第9-10课时
教学题目：§844直线与圆的位置关系2-3 —圆的切线方程
教学目标：
1、能熟练的通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆相切；
2 2 2 2 2 o
2、会求经过圆G :x2+ y2=r2，C2：(x —a)+(y —b)= r2上一点的切线方程;
2 2 2 2 2 o
3、会求经过圆G：x2+y2=r2，(x—a)+(y —b) =r2外一点的切线方程. 教学内容：
1、通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆相切；
2 2 2 2 2 2
2、求经过圆G：x + y =r ，C2 :(x —a) +(y — b) =r上一点的切线方程；
2 2 2 2 2 2
3、求经过圆G：x ? y =r , x-a - y-b i；二r外一点的切线方程.
教学重点：求圆的切线方程.
教学难点：直线与圆相交时所得的弦长有关的问题;
教学方法：讲授法、练习法.
教学过程：
、设置情境导入新课
2 2 O
直线丨：Ax ? By ? C =0与圆C : x - a j亠i y - b i；二r相切时，直线l到圆C的距离d与圆的半径r相等.即：d二r.
(三)、经过圆上一点与圆相切的直线有一条；故：切线方程有且只有一个；经过圆外一点与圆相切的直线有两条；故：切线方程有两个
三、典型例题讲解
例1、过点P 1, -1作圆x2? y2 -2x -2y ? 1 =0的切线，试求切线方程.
分析：求切线方程的关键是求出切线的斜率k，可以利用圆心到切线的距离等于半径的条
设所求切线的斜率为k，则切线方程为：y，1=k x-1，即：kx-y：；「：i.T-k =0，, , 2 2 2 2
???圆x y - 2x-2y，1=0 的标准方程为：x -1 ］亠［y -1 1,???圆心为点C 1,1，半径r =1，作出圆及其过点P的两条切线.
k _1+f —1_k t 2
???圆心到切线的距离为：d =—= ?,???圆心到切线的距离与半径相等，
&2+（_i j J k2+1
即d =r，
? 1 ,? k=_、、3，?所求圆的切线方程为y —-1 =_.3 x-1 , .k21
即: 、_3x — y —、、3 —1 = 0 或、、3x y —、、3 1 =0.
2 2 2 2
T圆x y - 2x - 2 y ? 1 = 0的标准方程为：x -1 ］亠〔y -1 1,
???圆心为点C 1,1，半径r =1 ,
2 2
设切线为I，设切线为I与圆（X—1）+（y—1 ）=1相切于点M（x0,y0）,
设点PM所在直线即为切线I，斜率为k，设点PC所在直线l1，斜率为k1，则直线11
即为过切点M x0,y0的半径所在的直线.
y° 1
???切线I过点P 1, -1、M X0,y°,? k
T直线I1过点C 1,1、M x0,y°,? k1
y。 1 y°一1
「…1①，
x
T(x
。-12+(y。T f =1 ②,联立①、②构成方程组:
丿X°-1 x°-1
-丫2+1+(%-1$ =1 ④,
1 1
由④得：y0，将y0代入①式得：（解方程组的过程可舍去）
2 2
f 2 + 13 1
当切点M
的坐标为 2 丄 时，???切线I 过点P(1,-1)，二由直线的两点式方程得:
I 2
2
丿
切线I 的方程为：
，即 3x - 、3y -、3 - 3 二 0 ：= 、3x -y-、3-1 二 0.
当切点M 的坐标为'^^3,-时，???切线I 过点P(1,-1),???由直线的两点式方程得:
I 2
2
丿
切线I 的方程为：
-1
综上所述：所求直线方程为：
、、3x - y —-1 = 0或、、3x ? y -疗3 T = 0.
2 2
例2：求过圆(x-1) ，(y-2) -1外一点p(2,4)的切线方程
师生解析： 过圆外一点有两条切线，分两种情况讨论
(1)若切线的斜率存在，设切线的方程为：
y-4=k(x-2)即kx -y ，4-2k=0
2 2
由(x -1)?(y-2) =1知圆心为(1,2) 半径r =1
k-2 4-2k)
于是圆心(1,2)到直线kx - y ? 4-2k =0的距离为:
综合(1) (2)知：所求的切线方程为： 3x-4y ，10 =0或x =2
四、课堂训练情景
练习：直线xsin10° ? ycos10° -、2 =0与圆x 2 y 2
=2的位置关系(
)
f
2 、； 3
2 一 ”
3 X 。
x =
2
或
2
，?切点M 的坐标为
1
1
y 。 =— y°: =—
2
2
y
P.T
x -1
即 3x 、、3y -3
.. 3=0 ：= 、、3x y f ；；3 1=0.
T 曰
切线方程为3x -4y 70 =0
(2) 若切线的斜率不存在，切线的方程为：
x = 2