加竞赛的至少有( )名同学。
47. 五（1）班同学上体育课，站成长方形队伍，排成3行，最后1行少1人；排成4行最后余3人；排成5行少1人，排成6行多5人。上体育课的同学可能是（）人。
48.在30和40之间找出两个自然数，使它们的积与21×60相等，那么这两个自然数是（）和（）。
49. 四名学生恰好一个比一个大一岁，年龄的积为5040，这四名同学的年龄从小到大的顺序是（），（），（），（）。
50. 把长，宽，高分别是150厘米，90厘米，60厘米的长方体木料，锯成大小一样的正方体木块没有剩余，最少可以锯成（）块。
51. 周艳有一盒巧克力糖，7粒一数还余4粒，5粒一数又少3个，3粒一数正好没剩余，这盒巧克力至少有（）粒。
52. 一个长方体的长，宽，高是三个两两互质且均大于1的自然数，已知这个长方体的体积是5525立方厘米，那么它的表面积是（）平方厘米。
53. 把自然数a和b分解质因数得到：a=2×5×7×m，b=3×5×m，如果a和b的最小公倍数是2310，那么m=（）。
54. （）与60的最大公因数是12，最小公倍数是120.
55. 用三个不同质数组成一个三位数，使这个三位数能被它的每个数字整除，这个三位数是（）
56. 甲，乙两人岁数之和是一个两位数，这个两位数是一个质数，这个质数每一位上的数字之和是13，甲刚好比乙大13岁，那么甲是（）岁，乙是（）岁。
57. 把A分解质因数是A=a×b×c（a，b，c均为质数），A的因数有（）个。
58. 若30030的所有不同质因数，按从大到小的顺序排列为a，b，c，d，e，…则（a-b）×（b-c）×（c-d）×（d-e）…的结果是（）
59. 甲乙两数的和是2193.4，乙数的小数点向左移动一位就等于甲数，甲数是（），乙数是（）。
60. 两个数的乘积是432，最小公倍数是144，这两个数是（）和（）或（）和（）。
61. 一个数分别被2，4，5除都余1，这个数在100到130之间，这个数是（）或（）。
62. 有A，B，C，D四个自然数，A和B的最小公倍数是36，C和D的最小公倍数是90，A，B，C，D四个数的最小公倍数是（）
63. 去年，父子两人的年龄都是质数，今年它们的岁数之积为304，今年父子两人的年龄各是（）岁和（）岁。
1.1整数和整除的意义 一． 回顾与思考 1.在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。 2.在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。 3. 0既不是正整数，也不是负整数 那么0究竟是什么含义呢？ 1. 0表示没有物体 2. 0表示计算过程中某种量的基准数 例题：把下列各数填在适当的圈内： 12、-6、0、1.23、76 、2005、-19.6、9 正整数 自然数 整数 12. 2005. 9 12. 0 .2005 9 12. -6. 0 . 2005. 9 二．新课的讲解 1.零和正整数统称为自然数。 2.正整数、零和负整数，统称为整数。 整数的分类 思考，想一想：有多少个整数呢？ 无数个 又有多少个自然数呢？ 无数个 是否存在最小的自然数？ 0 是否有最大的自然数呢？ 没有 是否有最小的整数？ 没有 是否存在最大的整数？ 没有 是否存在最小的正整数？ 1 三、建立整除的概念 1.观察与思考 （1）18÷9=2 169÷13=13 144÷12=12 （2）176÷5=35…1 17÷10=1.7 6÷5=1.2 请你试着说说看，什么是整除？ 2.整除的定义
整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 a÷ 6÷3=2 6能被3整除，3能整除6 6÷5=1.2 6不能被5整除，5不能整除6 做一做课堂练习： 判断：4能被2整除？√ 2能被4整除？× 想一想：4能被哪些数整除？ 4能被 1.2.4 整除 1.2.4 能整除 4 区别整除与除尽 整除：被除数和除数----都是整数，除数不等于0，商----商是整数，余数为0 除尽：被除数和除数----不一定是整数，除数不等于0，商----商是整数或有限小数，没有余数 其实，整数是除尽的一种特殊形式 例题讲解： 例题1 ：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？ 10÷3 48÷8 6÷4 例题2 ：2.6÷1.3=2，能不能说2.6能被1.3整除？ 答：因为被除数和除数都不是整数，所以不能说2.6能被1.3整除 注意整除的条件： 除数、被除数都是整数 被除数除以除数，商是整数而且余数是0. 学与练 一：判断 自然数的个数是有限的× 2.5能被5整除× 0既不是正整数也不是负整数 a÷b=11 则b一定能整除a 最小的整数是1 填空
整数和整除 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1．理解并掌握整数、整除的概念； 2．理解并掌握因数和倍数的意义，了解因数和倍数相互依存的关系； 3．知道一个数的因数和倍数的求法。
1.整数 （1）零和正整数统称为自然数； （2）正整数、零、负整数，统称为整数。 正整数自然数 整数零 负整数 思考题：(1)是否有最小的自然数？ (2)是否有最大的正整数和最小的正整数？最大的负整数和最小的负整数呢？ (3)有多少个自然数？正整数？负整数？ 2.整除：整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a. 例如：24÷2＝12，我们就说24能被2整除，或者说2能整除24. 注意整除的条件：（1）除数、被除数都是整数； （2）被除数除以除数，商是整数而且余数为0. 3.除尽与整除 （1）相同点：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除； （2）不同点：整除中被除数、除数和商都是整数，余数为零； 除尽中被除数、除数和商不一定是整数，余数为零. 4.因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或约数） 注意：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在, 5.一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身. 6.一个整数没有最大的倍数，而最小的倍数是它本身.
整数和整除的意义 教学目标： 1.理解整除和自然数的意义； 2.知道整除的要素，掌握整除的两种表达方式； 3.了解分类、集合思想。 教学重点与难点: 重点：理解和掌握整除的概念。 难点：运用整数和整除的知识解决实际问题。 教学过程： 一、整数 1.回顾整数 首先我们来复习回顾一下小学学过的有关整数的相关知识。 教师在黑板上随机画几何图形，学生说出其个数。这些数称之为正整数。 教师归纳，我们用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，···叫做正整数。 生活中，我们都会用到正整数。如日历表中的日期都是用正整数表示的，请同学们再举几个例子。 有正整数就有负整数，那么什么是负整数请同学回答。 负整数：在正整数1,2,3,4,5，···的前面添上符号“-”，得到的数-1，-2，-3,-4，-5， 叫做负整数。 仔细观察，我们发现，正整数和负整数中都不包含0。说明零既不是正整数，也不是负整数。那么零究竟是什么含义请同学们思考作答。 零的意义：1.表示没有物体； 2.表示计量过程中某种量的基准数。（这层含义教师可做引导） 因此，正整数，零，负整数统称为整数。 零和正整数统称为自然数。（为什么将它们称为自然数因为这些数是我们在数数时自然产生的）
（提示记笔记） 我们从0开始逐次加1，得到了一列以0为首的自然数，如果一直加下去，能得到的自然数没有尽头，即没有最大的自然数。 同样，从0开始逐次减1，得到负整数，如果一直减下去，能得到的负整数也没有尽头，即（学生回答）没有最小的负整数。 思考：1.是否有最小的自然数 2.是否有最大的正整数和最小的正整数最大的负整数和最小的负整数呢 3.有多少个自然数正整数负整数 练习1.完成书后练习1。学生回答。 练习2.判断对错： 1) 自然数的个数是有限的。（ ） 2) 0既不是正整数，也不是负整数。（ ） 3) 最小的整数是1。（ ） 二、 整除 思考：某班35名同学去秋游，若想分成人数相等的几个小组进行活动，可以怎样分组 下列算式的被除数和除数都是整数，算一算它们的运算结果有什么不同 321224÷÷ 2556÷÷ 3 32725÷÷ 通过计算我们可以发现，第一组算式所得的商是整数，余数为0，第二组算式所得的商是小数，第三组算式除不尽。 像第一组这样的算式，我们称之为整除。请同学阐述整除的概念，教师可做引导。 整除：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a 。 三整一零才整除 c b a =÷（a 、b 、c 都是整数，且0≠b ）
1.1 整数和整除的意义 教学目标： 1.理解整除和自然数的意义； 2.知道整除的要素，掌握整除的两种表达方式； 3.了解分类、集合思想。 教学重点与难点: 重点：理解和掌握整除的概念。 难点：运用整数和整除的知识解决实际问题。 教学过程： 一、整数 1.回顾整数 首先我们来复习回顾一下小学学过的有关整数的相关知识。 教师在黑板上随机画几何图形，学生说出其个数。这些数称之为正整数。 教师归纳，我们用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，···叫做正整数。 生活中，我们都会用到正整数。如日历表中的日期都是用正整数表示的，请同学们再举几个例子。 有正整数就有负整数，那么什么是负整数？请同学回答。 负整数：在正整数1,2,3,4,5，···的前面添上符号“-”，得到的数-1，-2，-3,-4，-5， 叫做负整数。 仔细观察，我们发现，正整数和负整数中都不包含0。说明零既不是正整数，也不是负整数。那么零究竟是什么含义？请同学们思考作答。 零的意义：1.表示没有物体； 2.表示计量过程中某种量的基准数。（这层含义教师可做引导） 因此，正整数，零，负整数统称为整数。 零和正整数统称为自然数。（为什么将它们称为自然数？因为这些数是我们在数数时自然产生的）
（提示记笔记） 我们从0开始逐次加1，得到了一列以0为首的自然数，如果一直加下去，能得到的自然数没有尽头，即没有最大的自然数。 同样，从0开始逐次减1，得到负整数，如果一直减下去，能得到的负整数也没有尽头，即（学生回答）没有最小的负整数。 思考：1.是否有最小的自然数？ 2.是否有最大的正整数和最小的正整数？最大的负整数和最小的负整数呢？ 3.有多少个自然数？正整数？负整数？ 练习1.完成书后练习1.1/1。学生回答。 练习2.判断对错： 1) 自然数的个数是有限的。（ ） 2) 0既不是正整数，也不是负整数。（ ） 3) 最小的整数是1。（ ） 二、 整除 思考：某班35名同学去秋游，若想分成人数相等的几个小组进行活动，可以怎样分组？ 下列算式的被除数和除数都是整数，算一算它们的运算结果有什么不同？ 321224÷÷2556÷÷3 32725÷÷ 通过计算我们可以发现，第一组算式所得的商是整数，余数为0，第二组算式所得的商是小数，第三组算式除不尽。 像第一组这样的算式，我们称之为整除。请同学阐述整除的概念，教师可做引导。 整除：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a 。 三整一零才整除
1.1 整数和整除的意义 教学流程 提出问题 分类讨论 组间交流 总结归纳 教学目标 1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义． 2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念． 3、通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力．并从而树立学好数学的自信心。 重点、难点 理解和掌握整除的概念。 教学过程 一、 建立整数和自然数的概念： 1、请你在卡片上写上一个数字，然后把它贴在黑板上。你能根据一定的依据把这些数来分一分类吗？并说明理由。（小组讨论） （小组讨论、归纳、交流） 归纳： 在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。 在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。 零和正整数统称为自然数。 正整数、零和负整数，统称为整数。 2、把下列各数填在适当的圈内： 12、-6、0、1.23、 7 6、2005、-19.6、9 正整数 自然数 整数 二、 建立整除的概念：
1、你能在你的卡片上很快写出一个除法算式并贴上黑板吗？（学生写完后任意贴。） 2、你能根据一定的依据把这些除法算式来分一分类吗？并说明理由。（小组讨论）我们小组的分类：（根据需要填写） 1、____________________________________________________________ 2、____________________________________________________________ 3、____________________________________________________________ 分类的理由： 1、____________________________________________________________ 2、____________________________________________________________ 3、____________________________________________________________ 3、请同学们仔细观察黑板上除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点？ 归纳： 整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 2、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除 10÷3 48÷8 6÷4（教师板演） 3、互动游戏： 一位同学说一个除法算式，同桌判断是不是整除？并说明谁能被谁？谁能整除谁？ 教师引导归纳； （1）除数、被除数都是整数。 （2）被除数除以除数，商是整数而且没有余数。 练习： P 5 2 4、一展身手： （1）有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法能？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？（2）一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：
1.1 整数和整除的意义 教学设计： 整数和整除的意义是六年级的第一节课，为此在教学设计中比较注重学生学习兴趣的培养和数学学习方法的体验。对于整数和整除这两个比较抽象的概念从学生的实际生活和年龄特点出发，体现数学知识的形成是从具体到抽象的过程。在理解概念的基础上，通过一些辨析题起到巩固知识的目的。 教学流程 提出问题 分类讨论 组间交流 总结归纳 教学目标 1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义． 2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念． 3、通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力．并从而树立学好数学的自信心。 重点、难点 理解和掌握整除的概念。 教学过程 一、 建立整数和自然数的概念： 1、请你在卡片上写上一个数字，然后把它贴在黑板上。你能根据一定的依据把这些数来分一分类吗？并说明理由。（小组讨论） （小组讨论、归纳、交流） 归纳： 在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。 在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。 零和正整数统称为自然数。 正整数、零和负整数，统称为整数。 2、把下列各数填在适当的圈内： 12、-6、0、1.23、 7 6、2005、-19.6、9
正整数自然数整数 二、建立整除的概念： 1、你能在你的卡片上很快写出一个除法算式并贴上黑板吗？（学生写完后任意贴。） 2、你能根据一定的依据把这些除法算式来分一分类吗？并说明理由。（小组讨论）我们小组的分类：（根据需要填写） 1、____________________________________________________________ 2、____________________________________________________________ 3、____________________________________________________________ 分类的理由： 1、____________________________________________________________ 2、____________________________________________________________ 3、____________________________________________________________ 3、请同学们仔细观察黑板上除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点？ 归纳： 整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 2、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除 10÷3 48÷8 6÷4（教师板演） 3、互动游戏： 一位同学说一个除法算式，同桌判断是不是整除？并说明谁能被谁？谁能整除谁？ 教师引导归纳； （1）除数、被除数都是整数。 （2）被除数除以除数，商是整数而且没有余数。
整数和整除的意义 教学流程 提出问题 分类讨论 组间交流 总结归纳 教学目标 1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义． 2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念． 3、通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力．并从而树立学好数学的自信心。 重点、难点 理解和掌握整除的概念。 教学过程 一、 建立整数和自然数的概念： 1、请你在卡片上写上一个数字，然后把它贴在黑板上。你能根据一定的依据把这些数来分一分类吗并说明理由。（小组讨论） （小组讨论、归纳、交流） 归纳： 在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。 在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。 零和正整数统称为自然数。 正整数、零和负整数，统称为整数。 2、把下列各数填在适当的圈内： 12、-6、0、、 7 6、2005、、9 正整数 自然数 整数
二、建立整除的概念： 1、你能在你的卡片上很快写出一个除法算式并贴上黑板吗（学生写完后任意贴。） 2、你能根据一定的依据把这些除法算式来分一分类吗并说明理由。（小组讨论）我们小组的分类：（根据需要填写） 1、____________________________________________________________ 2、____________________________________________________________ 3、____________________________________________________________ 分类的理由： 1、____________________________________________________________ 2、____________________________________________________________ 3、____________________________________________________________ 3、请同学们仔细观察黑板上除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点 归纳： 整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 2、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除 10÷3 48÷8 6÷4（教师板演） 3、互动游戏： 一位同学说一个除法算式，同桌判断是不是整除并说明谁能被谁谁能整除谁 教师引导归纳； （1）除数、被除数都是整数。 （2）被除数除以除数，商是整数而且没有余数。 练习： P 5 2 4、一展身手：
教师： 学生： 时间: 年 月 日 段 一、 授课目的与考点分析： 整数和整除的意义、倍数和因数 二、授课内容： （一）、整数和整除的意义 1、 数的产生 你们知道自然数是怎样产生的吗？ 自然数是在人类的生产劳动中逐渐产生的。人类是在生产劳动中，形成“有”和“无”的存在概念；“多”和“少”的比较概念的。 在长期、重复进行的“有”和“无”、“多”和“少”的存在和比较的过程中，人们逐渐认识到有很多物体的数量集合可以“一一对应”，这些“一一对应”的集合中的物体是同样多的。例如，三头牛和三只羊，在数量上是同样多，人一只手的五个手指，既可以用来表示五个人，也可以用来表示五匹马。于是自然数就从事物集合中被抽象出来，自然数也就产生了。 以后随着社会的发展，数的概念逐渐推广。例如，由于生产的发展，自然数已不能满足需要，因而引人了分数。如，一片草地的一半是21，一半的一半就是4 1。 自然数：人们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，例如 0、1、2、3、4、5、……叫做自然数。 相邻的两个自然数间不再有自然数，不相邻的两个自然数之间，有有限个自然数存在。 2、 自然数的单位 任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数的单位。 任意一个非0自然数n ，都是n 个1相加的结果。由0开始，逐次进行“加1”运算，可以得到顺序排列（连续）的各个自然数。 自然数的个数是无限的，最小的自然数是“0”，没有最大的自然数。 3、 整数 整数； 正整数、零、负正整统称为整数。 正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，…… 负整数：小于0的整数叫负整数。负整数的表示方法是在整数前面加上“–”（读作负）号。 最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。 4、 零 现在我们知道0是一个数，是最小的自然数。那么，你们有谁知道零有哪些性质和作用？ 零的性质： 1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。 2）0是偶数；在十进制记数法中起占位作用。 3）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容，例如：飞机零点起飞。 4）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0） 5）任何数与0相加，值不变。 6）任何数与0相乘，积等于0。 7）任何数减去0它的值不变。 8）相同的两个数相减，差等于0。 9）0不能作除数。 龙文教育个性化辅导授课案
1.1整数和整除的意义 季路芳 教学设计： 整数和整除的意义是六年级的第一节课，为此在教学设计中比较注重学生学习兴趣的培养和数学学习方法的体验。对于整数和整除这两个比较抽象的概念从学生的实际生活和年龄特点出发，体现数学知识的形成是从具体到抽象的过程。 教学目标 1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义． 2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念,掌握两种表述方法． 3、在对整数概念的梳理中渗透分类思想，集合思想。 重点、难点 理解和掌握整除的概念 一． 回顾与思考 1.在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。 2.在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。 3. 0既不是正整数，也不是负整数 那么0究竟是什么含义呢？ 1. 0表示没有物体 2. 0表示计量过程中某种量的基准数，比如温度计。 二．新课讲解 1.零和正整数统称为自然数。 2.正整数、零和负整数，统称为整数。 整数的分类 例1：把下列各数填在适当的圈内： 100、-6、0、1.23、76 、2005、-19.6、9 正整数 自然数 整数
思考 有多少个整数呢？无数个 又有多少个自然数呢？无数个 是否存在最小的自然数？ 0 是否有最大的自然数呢？没有 是否有最小的整数？没有 是否存在最大的整数？没有 是否存在最小的正整数？ 1 三、建立整除的概念 1.观察与思考 （1）18÷9=2 169÷13=13 144÷12=12 （2）176÷5=35…1 17÷10=1.7 6÷5=1.2 请同学们仔细观察黑板上除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点？ 2.整除的定义 整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 a÷b=c (a.b.c都是整数且b不等于0 ) 6÷3=2 6能被3整除，3能整除6 6÷5=1.2 6不能被5整除，5不能整除6 做一做课堂练习： 判断：4能被2整除？√ 2能被4整除？× 想一想：4能被哪些数整除？ 4能被 1.2.4 整除 1.2.4 能整除 4 互动游戏： 一位同学说一个除法算式，同桌判断是不是整除？并说明谁能被谁？谁能整除谁？ 例题2：2.6÷1.3=2，能不能说2.6能被1.3整除？ 答：因为被除数和除数都不是整数，所以不能说2.6能被1.3整除
1.1整数和整除的意义 一． 回顾与思考 1.在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。 2.在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。 3. 0既不是正整数，也不是负整数 那么0究竟是什么含义呢？ 1. 0表示没有物体 2. 0表示计算过程中某种量的基准数 例题：把下列各数填在适当的圈内： 12、-6、0、1.23、76 、2005、-19.6、9 正整数 自然数 整数 12. 2005. 9 12. 0 .2005 9 12. -6. 0 . 2005. 9 二．新课的讲解 1.零和正整数统称为自然数。 2.正整数、零和负整数，统称为整数。 整数的分类 思考，想一想：有多少个整数呢？ 无数个 又有多少个自然数呢？ 无数个 是否存在最小的自然数？ 0 是否有最大的自然数呢？ 没有 是否有最小的整数？ 没有 是否存在最大的整数？ 没有 是否存在最小的正整数？ 1 三、建立整除的概念
1.观察与思考 （1）18÷9=2 169÷13=13 144÷12=12 （2）176÷5=35…1 17÷10=1.7 6÷5=1.2 请你试着说说看，什么是整除？ 2.整除的定义 整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 a÷b=c (a.b.c都是整数且b不等于0 ) 6÷3=2 6能被3整除，3能整除6 6÷5=1.2 6不能被5整除，5不能整除6 做一做课堂练习： 判断：4能被2整除？√ 2能被4整除？× 想一想：4能被哪些数整除？ 4能被 1.2.4 整除 1.2.4 能整除 4 区别整除与除尽 整除：被除数和除数----都是整数，除数不等于0，商----商是整数，余数为0 除尽：被除数和除数----不一定是整数，除数不等于0，商----商是整数或有限小数，没有余数 其实，整数是除尽的一种特殊形式 例题讲解： 例题1 ：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？ 10÷3 48÷8 6÷4
1.1 整数和整除的意义 教学目标 1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义． 2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念． 3、通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力．并从而树立学好数学的自信心。 重点、难点 理解和掌握整除的概念。 一、 建立整数和自然数的概念： 在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。 在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。 零和正整数统称为自然数。 正整数、零和负整数，统称为整数。 2、把下列各数填在适当的圈内： 12、-6、0、1.23、7 6、2005、-19.6、9 正整数 自然数 整数 归纳： 整数a 除以整数b ，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。 2、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除 10÷3 48÷8 6÷4 3、一展身手： （1） 有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法能？ 有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？ （2）一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个， 小马虎统计错了？为什么？ 1.2 因数和倍数 教学设计 因数和倍数是在整除基础上的进一步研究，因此在学生原有知识的基础上建立因数和倍数的概念，
关键是使学生理解因数和倍数之间的相互依存关系，同时也是对整除概念的进一步巩固。在教学设计中通过一些辨析题是学生更透彻的理解概念。在求一个数的因数和倍数的过程中培养学生的观察和归纳问题的能力，在学生学和解决问题的同时培养良好的学习习惯。 教学目标 1、理解和掌握因数和倍数的意义，了解因数和倍数相互依存的关系。会根据因数和倍数的意义描述两个数之间的关系。 2、知道一个数的因数和倍数的求法． 3．知道一个数的因数是有限个，一个数的倍数是无限个． 4、渗透初步的辩证唯物主义思想教育。激发学生的交流、对话的意识，培养学生数学语言的表达能力。重点、难点 1、理解和掌握因数和倍数的意义 2、引导学生探索并理解因数和倍数之间的相互依存的关系。 一、创设情景，引出概念 1、问题情景： 有12块边长是1个单位长度的的正方形可以拼成几个形状不同的长方形？它们的长和宽分别是多少？ 2、12与1、2、 3、 4、6、12有什么关系？ 3、火眼金睛：你认为哪些是对的,哪些是错的，错在哪儿？ (1)42÷6=7,所以42是6的倍数，6是42的因数 (2) 42÷6=7,所以42是倍数,6是因数 (3)42÷9=4┄┄6,所以42是9的倍数,9是42的因数 (4)4.2÷0.6=7 ,所以4.2是0.6的倍数,0.6是4.2的因数 (5)4.2÷0.6=7,所以4.2是0.6的7倍。 通过检测，你对倍数和因数有什么新的认识？ 二、求一个数的因数和倍数 1．例1 18的因数有哪几个？ 2、观察18、20、9的因数，你发现了什么？还发现了什么规律？ 2．例2 2的倍数有哪些？试着求出4、5的倍数 4、观察从上面几个例子，发现了什么？为什么一个数没有最大的倍数？ 归纳：一个数的倍数的个数是无限的。 最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 5、判断 （1）15的倍数一定大于15。…………………………………（）
整数和整除的意义、倍数和因数 （一）、整数和整除的意义 1、 数的产生 你们知道自然数是怎样产生的吗？ 自然数是在人类的生产劳动中逐渐产生的。人类是在生产劳动中，形成“有”和“无”的存在概念；“多”和“少”的比较概念的。 在长期、重复进行的“有”和“无”、“多”和“少”的存在和比较的过程中，人们逐渐认识到有很多物体的数量集合可以“一一对应”，这些“一一对应”的集合中的物体是同样多的。例如，三头牛和三只羊，在数量上是同样多，人一只手的五个手指，既可以用来表示五个人，也可以用来表示五匹马。于是自然数就从事物集合中被抽象出来，自然数也就产生了。 以后随着社会的发展，数的概念逐渐推广。例如，由于生产的发展，自然数已不能满足需要，因而引人了分数。如，一片草地的一半是21，一半的一半就是4 1。 自然数：人们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，例如 0、1、2、3、4、5、……叫做自然数。 相邻的两个自然数间不再有自然数，不相邻的两个自然数之间，有有限个自然数存在。 2、 自然数的单位 任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数的单位。 任意一个非0自然数n ，都是n 个1相加的结果。由0开始，逐次进行“加1”运算，可以得到顺序排列（连续）的各个自然数。 自然数的个数是无限的，最小的自然数是“0”，没有最大的自然数。 3、 整数 整数； 正整数、零、负正整统称为整数。 正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，…… 负整数：小于0的整数叫负整数。负整数的表示方法是在整数前面加上“–”（读作负）号。 最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。 4、 零 现在我们知道0是一个数，是最小的自然数。那么，你们有谁知道零有哪些性质和作用？ 零的性质： 1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。 2）0是偶数；在十进制记数法中起占位作用。 3）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容，例如：飞机零点起飞。 4）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0） 5）任何数与0相加，值不变。 6）任何数与0相乘，积等于0。 7）任何数减去0它的值不变。 8）相同的两个数相减，差等于0。 9）0不能作除数。 10）0是唯一的一个中性数，既不是正数也不是负数。 11）0被非0的数除商等于0。
渗透数学思想方法，践行民族精神教育 ——《整数和整除的意义》课例分析 二中（集团）初级中学王艳 今年接手预初年级数学教学任务，是二起课改教材在全市全面铺开第二年，过去是使用老教材，渗透新理念。现在真正运用新教材，一定要把二起课改理念贯彻在课堂教学中。况且松江区已在每一个教室里安装了多媒体设备，合理有效地利用多媒体辅助设备更好地为教学服务，给自已地教学提出了更新更高的要求。兴趣是最好的老师，如何让学生喜欢数学、喜欢你，第一次课很重要，第一炮一定要打响。 首先我认真备课，搞清楚本节课的知识点：正整数、负整数、自然数、整数，整除的概念，整除的条件。重点是整除的概念，难点是整除的概念的理解。在知识点的引入时，注重知识点中的内在联系。 其次在分析教材知识点中，合理地在教学中渗透数学思想和方法，数学思想方法是数学学科的灵魂，它在数学教学中有着广泛的应用，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。 同时在教材上挖掘德育教育契机，在学科教学中实施民族精神教育，是弘扬和培育民族精神的主要途径。教师要按照各学科所提示的民族精神教育内容，在课堂教学中主动地、创造性地加以落实，挖掘并丰富民族精神的内涵，并适时地进行德育教育[1]。 由于二期课改突出了学生的课堂主体地位，要求教师做好课堂的组织者、引导者[2]；是学生学习的合作者和参与者，而不是教材的代言人，知识的权威，让课堂变的灵活多变。精心设计制作多媒体课件，把自己的教学内容充分设计进去，发挥多媒体动画功能，更好地为教学服务，为有效利用课堂40分钟做好充足的准备。 一. 分析教材,找准德育契机 新的课程标准把德育放在十分重要的地位，作为基础学科的数学必须重视德育。正如苏霍姆林斯基所说：“智育的目标不仅在于发展和充实智能，而且也在于形成高尚的道德和优美的品质。”作为数学教师在向学生传授数学知识的同时，必须根据初中数学学科的特点，对学生进行渗透民族精神教育和生命教育[1]。 爱国主义教育是学校德育的主要任务之一，在我们现行的九年义务教育初中版数学教材中，有丰富的爱国主义教育素材，在教学中适时地、自然地利用它们对学生进行思想教育，会达到事半功倍的效果。 砖的尺寸的选择？来引入第一章数的整除。 我认为这是践行德育的好时机。(随笔1) 问题1. 小明家新房的客厅是长6米、 宽4.8米的长方形，准备用整块的正方形地 砖铺满客厅的地面。市场上地砖有30×30、 40 ×40、60 ×60、80 ×80（单位：厘米 ×厘米），小明家想选尺寸较大的地砖， 该选哪一种尺寸的地砖比较合理？